6.3 对数函数13题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 6.3 对数函数13题型分类 知识点1 对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 注：（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点2 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 注：关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点3 底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 注：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点4 反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 注：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． （一） 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 题型1：对数函数定义的判断 1-1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．（，） D． 1-2．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 题型2：利用对数函数的定义求参数 2-1．（2024高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 2-2．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 2-3．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 题型3：求对数函数的表达式 3-1．（2024高一上·上海浦东新·期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 3-2．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习），当；，则 3-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知对数函数过点，则的解析式为 . （二） 对数型函数过定点问题：令真数为1求解. 题型4：对数型函数过定点问题 4-1．（2024高一上·新疆塔城·期末）函数（，且）的图象恒过点 ． 4-2．（2024高一上·辽宁营口·阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ． 4-3．（2024高三上·四川成都·阶段练习）函数（且）的图象恒过点 ． （三） “数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题． 在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题． 题型5：对数函数的图象问题 5-1．（2024高一·全国·课后作业）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 5-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·湖南益阳·期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   5-5．（2024·山东）已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是 A．， B．， C．， D．， 5-6．（2024高一下·云南保山·期末）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   （四） 1.与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 2.求对数型函数值域(最值)的方法 对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解． 题型6：对数函数的定义域 6-1．（2024高一上·湖北黄冈·期末）函数的定义域为 . 6-2．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 6-3．（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）求函数的定义域 . 题型7：对数函数的值域与最值 7-1．（2024高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为 ． 7-2．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 7-3．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 . 7-4．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． （五） 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 题型8：对数函数的单调性及其应用 8-1．（2024高一上·上海长宁·期末）若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是 ． 8-2．（2024高三上·云南昆明·开学考试）设函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8-4．（2024高一上·江西上饶·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 8-5．（2024高一·上海·专题练习）已知函数． (1)解不等式； (2)求函数的单调递增区间． （六） 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 题型9：比较指数幂的大小 9-1．（2024高一上·河南南阳·期末）三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024高二上·浙江·开学考试）已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高一上·福建漳州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． （七） 对数不等式的四种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logaf(x)<logag(x)的不等式．①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (4)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 题型10：解对数型不等式 10-1．（2024高一·江苏·专题练习）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10-2．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 . 10-3．（2024高一·全国·课后作业）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为 ． 10-4．（2024高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 10-5．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . （八） 判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。 题型11：对数函数的奇偶性及应用 11-1．（2024高一·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 11-2．（2024高二下·山东德州·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11-3．（2024高一上·全国·课后作业） 是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型12：对数函数性质的综合应用 12-1．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)设，若，求的取值范围. 12-2．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）已知是偶函数， (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 12-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数， (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)记函数，问：是否存在实数使得函数为偶函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （九） 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域． 题型13：反函数 13-1．（2024高一上·浙江台州·期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 13-2．（2024高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数与函数互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 13-3．（2024高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 一、单选题 1．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的反函数，则（    ） A．1 B．e C． D． 2．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．（2024高一下·河北衡水·开学考试）已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（    ） A．定义在上的严格增函数 B．定义在上的严格减函数 C．定义在上的严格增函数 D．定义在上的严格减函数 5．（2024高一上·云南大理·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·广东广州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一上·贵州·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高一上·浙江嘉兴·期中）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·山东淄博·期末）在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·山东菏泽·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 11．（2024高一上·江西·阶段练习）函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高三上·重庆·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·辽宁丹东·期末）已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二下·重庆北碚·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   17．（2024高三上·天津南开·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二上·湖北武汉·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024高三上·河北张家口·阶段练习）函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 21．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 22．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 23．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则 24．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的值域为 D．图象关于点中心对称 三、填空题 25．（2024高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 26．（2024高一上·全国·课后作业）若（a＞0，且a≠1），则a的取值范围是 ． 27．（2024高一上·全国·课后作业）使成立的实数x的集合是 . 28．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 29．（2024高一上·北京东城·期中）函数为对数函数，则 ． 30．（2024高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝ . 31．（2024高一上·全国·课后作业）函数（且）恒过定点 . 32．（2024高一上·云南红河·期末）已知（且），则实数的取值范围为 . 33．（2024高一上·全国·课后作业）若函数（其中a为常数，且）满足，则的解集是 . 34．（2024高一下·湖南·期中）幂函数的图象过点，则函数恒过定点 . 35．（2024高一上·吉林长春·期中）已知函数（其中m，， 且）的图象恒过定点，则 ． 36．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 37．（2024高一下·贵州黔东南·阶段练习）函数（且）的图象必经过点 . 38．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，则关于的不等式的解集为 ． 39．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 . 40．（2024高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 四、解答题 41．（2024高一下·河北石家庄·期中）函数的定义域为. (1)设，求t的取值范围； (2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值 42．（2024高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 43．（2024高一下·云南迪庆·期末）已知函数 (1)若，求函数的定义域； (2)若函数是奇函数，求的值 44．（2024高一上·全国·课后作业）若，求实数x的取值范围. 45．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值; (2)判断在区间上的单调性，并证明; (3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 46．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. (1)求实数的值； (2)将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，请写出函数的表达式； (3)解不等式. 47．（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图像关于轴对称． (1)求的值； (2)若函数，，求的最大值． 48．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)求不等式的解集． 49．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知函数． (1)求的反函数； (2)若函数，当时，，求a的取值范围． 50．（2024高一·山东临沂·期末）设函数，且，． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域． 51．（2024高二下·山东日照·期末）已知函数是偶函数． (1)求k的值； (2)若方程有解，求实数m的取值范围． 52．（2024高一上·上海徐汇·期末）设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 河北省邢台市五岳联盟2024届高三上学期9月月考数学试题）已知函数，. (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 6.3 对数函数13题型分类 知识点1 对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 注：（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点2 对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 注：关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点3 底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 注：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点4 反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 注：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． （一） 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 题型1：对数函数定义的判断 1-1．（2024高一·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C．（，） D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，即可判断选项. 【详解】对于A，真数为，而不是，故A不是对数函数； 对于B，底数为常数，且，真数为，且函数系数为1，故B是对数函数； 对于C，真数为常数，而不是，故C不是对数函数； 对于D，真数为，而不是，故D不是对数函数． 故选：B． 1-2．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 1-3．（2024高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 题型2：利用对数函数的定义求参数 2-1．（2024高二下·北京东城·期末）若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解. 【详解】解：由已知得，所以，解得：， 故选：A． 2-2．（2024高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 2-3．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可. 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 题型3：求对数函数的表达式 3-1．（2024高一上·上海浦东新·期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为. 故答案为：. 3-2．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习），当；，则 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据对数函数的性质写出一个满足要求的函数即可. 【详解】对于且定义域为， 则，x、y为正数， 满足，，显然满足条件. 故答案为：（答案不唯一） 3-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知对数函数过点，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法，设出函数方程，把点代入求解即可. 【详解】设，结合已知有， ∴，又且， ∴，则， 故答案为：. （二） 对数型函数过定点问题：令真数为1求解. 题型4：对数型函数过定点问题 4-1．（2024高一上·新疆塔城·期末）函数（，且）的图象恒过点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出定点坐标. 【详解】令，解得，此时， 故（，且）的图象恒过点. 故答案为： 4-2．（2024高一上·辽宁营口·阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】令真数解得，求出，即可求出函数所过定点. 【详解】令得， 又， 所以函数过定点 即的坐标为 故答案为： 4-3．（2024高三上·四川成都·阶段练习）函数（且）的图象恒过点 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 可得，所以函数恒过定点. 故答案为：. （三） “数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题． 在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题． 题型5：对数函数的图象问题 5-1．（2024高一·全国·课后作业）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 5-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象判断函数单调性，可判断a的范围，结合特殊值的函数值可判断c的范围，即得答案. 【详解】由函数图象可知函数为单调递减函数，结合可知， 当时，， 当时，，故， 故选：D 5-3．（2024高一上·湖南益阳·期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项. 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 5-4．（2024·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可. 【详解】的定义域为且， 因为，所以为奇函数，排除A，D， 当时，，B错误， 故选：C. 5-5．（2024·山东）已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出， 故得， 故选：D． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 5-6．（2024高一下·云南保山·期末）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案. 【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误； 故选：B （四） 1.与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证． 2.求对数型函数值域(最值)的方法 对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数． (2)求f(x)的定义域． (3)求u的取值范围． (4)利用y＝logau的单调性求解． 题型6：对数函数的定义域 6-1．（2024高一上·湖北黄冈·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由解析式可得，求解即可. 【详解】由题意可得,故，即. 故函数的定义域为. 故答案为:. 6-2．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 6-3．（2024高一下·云南曲靖·阶段练习）求函数的定义域 . 【答案】 【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】要使函数有意义，则，即， 解得或，所以函数的定义域为. 故答案为： 题型7：对数函数的值域与最值 7-1．（2024高一下·安徽合肥·期末）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 7-2．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域. 【详解】∵，∴，即， 即，则函数的值域为. 故答案为： 7-3．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合存在最大值即可求解 【详解】当时，函数不存在最大值，故， 当时，在区间上单调递增， 所以此时； 当时，在区间上单调递减，所以此时， 若函数存在最大值，则，解得，又， 所以的取值范围为 故答案为： 7-4．（2024高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解. 【详解】函数最小值为0， 设， 所以只要满足恒成立， 函数对称轴为，且， ①，即时，满足题意； ②，即时， 需满足， 即，得， 此时实数的取值范围是. 综上，实数的取值范围是 故答案为：. （五） 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 题型8：对数函数的单调性及其应用 8-1．（2024高一上·上海长宁·期末）若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分析每一段函数的单调性，再比较分段点处函数值的大小关系进行求解. 【详解】因为函数是上的严格减函数， 所以，即，解得. 故答案为：. 8-2．（2024高三上·云南昆明·开学考试）设函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性列出不等式组解出即可. 【详解】由函数，得， 即函数的定义域为， 令， 由函数的对称轴为：，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以当函数在上单调递增时， 所以根据复合函数的单调性可知：， 解得， 故选：D. 8-3．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与二次函数的单调性及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由条件可得得. 设，易知其图象的对称轴为. ∵函数为减函数，∴要求函数的单调递增区间， 即求函数在上的单调递减区间， 由二次函数性质可得：函数在上的单调递减区间为， 故选：D. 8-4．（2024高一上·江西上饶·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围. 【详解】由题设，令，而为增函数， ∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零， ，可得， ∴的取值范围是. 故答案为： 8-5．（2024高一·上海·专题练习）已知函数． (1)解不等式； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式问题中可将看作整体，然后解关于的一元二次不等式，求出的范围后，再求的取值范围. （2）复合函数的单调性问题：同增异减，令，在上单调递增，所以求函数的单调递增区间时，只需求的单调递增区间. 【详解】（1）由 可得 ， 即， 所以或， 解得或， 因此原不等式的解集为． （2）函数的定义域为， 又， 令，则， 因为在上单调递增，若求原函数的单调递增区间， 则需满足单调递增， 所以，即：得， 可得函数的单调递增区间为：． （六） 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 题型9：比较指数幂的大小 9-1．（2024高一上·河南南阳·期末）三个实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据分数指数幂运算化简，判断的范围，即可得答案. 【详解】由于， ， 故， 故选：B 9-2．（2024高二上·浙江·开学考试）已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x，y，z的取自范围，即可得出结论. 【详解】根据题意可得，， 利用对数函数单调性可知，即； 又，可得； 而，即； 综上可得. 故选：C 9-3．（2024高一上·福建漳州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式以及对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意显然均大于0， 所以， 又因为在上单调递增，所以有， 所以，所以， 同理可得， 又因为在上单调递增，所以有， 所以，所以， 综上所述：. 故选：A. （七） 对数不等式的四种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logaf(x)<logag(x)的不等式．①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (4)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 题型10：解对数型不等式 10-1．（2024高一·江苏·专题练习）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 【详解】因为在上递减，， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 10-2．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 . 【答案】 【分析】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 所以当时，， 所以， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 10-3．（2024高一·全国·课后作业）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结合对数函数的性质计算可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以在上单调递减，又，则， 所以时，时，时， 所以不等式等价于或， 即或， 即或， 解得或，即不等式的解集为. 故答案为： 10-4．（2024高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 【答案】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 故为偶函数， 当时，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 不等式，等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 10-5．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】由已知可得在上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为，则可得，再对数的性质要求得结果 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减， 所以在上递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以由，得， 所以， 所以或， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. （八） 判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。 题型11：对数函数的奇偶性及应用 11-1．（2024高一·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)偶函数 【分析】（1）根据对数型函数真数大于0，即可求解， （2）根据奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）由题意可知：， 故函数的定义域为， （2）由（1）知定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数， 11-2．（2024高二下·山东德州·期末）“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】为奇函数， 此式子对于定义域内的任意皆成立，必有 则 故“”是“为奇函数”的充分不必要条件,正确. 故选： 11-3．（2024高一上·全国·课后作业） 是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性列式，结合对数运算律求参，最后代入检验即可判断. 【详解】因为是奇函数,所以 所以 所以所以或; 当时, 无意义不成立; 当时, ,是奇函数成立; 故选:A. 题型12：对数函数性质的综合应用 12-1．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)设，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，然后求函数值即可； （2）将，，转化为，根据的单调性求最值得到，，然后利用换元法得到，最后求最值即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以，即， 即，所以，解得，， 当，时，，令，解得或，定义域不符合要求，故不成立； 当，时，，无意义，不成立； 当，时，，定义域为，不符合要求； 所以，，，满足要求； 则. （2）因为，，，即，即， 因为，在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，，即， 令，则，所以， ，，即，， 所以， 由题意得，当，即时，取得最大值，最大值为2，所以. 12-2．（2024高一上·广东汕尾·阶段练习）已知是偶函数， (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求的值； （2）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，设，求出其最小值，从而得出结果. 【详解】（1）的定义域是，因为是偶函数，所以恒成立， 所以， 即， 所以恒成立， 所以； （2），， 因为是增函数，是减函数，所以是增函数， 所以不等式等价于， 所以在上恒成立， 设，， 因为是增函数，是增函数， 所以是增函数， 所以当时，， 所以. 12-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知函数， (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)记函数，问：是否存在实数使得函数为偶函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在区间上单调递减，证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用单调性的定义，关键是作差变形； （2）假设存在这样的使得函数为偶函数，则恒成立，化简可得结论； 【详解】（1）可知在区间上的单调递减．证明如下： 任取，则 ， ， ， 在区间上的单调递减； （2），定义域为， 假设存在这样的使得函数为偶函数，则恒成立， 即，化简得， 当时可使函数为偶函数． （九） 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域． 题型13：反函数 13-1．（2024高一上·浙江台州·期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反函数的性质，解得直线的位置关系，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作图如下：    由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且与垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 13-2．（2024高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数与函数互为反函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，解方程，然后根据反函数的性质即可求解． 【详解】令，解得， 因为函数与函数互为反函数， 所以， 故选：A． 13-3．（2024高二上·天津和平·阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用反函数的性质直接求解即可. 【详解】因为直线与直线关于直线对称，显然， 所以函数与函数互为反函数， 又因为的反函数为， 所以，即， 故选：A 一、单选题 1．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数的反函数，则（    ） A．1 B．e C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数特性直接计算求解即可. 【详解】令，解得， 即. 故选：D 2．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意得： ，解得， 定义域为. 故选：A. 3．（2024高一下·河北衡水·开学考试）已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性先求出 的解析式，再根据单调性和一元二次不等式的解法求解不等式 . 【详解】由于 与 关于 对称，所以 是 的反函数，即 ， ，原不等式即为 ， 令 ，则 ，得 或（舍） ， ； 故选：B. 4．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（    ） A．定义在上的严格增函数 B．定义在上的严格减函数 C．定义在上的严格增函数 D．定义在上的严格减函数 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数与其反函数单调性相同可得出结论. 【详解】因为是定义在上的严格减函数，若，， 则当时，， 因为函数在定义域上的单调性与其反函数在定义域上的单调性相同， 故函数是定义在上的严格减函数. 故选：B. 5．（2024高一上·云南大理·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域. 【详解】由知，，值域是． 故选：C 6．（2024高一下·广东广州·期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域得到不等式组，求出参数的取值范围. 【详解】在上单调递减，故在上单调递增，且在成立， 故要满足且， 解得. 故选：C 7．（2024高一上·贵州·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数和指数函数的单调性，分别与0和1比较即可得解． 【详解】，即；；， ∴. 故选：A. 8．（2024高一上·浙江嘉兴·期中）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 9．（2024高一上·山东淄博·期末）在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可． 【详解】当时，函数在上单调递减； 函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误； 当时，函数在上单调递增； 函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误． 故选：A． 10．（2024高一上·山东菏泽·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解． 【详解】指数函数在R上为减函数，则，即， 对数函数在上为增函数，则， 对数函数在上为增函数，则．因此. 故选：B． 11．（2024高一上·江西·阶段练习）函数（且）恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的性质即可得解． 【详解】由于（且）， 则函数（且）恒过定点． 故选：D． 12．（2024·全国）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 13．（2024高三上·重庆·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的规则和对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为，， 所以． 故选：D 14．（2024高一上·辽宁丹东·期末）已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数单调性的特征，求实数的取值范围. 【详解】当时，单调递增且， 所以当时，也单调递增， 则解得，所以. 故选：B. 15．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域和单调性及二次函数的单调性求解即可． 【详解】由函数在上为减函数，且函数在上为增函数， 则在上为减函数，且， 则有，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：A． 16．（2024高二下·重庆北碚·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值判断即可. 【详解】由已知得函数的定义域为， ∵    ， ∴为奇函数， 令，则， 其中   ， 故，排除, 令，， 其中，故，排除, 故选：. 17．（2024高三上·天津南开·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可. 【详解】由，则， 由，，则， 由，则. 则. 故选：C 18．（2024高二上·湖北武汉·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由指数函数和对数函数的单调性分别限定的范围即可求出结果. 【详解】由在上单调递减可知，， 即； 由对数函数在上单调递增可知，，即； 又可知，即； 所以可得. 故选：A 19．（2024高三上·河北张家口·阶段练习）函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域和复合函数的单调性求单调区间即可. 【详解】由题意得，解得， 设，即求函数在中的减区间，即． 故选：C． 20．（2024高一上·江苏镇江·期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是. 故选：C 二、多选题 21．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可. 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 22．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据对数函数的定义知，形如且函数符合要求可得解. 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误. 故选：AB 23．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则 【答案】AC 【分析】结合对数函数的单调性和二次函数的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：值域为，说明函数能取到所有大于0的数， 当时，不满足； 当时，，解得：，选项正确； 选项B：当定义域为时，函数恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得：， 综上，，选项错误； 选项C：若最大值为0，即的最小值为， 故有，解得：，选项正确； 选项D：若最小值为1，即的最大值为， 则有，无解，选项错误； 故选：AC. 24．（2024高二上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的值域为 D．图象关于点中心对称 【答案】BC 【分析】对于A，直接由解析式求解定义域即可，对于B，根据复合函数单调性的判断方法判断即可，对于C，由函数的单调性求解其值域，对于D，根据函数的定义域判断. 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，所以A错误； 对于B，，令，可得该函数在单调递减， 又由于函数在定义域内单调递增，所以复合函数在单调递减，所以B正确； 对于C，，令，该函数在单调递减，所以， 所以，所以函数的值域为，所以C正确； 对于D，因为函数的定义域为，所以图象不可能关于点中心对称，所以D错误； 故选：BC. 三、填空题 25．（2024高一·全国·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【分析】先求函数的定义域，再判断即可. 【详解】由， 函数的定义域为，关于原点对称， 又 所以函数是奇函数， 故答案为：奇函数. 26．（2024高一上·全国·课后作业）若（a＞0，且a≠1），则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先通过求出，再利用可得答案. 【详解】由知， 故函数在上是增函数． 所以由知， 故a的取值范围是. 故答案为： 27．（2024高一上·全国·课后作业）使成立的实数x的集合是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性结合条件即得. 【详解】由，可得, 所以，即， 所以 故答案为： 28．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）若对数函数且）的图象经过点，则实数 . 【答案】2 【分析】直接将点代入计算即可. 【详解】将点代入得，解得 故答案为：2. 29．（2024高一上·北京东城·期中）函数为对数函数，则 ． 【答案】4 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 故答案为：4. 30．（2024高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 31．（2024高一上·全国·课后作业）函数（且）恒过定点 . 【答案】 【分析】令，即可得出函数（且）恒过的定点. 【详解】令得，此时， 所以函数恒过定点. 故答案为：. 32．（2024高一上·云南红河·期末）已知（且），则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况求解即可 【详解】①当时，，得； ②当时，，得. 综上所述，的取值范围为， 故答案为： 33．（2024高一上·全国·课后作业）若函数（其中a为常数，且）满足，则的解集是 . 【答案】 【分析】由对数函数的单调性判定a的范围解不等式即可. 【详解】∵，∴是减函数，即， 则由可得，解之得. 故答案为：. 34．（2024高一下·湖南·期中）幂函数的图象过点，则函数恒过定点 . 【答案】 【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 即，当时，， 所以函数恒过定点. 故答案为： 35．（2024高一上·吉林长春·期中）已知函数（其中m，， 且）的图象恒过定点，则 ． 【答案】 【分析】根据所过定点求得正确答案. 【详解】由题意，函数恒过定点， 可得，解得，，所以． 故答案为： 36．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解. 【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数， 则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 37．（2024高一下·贵州黔东南·阶段练习）函数（且）的图象必经过点 . 【答案】 【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，即可求得答案. 【详解】对于函数（且）， 令且，则，， 故函数（且）的图象必经过点， 故答案为： 38．（2024高一·全国·课堂例题）已知，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】易知，且，转化为解不等式．结合的范围进一步转化为，解不等式即得解. 【详解】易知，且，原不等式可化为，即， 两边同时平方得，即， 所以． 又，且，故， 所以，从而，解得． 故答案为： 39．（2024高一上·全国·课后作业）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】利用对数换底公式以及函数单调性即可解得不等式解集为. 【详解】易知， 由可得； 又函数在为单调递减， 所以可得，解得. 故答案为： 40．（2024高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调性即可求解. 【详解】任取且， 则， 因为，所以，，即， 所以在上单调递增，的单调递增区间是， 故答案为：. 四、解答题 41．（2024高一下·河北石家庄·期中）函数的定义域为. (1)设，求t的取值范围； (2)求函数的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值 【答案】(1) (2)的最大值为12，此时；最小值为，此时. 【分析】（1）根据对数函数的单调性求出的取值范围； （2）在（1）的基础上，化简得到，求出最值和对应的x的值. 【详解】（1）在单调递增， 故； （2）， 令，， 则函数变形为， 当时，，此时，解得， 当时，，此时，解得 42．（2024高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，且取最小值时x的值为. 【分析】（1）由求出，可得的解析式； （2）化简得，再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出结果. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以，此时. 所以的最小值为，且取最小值时x的值为. 43．（2024高一下·云南迪庆·期末）已知函数 (1)若，求函数的定义域； (2)若函数是奇函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，直接列出不等式求解，即可得到结果； （2）根据题意，由奇函数的定义，列出式子，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可知，若，则，则有，解得或， 即函数的定义域为. （2）若函数是奇函数，则有，即， 化简可得，解得，则， 当时，，不满足要求； 当时，，也满足要求； 所以. 44．（2024高一上·全国·课后作业）若，求实数x的取值范围. 【答案】 【分析】把不等式两边化为同底数的形式，再利用函数的单调性列出条件，求解即可. 【详解】因为， 所以不等式化为 又在上是增函数， ∴， 解得， 即x的取值范围是. 45．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值; (2)判断在区间上的单调性，并证明; (3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)-1 (2)答案见解析，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，计算出或1，检验后得到答案； （2）利用复合函数同增异减判断函数的单调性； （3）转化为在上恒成立，令，结合（2）得到其单调性，进而求出，从而求出实数的取值范围. 【详解】（1）∵是奇函数， ∴在其定义域内恒成立， 即，故， ∴恒成立，∴或1， 当时，，不满足真数大于0，舍去， 当时，令，此时或， 所以. （2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，理由如下： 由（1）得令， 则内函数在上为减函数， 而当时，外函数在上是增函数， 当时，外函数在上是减函数， 由复合函数内外函数“同增异减”的性质得： ∴当时，在上是减函数；当时，在上是增函数. （3）对于上的每一个的值，不等式恒成立， 则在上恒成立， 令， 由（2）知，时，在上是增函数， 又单调递减，故在上是单调递增函数， 故， 所以，即的取值范围是 46．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. (1)求实数的值； (2)将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，请写出函数的表达式； (3)解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数函数恒过定点在对数函数上，列式求解即可； （2）根据平移变换法则即可求解新函数解析式； （3）利用对数函数的单调性解对数函数不等式即可. 【详解】（1）因为函数的图像恒过定点， 且点又在函数的图像上， 所以，所以，又，所以； （2）由（1）知，将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍， 得，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 得到函数的图像，则； （3）即，因为函数在上单调递增， 所以，解得，所以不等式的解集为. 47．（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的图像关于轴对称． (1)求的值； (2)若函数，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质，结合对数运算即可得解； （2）利用换元法，结合指数函数与二次函数的性质，分类讨论求最值即可. 【详解】（1）因为，则其定义域为， 又的图像关于轴对称，所以恒成立， 即恒成立， 所以， 由于的任意性，所以，故． （2）由（1）知：，，， 所以， 令，因为，所以， 则问题转化为求的最大值， 又因为函数的图象开口向上，对称轴，所以分两种讨论， 当，即时，， 当，即时，， 综上所求． 48．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，即，又，解得，则可得的解析式， （2）由函数的单调性定义，即可得出答案． （3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可结合对数函数的单调性求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，所以， 又因为，解得，所以， ，故当，时，是奇函数， 故 （2）设， 则， 因为， 所以，，， 所以， 即，所以在上为增函数． （3）由于是上的函数， 所以，解得， 由为奇函数以及得， 又在上为增函数．所以， 故，解得， 故 ， 因此解集为 49．（2024高三上·辽宁·阶段练习）已知函数． (1)求的反函数； (2)若函数，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由反函数的概念求解， （2）由换元法与对数函数性质求值域，再分类讨论解不等式． 【详解】（1）令，所以， 所以，解得， 所以的反函数，． （2）因为，所以． 设，所以， 所以． 设，则在区间上单调递减，值域为， 当时，，即， 所以，解得； 当时，，即， 所以，解得（舍）． 综上a的取值范围为． 50．（2024高一·山东临沂·期末）设函数，且，． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程组直接求解； （2）利用复合函数的值域求解方法即可求解. 【详解】（1）由得 所以即解得：． 所以的解析式为： （2）由（1）知. 设，因为，所以. 令，所以当时，， 则，故的值域为． 51．（2024高二下·山东日照·期末）已知函数是偶函数． (1)求k的值； (2)若方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质推得恒成立，即可得出； （2）根据对数运算性质可得出，换元，根据基本不等式即可得出，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为为R上的偶函数，所以， 即，即恒成立， 所以，解得， 经检验，满足题意，故. （2）由（1）知，. 令，则，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以. 因为方程有解，即有解， 所以，即. 52．（2024高一上·上海徐汇·期末）设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇偶性的定义，再解方程得出a的值； （2）由，再解对数方程得出交点坐标. 【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的任意都成立， 所以，即， 整理得，求解并验证得或（舍）. （2）由得，整理得，解得，则交点纵坐标y = -2， 即与两个函数图像的交点坐标为.. 53．（河北省邢台市五岳联盟2024届高三上学期9月月考数学试题）已知函数，. (1)若的值域为，求满足条件的整数的值； (2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解； （2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，，，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以函数的值域包含， ， 当时，，其值域为，不满足条件， 当时，令， 则函数的对称轴为， 当时，， 即的值域为， 所以，解得， 当时，，则函数的值域为， 即函数的值域为，不满足条件， 综上所述，，所以满足条件的整数的值为； （2）因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 即，解得或， 由函数不是常数函数，所以， 经检验，符合题意，所以， 即， 由，，， 得，，， 只要即可， 当时，， 所以函数， 则， ， 令，因为，所以， 函数， 当时，， 则时，恒成立，符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，则时，恒成立，符合题意； 当，即时， 则时，， 所以，不等式组无解； 当，即时， 则时，恒成立，符合题意； 当，即时， 则时，， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$