第06讲 双曲线及其性质（十一大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第06讲 双曲线及其性质 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）双曲线的定义与标准方程 （2）双曲线的几何性质 2024年天津卷第8题，5分 2024年甲卷（理）第5题，5分2023年甲卷（文）第8题，5分 2023年天津卷第9题，5分 2023年北京卷第12题，5分 2023年I卷第16题，5分 双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近线、离心率． 复习目标： （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． （2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． （3）了解双曲线的简单应用． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(_____ |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 绝对值 小于 焦点 焦距 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 8 知识梳理·基础回归 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形     性质 焦点 ____________________ ____________________ 焦距 __________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c 9 知识梳理·基础回归 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 性质 范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴： ；对称中心：_____ 顶点 ____________________ ____________________ 轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ，实半轴长： ，虚半轴长：___ x≤－a x≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a 2b a b 10 知识梳理·基础回归 知识点2：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 性质 渐近线 ________ ________ 离心率 a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) (1，＋∞) a2＋b2 11 知识梳理·基础回归 解题方法总结 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 12 知识梳理·基础回归 （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为 ． 若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 解题方法总结 13 【典例1-1】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性； 必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性； 因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件． 故选：B． 题型一：双曲线的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C   题型一：双曲线的定义与标准方程 【方法技巧】 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程． （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程． 题型突破·考法探究 【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：． 故选：A． 题型一：双曲线的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【典例2-1】双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由方程表示双曲线，可得， 当时，可得，解得或； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为． 故选：D． 题型二：双曲线方程的充要条件 题型突破·考法探究 【典例2-2】（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立； 当时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立； 所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件． 故选：A   题型二：双曲线方程的充要条件 题型突破·考法探究 【变式2-1】方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如果方程表示双曲线，则， 解得：， 则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含 ． 只有选项C满足题意． 故选：． 题型二：双曲线方程的充要条件 题型突破·考法探究 【典例3-1】（2024·高三·重庆·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 ． 【答案】2 【解析】解法一：如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为． 解法二：如图，的面积为． 故答案为：2． 题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 ． 【答案】 【解析】由双曲线的定义知，， 两式相加得，又，， 则， 故的周长为． 故答案为：   题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【方法技巧】 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用． 题型突破·考法探究 【变式3-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的实轴长，解得， 所以双曲线方程为，则， 根据双曲线的定义可知，， 所以， 解得，， 所以的周长为， 故答案为： ． 题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】所求的双曲线方程为，则渐近线方程为， 设点，则， 点到的两条浙近线的距离之积为， 解得：，故双曲线方程为：， 故，故双曲线上的点到焦点距离的最小值为． 故答案为：． 题型四：双曲线上两点距离的最值问题 题型突破·考法探究 【典例4-2】双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由焦半径公式得，， 则当时，． 故选：C．   题型四：双曲线上两点距离的最值问题 【方法技巧】 利用几何意义进行转化． 题型突破·考法探究 【变式4-1】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值． 故答案为：． 题型四：双曲线上两点距离的最值问题 题型突破·考法探究 【典例5-1】若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】双曲线，则，，所以， 设右焦点为， 圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 且恰为双曲线的左焦点，， 又点是双曲线右支上的一点，则， 所以， 当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号． 题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】 P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】易得双曲线的焦点分别为（-5，0），（5，0），且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时=   题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 【方法技巧】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 题型突破·考法探究 【变式5-1】过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ． 【答案】 13 【解析】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 设双曲线的左、右焦点分别为，，连接，，，， 可得 ， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为13， 此时P点坐标为． 题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ，为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 题型六：离心率的值及取值范围 方向1：利用双曲线定义去转换 题型突破·考法探究 【典例6-2】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设， 因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率． 故选：A  题型六：离心率的值及取值范围 方向1：利用双曲线定义去转换 题型突破·考法探究 【典例7-1】已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，则有， 即，解得， 又，故． 故选：C． 题型六：离心率的值及取值范围 方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 题型突破·考法探究 【典例7-2】若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 所以圆心到渐近线的距离大于半径，即，， ，． 故选：B． 题型六：离心率的值及取值范围 方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 题型突破·考法探究 【典例8-1】已知分别是双曲线的左､右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由题可知， 又因为，所以， 因为直线的斜率为，所以， 设为的中点，连接，易知， 所以，则，解得， 所以双曲线的离心率为． 故选：A． 题型六：离心率的值及取值范围 方向3：利用，其中2c为焦距长， 题型突破·考法探究 【典例8-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图，设交y轴与A，A为的中点， 因为O为的中点，故为的中位线， 则，而，则， 因为直线的斜率为，故中，， 故设，则， 结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有， 则， 故选：C 题型六：离心率的值及取值范围 方向3：利用，其中2c为焦距长， 题型突破·考法探究 【典例9-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线的虚轴的一个端点，直线与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】设双曲线的右焦点为为坐标原点，由，得是的中点， 在中，为中位线，则，即轴，不妨设点在第一象限， 由，解得，，， 所以． 故答案为： 题型六：离心率的值及取值范围 方向4：坐标法 题型突破·考法探究 【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意，，设，则， 因为为线段的中点，所以，即，则， 因为，所以，即， 又在双曲线上，所以， 结合整理得，所以， 解得或（舍去），由，解得． 故选：A 题型六：离心率的值及取值范围 方向4：坐标法 题型突破·考法探究 【典例10-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 ． 【答案】2 【解析】由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P， 可得，又， 在中，由余弦定理，得， 所以， 根据直线OP为渐近线可得，所以，离心率． 故答案为：2． 题型六：离心率的值及取值范围 方向5：找几何关系，利用余弦定理 题型突破·考法探究 【典例10-2】已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义， 解得．∴双曲线的离心率． 故答案为：． 题型六：离心率的值及取值范围 方向5：找几何关系，利用余弦定理 题型突破·考法探究 【典例11-1】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （       ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【解析】∵，则离心率，则排除A； 记，，， 则， 由正弦定理结合分比定理可知：， 则， 所以B，C是正确的，D不正确． 故选：BC． 题型六：离心率的值及取值范围 方向6：找几何关系，利用正弦定理 题型突破·考法探究 【典例11-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为．故选：D． 题型六：离心率的值及取值范围 方向6：找几何关系，利用正弦定理 题型突破·考法探究 【典例12-1】已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离率为______． 【答案】 【解析】如图， 根据题意，，， ∴，， 设直线的倾斜角为， ∴，当且仅当时等号成立， 即，，，又 ∴， 题型六：离心率的值及取值范围 方向7：利用基本不等式 题型突破·考法探究 【典例12-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】设点，其中，易知点、，且有，则， ， 当点在第一象限时，，，则，，且， 由基本不等式可得， 因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即， ． 题型六：离心率的值及取值范围 方向7：利用基本不等式 题型突破·考法探究 【典例13-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【答案】A 【解析】由题意得，渐近线， 将代入得坐标为，所以， 因为轴，所以， 由已知可得， 两边同时除以得， 所以，即，解得，所以， 而双曲线的离心率，故选：A． 题型六：离心率的值及取值范围 方向8：利用渐近线的斜率求离心率 题型突破·考法探究 【典例13-2】若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以． 故选：：D 题型六：离心率的值及取值范围 方向8：利用渐近线的斜率求离心率 题型突破·考法探究 【典例14-1】双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】由题意知：，， 若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形， ，即，； 设，则， ， 双曲线的离心率． 题型六：离心率的值及取值范围 方向9：利用双曲线第三定义 题型突破·考法探究 【典例14-2】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可知点关于原点对称，设， 则有，， 都在双曲线上，有，，两式相减得， 则，得，即， 又由，则． 故选：． 题型六：离心率的值及取值范围 方向9：利用双曲线第三定义 题型突破·考法探究 【典例15-1】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又， 所以，所以离心率， 又双曲线的离心率大于1，所以． 故选：D． 题型六：离心率的值及取值范围 方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 题型突破·考法探究 【典例15-2】已知双曲线，的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】根据双曲线的定义可得， 因为，所以，， 因为点在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以离心率， 所以双曲线的离心率的最大值为， 故选：B． 题型六：离心率的值及取值范围 方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 题型突破·考法探究 【典例16-1】（多选题）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【解析】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设，注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确．故选：BCD． 题型七：双曲线的简单几何性质问题 题型突破·考法探究 【典例16-2】（多选题）（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知双曲线，则的（    ） A．焦点在轴上 B．焦距为3 C．离心率为 D．渐近线为 【答案】AC 【解析】因为双曲线， 所以的标准方程为， 故焦点在轴上，， 故焦距为，离心率为，渐近线为， 故A，C正确，B，D错误． 故选：AC   题型七：双曲线的简单几何性质问题 【方法技巧】 处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混． 题型突破·考法探究 【变式16-1】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（    ） A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点是它的一个焦点 D． 【答案】ABD 【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为， 容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点， 所以，其中一个焦点坐标应为而不是， 由双曲线定义可知． 故选：ABD． 题型七：双曲线的简单几何性质问题 题型突破·考法探究 【典例17-1】（2024·高三·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确． 故选：D 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【典例17-2】已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为．故选：B．   题型八：利用第一定义求解轨迹 【方法技巧】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围． 题型突破·考法探究 【变式17-1】已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是．故选：B 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【变式17-2】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②． 由①，② 两式相乘得（*）， 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式， 即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为． 故选：C． 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【典例18-1】（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】双曲线的右焦点为，连接， 由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 又，，则有，， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理：， 即，得， 再由， 故渐近线方程为：， 题型九：双曲线的渐近线 题型突破·考法探究 【典例18-2】（2024·云南大理·模拟预测）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 【答案】 【解析】抛物线，即的焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 所以点到直线的距离．  【方法技巧】 掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长． 题型九：双曲线的渐近线 题型突破·考法探究 【变式18-1】（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线：（，）的渐近线方程为， 依题意有， 即，又右焦点为，且轴，所以， 所以， 故答案为：． 题型九：双曲线的渐近线 题型突破·考法探究 【典例19-1】已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为 ． 【答案】 【解析】因为椭圆与双曲线共焦点， 所以有， 因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形， 所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，， 设，由椭圆和双曲线的定义可知：， 由余弦定理可知：， 所以有， 因此的面积为 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 题型突破·考法探究 【典例19-2】设椭圆双曲线共焦点，，离心率分别为，，其中．设曲线，在第一、三象限的交点分别为点，，若四边形为矩形，则 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由椭圆和双曲线的定义得， 设， 所以，， 因为，所以， 即，得， 又因为，解得． 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 题型突破·考法探究 【变式19-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设的半焦距为c（），则，又， 所以，又直线与的一条渐近线平行， 所以，所以， 所以， 所以，所以， 又，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为． 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 题型突破·考法探究 【典例20-1】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中， 联立方程组，解得，联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为． 题型十一：双曲线的实际应用 题型突破·考法探究 【典例20-2】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点．小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且与垂直，，若该双曲线的焦点位于直线上，则在点O以下的焦点距点O ． 【答案】 【解析】设该双曲线的方程为． 因为渐近线相互垂直，所以． 由题意知，， 解得， 故该双曲线的一个焦点位于点O以下．  【方法技巧】 双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性．在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术实现了精准定位．这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响． 题型十一：双曲线的实际应用 题型突破·考法探究 【变式20-1】如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，，设该双曲线的中心在原点，实轴在轴上，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意，设双曲线的方程为，则， 因为，所以，所以， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分， 所以在双曲线上， 代入可得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为 故答案为： 题型十一：双曲线的实际应用 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT C C D D 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2024年天津高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 66 05 课本典例·高考素材 1．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【解析】联立方程可得， 因为有唯一公共点且，则， 整理得，可解得点坐标为，即，其中， 于是，过点M且与l垂直的直线为， 可得，即， 则，即，其中， 所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）， 如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）． 68 2．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【解析】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以， 69 3．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【解析】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离， 到直线的距离， 即 所以动点M的轨迹方程：． 70 4．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【解析】设动点，设d为点M到直线l的距离， 由题意得，即， 左右同时平方，化简可得， 所以， 令， 所以，即， 所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为的双曲线． 71 06 易错分析·答题模板 02 易错点：双曲线焦点位置考虑不周全 易错分析：考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系．若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误．因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判． 【易错题1】已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 ． 【易错题2】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 C 或2 02 答题模板：求双曲线的标准方程 1、模板解决思路 求双曲线的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在x 轴上还是在y轴上，再设出相应的标准方程，由已知条件确定的值． 2、模板解决步骤 第一步：根据条件判断双曲线的焦点位置，设出双曲线的方程． 第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数． 第三步：写出双曲线的方程． 【典型例题1】已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线 与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方 程为 ． 【典型例题2】已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的 一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为 ． 74 感谢观看 THANK YOU －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0)  y＝±x  y＝±x e＝∈__________ －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) $$