第二十一章一元二次方程复习课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 一元二次方程复习课 下关一中初中部开发区校区 江坛元 （课时二） 一、知识导图复习 三、基本技能过关 解一元二次方程的关键： 降次——化归的数学思想 (1)直接开平方法 (4)因式分解法 (2) 配方法 (3)公式法 解一元二次方程的方法有： （1）不完整形式的方程：缺一用直；缺常用分。 （2）完整形式的方程：先 分 配 后 公 思考：如何选择解法？ 直接开平方法： 例1 (2x-1)2=1 左边是完全平方式，右边是非负数 两边直接开平方 降次－ 化归为一元一次方程 解一元一次方程 2x-1=1 或 2x-1= -1 x1=1, x2=0 解: (2x-1)=±1 1.依据：如果 x2=a , 那么x = 2.解题步骤： 针对一元二次方程形（没有一次项的）转化为如： x2=p或(mx+n) 2 =p (m,n,p为常数，且p ≥ 0 )的形式; （1）将一元二次方程常数项移到方程的右边。 （2）利用平方根的意义，两边同时开平方。 （3）得到形如： x = （4）写出方程的解. 变成了(x+h)2=k 的形式 体 现 了 转 化 的 数 学 思 想 两边加上32,使左边配成完全平方式 左边写成完全平方的形式 开平方 移项 配方法 概念：把方程左边配成完全平方式的方法,再两边开平方得到了一元二次方程的根,这种解法称为配方法 配方法解一元二次方程的步骤： ① 把二次项系数化为1；把常数项移到方程右边； ②两边加上一次项系数绝对值一半的平方； ③方程左边配成完全平方式，右边是常数项; ④直接开平方解方程。 即一元二次方程变形(mx+n) 2 =p (p ≥ 0 )的形式 公式法： 例 2y2-1=2y 化为一般形式(方程右边为0) 找出 a, b, c(注意符号) 解: 2y2-2y – 1=0 ∵a=2, b= -2, c= -1 ∴b 2-4ac=(-2)2-4×2× (-1)=12＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 算出b 2-4ac的值，并判断根的情况。 y= y1= , y2= 代入求根公式 X= 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。 2.求判别式△ =b2-4ac的值，并与O比较来判定根的情况 （1）当△ ﹥0， 方程有两个不相等的实数 （2）当△ =0， 方程有两个相等的实数根 （3）当△ ＜0，方程没有实数根 3.代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4.写出方程的解. 2.理论依据是:如果A×B=O,则A=O或B=O. 3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 1.因式分解的方法有： (1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。 分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: （2）公式法: （3）十字相乘法: am+bm+cm=m(a+b+c). a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 小结： 1.形如x² =p 或（x+k）² =h的方程可以用直接开平方法求解； 2.千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了。要利用因式分解法求解； 3.当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解； 4.当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用公式法求解，公式法是万能的。 用适当的方法解下列方程 直接开平方法： 1.用开平方法的条件是:缺少一次项的一元二次方程，用开平方法比较方便; 2.形如:ax2+c=o (即没有一次项). a(x+m)2=k 配方法： 用配方法的条件是:适应于任何一个一元二次方程，但是在没有特别要求的情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方法外，一般不用;(即二次项系数为1，一次项系数是偶数。） 配方法的一般步骤: 一除----把二次项系数化为1(方程的两边同 时除以二次项系数a) 二移----把常数项移到方程的右边; 三配----把方程的左边配成一个完全平方式; 四开----利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开、五解. 公式法： 用公式法的条件是:适应于任何一个一元二次方程，先将方程化为一般形式，再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程有实数根， b2-4ac<0则方程无实数根; 方程根的情况与b2-4ac的值的关系: 当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0 时，方程没有实数根. 因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解为两个因式的积,而右边等于0的方程; 2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0). 因式分解法的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 1、直接开平方解方程 2、配方法解方程 3、公式法解方程 4、因式分解法解方程 一元二次方程 一元二次方程的定义 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用 方程两边都是整式 ax²+bx+c=0（a0） 只含有一个未知数 求知数的最高次数是2 配 方 法 求 根 公式法 直接开平方法 因 式 分解法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数 $$