6.2.2线段的比较与运算2 课件 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

6．2　直线、射线、线段 6．2.2　线段的比较与运算 第六章 几何图形初步 如图6.2－29，M是线段AC的中点，点B 在线段AC上，且AB=4，BC=2 AB，求线段MC和线段BM的长. 方法 利用“逐段计算法”求线段长 1 例 6 综合应用创新 思路引导： 解：因为AB=4，BC=2 AB，所以BC=8 . 所以AC=AB＋BC=4 ＋8 =1 2 . 因为M 是线段AC 的中点，所以MC=AM=AC=6. 所以BM=AM－AB=6－4 =2 . 综合应用创新 方法点拨 利用“逐段计算法”求线段长： 要求某条线段的长，先确定这条线段等于哪几条线段的和或差，分析这些线段的长是已知的，还是要通过别的条件再求的，再进行逐段计算. 综合应用创新 如图6.2-30，已知B，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3的三部分，点M为线段AD的中点，BM=6 cm，求CM和AD的长. 方法 利用方程思想求线段长 2 解题秘方：画出如图6.2 －31 所示的示意图.根据BM=AM－AB，列方程求解. 例 7 综合应用创新 解：设AB=2x cm，则BC=5x cm，CD=3x cm. 所以AD=AB＋BC＋CD=10x cm. 因为M 是AD 的中点， 所以AM=MD=AD= ×10x=5x(cm). 因为BM=AM－AB，BM=6 cm，所以5x－2x=6. 所以x=2 . 所以CM=MD－CD=5x－3x=2x=2×2 =4(cm)， AD=10×2 =20(cm). 综合应用创新 方法点拨 利用方程思想求线段长的方法： 当利用逐段计算法难以求出线段长时，可考虑运用方程思想.其中将已知的线段长作为等量关系，设出要求的线段长，用含要求线段长的式子(利用它们之间的数量关系)表示已知线段，列出方程解决问题. 综合应用创新 如图6.2－32，线段AB=4，O 是线段AB 上一点，C，D分别是线段OA，OB 的中点. 方法 利用整体思想求线段长 3 例 8 综合应用创新 (1)求线段CD的长. 思路引导： 综合应用创新 解：因为C，D 分别是线段OA，OB 的中点， 所以OC=OA，OD= OB. 所以CD=OC＋OD=(OA＋OB)=AB=×4 =2 . 综合应用创新 (2)若把“O 是线段AB 上一点”改为“O 是线段AB 延长线上一点”，其他条件不变，请你画出图形，并求线段CD的长. 思路引导： 综合应用创新 解：当点O 在线段AB 的延长线上时，如图6.2 －33. 因为C，D 分别是线段OA，OB 的中点， 所以OC= OA，OD=OB. 所以CD=OC－OD=(OA－OB)=AB=×4 =2 . 综合应用创新 方法点拨 利用整体思想求线段长的方法： 当根据已知条件无法逐一计算出每条线段的长时，可根据各线段之间的数量关系，将某些线段的和或差看成整体进行计算. 综合应用创新 模型解读 双中点模型： 如图6.2－34，直线上三点构成的三条线段中，任意两条线段中点间的距离等于第三条线段长度的一半. 综合应用创新 如图6.2－35，已知在数轴上有A，B 两点，点A 表示的数为－10，点O 表示的数为0，OB=3OA，点M以每秒3 个单位长度的速度从点A 向右运动，点N 以每秒2 个单位长度的速度从 点O 向右运动(点M， 点N 同时出发). 方法 利用“化动为静法”求线段长 4 例 9 综合应用创新 (1)数轴上点B 表示的数是______. 30 综合应用创新 (2)经过几秒，点M，N 到原点的距离相等？ 思路引导： 解：设经过x秒，点M，N 到原点的距离相等.分两种情况：①当点M，N 在原点两侧时，根据题意列方程，得10 －3x=2x，解得x=2 . ②当点M，N 重合时，根据题意列方程，得3x－10 =2x，解得x=10 . 所以经过2 秒或10 秒，点M，N 到原点的距离相等. 综合应用创新 (3)点N 在点B 左侧运动的情况下，当点M运动到什么位置时，恰好使AM=2BN ？ 思路引导： 解：设经过y 秒，恰好使AM=2BN， 根据题意，得3y=2(30 －2y)，解得y= . 此时OM=3×－10 =，所以当点M 运动到数轴上表示的点的位置时，恰好使AM=2BN. 综合应用创新 方法点拨 1.求数轴上的点表示的数时，转化为求该点到原点之间的线段的长度，然后利用该点在原点的左侧还是右侧确定数. 2. 若数轴(点O 表示的数为0)上有A，B 两点，A点表示的数为a，B点表示的数为b，则OA=|a|，OB=|b|，AB=|a－b|. 3. 对于动点问题，用点运动的速度乘运动的时间等于运动的路程来表示线段的长度. 综合应用创新 易错点 对线段的中点的理解有误 已知线段AB 和点C，则下列数量关系能说明C 是线段AB 的中点的是( ) A. AC=BC B. AC=AB C. BC=AB D. AC=BC=AB 例10 综合应用创新 错解：A 或B 或C 正解：分别画出图形，如图6.2 -3 6 所示. 答案：D 综合应用创新 诊误区： C是线段AB的中点，关键要说明点C在线段AB 上. 综合应用创新 考法 利用线段基本事实解决实际问题 1 [中考·柳州] 如图6.2－37，从学校A 到书店B 有①，②，③，④四条路线，其中最短的路线是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 例11 中考风向标 试题评析：本题考查了线段的基本事实，将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 解：因为两点之间，线段最短，所以从学校A 到书店B 的四条路线中，最短的路线是②． 答案：B 中考风向标 考法 利用线段的和差倍分进行计算 2 [新考法分类讨论法中考·包头]已知线段AB=4，在直线AB 上作线段BC，使得BC=2，若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为(　　) A.1 B.3 C.1 或3 D.2 或3 例12 试题评析：本题考查线段中点的概念及线段的运算，正确运用分类讨论思想是解题关键. 中考风向标 解：根据题意分两种情况. ① 当点C 在线段AB 上时，如图6.2 －3 8 ，因为AB=4，BC=2，所以AC=AB－BC=2 . 因为D 是线段AC 的中点，所以AD=AC= ×2 =1 . 中考风向标 ②当点C 在线段AB 的延长线上时， 如图6.2 －39 ，因为AB=4，BC=2 ，所以AC=AB＋BC=6. 因为D 是线段AC 的中点，所以AD=AC= ×6=3． 所以线段AD 的长为1 或3． 答案：C 中考风向标 1. 如图，用圆规比较两条线段AB 和A′B′的长短，其中正确的是( ) A. A′B′>AB B. A′B′=AB C. A′B′<AB D. 没有刻度尺，无法确定 C 综合素养训练 2. [期末·绍兴诸暨市]如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是(　　) A. 两点之间直线最短 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有无数条直线 B 综合素养训练 3. 已知点A，B，C 在同一条直线上，则下列等式中，一定能判断C 是线段AB 中点的是(　　) A.AC=BC B.BC=AB C.AB=2AC D.AC＋BC=AB A 综合素养训练 4. [期末·北京海淀区]已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使BC=2AB，再在BA 的延长线上取一点D，使DA=AB，则线段AC 与线段AD 的数量关系是(　　) A.AC=AD B.AC=2AD C.AD=AC D.AC=3AD D 综合素养训练 5. 如图，在射线OM 上顺次截取OA=AB=a，在线段BO 上截取BC=b，则图中线段OC 的长可表示为(　　) A.a＋b B.a－b C.2a＋b D.2a－b D 综合素养训练 6. [期末·重庆荣昌区]如图，点C 是线段AB 上的一点，点D 是线段BC 的中点，若AB=20 ，AC=12 ，则CD=________ ． 4 综合素养训练 7. [新视角 新定义型题]定义：C 是线段AB(5 ＜ AB ＜ 1 0)上的一点，若点C 将AB 分得的两条线段中，有一条线段的长与AB 的长的和是1 0，则称点C 是线段AB 的“圆满分割点”． 已知MN=8，P，Q 分别是线段MN，PN 的“圆满分割点”，则QN 的长是______． 2或4 综合素养训练 8. [母题 教材P168习题T7] 已知数轴上有点A，B，C，它们所表示的有理数分别是6，－8，x. (1)求线段AB 的长； 解：AB＝6－(－8)＝14. 综合素养训练 (2)求线段AB 的中点D 表示的数； (3)已知AC=8 ，求x. 解：(－8＋6)÷2＝－1，即点D表示的数为－1. 当点C在点A的左边时，x＝6－8＝－2；当点C在点A的右边时，x＝6＋8＝14.所以x为－2或14. 综合素养训练 9. [期末·苏州姑苏区]如图，C 为线段AB上一点，D 为线段BC 的中点． (1) 若AB=7 cm，AC=2 cm， 则BD=_____cm； 综合素养训练 (2)若AB=8 cm，CD－AC=1 cm，求线段AC 的长度． 解：因为点D为线段BC的中点，所以CD＝BD. 设AC＝x cm，则CD＝BD＝(x＋1)cm. 因为AB＝8 cm，即AC＋CD＋BD＝8 cm， 所以x＋(x＋1)＋(x＋1)＝8， 解得x＝2，即AC＝2 cm. 综合素养训练 10. [期末·石家庄行唐县]如图，已知线段a，线段AB，点C 在线段AB 的延长线上，且BC=AB，点D 在线段BC 上，且CD=a． 综合素养训练 (1)用尺规在图中补全图形．(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图． 综合素养训练 (2)若AC=4，CD=1． ① D 是线段BC 的中点吗？请说明理由. 解：D是线段BC的中点．理由如下： 因为AC＝4，CD＝1，BC＝AB，所以BC＝AB＝2. 所以BD＝BC－CD＝2－1＝1.所以BD＝CD. 所以D是线段BC的中点． 综合素养训练 ②若点E 在线段AD 上，且AE ∶ DE=3∶2，求BE 的长． 综合素养训练 11. [新视角 新定义及动点探究题] 【新知理解】 如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB，AC 和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2 倍，则称点C是线段AB的“巧点”. 综合素养训练 (1)线段的中点______这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”)； (2)若AB=12cm，点C是线段AB的巧点，则AC= ___________cm； 是 4或6或8 综合素养训练 【解决问题】 (3)如图②，已知AB=12 cm．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B匀速移动；动点Q从点B出发，以1cm/s 的速度沿BA向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为 t s.求当t 为何值时，A，P，Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点. 综合素养训练 综合素养训练 综合素养训练 解：因为AC＝4，CD＝1，所以AD＝3， 因为AE∶DE＝3∶2， 所以DE＝AD＝×3＝. 由①知BD＝1，所以BE＝. 解：t s后，AP＝2t，AQ＝12－t(0≤t≤6)． ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A，Q的巧点时， Ⅰ.AP＝AQ，即2t＝(12－t)，解得t＝； Ⅱ.AP＝AQ，即2t＝(12－t)，解得t＝； Ⅲ.AP＝AQ，即2t＝(12－t)，解得t＝3； ③当Q为A，P的巧点时， Ⅰ.AQ＝AP，即(12－t)＝2t×，解得t＝(舍去)； Ⅱ.AQ＝AP，即(12－t)＝2t×，解得t＝6； Ⅲ.AQ＝AP，即(12－t)＝2t×，解得t＝. 综上所述，当t的值为或或3或6或时，A，P，Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． $$