6.3.3余角和补角 　课件-2024—2025学年人教版数学七年级上册

6．3　角 6．3.3　余角和补角 第六章 几何图形初步 知识点 余角和补角的定义 知1－讲 1 名称 定义 图例 数学语言 余角 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角， 简称这两个角互余. 其中一个角是另一个角的余角 如果∠1＋ ∠2=90°，就说∠1 和∠2 互余，或∠1是∠2 的余角，或∠2 是∠1 的余角 感悟新知 知1－讲 名称 定义 图例 数学语言 补角 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角 如果∠3＋ ∠4=180°，就说∠3 和∠4 互补，或∠3是∠4 的补角，或∠4 是∠3 的补角 感悟新知 知1－讲 特别解读 1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的. 2.互余、互补只与数量有关，与位置无关.互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角的余角为90°－ ，补角为180°－ . 因此，一个角的余(补)角可以有多个. 感悟新知 知1－练 例 1 已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍大10°，求这个角的度数. 解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合数量关系列方程解答. 解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为 (180 °－x)，余角为(90°－x). 根据题意，得(180°－x)－3(9 0°－x)=1 0°， 解得x=5 0°.所以这个角的度数为5 0°. 感悟新知 知1－练 1-1. 如图，∠AOC 与∠BOC 互为补角，∠BOC 与∠BOD 互为余角，且∠BOC=4 ∠BOD. 感悟新知 知1－练 (1)求∠BOC 的度数； 感悟新知 知1－练 (2)若OE 平分∠AOC，求∠BOE 的度数. 感悟新知 知1－练 如图6.3－23，O 为直线AB 上一点， ∠AOC= ∠DOE=90°. 例 2 感悟新知 解题秘方：从图中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 °的两个角互余，和为180 °的两个角互补；另一个方面是从整体入手，将直角分成两个角，则这两个角互余，将平角分成两个角，则这两个角互补. 感悟新知 知1－练 (1)图中互余的角有几对？分别是哪些？ 解：因为O 为直线AB 上一点， 所以∠BOC＋ ∠AOC=180°，∠DOE＋ ∠1＋∠4 =180°. 因为∠AOC= ∠DOE=9 0°，所以∠1＋∠2=90 °，∠2＋∠3=90 °，∠BOC=∠3＋∠4=90°，∠1＋∠4=90°. 所以图中互余的角有4 对，分别是∠1 和∠2，∠2 和 ∠3，∠3 和∠4，∠1 和∠4 . 感悟新知 知1－练 (2)图中互补的角有几对？分别是哪些？ 解：由已知得∠1＋ ∠BOD=180°，∠4＋ ∠AOE=180°. 因为∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠1=∠3. 所以∠3＋ ∠BOD=1 80°. 因为∠3＋∠4=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠2=∠4 . 所以∠2＋∠AOE=1 8 0°. 感悟新知 知1－练 又因为∠AOC＋ ∠BOC=180 °，∠AOC＋ ∠DOE=180 °， ∠DOE＋∠BOC=1 8 0°， 所以图中互补的角有7 对，分别是∠1 和∠BOD，∠4 和 ∠AOE，∠3 和∠BOD，∠2 和∠AOE， ∠AOC 和∠BOC，∠AOC 和∠DOE，∠DOE 和∠BOC. 感悟新知 知1－练 2-1.[期末· 襄阳] 如图，已知A，O，B 三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE 平分∠AOD，下列结论： ①∠BOC 与∠AOE 互余； ②∠BOE 与∠EOD 互补； ③图中互余的角有4 对； ④图中互补的角有5 对. 其中正确的有(　　) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 D 感悟新知 知2－讲 知识点 余角、补角的性质 2 内容 几何语言 余角的性质 同角的余角相等 因为∠1＋ ∠2=90°，∠1＋ ∠3=90°，所以∠2= ∠3 等角的余角相等 因为∠1＋ ∠2=90°，∠3＋ ∠4=90°，且∠1= ∠3，所以∠2= ∠4 补角的性质 同角的补角相等 因为∠1＋ ∠2=180°，∠1＋ ∠3=180°，所以∠2= ∠3 等角的补角相等 因为∠1＋ ∠2=180°，∠3＋ ∠4=180°，且∠1= ∠3，所以∠2= ∠4 感悟新知 知2－讲 特别解读 1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角. 2 .“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角. 3. 余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据. 感悟新知 知2－练 如图6.3－24，直线AB 与∠COD的两边OC，OD分别 相交于点E，F，∠1＋ ∠2=180°. 找出图中与∠2 相等的角，并说明理由. 例 3 解题秘方：先找出与∠1 和∠2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2 相等的角. 感悟新知 知2－练 解：因为∠1＋∠3=1 8 0°，∠1＋∠2 =180°， 所以∠3= ∠2 .同理，∠4 =∠2，∠2 =∠6. 所以图中与∠2 相等的角有∠3，∠4，∠6. 感悟新知 知2－练 3-1. 如图，O 为直线AB上一点，OC 平分∠AOB，∠DOE=90°. 感悟新知 知2－练 (1)写出∠COD的余角； 解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE. 感悟新知 知2－练 (2)∠AOD 和∠COE相等吗？为什么？除90 °的角外，还有哪些相等的角？请说明理由； 解：相等．因为O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因为∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°， 所以∠AOD＝∠COE.相等的角还有∠BOE＝∠COD. 理由：因为∠COD＋∠COE＝90°，∠BOE＋ ∠COE＝∠BOC＝90°，所以∠BOE＝∠COD. 感悟新知 知2－练 (3)写出∠COD 的补角. 解：∠COD的补角为∠AOE. 感悟新知 知2－练 如图6.3－25，已知O 是直线AB 上的一点，OC是一条射线，OD平分∠AOC，∠DOE=90 °，OE 平分∠BOC 吗？为什么？ 例 4 解题秘方：先紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明两个角相等. 感悟新知 知2－练 解： OE 平分∠BOC. 理由如下： 因为∠DOE=9 0°， 所以∠DOC＋ ∠COE=9 0°. 又因为∠AOB=180°，所以∠AOD＋ ∠BOE=90°. 因为OD平分∠AOC，所以∠AOD= ∠DOC. 所以∠COE= ∠BOE，即OE 平分∠BOC. 感悟新知 知2－练 4-1.[期末·厦门思明区]如图，∠AOB=90 °，∠COD=90°，OA 平分∠DOE， 若∠BOC=20°，求∠AOE 的度数. 解：因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC＝20°.因为OA平分∠DOE， 所以∠AOE＝∠AOD＝20°. 感悟新知 余角和补角 余角和补角 余角 补角 定义 性质 课堂小结 解：因为∠BOC与∠BOD互为余角， 所以∠BOC＋∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝4∠BOD， 所以∠BOC＝×90°＝72°. 解：因为∠AOC与∠BOC互为补角， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°. 所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－72°＝108°. 因为OE平分∠AOC，所以∠COE＝∠AOC＝×108°＝54°. 所以∠BOE＝∠COE＋∠BOC＝54°＋72°＝126°. $$