第4章 《图形的相似》考点梳理及其训练 学案 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

专题四《图形的相似》考点梳理及其训练（解析版） 一、《图形的相似》考点梳理： 考点1.比例性质 考点2.比例线段 考点3.平行线分线段成比例 考点4.黄金分割 考点5.相似多边形 考点6.相似三角形的判定 考点7 .相似三角形的性质 考点8 .相似三角形的判定和性质综合 考点9 .图形的位似 考点10 .相似三角形压轴题 二、《图形的相似》考点训练： 考点1.比例性质： 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 2．如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质，将选项中给出的比列式进行变形即可，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 【详解】解：、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 故选：． 3．已知，那么下列等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4．已知，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 考点2.比例线段： 5．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（   ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．已知四个数2，﹣3，4，x成比例，则x的值是（   ） A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 【答案】B 【解答】解：由题意得，2：（﹣3）＝4：x， ∴2x＝﹣12， ∴x＝﹣6． 故选：B． 7．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、9cm、10cm、30cm 【答案】D 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 8．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【详解】解：根据题意得，即， 所以． 故选：． 考点3.黄金分割 9．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∴选项C是正确的，其他选项都无法得到． 故选：C． 10 .大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比 （黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（）， 若cm，则约为（   ） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 11 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　 　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A． 考点4.平行线分线段成比例 12．如图，．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意利用比例关系和线段和即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，交过点的平行线于点，交的邻近平行线于点，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交的邻近平行线于点， 根据题意，设， ， ， ， ， 故选：C 14 .如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E， 若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（　 　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解答】解：∵DE∥BC， ∴AD：DB＝AE：EC， ∵BD＝4，AD＝8，CE＝5， ∴8：4＝AE：5， ∴AE＝10． 故选：C． 15 .如图，在中，点分别是边上的点，， 若，则等于（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例．由得，故，再根据得． 【详解】解： ． 故选：D． 考点5.相似多边形 16．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】因为两个图形相似： 解得： A选项正确，不符合题意； B选项错误，符合题意； C选项正确，不符合题意； ， D选项正确，不符合题意； 故选：B． 17．已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm， 则较大多边形的周长为（　　 ） A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm 【答案】A 【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16， ∴两个相似多边形的相似比是3：4， ∴两个相似多边形的周长比是3：4， 设较大多边形的周长为为xcm， 由题意得，18：x＝3：4， 解得，x＝24， 故选：A． 18．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ． 【答案】11 【分析】根据两个图案相似，列出比例式即可求解． 【详解】解：因为是两片形状相同的枫叶图案， 所以两个枫叶相似； 故； 解得，； 故答案为：11． 19 .如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（为折痕），得到两个全等的小矩形． 若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是_______ 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得：，再根据题意可得：矩形与矩形相似，然后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】由折叠得：， 由题意得：矩形与矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为： 考点6. 相似三角形的判定 20.如图，点D是△ABC 的边上的一点，连接， 则下列条件中不能判定的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 21 . 如图，在三角形纸片中，，，， 则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　 　）    A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，，，， A、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、，，对应边，则阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 22．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤， 能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 23．在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证： （1）△BAF∽△BCE； （2）△BEF∽△BCA． 【答案】（1）（2）证明见解析． 【解答】证明：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AFB＝∠CEB＝90°． ∵∠B＝∠B， ∴△BAF∽△BCE． （2）∵△BAF∽△BCE， ∴＝， ∵∠B＝∠B， ∴△BEF∽△BCA． 考点7.相似三角形的性质 24．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ 　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】B 【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4， ∴这两个三角形对应边的比为1：4， 故选：B． 25．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，关键在于证明；证明，求得，再根据三角形的面积关系求得结果． 【详解】设的高为，的高为 由图可得： ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： ∴ 故选：C． 26.图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm， 其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．      【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 27．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点8.相似三角形的判定和性质综合 28．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上． 已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度， 则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 29．如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC． （1）求证：△AEB∽△CED； （2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）8． 【解答】（1）证明：∵BC＝CD， ∴∠D＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠DBA＝∠D， 又∵∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED； （2）解：∵△AEB∽△CED， ∴， 又∵BC＝CD， ∴， 即， ∴AB＝8． 30．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F． （1）求证：△ABE∽△CFB； （2）若CF＝2，求AB的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）AB的长是3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠CBF， ∵∠A＝∠C， ∴△ABE∽△CFB． （2）解：∵DE＝AD，AD＝CB， ∴DE＝CB， ∵DE∥CB， ∴△DEF∽△CBF， ∴＝＝， ∴DF＝CF＝×2＝1， ∴AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3， ∴AB的长是3． 31 .如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为， 交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 考点9.图形的位似 32.如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上． 若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， 则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图：    由图可知，点， ∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴点或， 故选：C． 33 .如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为， 则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 34 .如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1， 与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A、B都在格点上， 则点的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质、坐标与图形性质解答即可． 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为，点的坐标为， 点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 35．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 考点10.相似三角形压轴题 36. (1)如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．    ①求证：AD＝BE； ②求∠AFB的度数． (2)如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，直线AD和直线BE交于点F． ①求证：AD＝BE； ②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝．将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时，在图3中画出图形，并求BF的长度． 【答案】（1）①见详解，②60°；（2）①见详解，②． 【分析】（1）如图①先判断出，即可得出结论； ②求出，即可得出结论； （2）①先判断出，得出，即可得出结论； ②如图，先求出，进而判断出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ，，． ． ． ，． ②如图1，设交于点． ，， ． 即．    （2）①∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ，，， ，． ． ． ． ． ②当点落在线段上时， 如图，则，． 过点作于点， 则， ． ，． ． ． 又， ． ． 又， ． ． ． ．    37．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边， 连接CQ，BP与CQ的数量关系是________； （2） 变式探究： 如图2，在等腰中，，点是边上任意一点， 以为腰作等腰，使，，连接， 判断和的数量关系，并说明理由； （3） 解决问题： 如图3，在正方形中，点是边上一点， 以为边作正方形，是正方形的中心，连接． 若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4． 【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴A，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：连接、，如图所示: ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 38．如图，点在四边形的边上． (1)如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：； (2)当四边形是矩形，，时， ①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值； ②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上， 延长、交于点，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由正方形的性质及可得，，，则≌，即可证明； （2）过作于点，于点，可证明∽，则，再证，得出即可； 连接、，证明∽、∽，推得，再证明∽，然后由相似三角形的对应边成比例求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 于点， ， ， ≌， ． （2）解：如图，过作于点，于点， 则， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 于点， ， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ， 同理， ， ， ； 如图，连接、， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ，； ， ， ∽， ， ， ， ， ， ∽， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四《图形的相似》考点梳理及其训练 一、《图形的相似》考点梳理： 考点1.比例性质 考点2.比例线段 考点3.平行线分线段成比例 考点4.黄金分割 考点5.相似多边形 考点6.相似三角形的判定 考点7 .相似三角形的性质 考点8 .相似三角形的判定和性质综合 考点9 .图形的位似 考点10 .相似三角形压轴题 二、《图形的相似》考点训练： 考点1.比例性质： 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，那么下列等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 考点2.比例线段： 5．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（   ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 6．已知四个数2，﹣3，4，x成比例，则x的值是（   ） A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 7．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、9cm、10cm、30cm 8．若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（   ） A． B． C． D． 考点3.黄金分割 9．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（   ）    A． B． C． D． 10. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比 （黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（）， 若cm，则约为（   ） A．42cm B．38cm C．62cm D．70cm 11 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　 　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 考点4.平行线分线段成比例 12．如图，．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 13． 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， 同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．4 B． C． D． 14 . 如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E， 若BD＝4，AD＝8，CE＝5，则AE的长为（　 　） A．8 B．9 C．10 D．11 15 . 如图，在中，点分别是边上的点，， 若，则等于（　 　） A． B． C． D． 考点5.相似多边形 16．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 17． 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm， 则较大多边形的周长为（　　 ） A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm 18． 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花” 如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ． 19 . 如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（为折痕），得到两个全等的小矩形． 若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是_______ 考点6. 相似三角形的判定 20. 如图，点D是△ABC 的边上的一点，连接， 则下列条件中不能判定的是（　 　） A． B． C． D． 21. 如图，在三角形纸片中，，，， 则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　 　）    A．   B．  C．   D．   22． 直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤， 能够判断的是 ． 23． 在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，连接EF．求证： （1）△BAF∽△BCE； （2）△BEF∽△BCA． 考点7.相似三角形的性质 24．若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ 　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 25．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B． C． D． 26 .图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm， 其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．      27． 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件， 使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 考点8.相似三角形的判定和性质综合 28．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上． 已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度， 则树高为（    ） A． B． C． D． 29．如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC． （1）求证：△AEB∽△CED； （2）若BC＝12，EC＝6，AE＝4，求AB的长． 30．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE交CD于点F． （1）求证：△ABE∽△CFB； （2）若CF＝2，求AB的长． ． 31 .如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为， 交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点9.图形的位似 32 .如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上． 若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， 则点的坐标为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 33 .如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的面积为， 则的面积为 ． 34 .如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1， 与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A、B都在格点上， 则点的坐标是 ． 35． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，直接写出点的坐标． 考点10.相似三角形压轴题 36. (1)如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．    ① 求证：AD＝BE； ② 求∠AFB的度数． (2) 如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，直线AD和直线BE交于点F． ① 求证：AD＝BE； ② 若AB＝BC＝3，DE＝EC＝．将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时， 在图3中画出图形，并求BF的长度． 37．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边， 连接CQ，BP与CQ的数量关系是________； （2） 变式探究： 如图2，在等腰中，，点是边上任意一点， 以为腰作等腰，使，，连接， 判断和的数量关系，并说明理由； （3） 解决问题： 如图3，在正方形中，点是边上一点， 以为边作正方形，是正方形的中心，连接． 若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 38．如图，点在四边形的边上． (1)如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：； (2)当四边形是矩形，，时， ①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值； ②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上， 延长、交于点，当时，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$