6.2.2线段的比较与运算 课件 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

6．2　直线、射线、线段 6．2.2　线段的比较与运算 第六章 几何图形初步 知识点 线段的画法及长短比较 知1－讲 1 1. 尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. ••••••••• 感悟新知 知1－讲 2. 画一条线段等于已知线段a (1)方法一：利用刻度尺先量出已知线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段. (2)方法二：如图6.2 -1 3，用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC 上截取AB=a(这就 是“作一条线段等于已知 线段”的尺规作图). ••••••••• •• 感悟新知 知1－讲 3. 线段的长短比较 方法 具体做法 示例 度量法 先利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较. 如图，对于线段AB 与线段CD，测得AB=2.4 cm，CD=2.9cm，所以AB<CD 叠合法 把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 感悟新知 知1－讲 特别解读 1.比较线段的长短实质就是比较线段长度的大小. 2.当两条线段的长短差别不大，且又不便放在一起比较时，运用度量法；当两条线段能够放在一起且又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法. 3.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法. 感悟新知 知1－练 例 1 如图6.2-14 是一张三角形纸片，你能比较线段AB 与线段BC 的长短吗？ 解题秘方：可以利用度量法，分别量出两条线段的长度，然后进行比较，或者利用叠合法进行比较. 感悟新知 解：方法一 度量法. 用刻度尺量得AB=1.7cm，BC=1.3cm，所以AB>BC. 方法二 叠合法. 如图6.2－14 ，将圆规的针尖放在B点， 笔尖放在C 点，将圆规绕B 点旋转， 圆弧与AB 交于D 点.所以AB>BC. 感悟新知 知1－练 1-1. 要比较线段AB与CD 的长短， 小明将点A 与点C 重合并使两条线段在一条直线上， 结果点B 在CD 的延长线上， 则AB与CD相比较，( ) A.AB<CD B.AB>CD C.AB=CD D. 无法判断 B 感悟新知 知2－讲 知识点 线段的基本事实 2 线段的基本事实 两点的距离 举例 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短 定义 性质 在所有连接A，B 两点的线中，线段AB是最短的，线段AB 的长度就是点A 与点B 之间的距离 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 (1)存在性； (2)最短性； (3)唯一性 感悟新知 知2－讲 警示误区 两点的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形.因此不能把A，B 两点的距离说成是线段AB. 另外，连接两点是指画出以这两点为端点的线段. 感悟新知 知2－练 如图6.2-15 所示，某同学的家在A 处，书店在B 处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线( ) A. A → C → D → B B. A → C → F → B C. A → C → E → F → B D. A→C→M→B 例 2 感悟新知 解题秘方：判断出B，C 两点之间最短的路线为C → F →B，即可选出正确答案. 解：根据两点之间线段最短，可知从点C 到点B 的最短路程为线段BC 的长，从A 到C 的路程不变，故最短的路线为A → C → F → B，故选B. 答案：B 感悟新知 知2－练 2-1. 如图是某住宅小区平面图，点B 是某小区快递站的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点A 到快递站点B的最短路径是( ) A.A－C－G－E－B B.A－C－E－B C.A－D－G－E－B D.A－F－E－B D 感悟新知 知2－练 例 3 如图6.2-16，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点A 处，一只蜘蛛在顶点B 处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你能画出来吗？ 感悟新知 知2－练 解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路径，而蜘蛛走的路径是正方体的不同侧面，因此应在正方体的侧面展开图中寻找. 其实质是把立体图形展开为平面图形，也就是把正方体的不同侧面展开到同一平面，利用“两点之间，线段最短”确定最短的路径. 感悟新知 知2－练 解：如图6.2-1-7 ，有四种走法，分别是：B → F → A，B → G → A，B → M → A，B → N → A(F，G，M，N 分别为DE，CD，KE，KH 的中点). 感悟新知 知2－练 方法点拨：在现实生活中，从A 地到B 地，若要路程最短，则A，B 之间画成笔直的线，若要路程变长，则画成折线或曲线，各有用途，根据不同需求进行设计. 感悟新知 知2－练 3-1. 如图，一观测塔底座部分是长方体，现在从下底面A点修建扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB=BC，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N 的位置. 解：如图，将长方体的三个面展开，连接AD′，分别与BB′，CC′交于点M，N，点M，N即为所求． 感悟新知 知3－讲 知识点 线段的运算 3 1. 线段的和与差 如图6.2-18 ，已知线段a，b(且a>b). 感悟新知 知3－讲 (1)线段的和：在直线l 上作线段AB=a，再在AB 的 延长线上作线段BC=b，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC=a＋b，如图6.2-19 ① . (2)线段的差：在直线l 上作线段AB=a，再在线段AB 上作线段BD=b，则线段AD 就是a 与b 的差，记作AD=a－b，如图6.2－19 ② . 感悟新知 知3－讲 2. 线段的中点的概念 把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点. 如图6.2－20 ，如果M 是线段AB 的中点，则有AM=BM=AB. • • • • • • • • • • • • • 感悟新知 知3－讲 3. 等分线段 (1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点. 如图6.2-2 1 ，M，N 是线段AB 的三等分点，则有AM=MN=NB=AB. (2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点. 如图6.2-22 ，M，N，P 是线段AB 的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1.线段的中点必须在线段上，并且只有一个. 2.线段的中点可以转化为线段相等或成倍分关系的等式，但是相等或倍分关系不一定能转化为线段的中点，如若AC=BC，如果点C不在线段AB上，就不是线段AB的中点. 3.线段的中点及等分点的特征: 这些点都在线段上，线段的中点只有一个，线段的三等分点、四等分点不止一个. 感悟新知 知3－练 [期末·南京秦淮区]如图6.2-23，C 为线段AD 上一点，B 为CD的中点，且AD=13.5 cm，BC=3 cm． 例 4 解题秘方：根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行计算，情况不明时注意分类讨论. 感悟新知 知3－练 (1)图中共有_______条线段； 6 感悟新知 知3－练 (2)求AC 的长； 解：因为B 为CD 的中点，BC=3 cm， 所以CD=2BC=6 cm. 因为AD=13 .5 cm， 所以AC=AD－CD=13.5 －6=7.5(cm). 所以AC 的长为7.5 cm. 感悟新知 知3－练 (3)若点E 在直线AD 上，且EA=4 cm，求BE 的长． 解：分两种情况： 当点E 在线段CA 的延长线上时，如图6.2 －24 . 因为EA=4 cm，AC=7 .5 cm，BC=3 cm， 所以BE=AE＋AC＋BC=1 4 .5(cm). 感悟新知 当点E 在线段AC 上时，如图6.2 －2 5 . 因为EA=4 cm，AC=7 .5 cm， 所以CE=AC－AE=7 .5 －4 =3.5(cm). 因为BC=3 cm，所以BE=CE＋BC=3.5＋3=6.5(cm). 综上所述，BE 的长为14 .5 cm 或6.5 cm． 感悟新知 知3－练 4-1. [新考法 分类讨论法]已知线段AC 和线段BC在同一直线上， 如果AC=6 cm，BC=4 cm，则线段AC 和线段BC的中点之间的距离为______cm． 1或5 感悟新知 知3－练 4-2.[期末·重庆荣昌区]如图，点C 在线段AB上，M 是AC 的中点，且AB=76，BC=52． 感悟新知 知3－练 (1)求线段AM 的长； 感悟新知 知3－练 (2)在线段BC 上取一点N，使得CN ∶ NB ＝6 ∶ 7，求线段MN的长. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P166练习T2]用直尺和圆规作线段：如图6.2-26，已知线段a，b，c． 例 5 解题秘方：按照线段和差的作法用圆规在射线上依次截取. 感悟新知 知3－练 (1)求作一条线段，使它等于a＋2b； 解：如图6.2 －27 ，1 . 作射线AM；2 . 在射线AM 上顺次截取AB=a，BC=CD=b.线段AD即为所求作． 感悟新知 知3－练 (2)求作一条线段，使它等于a－b＋c． 解：如图6.2-28 ， 1 . 作射线AM；2 . 在射线AM 上顺次截取AB=a，BC=c；3. 在线段AC 上截取CD=b. 感悟新知 知3－练 5-1. 已知： 线段a，b.求作： 线段AB， 使得AB=2a＋b. 小明给出了四个步骤(如图)： ①作一条射线AE； ②则线段AB=2a＋b； ③在射线AE 上作线段AC=a，再在射线CE 上作线段CD=a； ④在射线DE 上作线段DB=b. 你认为顺序正确的是(　　) A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② B 感悟新知 线段的比较与运算 线段的比较与运算 线段的比较 线段的运算 度量法 叠合法 线段的和差 线段的中点 课堂小结 解：因为点C在线段AB上，AB＝76，BC＝52， 所以AC＝AB－BC＝76－52＝24. 因为M是AC的中点， 所以AM＝AC＝×24＝12. 解：因为M是AC的中点，所以MC＝AC＝12. 因为点N在线段BC上，BC＝52， 所以CN＋NB＝BC＝52.又因为CN∶NB＝6∶7， 所以CN＝×BC＝×52＝24. 所以MN＝MC＋CN＝12＋24＝36. $$