精品解析：苏科版2023-2024学年八年级数学上册期中综合素质评价卷

期中综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 2023年10月，中国成功举办第十九届亚运会，下面四幅图片代表四项体育运动，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（ ） A. 75° B. 65° C. 40° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DCB， ∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°， ∴∠DCB=180°-75°-40°=65°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键． 3. 如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等证明，掌握相关知识是解题的关键． 4. 如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查以网格为背景的全等三角形的判定和性质，根据网格特征可利用判定，有，则，在正方形中即可知答案． 【详解】解：如图， 在和中， ∴， ∴， 则， 故选A 故选：A． 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，且，则的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点．熟记相关知识点内容是解题关键．连接得，由得，根据等边对等角可设，则，利用建立方程即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 6. 如图，在中，，平分，E是中点，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 18 C. 24 D. 29.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三线合一求得，进而可得的长及是的中位线，从而求得即可求解． 【详解】解：，平分， ， ， E是中点， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，三角形的中位线定理，利用性质求解线段长是关键． 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 8. 如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的面积求出中边上的高，过作 的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可． 【详解】解：设中边上的高是． ，， ， ， 动点在与平行且与的距离是3的直线上， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 则， 的最小值就是的长， 与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共30分) 9. 正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的含义可知：在正方形、平行四边形、三角形、圆中， 正方形、圆这2个图形一定是轴对称图形； 故答案为：2 10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 【答案】10 【解析】 【详解】解：因为2+2=4， 所以腰长为2时不能构成三角形； 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10． 11. 如图，已知AB=AC，用“ASA”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件_____． 【答案】∠B=∠C 【解析】 【分析】由图形可知∠A为公共角，则需要再添加∠B=∠C． 【详解】解：∵在△ABD和△ACE中，有AB=AC，且∠A=∠A， ∴当利用ASA来证明时，还需要添加∠B=∠C， 故答案为∠B=∠C． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD度数是__________． 【答案】20° 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ． 故答案为：20° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键． 13. 如图，的垂直平分线分别交，于点D，E，，，则点B到点E的距离是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线．连接．根据垂直平分线的性质可得，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 故答案为：6 ． 14. 如图，平面上有与，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．先证明，得出，，证明，根据，，得出，再求出结果即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，则CD的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可证△ABF≌△CDE，可得BF=DE，CE=AF，可求CD的长． 【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠C+∠D=90°，∠A+∠D=90°， 在△ABF与△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴BF=DE，CE=AF=4，CD=AB， ∵AE=AF-EF=4-2=2， ∴DF=AD-AE-EF=5-2-2=1， ∴DE=EF+DF=2+1=3， ∴BF=DE=3， ， ∴CD=AB=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 16. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分的性质，过点D作于点F，根据角平分线的性质得结合三角形得面积公式即可知的面积为，再次利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过点D作于点F，如图 ∵是的角平分线，，， ∴． ∵，的面积为9， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 17. 如图，的面积为，平分，，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 18. 如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∵， ∴的最大值为14， 故答案为：14． 三、解答题(共66分) 19. 如图，在中，E为边上一点，F为的中点，过点A作，交的延长线于点B． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，然后利用证明，根据全等三角形的性质得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出，结合已知求出，然后可得的长． 小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理进行推理论证是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）△ACD的周长为a+b． 【解析】 【分析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB=72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形； （2）由（1）知：AD=CD=CB=b，由△BCD的周长是a，可得AB=a-b，由AB=AC，可得AC=a-b，进而得到△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b． 【小问1详解】 证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB==72°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC， ∴∠ACD=∠A=36°， ∵∠CDB是△ADC的外角， ∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°， ∴∠B=∠CDB， ∴CB=CD， ∴△BCD是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a， ∴AB=a-b， ∵AB=AC， ∴AC=a-b， ∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换． 21. 如图，已知线段a，b，请用无刻度的直尺和圆规作出特定的三角形： （1）求作一个等腰三角形，使它的腰长为b，底边上的高为a； （2）求作一个三角形，使得它的两边长分别为a，b，第三边上的中线长为c． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作直线l，在l上取一点O，过点O作l的垂线，在上截取，以点C为圆心，b为半径作弧，与l交于点A，B，连接，，如图即为所求． （2）以a，b，为边作，在上截取，连接并延长到点D，使，连接，如图即为所求． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：如图， 22. 如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得，，进而证得=60°，则△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高， ∴， ∵点F是BC中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴ 又是等腰三角形， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式． （1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 　 　，　 　； （2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数． 【答案】（1）6，8，10；5，12，13；（2）见解析 【解析】 分析】（1）根据常见勾股数解答即可； （2）先求出x2，y2，z2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：（1）勾股数有6，8，10或5，12，13； 故答案为：6，8，10；5，12，13； （2）∵x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2， ∴x2＝（m2﹣n2）2＝m4+n4﹣2m2n2，y2＝4m2n2，z2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴x2+y2＝（m4+n4﹣2m2n2）+4m2n2＝m4+n4+2m2n2＝z2， ∴x、y、z是一组勾股数． 【点睛】本题考查勾股数，熟知满足的三个正整数称为勾股数是解题的关键． 24. 已知如图，矩形中，，P为BC上一个动点，，点B关于直线的对称点是点E． （1）当时，若直线恰好经过点D，求此时的长； （2）若足够长，当点E到直线的距离不超过3时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点B关于直线的对称点是点E可证得，，，，进而可证，设，则，，根据勾股定理列出方程解答即可； （2）分两种情况进行讨论：①当E点位于直线上方且到距离为3时；②当E点位于直线下方且到距离为3时． 【小问1详解】 如图， ∵点B关于直线的对称点是点E， ∴，，，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，设， ∴，， ∴， 解得， 即的长为； 【小问2详解】 当E点位于直线上方且到距离为3时，如图1，过点E作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．  在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 当E点位于直线下方且到的距离为3时，如图2，过点E作， 在中，， ∴，  在中，， ∴， 解得， ∴当点E到直线的距离不超过3时，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质以及勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 25. 如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒． （1）当为何值时，线段把的面积平分？ （2）当为何值时，为等腰三角形？ （3）点在运动过程中，在边上是否存在一点，使得最小？若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）当时，为等腰三角形 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出的长，根据题意可得为的中点，求得的长度，即可求解； （2）为等腰三角形，点只能在上且，设，则，由勾股定理求解即可； （3）作点关于的对称点，过点作的垂线段，交于点，交于点，连接，则垂线段即为所求的的最小值，根据面积相等求解即可． 【小问1详解】 解：在直角三角形中，由勾股定理得， ∵线段把的面积分成相等的两部分， ∴为的中点，． ∴点运动的路径长为4cm． 运动的时间为（秒） 所以． 【小问2详解】 解：为等腰三角形，点只能在上且， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 【小问3详解】 作点关于的对称点，过点作的垂线段，交于点，交于点，连接， 则垂线段即为所求的的最小值， ∵，， ∴，即最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的中线，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合素质评价 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 2023年10月，中国成功举办第十九届亚运会，下面四幅图片代表四项体育运动，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB度数为（ ） A. 75° B. 65° C. 40° D. 30° 3. 如图，，垂足分别为D、E，且，则与全等的直接理由是（ ） A B. C. D. 4. 如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，且，则的度数是(　　) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，平分，E是中点，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 18 C. 24 D. 29.5 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题(每小题3分，共30分) 9. 正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有______个． 10. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 11. 如图，已知AB=AC，用“ASA”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件_____． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________． 13. 如图，的垂直平分线分别交，于点D，E，，，则点B到点E的距离是____． 14. 如图，平面上有与，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为____． 15. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，则CD的长为________． 16. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是____． 17. 如图，的面积为，平分，，则的面积为____． 18. 如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为____． 三、解答题(共66分) 19. 如图，在中，E为边上一点，F为的中点，过点A作，交的延长线于点B． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示） 21. 如图，已知线段a，b，请用无刻度的直尺和圆规作出特定的三角形： （1）求作一个等腰三角形，使它腰长为b，底边上的高为a； （2）求作一个三角形，使得它的两边长分别为a，b，第三边上的中线长为c． 22. 如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上高，F是BC的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求BC的长． 23. 如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式． （1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 　 　，　 　； （2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数． 24. 已知如图，矩形中，，P为BC上一个动点，，点B关于直线的对称点是点E． （1）当时，若直线恰好经过点D，求此时的长； （2）若足够长，当点E到直线的距离不超过3时，求m的取值范围． 25. 如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度向终点运动，设运动的时间为秒． （1）当为何值时，线段把的面积平分？ （2）当何值时，为等腰三角形？ （3）点在运动过程中，在边上是否存在一点，使得最小？若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$