2.2.1直线方程的点斜式导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---03直线的点斜式方程 一、问题导学： 1.给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.给定直线上的点的坐标、斜率两个要素之间的关系如何表示呢？ 2.直线方程的点斜式和斜截式成立的条件是什么？ 二、知识构建 知识点一　直线方程的点斜式 1.直线的点斜式方程： 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)．． 【注意】 （1）点斜式的前提条件： ① 必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率 （2）当直线的倾斜角为时，直线的方程 （3）当直线的倾斜角为时，直线的方程 知识点二　直线的斜截式方程 1.截距：我们把直线l与y轴的交点的直线的方程 b叫做直线l在y轴上的截距. 2. 直线的斜截式方程： 直线的方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，简称斜截式. 其中， k是直线的 ，b是直线在y轴上的 . 注意：① 斜截式方程由直线的斜率和在y轴上的截距确定；② 不能表示斜率不存在的直线. 知识点三 利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直 已知直线， （1） （2） 知识点四 一次函数与直线方程的关系： 三、类型剖析 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 直线的图象及应用 题型四 平行与垂直问题 四、类型应用 题型一直线的点斜式方程 【例1】（23-24高二上·全国·课前预习）直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 【跟踪训练1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）写出下列直线的点斜式方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； （3）经过点，倾斜角是； （4）经过点倾斜角是． 【跟踪训练1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 . 【跟踪训练1-3】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【跟踪训练2-1】（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线的方程为，则倾斜角为 ，在轴上的截距为 . 【跟踪训练2-2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【跟踪训练2-3】（23-24高二上·北京西城·期中）已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为 ． 【跟踪训练2-4】（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线的倾斜角为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 直线的图象及应用 【例3】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过第__________象限. 【跟踪训练3-1】（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·北京怀柔·期中）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 平行与垂直问题 【例4】判断下列各对直线是否平行或垂直： 【跟踪训练4-1】写出下列两组直线的斜截式方程，并判断位置关系： (1) 直线斜率是，在y轴上的截距是－3； 直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5. (2) 直线斜率是，在y轴上的截距是－2； 直线倾斜角是30°，在y轴上的截距是－2. 【跟踪训练4-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，若，则a＝（    ） A．0 B． C．1 D．±1 【跟踪训练4-3】（23-24高二上·天津·月考）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 五、素养提升： 1.（20-21高二上·北京·期中）已知直线经过点，且直线的方向向量为，则直线的斜率为 .直线的方程为 . 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 六、随堂检测 1．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·单元测试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（21-22高二·江苏·课后作业）直线可能是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 9．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 . 10．（20-21高二上·北京·期中）直线的倾斜角为 ，经过点且与直线垂直的直线的斜截式方程为 11.（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 12．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 13．（23-24高二下·全国·课后作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---03直线的点斜式方程 一、问题导学： 1.给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.给定直线上的点的坐标、斜率两个要素之间的关系如何表示呢？ 2.直线方程的点斜式和斜截式成立的条件是什么？ 二、知识构建 知识点一　直线方程的点斜式 1．点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2.直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(pointslopeform)．． 【注意】点斜式的前提条件： （1）①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率 （2）当直线的倾斜角为时，，即， 这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即． （3）当直线的倾斜角为时，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即． 知识点二　直线的斜截式方程 1.截距：我们把直线l与y轴的交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 2. 直线的斜截式方程：方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 注意：① 斜截式方程由直线的斜率和在y轴上的截距确定；② 不能表示斜率不存在的直线. 知识点三 利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直 已知直线， （1） （2） 知识点四 一次函数与直线方程的关系 一次函数的图象是一条直线，但是直线方程不一定是一次函数。对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 三、类型剖析 题型一 直线的点斜式方程 题型二 直线的斜截式方程 题型三 直线的图象及应用 题型四 平行与垂直问题 四、类型应用 题型一直线的点斜式方程 【例1】（23-24高二上·全国·课前预习）直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线． 【答案】；作图见解析 【分析】直接写出直线的点斜式方程，并画图. 【详解】直线经过点，斜率， 代入点斜式方程得． 画图时，只需再找出直线上的另一点， 例如，取，则，得点的坐标为， 过，两点的直线即为所求，如图所示．    【跟踪训练1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）写出下列直线的点斜式方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； （3）经过点，倾斜角是； （4）经过点倾斜角是． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【分析】根据直线的点斜式方程解题即可. 【详解】（1）因为直线经过点，斜率是， 所以直线的点斜式方程为； （2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为 所以直线的点斜式方程为； （3）经过点，倾斜角是，所以斜率为 所以直线的点斜式方程为； （4）经过点，倾斜角是，所以斜率为 所以直线的点斜式方程为； 【跟踪训练1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 . 【答案】 1 【分析】根据点斜式方程可直接得出斜率，求出倾斜角. 【详解】根据点斜式方程可得该直线的斜率为1，故倾斜角为. 故答案为：1；. 【跟踪训练1-3】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【答案】D 【分析】根据直线的点斜式方程，即可得到答案. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． 故选：D 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 【跟踪训练2-1】（23-24高二上·浙江台州·期中）已知直线的方程为，则倾斜角为 ，在轴上的截距为 . 【答案】 4 【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角，再求出直线与y轴交点的纵坐标即得. 【详解】直线的方程为的斜率，令其倾斜角为，则，于是； 当时，，所以直线在轴上的截距为4. 故答案为：；4 【跟踪训练2-2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距． 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 故答案为：. 【跟踪训练2-3】（23-24高二上·北京西城·期中）已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【详解】因为是直线的法向量， 所以直线的斜率， 又点是直线上点，所以直线的方程为， 整理得. 故答案为：. 【跟踪训练2-4】（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线的倾斜角为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的倾斜角为， 因此该直线的斜率，又，所以.故选：D 题型三 直线的图象及应用 【例3】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过第__________象限. 【答案】四 【分析】由题意可写出直线的方程，作出其图象，即可得答案. 【详解】由题意知在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线方程为， 即，直线与x轴交点为，与y轴交点为， 即该直线经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四 【跟踪训练3-1】（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：    由图可知：，. 故选：B. 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·北京怀柔·期中）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项， A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误， C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确.故选：C 题型四 平行与垂直问题 【例4】判断下列各对直线是否平行或垂直： （1），；（2），． 【答案】（1）平行（2）垂直 【详解】解析：设与的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，， （1），，，，，，． （2），，，． 【跟踪训练4-1】写出下列两组直线的斜截式方程，并判断位置关系： (1) 直线斜率是，在y轴上的截距是－3； 直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5. (2) 直线斜率是，在y轴上的截距是－2； 直线倾斜角是30°，在y轴上的截距是－2. 【答案】（1）平行（2）垂直 【详解】解析：(1) ∵∴的方程： ∵∴的方程： 又因为，所以 (2) ∵∴的方程： ∵∴的方程： 又因为，所以. 【跟踪训练4-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，若，则a＝（    ） A．0 B． C．1 D．±1 【答案】B 【分析】由斜率相等、截距不相等得出的值. 【详解】因为，所以，所以， 又，两直线l1与l2不能重合， 则，即，故. 故选：B 【跟踪训练4-3】（23-24高二上·天津·月考）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【解析】因为，所以，解得， 又，所以，解得. 所以.故选：A. 五、素养提升： 1.（20-21高二上·北京·期中）已知直线经过点，且直线的方向向量为，则直线的斜率为 .直线的方程为 . 【答案】 【解析】设在直线上，由计算出点坐标，由此求得直线的斜率和方程. 【详解】设在直线上，且， 即， 即，所以. 故. 所以直线的斜率为， 直线的方程为，即. 故答案为：； 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 六、随堂检测 1．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式公式带入条件即可. 【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】依题意，所求直线的斜率为，所以直线方程为. 故选：D 3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项. 【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴， 所以直线方程为， 故选：A. 4．（24-25高二上·全国·单元测试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率直接求出倾斜角. 【详解】由直线可得，直线斜率为， 设直线倾斜角为，所以，解得. .故选：B 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 所以直线方程为，即， 所以它在y轴上的截距为， 故选：A. 6．（21-22高二·江苏·课后作业）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果． 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 7．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 8．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 9．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 . 【答案】 【分析】求出直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案. 【详解】倾斜角为的直线的斜率为， 又该直线经过点， 所以其点斜式方程为 故答案为： 10．（20-21高二上·北京·期中）直线的倾斜角为 ，经过点且与直线垂直的直线的斜截式方程为 【答案】 【解析】由直线的斜率为即可得出倾斜角为，且与直线垂直的直线的斜率为1，利用点斜式即可求出直线方程. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， ，，， 与直线垂直的直线的斜率为1， 则所求直线方程为，即. 故答案为：；. 11.（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 12．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的点和斜率即可利用直线的点斜式方程求得答案； （2）先根据倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求得答案. 【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为． （2）由题意知，直线的斜率， 故所求直线的点斜式方程为． 13．（23-24高二下·全国·课后作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式. （3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y轴交点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$