5.2解一元一次方程 3（课件）2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

5.2 解一元一次方程 第五章 一元一次方程 已知关于x 的方程4x＋2a=3x＋1 和x－3a=6 有相同的解，求a2n－a2n－1(n 为正整数)的值. 题型 同解问题 1 例 16 思路引导： 综合应用创新 解：由方程4x＋2a=3x＋1，得x=1 －2a. 由方程x－3a=6，得x=3a＋6 . 由题意得1 －2a=3a＋6，解得a=－1 . 故a2n－a2n－1=(－1)2n－(－1)2n－1=1 －(－1)=2 . 综合应用创新 方法点拨 利用两个方程解的关系求待定字母值的方法： 方法1：先解两个方程，再根据解的关系建立新方程； 方法2：先解一个方程，再根据解的关系表示另一个方程的解，最后代入另一个方程中建立新方程. ▲▲▲ ▲▲▲ 综合应用创新 已知关于x 的方程2ax ＝(a＋1)x＋3，若方程无解，则整数a=_____；若方程的解为正整数，则整数a=_____. 题型 特殊解问题 2 思路引导： 例 17 1 2 或4 综合应用创新 解：解关于x 的方程2ax=(a＋1)x＋3，得x= . 要使方程无解，即必须使a－1=0，故a=1. 要使方程的解为正整数，即必须使为正整数， 则a－1=1 或3，故a=2 或a=4． 综合应用创新 方法点拨 未知数的系数中含字母时，要先讨论方程中未知数的系数是否为0，再进行变形. 关于最简方程ax=b 的解的情况讨论： 1. 当a ≠ 0 时， 方程ax=b 有唯一解x=； 2. 当a=0 时，若b=0，则方程的解为任意数，若b≠0，则方程无解.上述结论反过来亦成立. 综合应用创新 现有一些分别标有数的卡片，按如下规律7，14 ，21，28，35，…，排列，小明拿了相邻的三张卡片，他计算出这三张卡片上的数之和为3 5 7 . 题型 解的存在性问题 3 解题秘方：这些卡片上的数的排列规律是：后一个数比前一个数大7 或每个数是7 的n 倍(n 为正整数). 例 18 综合应用创新 (1)小明所拿的三张卡片上的数分别是多少？ 解：设小明所拿的三张卡片的中间一张上的数为x， 则另外两张上的数分别为(x－7)和(x＋7). 根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)=3 5 7 ， 解得x=119，所以x－7=112 ，x＋7=126 . 答：小明所拿的三张卡片上的数分别是112，119，126 . 综合应用创新 (2)小明能否拿到相邻的三张卡片，使得三张卡片上的数之和为8 5 ？若能拿到，请求出是哪三张；若不能，请说明理由. 解：不能. 理由：由(1)知相邻的三张卡片上的数之和为(x－7)＋x＋(x＋7)=3x，就是说这相邻的三张卡片上的数之和能被3 整除，而8 5 不能被3 整除，所以小明不能拿到相邻的三张卡片，使得三张卡片上的数之和为85 . 综合应用创新 方法点拨 1. 解存在性问题时，先假设存在，看是否有符合条件的解. 若有，假设成立，反之，假设不成立. 2. 判断解的存在性，从未知数的实际意义去判断，如本题x 表示7的倍数，是一个整数，若3x=85，则x=，不符合x 的实际意义，故不存在. 综合应用创新 [期末·遂宁] 小明解关于x 的方程＋1=时，由于粗心大意，去分母时，方程左边的1 没有乘10，由此求得解为x=4，试求a 的值，并正确地求出方程的解. 题型 利用一元一次方程的解法解纠错问题 4 思路引导: 例 19 综合应用创新 解：因为去分母时，方程左边的1 没有乘10，所以小明去分母后得到的方程是2 ( 2x－1)＋1 =5(x＋a). 把x=4 代入， 得2×(2×4 －1)＋1 =5 ( 4 ＋a)， 解得 a=－1 .所以原方程为＋1 =. 去分母，得2 ( 2x－1 )＋1 0 =5(x－1). 去括号，得4x－2＋10=5x－5. 移项、合并同类项，得－x=－13. 系数化为1，得x=13 . 综合应用创新 解题通法 纠错类题目实际是考查解一元一次方程时的易错点，错解虽然不是原方程的解，但是是变形错误方程的解.解决此类题目的关键是“将错就错”，按照错误变形判断出变形后的方程，然后将错解代入，求得字母的值后，再正确求解原方程. 综合应用创新 易错点1 对移项的理解有误而出错 下列选项中，移项正确的是( ) A. 方程8－x=6 变形为x－8=6 B. 方程5x=4x＋8 变形为5x－4x=8 C. 方程3x=2x＋5 变形为3x－2x=－5 D. 方程3－2x=x＋7 变形为x－2x=7＋3 例20 综合应用创新 错解：D 正解：A 项变形为x=8－6，C 项变形为3x－2x=5，D 项变形为x＋2x=3 －7. 答案：B 综合应用创新 诊误区： 1. 移项必须要过等号，不能与交换位置相混淆； 2. 移项必须变号，而没有移动的项不用变号. 综合应用创新 易错点2 解方程时，去分母易出错 [期末·重庆长寿区] 把方程=1－去分母后，结果正确的是( ) A.2x－1 ＝ 1－(3－x) B.2(2x－1)＝ 1－(3－x) C.2(2x－1)＝ 8－(3－x) D.2(2x－1)＝ 8－3－x 例21 综合应用创新 错解：B 或D 正解：方程两边乘8，得2 ( 2x－1)=8－(3－x). 答案：C 综合应用创新 诊误区： 去分母常犯的两个错误： 1. 不含分母的项漏乘最简公分母； 2. 分子是多项式时，忘记加括号. 综合应用创新 考法 解一元一次方程 1 [中考·凉山州] 解方程：x－=1＋. 试题评析：本题主要考查了解一元一次方程， 熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键. 解： 去分母， 得6x－3(x－2)=6＋2 ( 2x－1). 去括号，得6x－3x＋6 =6 ＋4x－2 . 移项，得6x－3x－4x=6 －6 －2 . 合并同类项，得－x=－2 . 系数化为1，得x = 2 . 例22 中考风向标 考法 利用一元一次方程解决数的排列问题 2 按照一定规律排列的n 个数：－2，4，－8，16，－32，64， …， 若最后三个数的和为768，则n 为 ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 B 例23 中考风向标 试题评析：本题主要考查利用一元一次方程解决数的排列规律问题， 解题的关键是根据这组数的规律表示出最后三个数，列方程求解. 解：设最后三个数分别为x，－2x，4x， 可得x－2x＋4x=768，解得x=256. 因为256=(－2)8，所以n=8＋2=10. 中考风向标 考法 用一元一次方程解决行程问题 3 [中考·扬州] 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100 米，速度慢的人每分钟走 60 米，现在速度慢的人先走100 米，速度快的人去追他，问速度快的人追上他需要______分钟. 例24 2 .5 中考风向标 试题评析：本题考查了一元一次方程的运用， 根据“ 速度快的人走的路程等于速度慢的人走的路程” 建立方程求解. 解：根据题意，设t 分钟追上，所以100＋60t=100t， 解得t=2.5，所以速度快的人追上速度慢的人需要 2.5 分钟. 中考风向标 1. [新考法 过程辨析法]小明解方程－1 =的步骤如下： 解： 方程两边同乘6，得3(x＋1)－1=2(x－2). ① 去括号，得3x＋3 －1 =2x－2 . ② 移项，得3x－2x=－2 －3 ＋1 . ③ 合并同类项，得x=－4 . ④ 以上解题步骤中， 开始出错的一步是(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ A 综合素养训练 2. [新考法特征数表示法中考· 聊城]下表是某年6 月份的月历表， 任意框出表中竖列上三个相邻的数， 这三个数的和不可能是( ) A.2 7 B.51 C.6 9 D.72 D 综合素养训练 3. 点A 在数轴上，点A 所对应的数用2a＋1 表示，且点A 到原点的距离等于3，则a 的值为(　　) A.－2 或1 B .－2 或2 C.－2 D .1 A 综合素养训练 4. [新考法 新定义运算法]现定义运算“＊”，对于任意有理数a，b 满足a＊b =. 如5＊3 =2×5－3 =7，＊1 = －2×1 =－， 若x ＊ 3 =5，则有理数x 的值为(　　) A.4 B.1 1 C.4 或11 D.1 或11 A 综合素养训练 5. [新视角趣味题中考· 德阳]在初中数学文化节游园活动中， 被称为“ 数学小王子” 的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和分别相等，且 均为m. 王小明抽取到的题目如图所示， 他运用 初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏， 则m=_____． 39 综合素养训练 6. [新考向 知识情境化]小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x=1 －， 他翻阅了答案知道这个方程的解为x ＝ 1，于是他判断●处应该是_____． 1 综合素养训练 7. 解下列方程： (1)3(x＋2)－2(x＋2)＝ 2x＋4； 解：去括号，得3x＋6－2x－4＝2x＋4. 移项，得3x－2x－2x＝4－6＋4. 合并同类项，得－x＝2. 系数化为1，得x＝－2. 综合素养训练 (2)x－=1－． 综合素养训练 8. 用方程解答下列问题： (1) x 的2 倍与5 的和比x 的小10 ； 综合素养训练 (2) y 与3 的和的比y 的2 倍减去4的差的小5． 综合素养训练 9. 已知某同学解关于x 的一元一次方程= －1， 去分母时，－1没有乘6 , 得到方程的解为x=1， 求a 的值及正确的解. 综合素养训练 10. 已知关于x 的方程x＋= 的解与3x=＋2 的解互为相反数, 求k 的值. 综合素养训练 11.[中考·陕西] 小红在一家文具店买了一种大笔记本4 个和一种小笔记本6个， 共用了6 2 元． 已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3 元， 求该文具店中这种大笔记本的单价． 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是(x－3)元， 由题意得4x＋6(x－3)＝62，解得x＝8. 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 综合素养训练 12. 真实情境题 生活应用2 0 2 3 年1 2 月2 8日， 京雄高速公路北京段五环至六环段顺利贯通， 至此， 由北京西南五环至雄安新区可实现1 h 通达，比原来节省了30 min． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27 .5 km，如果平均车速比原来每小时多走17 km， 正好和报道中描述的情况吻合， 通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 综合素养训练 综合素养训练 13.[期末·广州天河区] 为总结和推广我市中小学班级文化建设先进经验， 广州市教育局举办了第四届广州市中小学班级文化建设展示活动． 经过多轮角逐，天河区某学校的“龙舟班”荣获示范班称号． 学校打算在校门口一个长为1 400 cm 的长方形电子屏上发布喜报，喜报内容为：“热烈祝贺龙舟班荣获第四届广州市中小学班级文化建设示范班”， 综合素养训练 为了制作及显示方便，负责发布喜报信息的老师对有关数据作出如下规定：(如图)边空宽∶字宽∶字距=3∶4∶1． 请用列方程的方法求出字距是多少？ 综合素养训练 解：设字距为x cm， 则边空宽为3x cm，字宽为4x cm. 根据题意，得2×3x＋27×4x＋26x＝1 400， 解得x＝10. 答：字距是10 cm. 综合素养训练 解：去分母，得6x－2(3x＋2)＝6－3(x－2)． 去括号，得6x－6x－4＝6－3x＋6. 移项、合并同类项，得3x＝16. 系数化为1，得x＝. 解：根据题意，得(2x＋5)＋10＝x， 解得x＝－10. 解：根据题意，得(y＋3)＋5＝(2y－4)， 解得y＝47. 解：根据这个同学的解法，将x＝1代入方程 2(2x－a)＝2x＋1－1，得a＝1. 将a＝1代入原方程，得＝－1，解得x＝－. 解：解方程3x＝＋2，得x＝1， 则关于x的方程x＋＝的解为x＝－1. 把x＝－1代入x＋＝，得－1＋＝， 解得k＝. 解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是x km/h. 由题意得x－(x＋17)＝27.5， 解得x＝89. 答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89 km/h. $$