湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期第一次周测数学试题

长沙市周南中学2024年下学期高一第一次周测 数 学 试 题 (时量：60分钟　　满分：72分) 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ( U A B )1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,8}，B＝{2,4,5,6}，则图中阴影部分所表示的集合是    A．{2,5} B．{4,6} C．{2,5,6} D．{1,3,8} 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合、N，定义集合M－N＝{x|x∈M且xN}，记M－N中的元素个数为|M－N|．若M＝{－1,0,1, 3}，N＝{1,3,5}，则|(M－N)∪(N－M)|＝ A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知实数x、y满足：－5＜x＋y＜5且－3＜x－y＜3，则z＝3x－y的取值范围是 A．－16＜z＜16 B．－11＜z＜11 C．－4＜z＜4 D．－13＜z＜13 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 5．集合A＝{x|ax2－x＋a＝0}只有一个元素，则实数a的取值可以是 A．0 B．－ C．1 D． 6．设正实数m、n满足m＋n＝1，则 A．＋的最小值为3＋2 B．＋的最小值为 C． 的最大值为1 D．m2＋n2的最小值为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 7．已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______________． 8．设实数a、b、c满足，a2＋b2≤c≤1则a＋b＋c的最小值为______________． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|2a－3≤x≤a＋1}，实数集R为全集． (1) 求A∪B，(∁RA)∩B； (6分) (2) 若∀x∈C都有x∈A是真命题，求实数a的取值范围． (9分) 10．(1) 已知c＞a＞b＞0，求证：＞； (5分) (2) 观察以下运算： 1×5＋3×6＞1×6＋3×5， 1×5＋3×6＋4×7＞1×6＋3×5＋4×7＞1×7＋3×6＋4×5. ① 若两组数a1、a2与b1、b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明； (5分) ② 若两组数a1、a2、a3与b1、b2、b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3按从小到大排列，并证明其大小顺序． (5分) ( U A B )1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,8}，B＝{2,4,5,6}，则图中阴影部分所表示的集合是    A．{2,5} B．{4,6} C．{2,5,6} D．{1,3,8} 【答案】C 【详解】由图可知图中阴影部分所表示的集合为， 由于全集，集合， 故，则， 故选：C 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 3．已知集合、N，定义集合M－N＝{x|x∈M且xN}中的元素个数．若M＝{－1,0,1, 3}， N＝{1,3,5}，则|(M－N)∪(N－M)|＝ A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，则. 故选：A 4．已知实数x、y满足：－5＜x＋y＜5且－3＜x－y＜3，则z＝3x－y的取值范围是 A．－16＜z＜16 B．－11＜z＜11 C．－4＜z＜4 D．－13＜z＜13 【答案】B 【详解】由题意，设，整理得， 可得，解得，即， 又由且，则， 所以，即. 故选：B. 5．集合A＝{x|ax2－x＋a＝0}只有一个元素，则实数a的取值可以是 A．0 B．－ C．1 D． 【答案】ABD 【详解】当时，，满足条件； 当时，若中仅有一个元素，则，此时， 若，则，满足， 若，则，满足， 故选：ABD. 6．设正实数m、n满足m＋n＝1，则 A．＋的最小值为3＋2 B．＋的最小值为 C． 的最大值为1 D．m2＋n2的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 7．已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【详解】当时，无解，此时，满足题意； 当时，有解，即， 若，则，所以要使，需满足，解得； 若，则，所以要使，需满足，解得. 综上，实数a的取值范围为. 8．设实数a、b、c满足，a2＋b2≤c≤1则a＋b＋c的最小值为______________． 【答案】 【详解】由可得：， 当时取等号，所以的最小值为. 9．集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|2a－3≤x≤a＋1}，实数集R为全集． (1) 求A∪B，(∁RA)∩B； (2) 若∀x∈C都有x∈A是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，或(2) （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，或， 所以或. （2）因为是的必要条件，所以， 当，即时，满足题意； 当，即时，则，解得， 综上可得. 10．(1) 若若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤； (2) 已知c＞a＞b＞0，求证：＞； (3) 观察以下运算： 1×5＋3×6＞1×6＋3×5， 1×5＋3×6＋4×7＞1×6＋3×5＋4×7＞1×7＋3×6＋4×5. ① 若两组数a1、a2与b1、b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明； ② 若两组数a1、a2、a3与b1、b2、b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由)． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①成立，证明见解析；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3 【详解】证明：（1）因为，所以， 又，即， 所以，所以，即≤； （2）因为，所以，， 所以，所以； （3）解：①成立，证明如下： ∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)， 又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1； ②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$