6.2.1直线、射线、线段2 课件 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

6．2　直线、射线、线段 6．2.1　直线、射线、线段 第六章 几何图形初步 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图 6.2-9 所示． 题型 相交直线交点个数及分割平面数量规律探究 1 例 6 综合应用创新 列表如下： 直线条数 最多交点个数 把平面最多分成部分数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 ⋯ ⋯ ⋯ 综合应用创新 解题秘方：从特殊情况(少量的点)入手，总结出一般情况的规律. 综合应用创新 (1)当直线条数为5 时，最多有_____________个交点，可写成和的形式为____________；把平面最多分成_____部分，可写成和的形式为___________________ . 10 1 ＋2 ＋3＋4 16 1 ＋1 ＋2 ＋3＋4 ＋5 综合应用创新 解：两条直线只有1 个交点，第3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得1＋2 = =3，第4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得 1＋2 ＋3= =6，第5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，得1 ＋2 ＋3＋4 = =10… 依此可得，n 条直线两两相交，最多有个交点. 综合应用创新 一条直线把平面分成2 部分， 两条直线把平面分成2 ＋2 =4 部分， 三条直线把平面分成2 ＋2 ＋3=7 部分， 四条直线把平面分成2 ＋2 ＋3＋4 =11 部分， 五条直线把平面分成2 ＋2 ＋3＋4 ＋5 =16 部分… 依此可得，n条直线把平面分成2＋2＋3＋4＋5＋… ＋n= 1 ＋1 ＋2 ＋3＋… ＋n= [ 1＋]部分. 综合应用创新 (2)当直线条数为10 时，最多有_____个交点，把平面最多分成_____部分. 45 56 解：当直线条数为1 0 时，最多有=45(个)交点，把平面最多分成1 ＋ =56 部分. 综合应用创新 (3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 解：当直线条数为n 时，最多有(个)交点， 把平面最多分成[＋1]部分. 综合应用创新 方法总结 1. “有序数数法”运用于很多问题，本例是数线段，前面有数直线、射线等，日常生活中还有数车票、路径等. 2. 是一个应用很广泛的数学模型，如“过没有任何三点共线的n 个点中的两点共能画出多少条直线”“n 条直线最多有多少个交点”；生活中“n支球队单循环比赛的总场数”“n 名同学相互握手一次的总次数”等. 3. 本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有个交点.本题体现了由“特殊到一般”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识. 综合应用创新 [新视角 项目探究题]如图6.2-10，线段AB 上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：当线段AB 上有3 个点时，线段总共有3 条；当线段AB 上有4 个点时，线段总共有6条；当线段AB 上有5 个点时，线段总共有10 条… 题型 点与线段的实际应用 2 解题秘方：从特殊情况(少量的点)入手，总结出一般情况的规律，并用规律解决问题. 例 7 综合应用创新 (1)当线段AB 上有6 个点时，线段总共有_____条. (2)当线段AB 上有n 个点时，线段总共有多少条？ 15 解：当线段AB 上有n 个点时，线段总共有1＋2＋3＋… ＋(n－1)=n(n－1)(条). 综合应用创新 (3)根据上述信息解决下面的问题： ①某学校七年级共有20 个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？ 解：当n=20 时，×20×(20 －1)=190(场). 答：该校七年级的辩论赛共要进行190 场. 综合应用创新 ②乘火车从A 站出发，沿途经过10 个车站方可到达B 站，那么在A，B 两站之间需要设置多少种不同的车票(仅考虑车票的起点站与终点站之分)？ 解：当线段AB 上有10 个点时，n=12 ，此时× 12×(12 －1)=66(条)，所以车票有66×2 =132(种). 答：需要设置132 种不同的车票． 综合应用创新 解题通法：直线、线段、交点相关数目的确定 (1)直线的条数: 过平面上n(n ≥ 2)个点中的任意两点画 直线，最多可以画条.(2)线段的条数：线段上共有 n(n ≥2)个点(包含两个端点)时，共有条线段(. 3)交 点的个数：n(n ≥2)条直线相交，最多有个交点. 综合应用创新 方法点拨 借助几何图形研究实际问题： ①中，把每一个班看作一个点，则20 个班可看作一条直线上的20个点，每两个班赛一场可看作每两点间的一条钱段，所以辩论赛要进行的场数与该条直线上线段的条数相同. ②中，把车票种数转化为直线上线段的数量的2 倍，这样更直观形象，从而有利于问题的解决. 综合应用创新 易错点 不能规范使用几何语言 下列说法正确的是( ) A. 直线AB 与直线BA 不是同一条直线 B. 射线AB 与射线BA 是同一条射线 C. 延长线段AB 和延长线段BA 的含义一样 D. 线段AB 与线段BA 是同一条线段 例 8 综合应用创新 错解：A 或B 或C 正解：正解：直线AB 与直线BA 是同一条直线，因此A 不正确，不符合题意；射线AB 与射线BA 不是同一条射线， 因此B 不正确，不符合题意；延长线段AB 和延长线段BA 的含义不一样， 因此C 不正确，不符合题意；线段AB 与线段BA 是同一条线段，故D 正确，符合题意. 答案：D 综合应用创新 诊误区： 1.直线用它上面任意两点的大写字母表示，没有顺序. 2. 表示射线时，端点字母必须写在前面. 3.延长必须按照字母的顺序方向进行. 综合应用创新 考法 利用直线与线段的关系判断线段 1 [中考·河北] 如图6.2－11，已知四条线段a，b，c，d 中的一条与挡板另一侧的线段m 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是( ) A.a B.b C. c D.d 例 9 中考风向标 试题评析：本题利用直尺沿m 画出直线即可得出答案. 答案：A 中考风向标 考法 利用线段的定义确定线段的条数 2 [中考·柳州] 如图6.2-12，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有( ) A.1 条 B. 2 条 C.3 条 D.4 条 例10 C 试题评析：本题考查线段的定义，结合图形计数即可. 解：图中线段有AB，AC，BC 这3 条. 中考风向标 1. [期中·烟台莱州市] 手电筒发射出来的光线，若发光点标记为点A，光线上任意一点标记为点B，则光线可表示为(　　) A. 线段AB B. 射线BA C. 直线AB D. 射线AB D 综合素养训练 2. [期末·汕头潮南区]如图，以A为一个端点的线段共有( ) A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 4 条 C 综合素养训练 3. [母题 教材P163练习T3]如图，下列说法错误的是( ) A．BC 是线段 B．点D 在射线AB 上 C．直线AC 经过点A D． 直线AC 与射线BD 相交于点A B 综合素养训练 4. 如图，直线PA，PB 和线段AB 将平面分成五个区域(不包含边界)，若线段PQ与线段AB 有公共点，则点Q落在的区域是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④或⑤ B 综合素养训练 5. 下列可用“两点确定一条直线”来解释的现象有_______(填序号). ① 用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上； ② 把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ③ 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ④ 打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面． ①③ 综合素养训练 6. [新考向 知识情境化]如图为深圳和广州东之间的动车经停站部分信息(共6站)，已知每一站都可以上车也可以下车．如果现在要在中途加一站，那么这段路往返要增加______种车票． 12 综合素养训练 7. [母题 教材P163练习T2]如图，平面上有A，B，C，D 四个点，请根据下列语句作图： 综合素养训练 (1)画直线AC； 解：直线AC如图所示． 综合素养训练 (2)线段AD 与线段BC 相交于点O； 解：线段AD与线段BC相交于点O，如图所示． 综合素养训练 (3)射线AB 与射线CD 相交于点P． 解：射线AB与射线CD相交于点P，如图所示． 综合素养训练 8. [新考向 归纳法]探究： (1)l1 与l2 是同一平面内两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，那么这三条直线最多有______个交点． (2)如果在(1)的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，那么这四条直线最多可有______个交点． 3 6 综合素养训练 (3)由(1)(2)我们可以猜想：在同一平面内，6 条直线最多可有多少个交点？ n(n ≥ 2)条直线最多可有多少个交点(用含有n 的代数式表示)？ 综合素养训练 解：1＋2＋3＋4＋5＝15(个)， 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(个)， 所以，在同一平面内，6条直线最多可有15个交点，n条直线最多可有个交点． $$