12.3角的平分线的性质 课件　2024—2025学年人教版数学八年级上册　

12.3 角的平分线的性质 第十二章 全等三角形 第1课时 角平分线的性质 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法. 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的 方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 情景引入 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 情景引入 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器 的功能吗？ 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 探索新知 尺规作角平分线 【提示】 (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC＝DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线. A O B 作法 (1)以点O为圆心，适当长为半径画 弧，交OA于点M，交OB于点N. (3)画射线OC. 射线OC即为所求. 作图探究 已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线. 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点 作这条直线的垂线的方法. A O B 作图探究 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 猜想线段PE与PF的大小关系，写出结论： PD＝PE 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 探索新知 角平分线的性质 已知：如图，∠AOC＝∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E.求证：PD＝PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 探索新知 A B C D F O P 一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行： 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证 明过程. 方法归纳 应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 A B C D E O P ①∵如下左图，AD平分∠BAC(已知) ∴ BD ＝ CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) × ②∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB (已知) 判一判 ∴ BD ＝ CD (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) A B C D B A C D × 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB＝FC. 典例精析 A B C D F E 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC， 垂足分别是D、E，PD＝4cm，则PE＝ cm. 4 【温馨提示】存在两条垂线段———直接应用 典例精析 B A M P D E C 变式：如图，在Rt△ABC中，AC＝BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB＝14.(1)则点P到AB的距离为 . 4 【温馨提示】存在一条垂线段———构造应用 变式训练 A B C P D 变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交 BC于点P，若PC＝4，AB＝14.(2)求△APB的面积. (3)求△PDB的周长. 解：由垂直平分线的性质，可知，PD＝PC＝4， A B C P D 变式训练 1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别 是E，F，DE＝DF， ∠EDB＝60°，则 ∠EBF＝ 度，BE＝ . 2.△ABC中, ∠C＝90°,AD平分∠CAB, 且BC＝8,BD＝5,则点D到AB的距离 是 . 3 60 BF A B C D 课堂练习 A B C D E F G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说 明∠AOC＝∠BOC的依据是( ) A A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 课堂练习 A O M N B C A B C D E 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7， DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　 　) A．6 B．5 C．4 D．3 D F 【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 课堂练习 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 课堂练习 A B C D E 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点， PE⊥AB于E，且PE＝3，求AD与BC之间的距离. M N 课堂练习 A B C D P E 7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 课堂练习 A B C D E F G 课堂小结 $$