2.2.2直线 两点式方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---04直线的两点式方程 1、 问题导学： 1.直线方程的点斜式和斜截式成立的条件是什么？ 2.一点一个方向（斜率）可以确定一条直线，两点也可以确定一条直线，如何根据两点写出直线方程呢？直线方程还有哪些形式呢？ 二、知识构建 知识点一　直线的两点式方程 1．直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程 叫作直线的两点式方程，简称两点式． 特别的： （2）当，时，直线方程为 或 ． （3）当，时，直线方程为 或 ． 知识点二　直线的截距式方程 2.直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程 叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3．截距的概念 （1）横截距：直线与 轴交点的 坐标．在直线方程中，令 ，解出的值即可． （2）纵截距：直线与 轴交点的 坐标．在直线方程中，令 ，解出的值即可． 温馨提示： （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； 知识点三 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为， 则 ． 三、类型剖析 题型一 直线的两点式、截距式方程辨析 题型二 求直线的两点式方程 题型三 求直线的截距式方程 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 四、类型应用 题型一 直线的两点式、截距式方程辨析 【例1】（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（23-24高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 求直线的两点式方程 【例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【跟踪训练2-2】（2024··高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 求直线的截距式方程 【例3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形. （1）在x轴、y轴上的截距分别是2，3； （2）在x轴、y轴上的截距分别是，6． 【跟踪训练3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求直线的方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2． 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【例4】（22-23高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【跟踪训练4】（（23-24高二上·重庆·月考）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【例5】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 【跟踪训练5】（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【例6】（2023高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【跟踪训练6】（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 五、素养提升 【例7】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【跟踪训练7-1】（23-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【跟踪训练7-2】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练7-3】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练7-4】（2024··江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或或 【跟踪训练7-5】（2024··高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____. 【跟踪训练7-6】（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 六、随堂检测 1．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·海南·期中）在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 5．（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 8．（23-24高二上·北京·阶段练习）直线与坐标轴围成的图形面积为 . 9．（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 10．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ． 11．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 12．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---04直线的两点式方程 1、 问题导学： 1.直线方程的点斜式和斜截式成立的条件是什么？ 2.一点一个方向（斜率）可以确定一条直线，两点也可以确定一条直线，如何根据两点写出直线方程呢？直线方程还有哪些形式呢？ 二、知识构建 知识点一　直线的两点式方程 1．两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2．直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 特别的： （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 知识点二　直线的截距式方程 1．截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2．直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3．截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 温馨提示： （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； 知识点三 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 三、类型剖析 题型一 直线的两点式、截距式方程辨析 题型二 求直线的两点式方程 题型三 求直线的截距式方程 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 四、类型应用 题型一 直线的两点式、截距式方程辨析 【例1】（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确；故选：D. 【跟踪训练1】（23-24高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线方程的两点式使用条件可判断①②；③式是由直线两点式化简而得，通过验证斜率为0或不存在即可验证命题真伪. 【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确. 故选：D. 题型二 求直线的两点式方程 【例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 【跟踪训练2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 【跟踪训练2-2】（2024··高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 题型三 求直线的截距式方程 【例3】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形. （1）在x轴、y轴上的截距分别是2，3； （2）在x轴、y轴上的截距分别是，6． 【答案】（1）（图见解析）（2）（图见解析） 【分析】由截距式直接写出答案即可. 【详解】（1）由截距式得：. （2）由截距式得：. 【跟踪训练3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求直线的方程. （1）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点，且在两坐标轴上的截距之差为2． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案. （2）根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案. 【详解】（1）因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为. 则直线为. （2）因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为或. 则直线为或. 所以直线为或 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·山西太原·期末）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】B 【分析】利用横纵截距的意义求解即得. 【详解】直线，当时，，当时，， 所以直线在轴和轴上的截距分别为，2. 故选：B 【例4】（22-23高二·全国·课堂例题）已知三角形的顶点是，，（如图），分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【答案】，， 【分析】根据直线的两点式，斜截式及截距式方程求解即可. 【详解】直线AB过，两点， 由直线的两点式方程，得，即， 所以直线AB的方程为； 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是， 由直线的斜截式方程，得，即， 所以直线BC的方程； 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是，2， 由直线的截距式方程，得，即， 所以直线AC的方程． 【跟踪训练4】（23-24高二上·重庆·月考）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）设的坐标为， 则由中点坐标公式可得，，故， 所以 所以，直线方程为. 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【例5】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 【答案】或 【解析】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为， 由已知可得，解得或， 所以或， 故直线的方程为或． 【跟踪训练45】（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【例6】（2023高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【答案】x＋2y－4＝0 【分析】方法一：设直线的方程为，则，然后表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线的方程，方法二：设直线：，则，然后利用基本不等式可得，从而可求出其最小值，进而可求出直线的方程. 【详解】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 故直线的方程为， 即. 方法二：设直线：， 因为直线l过点， 所以， 则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 此时，故直线的方程为， 即. 【跟踪训练6】（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 五、素养提升 【例7】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】或 【分析】当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【跟踪训练7-1】（23-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 【跟踪训练7-2】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 【跟踪训练7-3】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 【跟踪训练7-4】（2024··江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解. 【详解】当此直线过原点时，直线方程为，化为； 当此直线不过原点时，设直线的方程为，或， 把点分别代入可得，或，解得，． 直线的方程为或． 综上可知：直线的方程为或，． 【跟踪训练7-5】（2024··高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____. 【答案】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可. 【详解】设直线的方程为，则解得 则直线的方程为+=1，即. 故答案为： 【跟踪训练7-6】（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 六、随堂检测 1．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 3．（22-23高二上·海南·期中）在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的截距式方程即可求解. 【详解】因为直线在轴、轴上的截距分别是、3， 所以直线方程是，即． 故选：C． 4．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线AB的方程，根据直线垂直得到，求出答案. 【详解】直线AB的方程为，即， 因为直线与直线AB垂直，所以，解得. 故选：D 5．（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 6．（21-22高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程. 【详解】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即. 由，得或. 故所求直线方程为或. 故选：D 7．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 8．（23-24高二上·北京·阶段练习）直线与坐标轴围成的图形面积为 . 【答案】3 【分析】结合截距式的含义直接求解即可. 【详解】直线,故x轴上的截距为2，y轴上的截距为-3， 所以面积为. 故答案为：3 9．（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【答案】 【分析】（1）由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程； （2）利用斜率两点式列方程求参数. 【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为. （2）由斜率两点式，即，可得. 故答案为：；. 10．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知直线l过点，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ． 【答案】或 【分析】分类讨论直线的截距是否为0，一一计算即可. 【详解】若直线在坐标轴上的截距都是0，则由点在l上，得其方程为； 若直线在坐标轴上的截距不为0，可设其方程为，将点代入可得，所以l的方程是. 故答案为：或. 11．（23-24高一上·福建宁德·阶段练习）（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可知所求直线经过两点，求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）由题意可设直线的方程为，再利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 12．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. （2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得. 【详解】（1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为. （2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线的方程为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$