3.3 幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 1 一、幂函数的定义 (1) 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p=___； (2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=___； (3) 如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=___； (4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=______； (5) 如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v=_____； w a2 b3 观察： (1)~(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？ x α 底数 指数 幂 0 0 一、幂函数的定义 幂函数的定义： 一般地，函数y=x α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2) 已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值. (3) 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝____. B 16 0 0 二、幂函数的图象与性质 思考： 结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？ ①定义域；②函数图象；③值域；④单调性；⑤奇偶性. 0 0 二、幂函数的图象与性质 问题1 对于这5个幂函数，y=x，y=x2和 y=x-1的图象是我们熟悉的，如何画出y=x3 和 的图象？   定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x3                 R [0,+∞) R [0,+∞) 奇函数 非奇非偶函数 [0,＋∞)上单调递增 增函数 0 0 二、幂函数的图象与性质 问题2 你能在同一坐标系中画出函数 y=x，y=x2，y=x-1，y=x3和 的图象吗？ (1) 所有幂函数在(0,+∞)上都有定义，因此在 第一象限内都有图象，图象恒过(1,1)； (2) 奇函数 y=x，y=x3，y=x-1 偶函数 y=x2 (3) y=x α (x>0) ① α越小，图象(x>1)越靠近x轴； ② α>0时，函数单调递增； ③ α>1时，函数图象下凸； α<0时，函数单调递减. 0<α<1时，函数图象上凸. 0 0 二、幂函数的图象与性质 例2 (1)图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是( ) D (2)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知n取±2， 四个值，则相应C1，C2，C3，C4的n依次为( ) B 0 0 二、幂函数的图象与性质 例3 若幂函数 y＝(2a2＋a)xa 在(0，＋∞)上单调递减，则 a＝_____. －1 即 f(x1)－f(x2)＜0，所以 f(x1)＜f(x2)，所以函数 f(x)在[0，＋∞)上为增函数. 0 0 二、幂函数的图象与性质 < > 0 0 三、课堂小结 (1) 所有幂函数在(0,+∞)上都有定义，因此在 第一象限内都有图象，图象恒过(1,1)； (2) 奇函数 y=x，y=x3，y=x-1 偶函数 y=x2 (3) y=x α (x>0) ① α越小，图象(x>1)越靠近x轴； ② α>0时，函数单调递增； ③ α>1时，函数图象下凸； α<0时，函数单调递减. 0<α<1时，函数图象上凸. 定义：一般地，函数y=x α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 0 0 谢谢大家！ 11 =t -1 所以m＝－3或1，n＝. 例1 (1)在函数y=，y=2x2，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为( ) A. 0 　　 B. 1　　 C. 2 　　 D. 3 解：由题意得 解得或 对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，，-1时的函数图象与性质. A.，3，－1 B.－1，3， C.，－1，3 D.－1，，3 ± A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2，2， D.2，，－2，－ ＝. 因为0≤x1＜x2，＜0， 例4(课本P91例) 证明幂函数f(x)=是增函数. 证明：设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(－)·() 例5 (课本P91 练习2)利用幂函数的性质，比较下列各题中 两个值的大小： (1) (-1.5)3 ____ (-1.4)3； (2) ____ . $$