2.2第2课时　基本不等式的应用-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019专用）

2.2第2课时　基本不等式的应用（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】基本不等式求最值的简单应用 2 【题型二】基本不等式的实际应用 3 【题型三】基本不等式的灵活应用 5 【当堂温习】 6 【分层练习】 7 考试要求： 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 素养要求： 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 自主预习 满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 题型研析 【题型一】基本不等式求最值的简单应用 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 6．（23-24高三下·全国·强基计划）已知（），则的最大值、最小值分别为 ． 解题策略： 利用基本不等式求最值的策略 【题型二】基本不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高三上·河南·开学考试）根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（    ） A．存在和，使得不变 B．存在和，使得变为原来的2倍 C．若，则最多可变为原来的2倍 D．若，则最多可变为原来的2倍 2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 4．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（） A．小刚上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 三、填空题 5．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 6．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 解题策略： 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造函数模型，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论，回答实际问题. 【题型三】基本不等式的灵活应用 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·一模）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 5．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 解题策略： 1.“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. 2.利用基本不等式求参数 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围. (2)不等式恒成立问题，往往先分离参数，转化为求最值问题. 当堂温习 一、单选题 1．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下面的结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 4．（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 5．（2023·广东·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 4．（20-21高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“对恒成立”是“”的必要不充分条件 D．设，则的最小值为2 6．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 三、填空题 8．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知，且，，则的最小值是 ． 9．（2024高三·全国·专题练习）（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，所用篱笆最短．最短篱笆的长度是 m． （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，菜园的面积最大．最大面积是 m． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．（22-23高一上·陕西安康·期末）已知，，. (1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件； (2)，恒成立，求的取值范围. 12．（23-24高一上·贵州·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 二、多选题 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列四个命题中，所有假命题为（    ） A． B．设，都是正数，若，则的最小值是 C． D．若，则 三、填空题 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 四、解答题 4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 2．（2023高一上·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为 三、填空题 3．（21-22高三上·上海徐汇·期中）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实m数的取值范围是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2第2课时　基本不等式的应用（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】基本不等式求最值的简单应用 2 【题型二】基本不等式的实际应用 5 【题型三】基本不等式的灵活应用 11 【当堂温习】 14 【分层练习】 17 考试要求： 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.能够利用基本不等式解决实际问题. 素养要求： 通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养. 自主预习 满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 题型研析 【题型一】基本不等式求最值的简单应用 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为 ． 6．（23-24高三下·全国·强基计划）已知（），则的最大值、最小值分别为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D D ACD CD 1．D 【分析】对进行变形，再利用不相等时，即可求出的范围. 【详解】由，则， 又，则， 又当时，， 因此可得，， 即，又， 因此可得， 故选：D. 2．D 【分析】由基本不等式得到，求出答案. 【详解】，， 由基本不等式得，即， 解得. 故选：D 3．ACD 【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 4．CD 【分析】运用基本不等式，应注重条件的满足“一正”，如A，B项排除；同时应关注等号成立条件是否满足，如D项；有时还要进行拼凑项，如C项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选:CD. 5．6 【分析】由题意可得，利用基本不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】由， 得，整理得， 当且仅当时等号成立. 则，故， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为6. 故答案为：6 6．无最大值，最小值为2 【分析】当时，可得无最大值；就分成两种情况讨论，① 当a，b，c中没有0时，推理可得；② 当a，b，c中至多有一个0时，不妨设，可得，从而可得的最小值为2. 【详解】因时，易得， 故（）无最大值． ①若a，b，c中没有0，则由均值定理，． 同理可得，．故有， 当且仅当时，等号成立，而a，b，c中没有0时，该方程组无实数解，故； ②若a，b，c中有0，则至多有一个0，不妨设，此时所求， 当且仅当时，取得最小值2． 综上，无最大值，当，时，取得最小值2． 故答案为：无最大值，最小值为2. 解题策略： 利用基本不等式求最值的策略 【题型二】基本不等式的实际应用 一、单选题 1．（24-25高三上·河南·开学考试）根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中．当不变，与均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（    ） A．存在和，使得不变 B．存在和，使得变为原来的2倍 C．若，则最多可变为原来的2倍 D．若，则最多可变为原来的2倍 2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 4．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速度为，下山（原路返回）的速度为，小刚上山和下山的速度都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（） A．小刚上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 三、填空题 5．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 6．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B BC ABD 1．D 【分析】由，当不变，与均变为原来的2倍时，，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以当不变，与均变为原来的2倍时，， 对于A，若不变，则，所以，因为，所以上式无解， 所以不存在和，使得不变，所以A错误， 对于B，若变为原来的2倍，则，所以， 当，时，，所以， 所以无解，所以不存在和，使得变为原来的2倍，所以B错误， 对于C，若，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，最少可变为原来的2倍，所以C错误， 对于D，由，得， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，所以若，则最多可变为原来的2倍，所以D正确. 故选：D 2．B 【分析】引入变量再设参量，根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得的面积的最大值. 【详解】    设，其中，则， 在直角中，由勾股定理得：， 解得：, . 当且仅当，即时等号成立. 故选:B. 3．BC 【分析】设该公寓窗户面积为x，依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b，同时根据B，C，D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B，C，D. 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故B正确； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以, 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误. 故选：BC. 4．ABD 【分析】根据路程与速度的关系表示时间并结合基本不等式比较大小,逐一判断各选项即可. 【详解】对于A,小刚上山和下山所用时间之和为,故A正确; 对于B,小明上山和下山所用时间之和为,故B正确. 对于C、D,因为，所以而， 所以，小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少.故C错误，D正确. 故选：ABD. 5．12 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 6．4 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 解题策略： 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造函数模型，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论，回答实际问题. 【题型三】基本不等式的灵活应用 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·一模）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 5．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，且，则的最小值是 . 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A ACD ABD 1．C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 2．A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 3．ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 4．ABD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 5．9 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 6． 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 解题策略： 1.“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. 2.利用基本不等式求参数 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围. (2)不等式恒成立问题，往往先分离参数，转化为求最值问题. 当堂温习 一、单选题 1．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 二、多选题 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下面的结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 4．（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 5．（2023·广东·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B ACD AB 1．D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 2．B 【分析】设两次购买猪肉的价格分别为，，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案. 【详解】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，， 第一种方案，均价为， 第二种方案，均价为， 其中，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以采用第二种方案划算. 故选：B 3．ACD 【分析】利用不等式的性质及基本不等式计算即可. 【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确； 对于B，不妨令，则，故B 错误； 对于C，， 当且仅当时取得等号，所以，故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以，则， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 4．AB 【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 故选：AB. 5． 【分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 6． 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 4．（20-21高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“对恒成立”是“”的必要不充分条件 D．设，则的最小值为2 6．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 三、填空题 8．（24-25高三上·福建龙岩·开学考试）已知，且，，则的最小值是 ． 9．（2024高三·全国·专题练习）（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，所用篱笆最短．最短篱笆的长度是 m． （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为 m时，菜园的面积最大．最大面积是 m． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．（22-23高一上·陕西安康·期末）已知，，. (1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件； (2)，恒成立，求的取值范围. 12．（23-24高一上·贵州·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最大值. (2)若正数，满足，求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A A C ABD ABD BCD 1．D 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 2．A 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断，对于CD，利用不等式的性质分析判断， 【详解】，，，即， 且，无法取得等号，则，故A正确； 当，时，，，，，故B错误； ，∴，，故C错误； ，，而，则，故D错误． 故选:A 3．A 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 4．C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以有最小值为， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，所以的最小值为4， 故选:C. 5．ABD 【分析】利用不等式的性质和基本不等式，对选项进行判断. 【详解】若，满足，但此时，A选项错误； 当时，满足，但此时，不成立，B选项错误； 时，，当且仅当，即时等号成立， 对恒成立，则， 时不一定满足，时一定有， 所以“对恒成立”是“”的必要不充分条件，C选项正确； ，则，由不成立，所以等号不成立， 即的最小值不是2，D选项错误. 故选：ABD. 6．ABD 【分析】采用特值法判断C的真假；利用基本不等式判断B的真假；利用不等式的性质判断AD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，故A正确； 对B：因为，所以，两边同乘以得：，故B正确； 对C：取，，则，，，所以不成立，故C错误； 对D：因为，所以，所以，即，故D正确. 故选：ABD 7．BCD 【分析】把转化为，利用，可求的最小值；把转化为，利用“1”的妙用求的最小值；利用求的最小值；利用可求的最小值. 【详解】对A：因为为正实数，且，所以，因为，所以，故A错误. 对B：因为为正实数，且，所以（）. 所以（当且仅当，即时取“”），故B正确； 对C：因为（都是当且仅当时取“”），故C正确； 对D：因为，故，所以（当且仅当时取“”），故D正确. 故选：BCD 8． 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：． 9． 10 40 9 81 【分析】（1）（2）根据给定条件，列式并利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，则篱笆的长度为m， 依题意，，于是，即，当且仅当时取等号， 所以当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m． （2）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，则篱笆的长度为m，矩形菜园的面积为xy， 依题意，，于是，即，当且仅当时取等号， 所以当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园面积最大，最大面积是81． 故答案为：10；40；9；81 10． 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 11．(1)最小值，当，满足时取得最小值. (2)实数的取值范围是. 【分析】（1）将化为，展开后由基本不等式进行求解； （2）将化为，使用基本不等式求出最小值即可求解 【详解】（1）∵， ∴， ∵，，∴，， ∴由基本不等式，有， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即的最小值为，当且仅当时，取得最小值. （2）由已知， ， 当时，由基本不等式，有， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 即已知，当且仅当时，取最小值，， 又∵恒成立， ∴， ∴实数的取值范围是. 12．(1) (2)16 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式计算可得结果； （2）根据基本不等式中“1”的应用代入计算可得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故的最大值为. （2），且， 所以， 即的最小值为， 当且仅当，即，时取等号 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 二、多选题 2．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列四个命题中，所有假命题为（    ） A． B．设，都是正数，若，则的最小值是 C． D．若，则 三、填空题 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 四、解答题 4．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 参考答案： 题号 1 2 答案 C AB 1．C 【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2．AB 【分析】根据基本不等式的“一正”即可判断A是假命题；利用“1”的代换可求出的最小值为16，B是假命题；直接利用基本不等式“”可计算C，D为真命题. 【详解】对A：当为负数时时，不成立，故A是假命题； 对B：因为都是正数，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值是16，故B为假命题； 对C：由题意可知，所以，当且仅当即时取等号，故C是真命题； 对D：若，则，，所以， 当且仅当即时取等号，故D是真命题. 故选：AB. 3．50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 4．(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 【培优篇】 一、单选题 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）记为，两数的最大值，当正数，（）变化时，的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 2．（2023高一上·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．已知，，且，则的最小值为 C．已知，，且，则的最小值为 D．若，，则的最小值为 三、填空题 3．（21-22高三上·上海徐汇·期中）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实m数的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 答案 A ABD 1．A 【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解. 【详解】由，可得，， ， 当正数，（）时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 2．ABD 【分析】对每一个选项利用基本不等式计算判断即可，注意成立条件． 【详解】对于A： 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：， ∴ . 当且仅当＝，即y＝，x＝取等号，故B正确； 对于C： ，当且仅当时，即，时取等号，故C不对； 对D：， 当且仅当，即等号成立，故D正确. 故选：ABD 3． 【分析】根据题意，函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，当位于直线与直线正中间时，函数的最大值最小，进而可求解. 【详解】解：由题意函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离. 作图象如下： 由图可知，当位于直线与直线正中间时,函数的最大值最小， 显然，直线的方程为：， 是对勾函数，由对勾函数性质，可求得直线的方程为：， ， . 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$