培优讲义：立体几何中的截面问题-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024年高二培优资料—立体几何中的截面问题 【如何做截面】作出过EFG三点的截面 （作平行线并标出棱上的交点） （作延长线并标出棱上的交点） 【如何确定截面是否已经“搞定”】 （1）题目所要求的点是否都用上？ （2）你所画的线是否围成了一个封闭图形？ （3）这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 【正方体中的基本截面类型】 一、作截面 1.作出过正方体EFG三点的截面，EFG为所在棱上中点. （第1题图） （第2题图） 2.作出过正方体EFG三点的截面. 3.如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面. 【解析】如图所示，五边形即为所求截面. 4.如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为. （1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）； （2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比. 【解析】（1）延长交延长线于点，此时，延长交于点延长交延长线于点，连接，并延长交于点，连接，此时五边形就是截面 （2）当为的中点时，再由，可知，的延长线交于点，此时截面为四边形 ，，因此 二、截面图形的形状、面积及周长问题 5.已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接，则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.其中因为，，， 所以，则，所以，又，所以，所以， 则，显然，则，所以. 故选：C 6.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 先确定临界值点，当，即为的中点时，截面交于，则界面为等腰梯形，故②正确； 对①当时，即移动到位置时，截面交线段于，所以截面为四边形，故①正确； 对③，当时，在的位置，截面交的延长线于，延长交在的延长线于点， 则，由，则，，又有， 所以，又，所以，故③正确； 对④，，点移动到位置，从图上看，截面为五边形，故④错误；共个正确， 故选：C 7.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（    ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【答案】C 【解析】当时，如下图1，是四边形，故A正确； 当时，如下图2，为等腰梯形，B正确： 当时，如下图3，是五边形，C错误； 当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确. 故选：C 8.在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， .故选：C. 9.如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，    正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径， 要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点， 连接，则， 所以， 此时截面圆的半径， 此时，截面面积的最小值. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二培优资料—立体几何中的截面问题 【如何做截面】作出过EFG三点的截面 （作平行线并标出棱上的交点） （作延长线并标出棱上的交点） 【如何确定截面是否已经“搞定”】 （1）题目所要求的点是否都用上？ （2）你所画的线是否围成了一个封闭图形？ （3）这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？ 【正方体中的基本截面类型】 一、作截面 1.作出过正方体EFG三点的截面，EFG为所在棱上中点. （第1题图） （第2题图） 2.作出过正方体EFG三点的截面. 3.如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面. 4.如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为. （1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）； （2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比. 二、截面图形的形状、面积及周长问题 5.已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 7.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（    ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 8.在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 9.如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$