精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

鹤岗一中2023-2024学年上学期期中考试 高一数学 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减. 【详解】由对任意，都有成立可得， 在上单调递减， 所以 ，解得， 故选:C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据自然数定义可得集合，根据交集定义可得结果. 【详解】，. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的等价条件，再结合充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】由，得， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】设， 则要使在区间上单调递增， 由复合函数单调性可得： 满足，即， 得a， 即实数a的取值范围是. 故选：D 5. 以下四个关系式：，，，中，错误的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系判断即可. 【详解】为自然数集，为有理数集. 根据元素和集合的关系可知：，，， 集合和集合之间的关系不能用“”. 故和错误. 故选：B 6. 已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，, 当时，，在上单调递减， 在上单调递增，所以在处取得最小值 当时，，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 当时，，在上单调递减， 于题意不符； 当时，，在上单调递减， 于题意不符； . 故选：C. 7. 若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】首先不等式等价于，再讨论的取值，根据解集中有2个整数，即可求解. 【详解】不等式，等价于， 当，即时，不等式的解集为， 若集合中有2个整数，则，得； 若，即时，不等式的解集为， 若集合中有2个整数，则，得； 当，即时，不等式的解集为，不成立； 所以实数m的取值范围是或. 故选：C 8. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，即，可得， ，， 所以，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 二、多选题（每题6分，24分） 9. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】CD选项是幂函数，可以直接进行判断，A选项从奇函数和偶函数的定义判断，B选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R上的增函数 【详解】，故，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数，所以排除选项AD； 因为，如图是函数图象，当时，，故，所以是奇函数，且在R上是增函数，故B正确； 因为是奇函数且在R上是增函数，故C正确. 故选：BC. 10. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减； 对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确； 对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确； 对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误； 对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误. 故选：AB. 11. 已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用定义法判断函数单调性，进而可判断CD选项. 【详解】A选项：由，，得，所以在上单调递减，A选项正确； B选项：，所以在上单调递减， C选项与D选项：由A选项得，令，，则，所以C选项正确，D选项错误； 故选：ABC. 12. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行比较大小即可. 【详解】因为， 易知， 而， 所以，且，则A正确，B错误，C正确， ，， 比较与的大小关系，，，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，20分） 13. 已知，，化简：_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 不等式的解集为________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】直接解一元二次不等式即可. 【详解】由， 解之得. 故答案为：. 15. 设函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的知识求得正确答案. 【详解】，. 故答案为： 16. 已知幂函数为非奇非偶函数，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由函数是幂函数求出的值，再对进行讨论即可. 【详解】由题意函数是幂函数，所以， 即，解得或， 当时，是偶函数，不满足题意， 当时，，其定义域为，不关于原点对称， 即是非奇非偶函数，满足题意. 故答案为：. 四、解答题 17. 定义在R上的奇函数在上的图象如图所示． （1）请在坐标系中补全函数的图象； （2）结合图象求不等式的解集． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数图象关于原点对称即可作出的图象； （2）分和观察图象可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式可化为或， 结合图象可知或， 故不等式的解集为. 18. 已知全集为，集合． （1）求； （2）求； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由交集定义可直接求解； （2）由补集定义可直接求解； （3）由建立不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，故 19. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据并集的概念运算可得结果； （2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为， （i）当，即时，，符合题意； （ii）当时，，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况. 20. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米. （1）设的长为米，试用表示矩形的面积； （2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值. 【答案】（1） （2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米. 【解析】 【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解； （2）由，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 解：设的长为米，则米， ∵，∴， ∴； 【小问2详解】 记矩形花坛的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米. 21. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式 （2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 【答案】（1） （2），增区间是，减区间是 【解析】 【详解】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0； ②当x＜0时，－x＞0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x. 综上：f(x)＝ (2)图象如图所示． 由图可知，增区间是，减区间是 22. 已知正实数，，求： （1）的取值范围； （2）的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得，以为整体解一元二次不等式即可； （2）利用基本不等式可得，以整体解一元二次不等式可得，结合不等式性质运算求解. 【小问1详解】 因为为正实数，由基本不等式的定义可知， 且，即，当且仅当时，等号成立， 解得或（舍去）， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 因为为正实数，由基本不等式的定义可知， 且，即， 则，当且仅当取得等号， 解得或（舍去），所以，可知 又因为， 可得，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗一中2023-2024学年上学期期中考试 高一数学 分值：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，40分） 1. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 以下四个关系式：，，，中，错误的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，24分） 9. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. D. 12. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，20分） 13. 已知，，化简：_____. 14. 不等式的解集为________.（用区间表示） 15. 设函数，则___________． 16. 已知幂函数为非奇非偶函数，则实数__________． 四、解答题 17. 定义在R上的奇函数在上的图象如图所示． （1）请在坐标系中补全函数的图象； （2）结合图象求不等式的解集． 18. 已知全集为，集合． （1）求； （2）求； （3）若，求a的取值范围． 19. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 20. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米. （1）设的长为米，试用表示矩形的面积； （2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值. 21. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式 （2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 22. 已知正实数，，求： （1）的取值范围； （2）的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $