6.2 指数函数10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 6.2 指数函数10题型分类 知识点1 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 注：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点2 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 注：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点3 指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： （一） 1.一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.系数为1． 3.求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 题型1：指数函数定义的判断 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 1-2．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一·上海·课堂例题）下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 题型2：利用指数函数的定义求参数 2-1．（2024高一·全国·课后作业）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值． 2-2．（2024高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 2-3．（2024高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 题型3：求指数函数的表达式 3-1．（2024高一上·浙江宁波·期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为 ． 3-2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 3-3．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． （二） 令指数为0求解 题型4：指数型函数过定点问题 4-1．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4-2．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为 . 4-3．（2024高一上·上海青浦·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 . 4-4．（2024高一上·全国·课后作业）函数且所过的定点坐标为 ． （三） 利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”． 题型5：指数函数的图象问题 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   5-2．（2024高一上·全国·课后作业）指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5-4．（2024高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， （四） 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型6：指数函数的定义域、值域 6-1．（2024高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 6-2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 6-5．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 6-6．（2024高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 6-7．（2024高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． （五） 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 题型7：指数函数的单调性及其应用 7-1．（2024高一上·广东广州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高一上·河南·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 . （六） 在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断． 题型8：比较指数幂的大小 8-1．（2024高一上·湖北荆州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 8-2．（2024高一上·河南·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一上·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 8-4．（2024高一上·江苏无锡·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． （七） 简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，①当a>1时，化为f(x)>g(x)求解；②当0<a<1时，化为f(x)<g(x)求解． 若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 题型9：解指数型不等式 9-1．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 9-2．（2024高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高二上·新疆·学业考试）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9-4．（2024高一上·广东广州·期中）不等式的解集为 . 9-5．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 9-6．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . （八） 指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法： (1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中要进行必要的指数幂的运算． (2)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断．　 题型10：函数奇偶性的应用 10-1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 10-2．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 10-3．（2024高三上·甘肃定西·期末）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 一、单选题 1．（2024高三上·江苏常州·阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．（2024高三下·河北石家庄·阶段练习）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 5．（2024高三上·安徽六安·阶段练习）已知，当时，有，则必有（   ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·河北保定·期末）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 7．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 8．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．的值域为 D．的值域为 三、填空题 11．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 12．（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ． 13．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 14．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若函数为偶函数，则 . 15．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则 四、解答题 16．（2024高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求实数a的值． 17．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知点在指数函数的图像上 (1)求，的值； (2)判定函数在上的单调性并证明． 18．（2024高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 19．（2024高二上·安徽·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值域． 20．（2024高一上·河南·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)求在上的最小值． 21．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 22．（2024高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数 (1)求函数的值域； (2)若时，恒有，求实数a的取值范围． 23．（2024高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 24．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 25．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 6.2 指数函数10题型分类 知识点1 指数函数的概念 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 注：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点2 指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 注：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点3 指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： （一） 1.一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.系数为1． 3.求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 题型1：指数函数定义的判断 1-1．（2024高一上·全国·课后作业）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可. 【详解】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 1-2．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 1-3．（2024高一·上海·课堂例题）下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 题型2：利用指数函数的定义求参数 2-1．（2024高一·全国·课后作业）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值． 【答案】1 【分析】根据函数为指数函数，则，，则得到的值. 【详解】因为函数是指数函数，所以． 由是指数函数，得．所以． 2-2．（2024高一上·吉林长春·期末）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 2-3．（2024高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可. 【详解】因为函数为指数函数， 则，且，解得， 故选：C 题型3：求指数函数的表达式 3-1．（2024高一上·浙江宁波·期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出函数解析式，待定系数法求出解析式. 【详解】设（且），故，解得， 故. 故答案为： 3-2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数(，且)，若函数的图像过点，求实数的值． 【答案】 【分析】将点代入，结合的范围，即可求得实数的值． 【详解】将点代入，得，即， 所以或， 又因为，且， 所以． 3-3．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算法则，结合函数解析式直接判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. （二） 令指数为0求解 题型4：指数型函数过定点问题 4-1．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴，其图象不经过第四象限， 故选：D. 4-2．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）幂函数在上单调递增，则的图象所过定点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与性质计算的值，再根据指数函数的性质计算定点即可. 【详解】由题意可知或， 又时，在上单调递减，不符合题意； 而时，符合题意； 所以，当时，，即函数过定点. 故答案为：. 4-3．（2024高一上·上海青浦·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一定点，则这个点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点求解即可. 【详解】因为当时，即时，， 即恒过点. 故答案为： 4-4．（2024高一上·全国·课后作业）函数且所过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，令即可求得定点. 【详解】令，即，则， 所过定点坐标为. 故答案为：. （三） 利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”． 题型5：指数函数的图象问题 5-1．（2024高一上·全国·课后作业）函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案. 【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间， 显然A，B的图象均不正确； C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合. 故选：D 5-2．（2024高一上·全国·课后作业）指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 5-3．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 5-4．（2024高一·全国·课后作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】由直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b即可求解. 【详解】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而， 所以a，b，c，d的值分别是，，，， 故选：C. （四） 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型6：指数函数的定义域、值域 6-1．（2024高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义域即可得到答案； （2）根据分母不等于0即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以其定义域为. （2）由题得，则其定义域为. 6-2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 6-3．（2024高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 6-5．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分别求出分段函数在不同区间函数的值域，再结合函数值域为,得出参数范围. 【详解】当, 当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 6-6．（2024高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 6-7．（2024高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. （五） 研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反． 题型7：指数函数的单调性及其应用 7-1．（2024高一上·广东广州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 7-2．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上为增函数，所以，，解得. 故选：A. 7-3．（2024高一上·河南·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】当时，单调递减，，且最小值为， 当时，当时，单调递增，不符题意， 又注意到是上的减函数， 故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为， 则由题意有，解得． 故选：A. 7-4．（2024高一上·广东·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】设，则， 对称轴为，当，即， 即，即时，为减函数， 函数为增函数， 则为减函数， 即函数单调减区间为； 当，即， 即，即时，为减函数， 函数为减函数， 则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： （六） 在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断． 题型8：比较指数幂的大小 8-1．（2024高一上·湖北荆州·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用指数函数的性质比较大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性知，，而， 故， 故选：D 8-2．（2024高一上·河南·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断大小即可得解. 【详解】， 因为函数在R上是增函数，所以，即． 又，而在上单调递增，所以， 所以，因此． 故选：C． 8-3．（2024高一上·广东深圳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数是上的增函数可判断，的大小；指数函数是R上的减函数可判断，的大小；得解. 【详解】是上的增函数，，即； 又是R上的减函数，，即； . 故选：A. 8-4．（2024高一上·江苏无锡·期中）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用单调性再利用中间值“1”比较即可. 【详解】设，则在单调递增，所以，设，则在单调递增，所以，因为，，所以，所以. 故选：B. （七） 简单的指数不等式的解法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，①当a>1时，化为f(x)>g(x)求解；②当0<a<1时，化为f(x)<g(x)求解． 若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 题型9：解指数型不等式 9-1．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由指数函数在定义域上为单调递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 9-2．（2024高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【详解】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 9-3．（2024高二上·新疆·学业考试）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 9-4．（2024高一上·广东广州·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先利用指数幂的运算化简不等式，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】不等式即， 因为函数为单调递增函数，所以，所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 9-5．（2024高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分与两种情况，解不等式，即可得到结果. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，即，解得，则， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 9-6．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）已知，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数关系，原不等式等价于，转化为通过单调性解题. 【详解】由题设知， 当时，， 当时，，则， 因此，原不等式等价于，根据指数函数性质在，上均为是增函数，且，，，，所以在上是增函数， ∴对任意，不等式恒成立，则对任意恒成立，即， 即，可得： 故答案为： （八） 指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法： (1)奇偶性按照函数奇偶性的定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中要进行必要的指数幂的运算． (2)单调性按照函数单调性的定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再进行符号的判断．　 题型10：函数奇偶性的应用 10-1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以， 经验证，，故. 故选：B. 10-2．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】C 【分析】判断的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调性. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以函数为奇函数， 又因为函数在R上都是减函数， 所以函数在R上是减函数. 故选：C. 10-3．（2024高三上·甘肃定西·期末）已知函数是指数函数. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用指数函数的定义即可求解； （2）利用偶函数的定义即可求解 【详解】（1）由函数是指数函数可得，解得 （2）是偶函数， 证明：由（1）可得，所以，定义域为 ∵， ∴是偶函数. 一、单选题 1．（2024高三上·江苏常州·阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2， ∴q是p的必要不充分条件. 故选：C． 2．（2024高三下·河北石家庄·阶段练习）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求出指数的范围，再根据指数函数的性质即可得解. 【详解】函数，是由和，复合而成， 因为对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 所以时，，时，， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数，的值域是. 故选：C. 3．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 4．（2024高三上·安徽滁州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义域排除A，结合时的函数值恒大于0排除CD，则可得答案. 【详解】由得．排除A； 当时，，所以．排除CD． 又， 当时，，故，故B中图象符合题意， 故选：B 5．（2024高三上·安徽六安·阶段练习）已知，当时，有，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可画出函数图象，根据图象和，且，分析各个选项即可. 【详解】画出的图象： 对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误； 对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误； 对于C，如图，当时，，故C错误； 对于D，由图象可知，，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 6．（2024高一上·河北保定·期末）函数的大致图像是（    ） A．   B．   C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，当时，可得，排除B、D选项；在根据指数函数与幂函数的增长趋势，得到当时，，即可求解. 【详解】由函数，当时，可得，可得排除B、D选项； 当时，可得； 当时，根据指数函数与幂函数的增长趋势， 可得函数大于函数的增长速度，所以， 所以选项A不符合，选项C符合. 故选：C. 7．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是，由于是偶函数，所以， 即，所以，即， 所以，解得，当时，， ，符合题意，所以. 故选：C 二、多选题 8．（2024高一上·全国·单元测试）下列函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可. 【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合； 对于B，且，故符合. 故选：BC 9．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再逐项判断作答. 【详解】设指数函数（且），于是，即，因此， 函数，A正确，B错误； 显然，C正确； 又，因此D正确. 故选：ACD 10．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．的值域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】对A，B，先判断的定义域是否关于原点对称，再求出，即可判断函数的奇偶性；对C，D，先对利用分离常数法进行化简，再根据指数函数的值域以及不等式的性质即可求出的值域. 【详解】解：对A，由知：， 解得：， 故的定义域为：且关于原点对称， ， 即为奇函数，故A错； 对B，由A知为奇函数，故B对； 对C，， ， 或， 则或， 即或， 即或， 即或， 故的值域为，故C对； 对D，由C知的值域为，故D错. 故选：BC. 三、填空题 11．（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号） ①；②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥；⑦． 【答案】③④ 【分析】根据指数函数的定义，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数； 对②：其指数为，不是，故不是指数函数； 对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数； 对⑤：是幂函数，不是指数函数； 对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数； 对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是； 综上，是指数函数的只有③④. 故答案为：③④. 12．（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 因为函数是实数集上的增函数， 所以由， 因此原不等式的解集为， 故答案为： 13．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 【答案】 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若函数为偶函数，则 . 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】的定义域为， 因为是偶函数，所以对于定义域内任意恒成立， 则对于定义域内任意恒成立， 则对于定义域内任意恒成立， 即对于定义域内任意恒成立， 即，对于定义域内任意恒成立， 解得. 故答案为：. 15．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则 【答案】 【分析】根据奇函数定义可求得的解析式，从而可求得，，进而可得答案. 【详解】令，则，所以． 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以，， 所以. 故答案为： 四、解答题 16．（2024高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求实数a的值． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，进而即得. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得， 即实数a的值为4. 17．（2024高一下·安徽马鞍山·阶段练习）已知点在指数函数的图像上 (1)求，的值； (2)判定函数在上的单调性并证明． 【答案】(1)，. (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）根据指数函数的性质，可得，代入点进行计算可得； （2）根据指数函数的单调性，可判断函数的单调性，利用定义法可证明的单调性. 【详解】（1）由已知得，为指数函数，，解得，故点在指数函数的图像上，得，解得，，得到. （2），因为为单调增函数，且也为单调递增函数，故在上为单调递增函数，证明如下： 设，且，有，得 ， 故在上为单调递增函数. 18．（2024高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 19．（2024高二上·安徽·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义求解. （2），令换元后求值域即可. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即， 所以. （2）, 令，则 ， 因为，所以， 所以的值域． 20．（2024高一上·河南·期中）已知函数，且． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)求在上的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用平方的方法求得. （2）根据函数单调性的定义证得在上单调递增. （3）利用换元法，结合对进行分类讨论来求得正确答案. 【详解】（1）依题意，，两边平方并化简得， 所以. （2）任取， ， 由于在上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递增. （3）， 令，由于在上单调递增， 所以，即，则， 当时，， 当时，， 当时，. 综上所述，时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为. 【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 21．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可. 【详解】（1）设， ，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以， 故所求值域为； （2）∵函数的最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； （3）由题意，有实数解， 即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号）， ， ，解得， 即实数a的取值范围为. 22．（2024高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数 (1)求函数的值域； (2)若时，恒有，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数的单调性即可求得值域； （2）将化为，利用换元法结合参变分离的思想即可求得a的范围. 【详解】（1）的定义域为， 当时，， 因为，所以，所以； 当时，， 因为，，所以， 综上，可得函数的值域为． （2）因为，， ，即 两边同时乘以的 即恒成立， ， 即，令，， 则，由二次函数图象与性质可知在上单调递减， 所以当时，， 所以， 所以实数a的取值范围是． 23．（2024高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数，利用换元法求出当时解析式，即可得到函数在R上的解析式； （2）分别对，，三种情况解不等式. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 当时，有，从而， 所以. （2）由（1）知，当时，因为，，所以， 当，，所以当时，， 而当时，，所以不等式在上无解； 当时，不等式为，所以. 记函数，， 因为，所以函数，均为R上的单调增函数， 所以函数为R上的单调增函数. 又， 所以当时，不等式的解集为． 从而关于x的不等式的解集为. 24．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并证明：在上单调递增； (2)求不等式的解集； (3)若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， （2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； （3）， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 25．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$