1.2.5 有理数的大小比较　课件　 2024—2025学年人教版数学七年级上册

第一章　有理数 1.2.5　有理数的大小比较 国家中小学课程资源 同学们好！我是北京市陈经纶中学嘉铭分校数学教师胡冰. 这节课我们一起学习有理数的大小比较. 两个正数 正数和 0 两个负数 负数和 0 负数和正数 7 0 5 2 ＞ ＜ 4 ＜ 　　引入负数之后，任意两个有理数之间怎样比较大小呢？ 我们会比较怎样的两个 数的大小？ 还需研究哪些数的大小比较呢？ 新课导入 国家中小学课程资源 引入负数之后，数的范围扩大到了有理数，任意两个有理数之间怎样比较大小呢？ 我们会比较怎样的两个有理数的大小？ 例如5和2，我们已经知道5>2， 1/2和7，1/2<7，0和4，0<4，也就是说我们会比较两个正数以及正数和0的大小.我们还需要探究哪些有理数的大小？这两个数中至少有一个数是负数，有几种情况呢？两个数都是负数，例如-4和-3；两个数中一个是负数，一个是0，例如-2和0，两个数中一个是负数，一个是正数，例如-1和1. 它们之间怎样比较大小呢？ 2 　　问题 1：图中给出了未来一星期的天气预报，从图中你读 出了哪些信息？ 未来一星期每天的最低气温 未来一星期每天的最高气温 国家中小学课程资源 首先，我们一起来看这幅图，图中给出了未来一星期的天气预报，从图中你读出了哪些信息？同学们从图中可以看到，未来一星期每天的天气情况，如星期一是晴天，星期四有可能会下雨，还能看到未来一星期每天的最低气温，如星期一的最低气温是0摄氏度，及未来一星期每天的最高气温, 如星期一的最高气温为8摄氏度. 而且能知道每天的最低气温、最高气温都不一样，气温在变化，共有14个气温、气温有高有低等等. 　　问题 2：你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺 序排列吗？ －4 ºC －3 ºC －2 ºC －1 ºC 0 ºC 1 ºC 2 ºC 　　这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 ， ， ， ， ， ， . 国家中小学课程资源 你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？最低气温最低的是哪一天？对，星期五，这一天的最低气温是-4摄氏度，也就是零下4摄氏度. 比这个温度略高的是？零下3摄氏度，出现在星期六，-3摄氏度，依次寻找. 结合生活经验，将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列应该是-4℃，-3℃，-2℃，-1℃，0℃，1℃，2℃. 从中，我们得到数为-4，-3，-2，-1，0，1，2. 　　问题 2：你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺 序排列吗？ 　　这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 －4 ºC －3 ºC －2 ºC －1 ºC 0 ºC 1 ºC 2 ºC ， ， ， ， ， ， . 国家中小学课程资源 从低到高的顺序排列的温度，在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的．在前面的学习中，我们由温度计抽象建立了数轴. －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 －4 ºC，－3 ºC，－2 ºC，－1 ºC， 0 ºC， 1 ºC， 2 ºC. 　　问题 3：如图，在水平的数轴上表示这些数，它们的排列 顺序是怎样的？ 新知探究 国家中小学课程资源 把我们得到数为-4，-3，-2，-1，0，1，2这七个数排列在数轴上，那在水平的数轴上表示这些数，它们的排列顺序是怎样的呢？请同学们画出数轴，在数轴上标出这些数. 　　问题 3：如图，在水平的数轴上表示这些数，它们的排列 顺序是怎样的？ 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 －4 ºC，－3 ºC，－2 ºC，－1 ºC， 0 ºC， 1 ºC， 2 ºC. －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 国家中小学课程资源 它们的排列顺序是从左到右的. 　　在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右 的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．可 知，－4＜－3，－3＜－2，－2＜0，－1＜1，…. 　　问题 3：如图，在水平的数轴上表示这些数，它们的排列 顺序是怎样的？ 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 －4 ºC，－3 ºC，－2 ºC，－1 ºC， 0 ºC， 1 ºC， 2 ºC. －4 －3 －2 －1 1 0 2 －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 国家中小学课程资源 可以看到这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列，这些数对应的点在水平的数轴上的排列顺序是从左到右的． 因此，我们在数学中规定：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．由这个规定可知，-4<-3，-3<-2，-2<0，-1<1，….这与我们人体感知到的温度高低一致. 　　在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左 到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边 的数． 　　你在小学学过的正数及 0 的 大小比较符合这个规定吗？ 国家中小学课程资源 想一想：你在小学学习的正数和0的大小比较符合这个规定吗？ 正数及 0 的大小比较符合这个规定． 未来一星期每天的最高气温 　　在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右 的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 0 5 4 7 8 0 1 2 3 9 6 5 4 7 8 3 9 6 6 6 国家中小学课程资源 我们再来看这七天中最高气温都在零摄氏度以上，其中的数满足3<4<5<6<7<8<9，依次把这些数表示在水平的数轴上，表示它们的点按从左到右的顺序排列，即左边的数小于右边的数. 也就是说正数的大小比较符合这个规定！ 那0呢？0比这些正数都小，表示0的点在这些点的左边，因此正数和0的大小比较也符合这个规定！ 于是比较两个有理数的大小可以根据数轴上表示数的点的位置来解决. －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 0 　　问题 4：如图，对于正数、0 和负数这三类数，它们之间 有什么大小关系？ 归纳：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数. 国家中小学课程资源 对于正数，0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？ 结合数轴来考虑. 在数轴上表示正数的点都在数轴的正半轴上，也就是说，在水平数轴上，表示正数的点都在原点的右边，所以正数都大于0； 在数轴上表示负数的点都在数轴的负半轴上，也就是说，在水平的数轴上，表示负数的点都在原点的左边，所以负数都小于0； 因此我们有： 正数大于0，0大于负数，正数大于负数. －4 －1 绝对值大的负数反而小. 　　问题 5：两个负数之间如何比较大小？ 　　 举例：比较 －4 和 －1 的大小. 　　在水平的数轴上表示 －4 的 点在表示 －1 的点的左边，因此 －4＜－1. ∣－4∣＝4，∣－1∣＝1， 4＞1，即∣－4∣＞∣－1∣， 而－4＜－1. －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 －4 －1 国家中小学课程资源 两个负数之间如何比较大小？ 如：比较-4和-1，在水平的数轴上表示-4的点在表示-1的点的左边，因此-4<-1. 我们知道-4的绝对值等于4，-1的绝对值等于1， 4>1，即-4的绝对值大于-1的绝对值，而-4<-1. 所以绝对值大的负数反而小. 再举一个例子试试……. －3 －5 绝对值大的负数反而小. 　　 举例：比较 －3 和 －5 的大小. ∣－3∣＝3，　 3＜5，即∣－3∣＜∣－5∣. ∣－5∣＝5， 　　在水平的数轴上表示 －3 的 点在表示 －5 的点的右边，因此 －3＞－5. －5 －4 －3 －2 0 －1 1 2 －5 －3 国家中小学课程资源 比较-3和-5的大小. 我们知道-3的绝对值等于3，-5的绝对值等于5， 3<5，即-3的绝对值小于-5的绝对值，在水平的数轴上表示-3的点在表示-5的点的右边，因此-3>-5. 同样有绝对值大的负数反而小这一结论. B A 怎样理解？ －5 －4 －3 －2 0 －1 1 2 a b 归纳：两个负数，绝对值大的反而小. 　　前面最低气温由低到高的 排列与你的结论一致吗？ 国家中小学课程资源 由此可以归纳为：两个负数，绝对值大的反而小. 怎样理解呢？ 数a和数b都是负数，对应的点A, B都在数轴的负半轴上，点A到原点的距离大，点B到原点的距离小，所以点A在点B的左边，因此数a小于数b. 因为点A与原点的距离大，点B与原点的距离小，所以a的绝对值比b的绝对值大，因此绝对值大的反而小. 想一想：前面最低气温由低到高的排列与你刚得到的结论一致吗？验证一下能够发现是一致的. 　　一般地， 　　(1)正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数． 　　(2)两个负数，绝对值大的反而小． 国家中小学课程资源 借助数轴我们总结了比较有理数大小的方法: 一般地，（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数.（2）两个负数，绝对值大的反而小. 有了这两条结论，任意两个有理数我们都可以比较出大小了. 　　例　比较下列各组数的大小： 　　(1) 5 和 －2； 　　(2)－3 和 －7； 　　解：(1)因为正数大于负数，所以 5＞－2. 　　(2)先求绝对值，∣－3∣＝3，∣－7∣＝7. 　　因为 3＜7，即∣－3∣＜∣－7∣，所以 －3＞－7. 例题精讲 国家中小学课程资源 我们来比较下列各组数的大小：（1）5和-2，观察可知这两个数中一个是正数一个是负数，因为正数大于负数，所以5>-2. （2）-3和-7，观察可知，这两个数都是负数. 要比较它们的大小，应先求绝对值. -3的绝对值是3，-7的绝对值是7 . 因为3<7，即-3的绝对值小于-7的绝对值，所以-3>-7，依据是，两个负数，绝对值大的反而小. 　　例　比较下列各组数的大小： 　　(3)－(－1)和 －(＋2)； 　　解：(3)先化简，－(－1)＝1，－(＋2)＝－2. 　　因为正数大于负数，所以 1＞－2， 　　即－(－1)＞－(＋2). 国家中小学课程资源 （3）-1的相反数和+2的相反数，先化简，-1的相反数是1，+2的相反数是-2，这是正数与负数比较大小，因为正数大于负数，所以1>-2，即-1的相反数大于+2的相反数. 17 　　例　比较下列各组数的大小： 　　(4)－(－0.5)和∣－1.5∣． 　　解：(4)先化简，－(－0.5)＝0.5，∣－1.5∣＝1.5. 　　因为 0.5＜1.5， 　　所以－(－0.5)＜∣－1.5∣. 异号两数比较大小，要考虑它们的正负； 同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值． 国家中小学课程资源 （4）-0.5的相反数和-1.5的绝对值，先化简，-0.5的相反数是0.5，-1.5的绝对值是1.5，这是正数与正数比较大小. 因为0.5<1.5，所以-0.5的相反数小于-1.5的绝对值. 总结归纳为在比较两个有理数的大小时，要先判断这两个数的符号，如果是异号两数比较大小，要考虑它们的正负，正数大于负数；如果是同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值. 18 　　回顾本节课所学内容，请回答以下问题： 　　(1)本节课学习了哪些内容？数轴起到了什么作用？ 　　(2)结合具体例子，说明两个负数如何比较大小？ 　　(3)如果要比较多个有理数的大小，你会怎样做？ 课堂小结 国家中小学课程资源 下面我们一起总结本节课所学习的内容，请同学们回答以下问题. 19 　　(1)本节课学习了哪些内容？数轴起到了什么作用？ 有理数的大小比较 数轴 　　在水平的数轴上表示 有理数，数学中规定：它 们从左到右的顺序，就是 从小到大的顺序，即左边 的数小于右边的数． 　　一般地， 　　(1)正数大于 0，0 大 于负数，正数大于负数； 　　(2)两个负数，绝对 值大的反而小. 国家中小学课程资源 本节课学习了有理数的大小比较，其中数轴是工具，更是基础. 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数. 利用数轴不仅可以直观比较两个有理数的大小，而且还可以归纳总结出比较有理数大小的方法：一般地，（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数.（2）两个负数，绝对值大的反而小. 这样应用结论任意两个有理数就可以比较大小了. 20 　　(2)结合具体例子，说明两个负数如何比较大小？ 举例：比较 －3 和 －5 的大小. 先求绝对值，∣－3∣＝3， 因为 3＜5，即 ∣－3∣＜∣－5∣， ∣－5∣＝5， 　　在水平的数轴上，表示 －3 的 点在表示 －5 的点的右边，因此 －3＞－5. 所以－3＞－5. －5 －3 －5 －4 －3 －2 0 －1 1 2 国家中小学课程资源 如比较－3和－5的大小，可以在数轴上表示出－3和－5，在水平的数轴上表示－3的点在表示－5的点的右边，因此－3>－5；还可以先求出绝对值，|－3|=3，|－5|=5. 因为3<5，即|－3|<|－5|，所以－3>－5. 依据是，两个负数，绝对值大的反而小. 21 多次两两比较有理数的大小； 利用数轴排序. 　　(3)如果要比较多个有理数的大小，你会怎样做？ 国家中小学课程资源 如果要比较多个有理数的大小，你会怎样做？ 可以多次两两比较有理数的大小，也就是说对一组有理数进行多次比较，每次比较涉及其中两个有理数; 也可以将多个有理数在数轴上表示出来，根据表示数的点在数轴上的排列顺序比较出多个有理数的大小. 这里推荐同学们利用数轴这一工具，采用数形结合的方法，直观比较出有理数的大小！ 22 　　教科书第 16 页，练习第 1，2，3 题． 课后任务 国家中小学课程资源 本节课的课后任务：完成教科书第16页练习第1，2，3题． 23 $$