6.3.3余角和补角　课件-2024—2025学年人教版数学七年级上册

6．3　角 6．3.3　余角和补角 第六章 几何图形初步 已知∠1 与∠2 互补，且∠1> ∠2，则∠2 的余角 是( ) A . ∠1＋ ∠2 B. ∠1－ ∠2 C . ∠1 D. (∠1－ ∠2) 题型 利用互余、互补的定义识别余角、补角 1 例 5 解题秘方：分别计算∠2 与各选项的和，结果为9 0°的符合要求. 综合应用创新 解：因为∠1＋∠2 =180°，所以∠2＋∠1＋∠2 >180°，故A 选项不是∠2 的余角. 因为∠2＋∠1 － ∠2 = ∠1 ≠ 9 0°，故B 选项不是∠2 的余角. 因为∠1＋∠2 =180 °，所以∠1 ＋∠2 =9 0°. 所以∠2＋∠1 = ∠1＋∠2＋∠2 >9 0°，∠2＋ (∠1 － ∠2)= ∠1＋ ∠2 =9 0 °，故C 选项不是∠2 的余角.D 选项是∠2 的余角. 答案：D 综合应用创新 方法点拨 识别两个角是否互余，只需要计算两个角的和是否等于90°即可. 综合应用创新 [新视角 操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B 落在点B′的位置，折痕为EF，再沿GF 折叠，使点C 落在点C′的位置，如果C′F 与FB′在 同一条直线上，请你判断∠GFC′ 与∠EFB′的关系，并说明理由. 题型 利用角平分线的定义探究互余、互补 2 例 6 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：∠GFC′与∠EFB′互为余角. 理由如下： 根据折叠的方法及特点可知，FE 是∠BFB′的平分线， FG 是∠CFC′的平分线， 所以∠EFB′= ∠BFB′，∠GFC′=∠CFC′. 因为∠BFC=180°，所以∠GFC′＋∠EFB′= (∠CFC′＋ ∠BFB′)= ∠CFB= ×180°=90°. 所以∠GFC′与∠EFB′互为余角. 综合应用创新 方法点拨 本题的解题方法主要利用了“一个特点”“三个定义”，一个特点是指折叠图形中折痕的特点(折痕所在的直线即角平分线所在的直线)；三个定义分别是指角平分线的定义、余角的定义和补角的定义. 综合应用创新 [荣德原创题]两艘货轮从如图6.3－27所示的码头O 出发，货轮G 向南偏西20°的OA 的方向行驶，货轮F 向南偏东70°的OB 方向航行. 例 7 题型 利用方位角的定义探究余角、补角 3 思路引导：通过计算各角的度数进行判断. 综合应用创新 (1)分别画出射线OA，OB； 解：如图6.3－28 ，射线OA，OB 即为所求. 综合应用创新 (2)找出图中所有互余和互补及相等的角(小于180°的角). 解：互余的角有∠WOA 与∠SOA，∠WOA 与∠EOB，∠AOS 与∠BOS，∠BOS 与∠EOB； 互补的角有∠WOA 与∠EOA，∠WOB 与∠EOB， ∠NOA 与∠SOA， ∠NOB 与∠SOB， ∠WOA 与 ∠NOB，∠BOS 与∠AOE，∠WOB 与∠AOS，∠NOA 与∠EOB. ∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE 和∠AOB 都是90°，它们两两互补；相等的角有∠NOW= ∠SOW= ∠SOE= ∠NOE=∠AOB，∠WOA= ∠SOB，∠SOA= ∠EOB. 综合应用创新 解法提醒 1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成平角，可以解决互补问题. 2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成直角，可以解决互余问题. 3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决等角问题. 综合应用创新 如图6.3－29 ①所示，将一副三角尺的直角顶点重合 在点О 处. 题型 利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系 4 例 8 思路引导：紧扣要判定的角和两个90 °角的关系进行分析. 综合应用创新 (1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC 相等吗？请说明理由. 解：(ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下： 因为∠AOB= ∠COD=9 0°， 所以∠AOB＋ ∠BOD= ∠COD＋ ∠BOD， 即∠AOD= ∠BOC. 综合应用创新 (ⅱ)∠AOC 和∠BOD在数量上有何关系？请说明理由． 解：∠AOC＋ ∠BOD=1 8 0°.理由如下: 因为∠AOB＋ ∠AOC＋ ∠COD＋ ∠BOD=360°， ∠AOB= ∠COD=90°， 所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°. 综合应用创新 (2)若将这副三角尺按如图6.3－29 ②所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点О处. (ⅰ)∠AOD和∠BOC相等吗？请说明理由. (ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由. 综合应用创新 (ⅰ)∠AOD= ∠BOC. 理由如下： 因为∠AOB= ∠COD=9 0°， 所以∠AOB－ ∠BOD= ∠COD－ ∠BOD， 即∠AOD= ∠BOC. (ⅱ)成立. 理由如下: 因为∠AOB= ∠COD=90°，所以∠AOC＋ ∠BOD= ∠AOB＋∠BOC＋ ∠BOD= ∠AOB＋ ∠COD= 90°＋90°=180°. 综合应用创新 解题关键 1.在探究三角尺中的有关角的关系时，要充分利用三角尺中隐含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒ 2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠ 1= ∠ 2，则∠1±∠3=∠2±∠3. 综合应用创新 方法点拨： 在图形的变换探究中，应善于抓住不变的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题图6.3－29 ①中∠ AOD=∠ AOB＋∠ BOD，图6.3－29 ②中∠ AOD=∠AOB－ ∠BOD).结合两个量才能探究出结论是否变化. 综合应用创新 易错点 对余角、补角的概念理解不透彻而出错 下列说法正确的是( ) A. 一个角的补角一定大于这个角 B. 任何一个小于180°的角既有余角又有补角 C. 锐角和钝角互补 D. 锐角的补角一定是钝角 例 9 综合应用创新 错解：A 正解：紧扣余角和补角的定义，结合其数量关系进行判断. 锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角，从而A 错误，D 正确. 答案：D 综合应用创新 诊误区： 1.只有锐角既有余角又有补角，而钝角没有余角，只有补角. 2.互补的两个角除两个直角外，一定是一个锐角，一个钝角. 综合应用创新 考法 利用余角(补角)的定义求一个角的余角(补角) 1 [中考·梧州] 已知∠ A=55 °，则它的余角是( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 试题评析：本题考查了余角的定义和角的运算，解题的关键是理解互为余角的两个角的数量关系. 解：因为∠A=55°，所以它的余角是 90 °－ ∠ A=90 °－55°=35°. B 例10 中考风向标 考法 利用三角尺的特征探究两个角之间的关系 2 [中考·德州]如图6.3－30，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中，∠α 与∠β 互余的是(　　) A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 例11 中考风向标 试题评析：本题考查了余角和补角的知识，熟记概念与性质是解题的关键. 解：图①，∠α ＋ ∠β =180°－90°=90°，则∠α 和∠β 互余；图②，根据同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α 和∠β 不一定互余；图③，根据等角的补角相等，得∠α = ∠β =180°－45°=135°，所以∠α与∠β 不互余；图④，∠α ＋ ∠β =180 °，则∠α和∠β 互补． 答案：A 中考风向标 1.[中考·武威] 若∠α =70 °，则∠α的补角的度数是(　　) A.13 0 ° B.110 ° C.30 ° D. 20 ° B 综合素养训练 2. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α 与∠β 一定相等的图形个数共有(　　) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B 综合素养训练 3. 下列说法错误的是(　　) A.53°38 ′角与36°22 ′角互为余角 B. 如果∠1 ＋ ∠2 =180 °，那么∠ 1与∠ 2 互为补角 C. 两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角 D. 一个角的补角比这个角的余角大180° D 综合素养训练 4. [中考·通辽] 如图，点O 在直线AB上，∠ AOC= 53 °17′2 8 ″，则∠ BOC 的度数是____________． 126°42′32″ 综合素养训练 5. [母题 教材P177例4 如图，AB 是直线，∠ BOC=∠ AOC=90 °，OD，OE 是射线，则图中至少有______对互余的角， ______对互补的角. 2 3 综合素养训练 6. 若∠ α 和∠ β 互补， 且∠ α >∠β，则下列表示角的式子： ① 90°－∠β；②∠α－90°； ③(∠α＋∠β)；④ (∠α－∠β). 其中能表示∠ β 的余角的有_________ (填序号). ①②④ 综合素养训练 7. 一个角的余角比这个角的补角的小10 °，求这个角的余角及补角. 综合素养训练 8. 如图，点O 是直线CE 上一点，以O 为顶点作∠ AOB=90 °，OB 平分∠ COD. 综合素养训练 (1)当∠ DOE=96 ° 时，求∠ AOC 的度数； 综合素养训练 (2)若∠ AOE 与∠ DOB 互补，求∠ DOE的度数. 解：因为∠AOE＋∠AOC＝180°， ∠AOE＋∠DOB＝180°，所以∠AOC＝∠BOD. 因为∠BOC＋∠AOC＝90°， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°. 所以∠EOD＝180°－(∠BOC＋∠BOD)＝90°. 综合素养训练 解：设这个角为x°，则它的余角为(90－x)°， 补角为(180－x)°. 由题意得(180－x)－10＝90－x，解得x＝60. 此时90°－60°＝30°，180°－60°＝120°. 所以这个角的余角为30°，补角为120°. 解：因为∠DOE＝96°，所以∠DOC＝180°－∠DOE＝84°. 因为OB平分∠DOC，所以∠BOC＝∠DOC＝42°. 因为∠AOB＝90°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝ 90°－42°＝48°. $$