第一单元 小数乘法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

小数乘法 板块一：考点精讲 【小数乘法知识点归纳】 小数乘法的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的就简便运算；一个数乘纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少． 小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点．如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉． 【小数乘法（推广整数乘法运算定律）知识点归纳】 整数乘法运算定律推广到小数 小数四则混合运算的运算顺序：小数四则混合运算的顺序跟整数是一样的。 （1）有括号的要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。 （2）没有括号的先算乘除再算加减。 （3）同级运算从左往右依次计算。 2.整数乘法运算定律推广到小数：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。 【方法总结】 运用乘法运算定律进行简便计算解题方法： 1.审题：看清题目有什么特征，可否用简便方法计算； 2.转化：合理地把一个因数分解成两个数的积、和或差； 3.运算：正确应用乘法的运算定律进行简便计算； 4.检查：解题方法和结果是否正确。 【小数乘整数知识点归纳】 1、整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。如3×4，可以说：4个3相加的和是多少；也可以表述成：3的4倍是多少。 2、小数乘整数的意义和整数乘整数的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。如：2.5×6，表示6个2.5相加的和是多少；也可以表述成2.5的6倍是多少。 总而言之，小数乘法和整数乘法的含义是相同的的，只是数的形式不同，一个是小数，一个数整数。 【方法总结】 小数乘整数，我们可以利用小数点的移动方法把小数转化为整数再计算，最后根据积的变化规律，利用小数点移动方法得到正确的乘积。 【小数乘小数知识点归纳】 小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。 如：1.5×0.8（整数部分是0）就是求1.5的十分之八是多少。 1.5×1.8（整数部分不是0）就是求1.5的1.8倍是多少。 计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。 【方法总结】 小数乘法应该怎样计算？ 先按照整数乘法算出积，再点小数点； （2）点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的最右边起数出几位，点上小数点。 板块二：高频考点 一、选择题 1．下面各算式中，得数大于0.886的是（    ）。 A．0.886×1 B．0.886×1.001 C．0.886×0.99 D．0.886×0.886 2．南充到西安的动车有三种票价：商务座665元/张、一等座354.5元/张、二等座221.5元/张。张老师买了3张同样价格的票，付给售票员7张100元的人民币，他买的座位是（    ）。 A．商务座 B．一等座 C．二等座 D．无法确定 3．对6.8×101－6.8进行简便计算，将会运用（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．都不是 4．已知（a、b、c都不为0）。a、b、c三个数中最大的是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 5．下列各式中，积最小的是（    ）。 A．2.35×0.12 B．2.35×12 C．235×0.012     D．23.5×12 6．当钟面上显示的时间为9时30分时时针和分针之间的夹角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 7．与6.75×0.86结果相同的是（    ）。 A．67.5×8.6 B．0.675×8.6 C．0.675×86 D．675×0.086 8．已知0.35×170＝59.5，3.5×1.7的积是（    ）。 A．0.595 B．5.95 C．59.5 D．595 二、填空题 9．0.875×3.75的积有（ ）位小数． 10．根据82×61＝5002，在下面的括号里填上合适的数。 8.2×( )＝500.2                      8.2×( )＝0.5002 8.2×( )＝50.02                      8.2×( )＝5.002 11．一个因数是4.67，另一个因数是2.3，它们的积是( )。 12．小玲的爸爸妈妈带着她和3名同学去公园游玩。公园成人票每张5元，儿童票每张2.5元，他们买门票一共需要（ ）钱。 13．已知a×0.99＝b×1.01＝c×0.88（a、b、c都不为0），a、b、c三个数中最大是( )，最小是( )。 14．A、B两个数的积是3.427，当A的小数点向右移动两位且使积变为0.3427，B的小数点应向( )移动( )位。 15．3÷9的商是( )小数，用简便记法可写作( )。1.0245245…是一个循环小数，它的循环节是( )。 16．6.61×0.15的积是（ ）位小数，保留一位小数是（ ）． 三、判断题 17．甲数乘乙数，积一定比它们本身大。( ) 18．一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数小。( ) 19．0.999×1.01的积大于0.999。( ) 20．0.65×0.65的积用“四舍五入法”保留一位小数约是0.4．( ) 21．0.9999×1.02的积大于0.9999且小于1.02。( ) 22．2.04×102的积是四位小数．( ) 23．在0.5×3.7＝1.85中，如果两个乘数同时扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的10倍。( ) 24．列竖式计算小数乘法时，两个因数的小数点不一定对齐。( ) 25．一个因数缩小到原来的，积也缩小到原来的。( ) 四、计算题 26．直接写得数。 0.8×4＝         2.5×100＝       0.06×7＝        1.5×3＝     0.5×100＝       1.3×5＝         4.2×3＝        0.7×0.8＝ 27．竖式计算。 12.68－6.7＝         4.86＋6.34＝ 0.27×0.47＝ 1.5×0.63＝         0.96×6.9＝ 29－8.17＝ 28．简算下面各题。 5.3×0.7＋0.3×5.3      9.9×1.6－6.5×1.6      12.5×3.4×0.08 8.9×2.6＋2.6×1.1      2.5×0.44      3.55×0.9 五、解答题 29．张老师给同学们买奖品，日记本和便利贴各买了20本。 （1）买这两种奖品一共用去多少元？ （2）张老师带了100元钱，剩下的钱要买20支铅笔，够吗？ 30．一个城市的出租车在3km（含3km）以内收费7元，超过3km，每千米收1.5元。爸爸乘坐了18km，要付多少车费？ 31．某地固定电话的计费标准如下：前3分钟，共计费0.2元，以后每分钟计费0.1元，不足1分钟按1分钟收费。张老师给报社打了11分30秒的电话，应付多少元电话费？ 32．农场有一块长200米，宽150米的长方形试验田，平均每公顷产稻谷13.8吨，这块试验田一共产稻谷多少吨？ 33．一辆火车平均速度70.5千米/时。1.8小时行驶的路程是多少千米？ 34．王奶奶有一块菜地（如图），这块菜地的面积是多少平方米？用篱笆把菜地围起来，至少需要多长的篱笆？ 35．某次纪念活动，五年级（1）班35名师生合影，每人一张照片，下面是收费标准，一共需要多少钱？ 收费标准 1.合影一张15元（含5张照片） 2.加印一张1.5元 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B C A C B B 1．B 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）乘1，积等于这个数；据此解答即可。 【详解】A. 0.886×1＝0.886；     B. 0.886×1.001＞0.886；     C. 0.886×0.99＜0.886； D． 0.886×0.886＜0.886。 故答案为：B 【点睛】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系。 2．C 【分析】根据“总价＝单价×数量”求出买3张同样价格的票各需要多少元，最后选出总钱数小于700元的选项，据此解答。 【详解】付的钱数：7×100＝700（元） 商务座：665×3＝1995（元） 一等座：354.5×3＝1063.5（元） 二等座：221.5×3＝664.5（元） 因为664.5元＜700元，所以他买的座位是二等座。 故答案为：C 【点睛】掌握单价、总价、数量之间的关系是解答题目的关键。 3．B 【分析】根据算式6.8×101－6.8的特征，可得对6.8×101－6.8进行简便计算，将会运用乘法分配律，据此解答即可。 【详解】对6.8×101－6.8进行简便计算，将会运用乘法分配律。 6.8×101－6.8 ＝6.8×（101－1） ＝6.8×100 ＝680 故答案为：B 【点睛】此题主要考查了乘法分配律在小数四则混合运算中的应用。 4．C 【分析】由于三个式子的乘积相等，根据积的变化规律可知，在积相等的情况下，一个因数越大，另一个因数就越小，据此解答。 【详解】由分析得： 因为1.01＞0.99＞0.87，所以b＜a＜c。 因此a、b、c三个数中最大的是c。 故答案为：C 5．A 【解析】积的变化规律是：一个因数扩大多少倍，另一个因数就要缩小相同的倍数（0除外），积不变；可根据选项因数的特点，依据算式235×12因数的变化进行选择即可。 【详解】根据235×12可知： A：2.35×0.12的积比原来缩小了10000倍； B：2.35×12的积比原来缩小了100倍； C：235×0.012的积比原来缩小了1000倍； D：23.5×12的积比原来缩小了10倍； 所以，选项中积最小的是2.35×0.12。 故答案选：A。 【点睛】本题主要考查小数的乘法，掌握积的变化规律是解决此题的关键。 6．C 【分析】钟面上有12个数字把钟面分成12大格，一个大格的度数为360÷12＝30（度）9点30分，时针指向9和10中间，分针指向6，两者之间间隔3.5个大格，据此解答。 【详解】30×3.5＝105（度），105°为钝角，故答案选：C。 【点睛】本题考查角的计算，掌握钟表知识和小数乘法是解题的关键。 7．B 【分析】根据积不变的规律，一个因数乘几或除以几（0除外），另一个因数除以几或乘几，积不变。据此逐一分析各项即可。 【详解】A． 6.75乘10变为67.5，0.86乘10变为8.6，不符合积不变的规律，则67.5×8.6与6.75×0.86结果不相同； B．6.75除以10变为0.675，0.86乘10变为8.6，符合积不变的规律，则0.675×8.6与6.75×0.86结果相同； C．6.75除以10变为0.675，0.86乘100变为86，不符合积不变的规律，则0.675×86与6.75×0.86结果不相同； D．6.75乘100变为675，0.86除以10变为0.086，不符合积不变的规律，则675×0.086与6.75×0.86结果不相同。 故答案为：B 8．B 【分析】从0.35到3.5扩大到原来的10倍，从170到1.7缩小到原来的，根据积的变化规律，积就缩小到原来的，据此解答即可。 【详解】3.5×1.7 ＝（0.35×10）×（170÷100） ＝（0.35×170）×10÷100 ＝59.5÷10 ＝5.95 故答案为：B 【点睛】本题主要考查积的变化规律的运用。 9．五 【详解】试题分析：依据积的小数位数等于两个小数位数的和进行解答． 解：因为0.875有三位小数， 3.75有两位小数， 3+2=5， 所以它们的积有五位小数． 故答案为五． 点评：本题主要考查学生依据因数小数位数，求积的小数位数知识掌握． 10． 61 0.061 6.1 0.61 【分析】一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几；两个因数相乘，一个因数乘m或除以m（0除外），另一个因数乘n或除以n（0除外），积就乘mn或除以mn。 【详解】因为82×61＝5002，所以： 8.2×61＝500.2 8.2×0.061＝0.5002 8.2×6.1＝50.02 8.2×0.61＝5.002 11．10.741 【分析】根据因数×因数＝积，用4.67×2.3即可求出积。 【详解】4.67×2.3＝10.741 所以，它们的积是10.741。 12．20 【分析】单价×数量＝总价，成人票单价×人数＋儿童票单价×人数＝需要的总钱数，据此列式计算。 【详解】小玲的爸爸妈妈带着她和3名同学去公园游玩，共2名大人和4名儿童。 5×2＋2.5×4 ＝10＋10 ＝20（元） 他们买门票一共需要20钱。 13． c b 【分析】由题意可知，a×0.99、b×1.01和c×0.88的积相等，由于1.01＞0.99＞0.88，则b＜a＜c，由此解答即可。 【详解】已知a×0.99＝b×1.01＝c×0.88（a、b、c都不为0），a、b、c三个数中最大是 c，最小是b。 【点睛】本题也可以采用假设法a×0.99＝b×1.01＝c×0.88＝1，分别求出a、b、c，再进行比较。 14． 左 三 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 根据积的变化规律可知：A、B两个数的积是3.427，当A的小数点向右移动两位且使积变为0.3427，即因数A扩大到原来的100倍，而积缩小到原来的，那么因数B要缩小到原来的，据此解答。 【详解】A、B两个数的积是3.427，当A的小数点向右移动两位且使积变为0.3427，B的小数点应向左移动三位。 【点睛】掌握积的变化规律并灵活运用是解题的关键。 15． 循环/无限循环 245 【分析】一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；先求出3除以9的商，找出循环节，然后写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【详解】3÷9＝ 3÷9的商是循环小数，用简便记法可写作；1.0245245…是一个循环小数，它的循环节是245。 16． 四 1.0 【分析】根据小数乘法的计算法则算出积，再利用“四舍五入法”分别求出近似数即可． 【详解】6.61×0.15＝0.9915≈1.0 答：6.61×0.15的积是四位小数，保留一位小数是1.0． 故答案为：四，1.0． 【点睛】此题考查的目的是掌握小数乘法的计算法则、以及利用“四舍五入法”，求积的近似数的方法． 17．× 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 【详解】假设甲数是20，乙数是1或3； 20×1＝20，所得的积等于甲数； 20×3＝60，所得的积比它们本身大； 甲数乘乙数，如果其中一个是0，积一定不比它们本身大。 因此，甲数乘乙数，积一定比它们本身大，说法错误。 故答案为：×。 【点睛】用举例法推翻题干中的结论，特别注意还有与“0”相乘的例子，这样才考虑全面。 18．× 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大，据此分析。 【详解】一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数小，说法错误，应该比原来的数大。 故答案为：× 【点睛】关键是掌握小数乘法的计算方法。 19．√ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；据此解答。 【详解】因为1.01＞1 所以0.999×1.01的积大于0.999 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查了判断因数与积之间大小关系的方法。 20．√ 21．√ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数，据此解答。 【详解】由分析可得：0.9999×1.02的积大于0.9999且小于1.02，故原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查了不用计算判断因数与积之间大小关系的方法。 22．× 【详解】根据积的小数位数等于两个因数小数位数的和，2.04×102＝208.08，2.04×105的积是两位小数； 所以2.04×105的积是四位小数．说法错误． 23．× 【分析】积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍；一个乘数不变，另一个乘数缩小到原来的几分之一，积也缩小到原来的几分之一。两个乘数同时扩大到原来的几倍，则乘积扩大到倍数的乘积倍，据此解答。 【详解】根据积的变化规律，在0.5×3.7＝1.85中，如果两个乘数同时扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的10×10＝100倍。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握并熟练运用积的变化规律是解题的关键。 24．√ 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。据此举例说明即可。 【详解】 如：，列竖式计算小数乘法时，两个因数的小数点不一定对齐，说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是掌握小数乘法的计算方法。 25．× 【分析】积的变化规律： （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么积也扩大（或缩小）相同倍数； （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，那么积不变。 【详解】一个因数缩小到原来的，另一个因数不变，积也缩小到原来的。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查的是积的变化规律，学生应理解掌握。 26．3.2；250；0.42；4.5； 50；6.5；12.6；0.56 27．5.98；11.2；0.1269； 0.945；6.624；20.83； 【分析】小数加、减法的计算法则： 1：计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）。 2：再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。 （得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。） 小数乘法法则是： 1、按整数乘法的法则算出积。 2、再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。 3、得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。 【详解】12.68－6.7＝5.98         4.86＋6.34＝11.2         0.27×0.47＝0.1269           1.5×0.63＝0.945        0.96×6.9＝6.624         29－8.17＝20.83            28．5.3；5.44；3.4； 26；1.1；3.195 【分析】“5.3×0.7＋0.3×5.3”根据乘法分配律将5.3先提出来，再计算； “9.9×1.6－6.5×1.6”根据乘法分配律将1.6先提出来，再计算； “12.5×3.4×0.08”根据乘法交换律和结合律，先计算12.5×0.08，再计算括号外的乘法； “8.9×2.6＋2.6×1.1”根据乘法分配律将2.6先提出来，再计算； “2.5×0.44”先将0.44写成0.4×1.1，再根据乘法结合律计算2.5×0.4，最后再计算括号外的乘法； “3.55×0.9”先将0.9写成1－0.1，再根据乘法分配律展开计算。 【详解】5.3×0.7＋0.3×5.3 ＝5.3×（0.7＋0.3） ＝5.3×1 ＝5.3； 9.9×1.6－6.5×1.6 ＝（9.9－6.5）×1.6 ＝3.4×1.6 ＝5.44； 12.5×3.4×0.08 ＝（12.5×0.08）×3.4 ＝1×3.4 ＝3.4； 8.9×2.6＋2.6×1.1 ＝2.6×（8.9＋1.1） ＝2.6×10 ＝26； 2.5×0.44 ＝（2.5×0.4）×1.1 ＝1×1.1 ＝1.1； 3.55×0.9 ＝3.55×（1－0.1） ＝3.55×1－3.55×0.1 ＝3.55－0.355 ＝3.195 29．（1）81.6元；（2）够 【分析】（1）总价＝单价×数量，把数据代入求出买日记本和便利贴的钱，然后相加即可解答。 （2）用张老师带的钱减去买两种奖品一共用去的钱，等于剩下的钱，铅笔的单价乘20等于20支铅笔的钱，把剩下的钱与20支铅笔需要的钱进行比较即可解答。 【详解】（1）2.28×20＋1.8×20 ＝（2.28＋1.8）×20 ＝4.08×20 ＝81.6（元） 答：买这两种奖品一共用去81.6元。 （2）100－81.6＝18.4（元） 0.8×20＝16（元） 18.4＞16，够了。 答：剩下的钱买20支铅笔够了。 30．29.5元 【分析】把18千米分为两部分，前3千米按照7元收费，剩下的长度按照每千米1.5元收费，由此求出剩下长度需要的钱数，再加上前3千米需要的钱数7元即可。 【详解】（18－3）×1.5＋7 ＝15×1.5＋7 ＝22.5＋7 ＝29.5（元） 答：要付29.5元车费。 【点睛】解答此题需要分情况探讨，明确题目中所给数量属于哪一种情况，由此选择正确的解题方法。 31．1.1元 【分析】11分30秒不足12分钟按12分钟收费，前3分钟共收费0.2元，超过的（12－3）分钟按每分钟0.1元收费，根据“总价＝单价×数量”表示出超过部分应付的电话费，最后加上0.2元，据此解答。 【详解】11分30秒≈12分 （12－3）×0.1＋0.2 ＝9×0.1＋0.2 ＝0.9＋0.2 ＝1.1（元） 答：应付1.1元电话费。 【点睛】本题主要考查分段计费，理解不同通话时长对应的收费标准是解答题目的关键。 32．41.4 【详解】解：200×150=30000（平方米）=3公顷， 3×13.8=41.4（吨）， 答：这块试验田共收小麦41.4吨． 【点评】解答此题的关键是利用长方形的面积公式确定试验田的面积． 33．126.9千米 【详解】70.5×1.8=126.9（千米） 答：1.8小时行驶的路程是126.9千米。 34．40m2；28m 【分析】把这块菜地分成两个长方形，再根据长方形的面积＝长×宽进行计算。 求至少需要多长的篱笆就是求这块菜地的周长，菜地的周长相当于长是7.25m，宽是（4＋2.75）m的长方形的周长，依据公式长方形的周长＝（长＋宽）×2计算即可。 【详解】7.25×4＋4×2.75 ＝（7.25＋2.75）×4 ＝10×4 ＝40（m2） （4＋2.75＋7.25）×2 ＝14×2 ＝28（m） 答：这块菜地的面积是40m2，至少需要28m长的篱笆。 【点睛】此题考查长方形的周长公式C＝（a＋b）×2、面积公式S＝ab的实际应用。 35．60元 【分析】35名师生合影，每人一张照片，需要35张照片。按照收费标准，合影一张15元（含5张照片），需要加印35－5＝30（张），根据单价×数量＝总价，用1.5乘30即可求出加印照片需要的钱，再加上15元即可求出一共需要多少钱。 【详解】1.5×（35－5）＋15 ＝1.5×30＋15 ＝45＋15 ＝60（元） 答：一共需要60元。 【点睛】本题考查分段计价问题。读懂题意，求出加印照片需要的张数和钱数是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$