1.2.4 绝对值　课件　 2024—2025学年人教版数学七年级上册

第一章　有理数 1.2.4　绝对值 国家中小学课程资源 　　互为相反数的两个数(除 0 以外)只有符号不同． 　　这两个数的相同部分在数轴上表示什么？ 知识回顾 国家中小学课程资源 上节课我们学习了相反数，知道互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同．那么这两个数的相同部分在数轴上表示什么? －10 0 10 O A B 10 10 －5 0 5 O C 5 5 　　这两个数的相同部分在数轴上表示什么？ 　　 与原点的距离 D 新知探究 国家中小学课程资源 我们通过具体的例子研究这一问题，如：10和－10互为相反数．分别用点A，B表示10和－10这两个数，如图所示，点A在数轴的正半轴上，点B在数轴的负半轴上．可以发现，点A，B与原点的距离都是10，也就是说10和-10虽然符号不同，但它们的相同部分，都是在数轴表示这两个数的点与原点的距离．同学们也可以再举几个例子验证我们的发现． 如：5和-5互为相反数，不难发现，它们的相同部分也是在数轴表示这两个数的点与原点的距离． 那么我们如何表示这个距离呢？我们可以归纳出一个新的概念． 　　一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作∣a∣． 10 和－10 的绝对值都是 10 ∣10∣＝10， －10 0 10 O A B 10 10 a ∣－10∣＝10． 数 a 可以是正数、负数和 0. “∣ ∣”是绝对值的符号 国家中小学课程资源 如果我们用a来表示任意一个数，这里a可以是正数，也可以是负数，还可以是0，那么，一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作∣a∣．这就是绝对值的符号． 例如：图中表示10和－10的点与原点的距离都是10，所以10和－10的绝对值都是10，即∣10∣=10，∣－10∣=10． O －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 原点 ∣0∣＝ 0 　　一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作∣a∣． 0 的绝对值是多少？ 国家中小学课程资源 请你思考0的绝对值是多少？ 我们知道数轴上表示0的点就是原点．因此，显然0的绝对值等于0． 　　一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作∣a∣． ∣a∣≥ 0 一个数的绝对值是非负数 非负数 非负数 国家中小学课程资源 那么，一个数的绝对值可以是哪些值？因为，表示数a的点与原点的距离是非负数，所以a的绝对值也是非负数，即一个数的绝对值是非负数，可以表示为∣a∣≥ 0． 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 借助数轴研究 －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 国家中小学课程资源 请同学们再思考：一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 如何解决这个问题？根据前面的学习经验，同学们应该能想到数轴是个很好的工具，我们可以借助数轴，数形结合地探究这个问题．不妨借助数轴多取几个数试一试，看看能不能发现规律． －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 A 5 O ∣5∣＝5， 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 国家中小学课程资源 例如：数轴上表示5的点A与原点的距离是5，所以5的绝对值等于5； －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 B 4 O ∣5∣＝5， ∣4∣＝4， 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 国家中小学课程资源 表示4的点B与原点的距离是4，所以4的绝对值等于4； －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 C O … ． 一个正数的绝对值是它本身 ∣5∣＝5， ∣4∣＝4， 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 　　 ＝ ， 国家中小学课程资源 表示二分之五的点C与原点的距离是二分之五，所以二分之五的绝对值等于二分之五； 结合上述举例，归纳：一个正数的绝对值是它本身．那么一个负数的绝对值呢？我们再来举例研究． －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 D 5 O ∣－5∣＝5， 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 国家中小学课程资源 例如：数轴上表示-5的点D与原点的距离是5，所以-5的绝对值等于5； －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 E 4 O ∣－5∣＝5， ∣－4∣＝4， 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 国家中小学课程资源 表示-4的点E与原点的距离是4，所以-4的绝对值等于4； －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 F O … ． ∣－5∣＝5， ∣－4∣＝4， 一个负数的绝对值是它的相反数 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 　　 ＝ ， 国家中小学课程资源 表示负二分之五的点F与原点的距离是二分之五，所以负二分之五的绝对值等于二分之五； 经过举例，我们发现，这类数的绝对值都不等于它本身，那么一个负数的绝对值与这个数有什么关系？分别观察，发现5是-5的相反数，4是-4的相反数，二分之五是负二分之五的相反数．因此，可以归纳：一个负数的绝对值是它的相反数． －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 O 原点 ∣0∣ 0 绝对值是 0 　　一个数的绝对值与这个数有什么关系？ 　　 国家中小学课程资源 还有一类有理数的绝对值我们没有讨论，那就是0，根据前面的学习我们知道，0的绝对值是0． 归纳 　　一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 它的相反数；0 的绝对值是 0． 　　如何用含字母的式子表达这些规律？ 国家中小学课程资源 归纳得到： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．那么，如何用含字母的式子表达这三条规律呢？ 如果 a＞0，那么∣a∣＝ ． 　　一个正数的绝对值是它本身　 a a＞0 ∣a∣ ＋a 数 a 可以是正数、0、负数 大于 0 的数 国家中小学课程资源 首先看第一条规律：一个正数的绝对值是它本身，那么，如何用含字母的式子表示一个正数？+a可以吗？根据前面的学习，我们知道a的绝对值中，a可以是正数，也可以是0，还可以是负数，显然，用+a表示一个正数是不合适的，那该如何表示呢？我们知道，正数是大于0的数，我们可以用a>0来表示数a是正数．因此，如果a>0，那么a的绝对值等于它本身，即a的绝对值等于a． 如果 a＜0，那么∣a∣＝ ． a＜0 －a a 的相反数是－a 　　一个负数的绝对值是它的相反数 小于 0 的数 a 的相反数 国家中小学课程资源 同理，负数是小于0的数，可以用a<0来表示数a是负数．因此，如果a小于0，那么a的绝对值等于a的相反数，因为a的相反数是-a，所以，此时，a的绝对值等于-a． 如果 a＝0，那么∣a∣＝ ． a 　　0 的绝对值是 0 　　正数和 0 的绝对 值都是它本身 国家中小学课程资源 根据0的绝对值是0，也就是它本身，因此，如果a=0，那么a的绝对值等于a．在这里我们发现，正数和0的绝对值都是它本身． 归纳 　　(1)如果 a＞0，那么 ∣a∣＝a； 　　(2)如果 a＝0，那么 ∣a∣＝0； 　　(3)如果 a＜0，那么 ∣a∣＝－a． 国家中小学课程资源 这样，我们就用符号语言表达了发现的规律： 如果a＞0，那么∣a∣＝a； 如果a＝0，那么∣a∣＝0； 如果a＜0，那么∣a∣＝－a． 这样，我们就获得了求一个有理数的绝对值的方法．你会求一个数的绝对值了吗？让我们试一试！ 　　例 1　写出 1，－0.5， 的绝对值； 　　分析：因为 1 是正数， 　　　　 所以 1 的绝对值等于它本身． 　　解：∣1∣＝1， 例题精讲 国家中小学课程资源 写出1，-0.5，负四分之七的绝对值． 根据学习经验，我们知道求有理数的绝对值，需要先判断这个有理数是正数、0还是负数． 观察发现，题目中有一个正数和两个负数． 根据一个正数的绝对值是它本身，因为1是正数，所以1的绝对值等于它本身，即∣1∣＝1． 　　例 1　写出 1，－0.5， 的绝对值； 　　分析： 解： 所以它们的绝对值等于它们的相反数． －0.5 的相反数是 0.5 ∣－0.5∣＝0.5， 因为－0.5， 是负数， 　 ＝ ． 国家中小学课程资源 根据一个负数的绝对值是它的相反数，因为-0.5和负四分之七都是负数，所以它们的绝对值等于它们的相反数． 因为-0.5的相反数是0.5，所以-0.5的绝对值等于0.5； 同理，负四分之七的绝对值等于四分之七． 　　例 2　如图，数轴上的点 A，B，C，D 分别表示有 理数 a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 　　分析：一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离 原点越近； 　　　　　反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示 的数的绝对值越小． －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 A B C D 国家中小学课程资源 再看一道例题： 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，根据绝对值的意义，可知一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近，反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小． 因此要选择绝对值最小的数，只需要观察并判断数轴上点A，B，C，D与原点的距离． 　　解：因为在点 A，B，C，D 中，点 C 离原点最近， 　　　　所以在有理数 a，b，c，d 中，c 的绝对值最小． 绝对值最大的是哪个数？ －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 A B C D 　　例 2　如图，数轴上的点 A，B，C，D 分别表示有 理数 a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 国家中小学课程资源 因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小．那么你知道绝对值最大的是哪个数吗？不难发现 ，在这四个点中，点A离原点最远，所以a的绝对值最大． 　　回顾本节课所学内容，请回答以下问题： 　　(1)你是如何理解一个有理数的绝对值的？ 　　(2)你能举例说明如何求有理数的绝对值吗？ 课堂小结 国家中小学课程资源 通过本节课的学习，你是如何理解一个有理数的绝对值的？你能举例说明如何求有理数的绝对值吗？ －10 0 10 O A B 10 10 　　一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 ∣a∣． 国家中小学课程资源 本节课，我们借助数轴，举例归纳，得到了绝对值的概念．并用符号表示一个数的绝对值，体会到了符号的简洁性． －4 －3 －2 －1 1 0 2 3 4 5 －5 一个数的绝对值与这个数的关系 形 数形结合 数 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0． (1)如果 a＞0，那么∣a∣＝a； (2)如果 a＝0，那么∣a∣＝0； (3)如果 a＜0，那么∣a∣＝－a． A F O E D C B 国家中小学课程资源 理解了绝对值的概念后，我们借助数轴，举例探究了一个数的绝对值与这个数的关系．在解决这个问题的过程中，我们再次体会到数轴是一个非常好的工具，借助数轴可以从形的角度直观地研究数的问题，数形结合地探究并发现了规律．并借助文字语言和符号语言表达了这个规律．这样，不借助数轴，也能直接求出一个数的绝对值． 　　教科书第 14 页，练习第 1，2，3，4 题． 课后任务 国家中小学课程资源 本节课的课后任务是教科书第14页练习第1，2，3，4题． $$