精品解析：北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考试题

八年级上册第一次月考 一、选择（10题，每题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（ ） A. 9、16、25 B. C. 0.3、0.4、0.5 D. 6、6、6 3. 估算的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 10 4. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 7. 如图，在中，，是边上的高，若，则（　　） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 8. 若某个正整数算术平方根是x，则下一个正整数（比前一个正整数大1）的算术平方根是（　　） A B. C. D. 9. 已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ） A. 80 B. 6400 C. 6561 D. 6560 二、填空题（5题，每题3分，共15分） 11. 比较大小：_____（填“”“ ”“”）． 12. 点在平面直角坐标系中的第_____象限． 13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___． 14. 已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____． 15. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为______． 三、解答题（16题8分，17题6分，18题9分，共23分） 16. 计算 （1） （2） 17. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ___________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D坐标为 ___________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 四、解答题（19题8分，20题10分，21题10分，共28分） 19. 如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 20. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点位置上． （1）试说明； （2）若，，求的面积． 21. 如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； （3）把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 五、解答题（22题12分，23题12分，共24分） 22. 如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点； （3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP长． 23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册第一次月考 一、选择（10题，每题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：，5的平方根为， 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义，是解本题的关键． 2. 下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（ ） A. 9、16、25 B. C. 0.3、0.4、0.5 D. 6、6、6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项分析即可． 【详解】A． ，不能构成直角三角形； B．，不能构成直角三角形： C．，能构成直角三角形； D．，不能构成直角三角形 故选C． 3. 估算的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 4. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A横纵坐标符号判定即可． 【详解】解：∵A(-2,3)，-2<0，3>0， ∴点A(-2,3)在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查点所在象限，熟练掌握平面直角坐标系各象限内事业的坐标符号：第一象限(+,+），第二象限(-,+），第三象限(-,-），第四象限(+,-）是解题的关键． 6. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质．由数轴上a的位置确定a的取值范围，再进一步求出和的取值范围，然后化简求值． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ， 故选：A． 7. 如图，在中，，是边上的高，若，则（　　） A. 2 B. 2.4 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键． 8. 若某个正整数的算术平方根是x，则下一个正整数（比前一个正整数大1）的算术平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键．由题意可得原正整数可表示为，则下一个正整数为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：原正整数可表示为，则下一个正整数为， ∴它的算术平方根为； 故选B． 9. 已知的两条直角边分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，再中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵翻折后与完全重合， ， 设，则， ∵在中，， 即， 解得，， ， 故选：C． 10. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ） A. 80 B. 6400 C. 6561 D. 6560 【答案】D 【解析】 【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．由的定义为不大于的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560． 故选：D． 二、填空题（5题，每题3分，共15分） 11. 比较大小：_____（填“”“ ”“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，只需比较即可，利用估算思想解答即可． 本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 点在平面直角坐标系中的第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 点在第二象限． 故答案为：四． 13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___． 【答案】10 【解析】 【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得： A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3， ∵正方形A、B、C、D面积分别为2，5，1，2， ∵最大的正方形E的面积S3=S1+S2=2+5+1+2=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解决此题的关键熟练运用勾股定理的发现的来源． 14. 已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____． 【答案】2023． 【解析】 【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y＝|x﹣2|﹣x+3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和． 【详解】解：∵， ∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x， 即当x＝1时，y＝5﹣2＝3； 当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1， 即当x分别取2，3，…，2021时，y的值均为1， 综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是3+2020×1＝2023， 故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质． 15. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为______． 【答案】5或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图1，； ②当时，如图2，，； ③当时，如图3，，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：5或或． 三、解答题（16题8分，17题6分，18题9分，共23分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质进行化简，根据零指数幂运算法则进行计算，再根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，分式加减运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先根据，，求出，，然后再根据平方差公式进行化简求值即可； （2）根据，，得出，，然后根据分式加减运算法则对进行化简，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ___________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ___________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析，4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三角形的面积公式等知识． （1）直接利用所长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案； （2）利用关于y轴对称点的性质得出答案； （3）根据三角形面积公式得到，进而得到点P的横坐标为或，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示：的面积为． 故答案为：4； 【小问2详解】 解：点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵P为x轴上一点，的面积为1， ∴， ∴点P的横坐标为：或， 故P点坐标为：或． 四、解答题（19题8分，20题10分，21题10分，共28分） 19. 如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长． 【答案】CE＝13.3km． 【解析】 【分析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km． 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2， 由题意可知：AE＝BE， 所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3， 所以CE＝13.3km． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 如图，把长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）试说明； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明即可； （2）设，则：，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出的值，全等三角形的性质，得到，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是长方形， ∵把长方形纸片沿折叠， ， 在和△中 【小问2详解】 设， 根据翻折不变性，得： 在中，由勾股定理，得： 解得， ∴，则 ∴． 21. 如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长； （3）把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数． 【答案】（1）4 （2）阴影部分的面积和边长分别为8、 （3） 【解析】 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【小问1详解】 解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：棱长， 每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是， 所以魔方的一面四个小正方形的面积为， ； 正方形的边长为； 【小问3详解】 解： 正方形的边长为， 点与重合， 点在数轴上表示的数为． 【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 五、解答题（22题12分，23题12分，共24分） 22. 如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点； （3）△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）或2． 【解析】 【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC，可以得到∠DAB=∠EAC，因为AD=AE，AB=AC，即可得到△ABD≌△ACE； （2）连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，由（1）可得△ABD≌△ACE，所以∠AEC=90°和CE=BD，可以推出∠BDF=∠CEF，再证明△DBF≌△ECH，所以BF=CH，等量代换即可得到BF=FC，即可解决； （3）点P在△ABC内部，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC，可以得到△是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC的值；当点P在△ABC外部，将△APB绕点A逆时针旋转120得到，连接和PC，过点P作PD⊥于点D，连接PD可以得到△，△是直角三角形和，利用勾股定理即可求出及PC的值． 【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC ∵AD=AE，AB=AC ∴△ABD≌△ACE （2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示： ∵△ADB≌△AEC ∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90° ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED ∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90° ∴∠EDB=∠CEH ∵CF=CH ∴∠CFH=∠CHF ∴∠DFB=∠H ∵CE=BD ∴△DBF≌△ECH ∴BF=CH ∴BF=CF ∴点F是BC的中点 （3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到，连接和PC ∵将△ABP旋转120°得到 ∴∠=120°，AP==2，BP==4 ∴=2， ∵∠=120°，∠=30°， ∴∠=90°， ∴PC=． 当点P在△ABC外部，如图所示， 将△APB绕点A逆时针旋转120到△，过点P作PD⊥于点D，连接PD， ∵将△ABP旋转120°得到 ∴∠=120°，AP==2，BP==4， ∴=2， ∵∠=120°,∠=30°， ∴∠=150°， ∴∠=30°， 在Rt中，， ， ， ． 综上所述， 【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键． 23. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： = ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$