1.2.2 数轴 课件2024-2025学年人教版数学七年级上册

第一章 有理数 1.2.2 数轴 国家中小学课程资源 各位同学,学习完正数和负数、有理数的概念后,本节课要继续学习的是第一章《有理数》《1.2.2 数轴》的相关内容。下面我们一起来看问题: 1 新知探究 问题 在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧 3 m 和 7.5 m 处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧 3 m 和 4.8 m 处分别 有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境. ? 汽车站牌 可以作为基准点来确定表示其他物体的点的位置. 国家中小学课程资源 在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境. 那么同学们,我们该怎么画呢?情境中说汽车站牌等这些物体在一条东西向的马路旁,马路可以用什么来表示呢?对,一条直线,在将马路抽象成一条直线后,这些物体便可以看作分布在直线上的点,那要如何找到这些点呢?我们发现汽车站牌多次出现,那么在这里汽车站牌起什么作用呢?问题中柳树,交通标志杆,槐树和电线杆,都是在汽车站牌什么方向,离汽车站牌多远的距离,因此我们可以将汽车站牌作为基准点,进而根据所在方向以及与汽车站牌的距离确定其他物体的点的位置。 2 O A B C D E 西 东 3 7.5 3 4.8 问题 在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧 3 m 和 7.5 m 处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧 3 m 和 4.8 m 处分别 有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境. 国家中小学课程资源 根据以上分析,我们一起来画画看。先画一条直线,从左到右表示从西到东的方向,在直线上任取一点o表示汽车站牌的位置,我们看到汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,那么3和7.5如何体现呢?我们将实际距离抽象成成比例线段长度,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长.于是,在点O右边,与点O距离3个单位长度,也就是线段OA长的3倍 的点B表示柳树的位置;与点O距离7. 5个单位长度,也就是线段OA长的7.5倍的点C,表示交通标志杆的位置,汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,即在点O左边,与点O距离3个和4. 8个单位长度的点D和点E,分别表示槐树和电线杆的位置. 3 思考 如何用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌 的相对位置关系(方向、距离)? O A B C D E 西 东 3 7.5 3 4.8 国家中小学课程资源 接着思考,在上面的问题中,“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义,我们知道,正数和负数可以表示两种具有相反意义的量,那么如何用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置(方向、距离)呢? 4 思考 如何用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌 的相对位置关系(方向、距离)? O A B C D E 西 东 3 7.5 3 4.8 0 1 3 -3 7.5 -4.8 电线杆 槐树 汽车站牌 柳树 交通标志杆 国家中小学课程资源 我们用0表示基准点O,线段OA的长代表1m,因此用1来表示A,用正数表示点O右边的点,用负数表示点O左边的点.表示柳树和槐树的点与基准点的距离为3m,因此3可以用来表示点B,-3可以用来表示点D,同样地,表示交通标志杆的点与基准点的距离为7.5m,因此7.5可以用来表示点C,表示电线杆的点与基准点的距离为4.8m,因此-4.8可以用来表示点E.这样,我们就用负数-4.8,-3,0、正数3,7.5表示出了这条直线上的点. 5 O A B C D E 0 1 3 7.5 -3 -4.8 基准点 思考 0 是正数和负数的分界,可以作为基准点. 数的符号可以用来表示方向. 国家中小学课程资源 在这个图中,0是正数和负数的分界,可以作为基准点,而数的符号可以用来表示方向 6 温度计可以看作表示正数、0 和负数的直线. 零上摄氏度 零下摄氏度 在标准大气压下, 冰水混合物的温度规 定为 0 C——温度的 基准点. 表示 1 C—— 单位长度. 国家中小学课程资源 温度计同学们都见过,温度计可以看作表示正数、0和负数的直线. 我们可以看到上面有不同的刻度,在标准大气压下,冰水混合物的温度规定为0 ,即温度的基准点.其中一个格即一个单位长度,表示1摄氏度,而位于零刻度上方的为零上摄氏度,零刻度下方的为零下摄氏度。 7 思考 这两条直线有什么共同点呢? 都有基准点(表示 0 的点),规定了正负方向,规定了单位长度. 国家中小学课程资源 根据刚才的学习,你能说出两条直线的共同点吗? 观察可知,无论问题情境中用来表示位置的直线还是温度计可以看作的直线,都有基准点(即表示0的点),都规定了正负方向,都规定了单位长度. 8 在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件: (1)在直线上任取一个点表示数 0,这个点叫作原点. 原点 0 国家中小学课程资源 根据以上探究我们发现,在数学中,可以用一条直线上的点表示数。那么这条直线有什么要求呢?他需要满足以下三个条件: 1.在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点; 9 在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件: (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下) 为负方向. 正方向 原点 0 国家中小学课程资源 2. 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向; 10 在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件: (3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位 长度取一个点,依次表示 1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次 表示-1,-2,-3,… . 正方向 原点 -4 -3 -2 -1 1 0 2 3 4 5 -5 6 7 8 -6 单位长度 国家中小学课程资源 (1)在直线上任取一个点表示数 0,这个点叫作原点. (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向. (3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个 点,依次表示 1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示 -1,-2,-3,…. 正方向 原点 -4 -3 -2 -1 1 0 2 3 4 5 -5 6 7 8 -6 单位长度 像这样,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 国家中小学课程资源 据此我们引入一个重要的概念——数轴,像这样,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。那么这三个条件是必须的吗?减少一个条件可以吗? 12 概念 单位长度 正方向 原点 国家中小学课程资源 先来看没有原点会怎么样,如果没有原点就没有了基准点,也就无法确定数值所在的方向和位置了。例如若在正方向和单位长度确定的直线上,选择不同的点作为基准点,数轴如图所示。想要在数轴上找到表示1的点,可以发现当原点不同时点所在的位置不一样,因此规定原点是必要的。 13 概念 单位长度 正方向 原点 0 国家中小学课程资源 如果没有正方向呢?没有正方向意味着将无法判断点表示的数的正负,也就无法确定点位于原点的哪一侧。例如若在原点及单位长度确定的直线上,从原点向右为正方向,则数轴如上图所示,若原点向左为正方向,数轴如下图所示,想要在数轴上找到表示1的点,可以发现当方向不同时点所在的位置不一样,也就无法准确找到表示1的点的位置了。 14 概念 单位长度 正方向 原点 0 国家中小学课程资源 如果没有规定单位长度呢?没有单位长度就像一把没有刻度的直尺,也就无法知道每个点所代表的数值是多少,例如,若在原点及正方向确定的直线上取不同的单位长度,如图所示,依然在数轴上找表示1的点,可以发现点的位置也是不同的,所以单位长度的条件也是不可或缺的 15 概念 单位长度 正方向 原点 正方向 原点 -4 -3 -2 -1 1 0 2 3 4 5 -5 6 7 8 -6 单位长度 数轴: 国家中小学课程资源 综上分析我们发现 原点,正方向和单位长度三个条件缺一不可,因此也将原点,正方向和单位长度称为数轴的三要素。 16 -2 -1 1 0 2 -2 -1 1 0 2 1 在原点右侧 -2 在原点左侧 1 在原点上方 -2 在原点下方 思考 如何描述数轴上的点相对于原点的位置呢? 原点将数轴(除原点外)分为两部分,其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴;另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 国家中小学课程资源 同学们,如何描述数轴上的点相对于原点的位置呢?比如1和-2。有的同学可能想到了,1在原点右侧,-2在原点左侧,很好!但是如果是在像温度计这样的竖直摆放的数轴上呢?对,1在原点上方,-2在原点下方。是不是不太一致呢?为了统一,我们可以这样说:“原点将数轴(除原点外)分为两部分,其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴,另一侧的部分叫作数轴的负半轴.”,现在,不论数轴如何摆放,我们都可以说:1在数轴的正半轴上,-2在数轴的负半轴上 17 表示 的点 表示 6.5 的点 -4 -3 -2 -1 1 0 2 3 4 5 -5 6 7 8 -6 6.5 ? 6.5 思考 有理数可以用数轴上的点表示. 如何在数轴上找到表示某一有理数的点呢? 数轴的正半轴上 与原点的距离是 6.5 个单位长度 数轴的负半轴上 ? 与原点的距离是 个单位长度 国家中小学课程资源 有理数可以用数轴上的点来表示,那么在数轴上,如何找到表示下列各数的点呢? 比如数字6.5可以在数轴上找到点来表示吗?根据已知数的符号可以确定表示这个数的点在原点的哪一侧,从原点沿相应的方向确定它与原点相距几个单位长度,那么表示6.5的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是6.5个单位长度,据此可以找到如图所示的点来表示6.5,表示-二分之三的点在数轴的负半周上,与原点的距离是二分之三个单位长度,同样的,可以找到如图所示的点来表示负二分之三. 18 3,-4,4,0.5,0, ,-1. -4 -3 -2 -1 1 0 2 3 4 5 -5 3 -4 4 0.5 0 -1 例 画出数轴,并在数轴上表示下列各数: 表示 的点 表示 0.5 的点 数轴的正半轴上 与原点的距离是 0.5 个单位长度 数轴的负半轴上 与原点的距离是 个单位长度 例题精讲 国家中小学课程资源 刚才我们已尝试过用数轴上的点来表示数,那么同学们掌握了吗? 试试看,来看一道例题: 画出数轴,并在数轴上表示下列各数:3,-4,4,0.5,0,,-1. 首先先画出一条数轴,这条直线上明确给出整数点的位置,于是我们可以很快地找到表示3,-4,4,0,-1的点,把数字写在直线上方对应的位置即可。那0.5,-二分之五图中并没有给出,根据刚才所学,表示0.5的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是0.5个单位长度,据此可以找到如图所示的点来表示0.5,表示-二分之五的点在数轴的负半周上,与原点的距离是二分之五个单位长度,同样的,可以找到如图所示的点来表示负二分之五. 19 归纳 a 是一个正数 表示 -a 的点 表示 a 的点 数轴的正半轴上 与原点的距离是 a 个单位长度 数轴的负半轴上 与原点的距离是 a 个单位长度 任意有理数,都可以用数轴上的点来表示. -3 -2 -1 1 0 2 3 a -3 -2 -1 1 0 2 3 -a 拓展提升 国家中小学课程资源 通过例题,我们进一步体会到有理数可以用数轴上的点表示,下面进行一般化表达。 一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是a个单位长度;因此可以找到唯一确定的点来表示a,同样考虑,表示-a的点呢?表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是a个单位长度.也是唯一确定的,确实任意有理数都可以用数轴上的点来表示。 20 回顾本节课所学内容,请回答以下问题: (1)什么是数轴? (2)本节课的学习过程中蕴含着重要的数形结合思想, 它是如何体现的? 课堂小结 国家中小学课程资源 最后,让我们来课堂小结一下,同学们思考,1.什么是数轴?2.本节课的学习过程中蕴含着重要的数形结合思想,他是如何体现的? 21 小结 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫作数轴. 正方向 原点 -4 -3 -2 -1 1 0 2 3 4 5 -5 6 7 8 -6 单位长度 数轴上的点 有理数 数轴 数 形 符号、 符号后数字 方向、距离 数形结合 国家中小学课程资源 本节课主要学习了数轴,知道了数轴的概念,即 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴,接着我们尝试用数轴上的点表示数,发现任意一个有理数,都可以用数轴上的点来表示,因此借助数轴这个工具,可以将数和形联系起来,有理数的符号和符号后面的数字分别对应的是相对原点的方向和距离,其中蕴含着数学中非常重要的数形结合思想。用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用,以它作基础,可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题,请同学们继续关注后续内容的学习,加深理解。 22 教科书第 11 页,练习第 2,3,4 题. 课后任务 国家中小学课程资源 课后任务请同学们按时完成。 23 $$