精品解析：湖北省名校联盟2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023—2024学年度八年级下学期第一次阶段性检测数学试题 注意事项： 1.本卷共4页，共25小题，满分120分，考试时限120分钟． 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置． 3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题．不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答，超出答题卡区域和在试卷、草稿纸上答题无效． 4.字体工整，笔迹清晰，保持答题卡的整洁． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 3. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. C. D. 4. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 6. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形 的面积分别为. 若 ，则 的值是 （ ） A. 567 B. 666 C. 777 D. 675 7. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积． 对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究． 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式： ，其中 ① 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式： ．② 若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，对角线相交于点分别是、的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为________． 12. 如图，以边长为6cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3． 13. 在中，是边上的高，，则的度数是___________． 14. 如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的坐标为___________． 16. 如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则______． 三、解答题（共10小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. （1）已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． （2）先化简，再求值：，其中分别为的整数部分和小数部分． 20. 在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺按下列步骤完成下列作图（画图过程用虚线，画图结果用实线） （1）画格点，使是等腰三角形； （2）将向上平移格交于点P，直接写出的长为 ． （3）在上画点，使． 21. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 22. 如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长和平行四边形的面积． 23. 在中，（），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． （3）如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 24. 《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”） 其文如下： 问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解： （1）已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长． （2）应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？ 25. （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题 证明：过点作且使，连接， ∴四边形为平行四边形，则________， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 请完成证明中的两个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： （2）类比运用：如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为．若的面积为8，则以的长度为三边长的三角形的面积等于______（请直接写出答案）． 26. 在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． （1）如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； （2）如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． （3）如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度八年级下学期第一次阶段性检测数学试题 注意事项： 1.本卷共4页，共25小题，满分120分，考试时限120分钟． 2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置． 3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题．不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答，超出答题卡区域和在试卷、草稿纸上答题无效． 4.字体工整，笔迹清晰，保持答题卡的整洁． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．根据二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】现将多项式化简，然后代入求解即可． 【详解】解：， 当时， 原式 ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查整式的化简求值及完全平方公式与二次根式的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 3. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴a＜＜b， ∵5＜＜6，且a和b为两个连续正整数， ∴a=5，b=6， ∴ab-（）2=5×6-31=-1， ∴ab-（）2的立方根为-1． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 4. 如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度.若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 5. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点到直线的距离是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 6. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形 的面积分别为. 若 ，则 的值是 （ ） A. 567 B. 666 C. 777 D. 675 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质．设直角三角形的面积为，正方形的面积为；由题意得，正方形的面积为：；正方形的面积为：；最后根据，即可． 【详解】设直角三角形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为：；正方形的面积为：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 7. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若两直角边，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．这个风车的外围周长即四个，分别求出和即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：B． 8. 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 9. 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积． 对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究． 古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式： ，其中 ① 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式： ．② 若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答． 【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便， ∴可代入公式②进行计算， ∵， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 10. 在中，对角线相交于点分别是、的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．通过证明四边形是平行四边形，可得，故①正确；由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质可证，故②正确；由外角的性质可得，由等腰三角形的性质可得故③错误；由等腰三角形的性质可得，可得，则与不垂直，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确，符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不平分， 故③错误，不符合题意； ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∴与不垂直， 故④错误，不符合题意， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，勾股定理，利用非负性的性质求出、的值，再用勾股定理列式求出第三边的长即可．理解算术平方根的非负性、绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ，， ，， 由勾股定理得，第三边，  故答案为：5． 12. 如图，以边长为6cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，可得DE，由“HL”求证Rt△ABC≅ Rt△ADC，继而解直角三角形可得BC，根据六边形的面积计算公式求得无盖柱形盒子的底面积，继而即可求解． 【详解】如图，连接AC， 由题意知：∠BAD=120°， ，， ∴， ∵∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC， ∴Rt△ABC≅ Rt△ADC（HL）， ∴，∠BAC=∠DAC=∠BAD=60°， ∴， 由题意知：无盖柱形盒子的底面为以为边长的正六边形， 其面积为：cm2， ∴盖柱形盒子的容积为： cm3， 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形，全等三角形的判定及其性质，正六边形的性质及其面积计算公式，解题的关键是作辅助线求各关键边的长，灵活运用所需学知识． 13. 在中，是边上的高，，则的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质等知识，根据题意，图形结合分类讨论，根据直角三角形的性质可得的度数，根据等边对等角，三角形外角的性质，平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：第一种情况，作图如下， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 第二种情况，如图所示， ∵延长线于点，， ∴， ∵是的外角，且， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或 ． 14. 如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【详解】解：延长相交于点H，设交于点O． ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：2． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是点的坐标规律探索题，考查了平行四边形的性质以及正方形的性质．注意得到规律：的坐标为，)是解题的关键．首先分别求得、、等几个点的坐标，即可得到规律，从而求得的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点， ∴的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴的坐标为，即， ∵是平行四边形对角线的交点， ∴的坐标为， 同理，的坐标为，即， 的坐标为， 的坐标为，即， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故答案为： ． 16. 如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理等知识．连接，取中点，连接，，由三角形中位线定理推出，，，，再证明，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点，连接，，交于点H． ∵，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴在中，． 故答案为： 三、解答题（共10小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先去括号，化简各二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的除法运算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 19. （1）已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． （2）先化简，再求值：，其中分别为的整数部分和小数部分． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据数轴判断，，的正负数，再根据绝对值的意义化简求解； （2）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项的方法可以化简题目中的式子，然后根据、分别为的整数部分和小数部分，可以写出、的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）根据数轴可得：， ，，， ； （2） ， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 、分别为的整数部分和小数部分， ，， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，整式的化简求值、估算无理数的大小，绝对值的化简，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20. 在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺按下列步骤完成下列作图（画图过程用虚线，画图结果用实线） （1）画格点，使是等腰三角形； （2）将向上平移格交于点P，直接写出的长为 ． （3）在上画点，使． 【答案】（1） 如图所示， （2）1 （3）点即为所求点的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查格点与勾股定理，等腰三角形的判定和性质，图形平移的性质，相似三角形的判定和性质， （1）根据网格与勾股定理可得，延长到点，使得，由此即可求解； （2）根据图形平移的性质，可得，且，由此即可求解； （3）根据图形平移可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 根据网格特点可得，，， ∴， 延长到点，得， ∴是等腰三角形，即为所求图形； 【小问2详解】 解：根据题意，向上平移得到，且与交于点， ∴，， 根据网格的特点可得，， ∴， ∴， ∴，且，， ∴， 解得，， 故答案为：1； 【小问3详解】 解：如图所示，由（2）可知，当向上平移一格时，得，， ∴当向上平移格时，得线段，与交于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴点即为所求点的位置． 21. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 22. 如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长和平行四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质得到，，再由中点定义及即可确定，利用平行四边形的判定定理即可得证； （2）过点作，如图所示，利用平行四边形的性质，结合含的直角三角形性质求出线段长，再由勾股定理即可得到，再由平行四边形的面积公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： 在平行四边形中，，，则， ，， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得， 由（1）知平行四边形中，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、中点定义、含的直角三角形性质、勾股定理及平行四边形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 23. 在中，（），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． （3）如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 【答案】（1） 证明: ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是的中点； （2） ①证明: ∵， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的中点, ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据角推导出，由旋转可知，则，即可证明是的中点； （2）①先推导出是的中位线, 则，再由（1）可知，可推导出是等腰三角形，则，再由是的中点，即可证明； ②由①可知，即可得； （3）延长至，使，连接，能推导出是的中位线，设，，证明，可得，再由，得到，即可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知, ， ∴； 【小问3详解】 延长至，使，连接、， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 设， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 24. 《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”） 其文如下： 问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解： （1）已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长． （2）应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？ 【答案】（1）正方形边长为； （2）该正方形花圃的边长为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定与性质、菱形性质，解题关键是正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答． （1）连接，设正方形的边长为，即，根据面积计算的不同方式即可求得正方形边长； （2）设菱形两条对角线交于点，其长度分别为，，根据题意得到、的值，判定四边形为正方形，且为直角的“所容正方形”后结合（1）中得到的结论即可得到正方形花圃的边长． 【小问1详解】 解：连接，如图，设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ，，， 在中，，，， ， 即， ， ． 故“所容正方形”的边长为． 【小问2详解】 解：如图，设菱形的两条对角线交于点，且其长度分别为，， 则，，， 根据题意可得：，整理得， 若正方形为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得，，则四边形也为正方形，且这个正方形为直角三角形的“所容正方形”， 则由（1）的结论可得：正方形的边长， 正方形的边长为， 即在这个菱形场地上按要求修建的正方形花圃的边长为． 25. （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点，，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题 证明：过点作且使，连接， ∴四边形为平行四边形，则________， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 请完成证明中的两个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： （2）类比运用：如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为．若的面积为8，则以的长度为三边长的三角形的面积等于______（请直接写出答案）． 【答案】（1），，；（2）（3）6 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）过作，过作，两直线交于，连接，证明直角三角形，由勾股定理可得的长，再证名，由勾股定理得的长，根据四边形是平行四边形可得答案； （3）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形知以的长度为三边长的三角形的面积等于的面积的，即可获得答案． 【详解】解：（1）证明：过点作且使，连接， ∴四边形为平行四边形，则， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 故答案为：，，； （2）过作，过作，两直线交于，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）如下图，平移到，可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即为的中点， 又∵，为的中点， ∴为的中点， ∴为各边中线的交点， ∴的面积为面积的， 连接，可知与在一条直线上， ∴的面积是面积的， ∴的面积是， ∴以的长度为三边长的三角形的面积等于6． 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形综合问题，主要考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理等知识，结合题意正确作出辅助线是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． （1）如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； （2）如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． （3）如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）由可证()可得，由可证，可得，，可得点与点重合，点，点，点三点共线，在中，勾股定理，可求的长，由三角形中位线定理可求解； （3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，连接，当轴于点时，则，此时面积最大，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形．点，)， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， ; 故答案为：． 【小问2详解】 如图，过点作于，过点作于，连接， ，， 四边形是矩形， ， ，，， ()， ， 又， ()， ，， 又， 点与点重合， ，， ， 点，点，点三点共线， ， ， ， 设 在中，， ， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：依题意，， ，， ， 当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点时，则，此时面积最大， 连接， ， 的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $