函数的基本性质综合题型讲义-2025届高三数学一轮复习

高考中函数基本性质的经典例题总结 适用学科 数学 适用区域 全国 知识点 函数的单调性; 函数的奇偶性 函数的周期性; 函数的对称性 教学目标 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系。 3、会利用函数的奇偶性解决实际问题。 4、掌握函数的四种性质，单调性，奇偶性，周期性和对称性 教学重点 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断； 难点：函数奇偶性概念的探究与理解，以及解决很多实际问题，以及抽象性问题。 教学难点 函数的性质与其他知识的综合 学习过程 一 引入 高考中对函数基本性质要求很高，而且每年都有考题，它不仅是可以单一出小题，而且还可以与其他知识综合在一起出解答题。为了解决这样的问题，我们应该把函数的四个基本性质作一总结，这样会更会的提高学生对函数基本性质的认识和理解，而且有利于更好的研究函数，提高做题的质量。 二 复习预习 考纲要求： 1 函数函数的单调性。 2 函数的奇偶性。 3 函数的周期性。 4 函数的对称性。 三 知识讲解 函数的奇偶性 1. 主要知识： 1．单调性 （1）定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量当时，都有，那么就说在区间上是增函数（减函数）； 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间内的任意两个自变量；当时，总有 （2）如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做)的单调区间。 （3）设复合函数，其中 , 是定义域的某个区间，是映射 的象集： ①若 在上是增（或减）函数，在上也是增（或减）函数，则函数在上是增函数； ②若在上是增（或减）函数，而在上是减（或增）函数，则函数在上是减函数。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数。 1. 图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。 3．二次函数的单调性：对函数， 当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加； 当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小； 5．复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 2.奇偶性 函数的奇偶性的定义：设，，如果对于任意，都有，则称函数为奇函数；如果对于任意，都有，则称函数为偶函数； 奇偶函数的性质： 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； 是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称； 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 为偶函数． 若奇函数的定义域包含，则． （二）主要方法： 判断函数的奇偶性的方法： 定义法：判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式； （2）性质法：①设，的定义域分别是，在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数； 函数的性质 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做奇函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做偶函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②若函数为奇函数，且在处有定义，则． ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 周期性 定义 函数，若存在一个非零实数，使得当取定义域内的任值时，都成立，那么就是周期函数，是它的一个周期。 注　1．周期函数的周期有无数个，若是它的一个周期，那么也是它的周期，其中（），其中大于中最小的那一个称为最小正周期。 2．注意的任意性 周期函数规律 1．若，则为的一个周期；2．若，即，则；（） 推广：若（），则；3．若，即，则； 4．若，即，则；推广：若（），则； 5．若，则（其中） 对称性：设函数的定义域为 （1） 函数的图像关于直线对称，对任何或 （2） 奇函数关于原点对称；偶函数关于轴对称。 （3） 函数的图像关于点对称，对任何。 （4） 原函数与它的反函数关于对称。 （5） 二次函数的对称轴为 三、例题精析 考点一 函数的单调性 【例题1】：若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：对称轴，则，或，得，或 【说明】：本题主要考查二次函数的单调性问题，动轴定区间问题。 【例题2】：已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：对称轴 【说明】：本题主要考查二次函数的单调性问题，动轴定区间问题。 【例题3】：下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数。 其中正确命题的个数是( )A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：（1）反例；（2）不一定，开口向下也可；（3）画出图象可知，递增区间有和；（4）对应法则不同 【说明】：本题主要考查几个常见函数的单调性问题，这样需要我们根据具体的函数具体分析。 考点二 函数的奇偶性 【例题4】：函数的图像关于（ ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】：选C 【解析】： 【说明】：本题主要考查函数的奇偶性问题，判断需要用定义。 【例题5】：函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 【答案】：选A 【解析】：已知定义域为，已知函数是奇函数，所以关于原点对称 【说明】：本题主要考查对数函数中奇偶性问题，判断需要用定义。 考点三 奇偶性的性质 【例题6】：若是偶函数，则_________． 【答案】： 【解析】：因为函数为偶函数，∴，即整理，得． 【说明】：本题主要考查通过函数的奇偶性来求参数的问题。 【例题7】：函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 是奇函数 【答案】：D 【解析】：与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数.故选D. 【说明】：本题主要考查函数的奇函数和周期函数的问题，以及函数的平移问题。 【例题8】：已知为上的奇函数，当 时， ，求 时函数的解析式． 【答案】： 【解析】：设，则，， 因为为上的奇函数，所以即当时，． 【说明】：本题主要函数的解析式，分段函数，代入法的使用。 【例题9】：设函数对任意非零实数满足求证：是偶函数． 【答案】：为偶函数 【解析】：由R且不为0的任意性，令代入可证，，∴又令，∴，∴，又令，∴即为偶函数． 【说明】：本题主要考查抽象函数中证明函数的奇偶性。 考点四 函数周期性 【例题10】：已知定义在上的函数满足且，求； 【答案】：2 【解析】：最小正周期为3，。 【说明】：本题主要考查函数的周期性问题，先确定函数的周期。 【例题11】：已知是定义在上的奇函数，且满足，若时，，求； 【答案】：-2 【解析】：最小正周期为3，，是奇函数， 【说明】：本题主要考查函数的奇偶性和周期性，区域内求值。 考点五 函数对称性 【例题12】：设函数的图像关于点对称，并且存在反函数，若，则的值 【答案】：-1 【解析】：由题意知点关于点的对称点也在的图像上，结合反函数的意义知。 【说明】：本题主要考查反函数的对称性问题，利用反函数的知识可以解答。 【例题13】：已知偶函数的图像关于直线对称，=3，则_______. 【答案】：3 【解析】：根据偶函数和关于直线对称的特点，。 【说明】：本题主要考查抽象函数的对称性问题，以及还有偶函数问题。 考点六 函数奇偶的不等式 【例14】若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　） A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3] 【解析】：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图： ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0； 当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立， 当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立， 当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，此时，此时1＜x≤3， 当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，即，得﹣1≤x＜0， 综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D． 考点七、奇偶性的抽象性 【例15】已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（　　） A．f（﹣）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0 【解析】：∵函数f（x+2）为偶函数，∴f（2+x）＝f（2﹣x），∵f（2x+1）为奇函数，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1）， 用x替换上式中2x+1，得f（2﹣x）＝﹣f（x），∴f（2+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即f（x）＝f（x+4）， 故函数f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（2x+1）为奇函数，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），即f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0， 用x替换上式中2x+1，可得，f（x）+f（2﹣x）＝0，∴f（x）关于（1，0）对称，又∵f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（﹣1）＝0． 故选：B． 考点八、函数的多选题 【例16】定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）﹣f（x）＝f（1），则（　　） A．f（1）＝0 B．f（1﹣x）+f（1+x）＝0 C．f（1+2x）＝f（1﹣2x） D． 【解析】：∵f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），又f（x+2）﹣f（x）＝f（1）， ∴当x＝﹣1时，有f（1）﹣f（﹣1）＝f（1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，A正确； ∴原条件化为f（x+2）﹣f（x）＝0，即f（x+2）＝f（x），①∴f（x）是以2为周期的周期函数． 在①中，令x＝0，得f（2）＝f（0），但不能确定f（0）是否为0，∴f[1﹣（﹣1）]+f[（1+（﹣1）]不一定为0， 即f（1﹣x）+f（1+x）＝0不一定成立，B错误；在①中，用﹣x替换x，得f（2﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）， ∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（1+2x）＝f（1﹣2x），C正确；∵f（1）＝f（3）＝f（5）＝....＝f（19）＝0， f（0）＝f（2）＝f（4）＝....＝f（20），但f（2）的值无法确定，∴f（i）的值不确定，D错误．故选：AC． 【例17】已知定义域为R的函数f（x+1）为奇函数，f（x）的图象关于直线x＝2对称，则（　　） A．f（x）的图象关于点（1，0）中心对称 B．f（x）为奇函数 C．f（x）是周期为4的函数 D．f（2025）＝0 【解析】：因为f（x+1）为奇函数，所以f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），向右平移1个单位得到f（x），则f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，则A正确； 则f（x）+f（﹣x+2）＝0，f（x）的图象关于直线x＝2对称，则f（x）＝f（﹣x+4），则f（x）＝﹣f（﹣x+2）＝f（﹣x+4）＝﹣f（﹣x+6）， 则f（﹣x+2）＝f（﹣x+6），则f（x）是周期为4的函数．则C正确；令x＝1，则由f（x）+f（﹣x+2）＝0， 得2f（1）＝0，则f（1）＝0．所以f（2025）＝f（2025﹣4×506）＝f（1）＝0．故D正确；前面式子推不出f（x）+f（﹣x）＝0，故B错误．故选：ACD． 四、课堂练习 【基础型】 1．已知函数，且＝0，则等于（ ） A．－16 　　　 B．－18 　　　 C．－10 　　　　　D．10 答案：A． 解析：∵为奇函数．故． 2 函数的单调递减区间是____________________。 答案： 解析：因为是偶函数，关于对称，即有。 3 设函数为奇函数，则（ ） A．0 B．1 C． D．5 答案：C． 解析：由条件令得又因为函数为奇函数，且，所以且，所以，因此选C 4已知函数是偶函数，当，满足，求的取值范围 A B C D 答案：D 解析：由函数是偶函数，当，即 即可得到，上述可得到，那么，即。 5已知为奇函数，为偶函数，且，若在上的最小值为和在上最大值为，求的值 答案：-1 解析：根据题意可知，，，，得，，在上单调递增，当时，有最小值在上单调递减，当时，有最大值即 【巩固型】 1．已知为上的奇函数，且当时，,求． 答案：． 解析：设，则，，因为为R上的奇函数，所以，即当时，． 2 若，都是奇函数，在上有最大值5，则在上有（　　） 　A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　　　　D．最大值－3 答案：C 解析：、为奇函数，∴为奇函数，又在上有最大值5，∴有最大值3，∴在上有最小值－3，∴在上有最小值－1． 3定义在上的偶函数，对任意实数都有，且，，求 答案：1 解析：函数的最小正周期为3，，，， 4（多选题）已知函数f（x）的定义域为R，且其图象是一条连续不断的曲线，f（xy）＝xf（y）+yf（x），记f′（x）为f（x）的导函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（0）＝0 B．f（x）为奇函数 C．若，则f（4）＝﹣8 D．若f′（x）在（0，+∞）上单调递减，则f（x）恰有三个零点 解析：对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，得f（1）＝2f（1），f（1）＝0， 令x＝y＝﹣1，得f（1）＝﹣2f（﹣1），f（﹣1）＝0，所以f（﹣x）＝xf（﹣1）﹣f（x）＝﹣f（x）， 即f（x）为奇函数，故B正确；对于C，令，得， 令，得，所以f（4）＝﹣16，故C错误； 对于D，因为f′（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（0）＝f（1）＝0， 所以存在x0∈（0，1），满足f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减， 因此f（x）在（0，+∞）上只有一个零点1，又f（x）是奇函数，所以f（x）恰有三个零点﹣1，0，1，故D正确．故选：ABD． 5（多选题）已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（2+x）+g（﹣x）＝1，则（　　） A．f（x）的图象关于点（2，1）对称 B．f（x）是以4为周期的周期函数 C．g（x+8）＝g（x） D． 解析：由题意得f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），且g（0）＝0，f（2+x）+g（﹣x）＝1，即f（x+2）﹣g（x）＝1①， 用﹣x替换f（2+x）+g（﹣x）＝1中的x，得f（2﹣x）+g（x）＝1②，由①+②，得f（x+2）+f（2﹣x）＝2， 所以f（x）的图象关于点（2，1）对称，且f（2）＝1，故A正确；由f（x+2）+f（2﹣x）＝2，可得f（x+4）+f（﹣x）＝2， f（x+4）＝2﹣f（﹣x）＝2﹣f（x），所以f（x+8）＝2﹣f（x+4）＝2﹣[2﹣f（x）]＝f（x），所以f（x）是以8为周期的周期函数，故B错误； 由①知g（x）＝f（x+2）﹣1，则g（x+8）＝f（x+8+2）﹣1＝f（x+2）﹣1＝g（x），故g（x+8）＝g（x）， 因此g（x）也是以8为周期的周期函数，故C正确；又因为f（x+4）+f（﹣x）＝2，所以f（x）+f（x+4）＝2， 令x＝2，则有f（2）+f（6）＝2，令x＝10，则有f（10）+f（14）＝2，…令x＝8090，则有f（8090）+f（8094）＝2， 所以f（2）+f（6）+f（10）+f（14）+…+f（8090）+f（8094）＝2+2+…+2＝2024， 所以f（4k﹣2）＝f（2）+f（6）+f（10）+f（14）+…f（8090）+f（8094）＝2024，故D错误．故选：AC． 【拔高型】 1已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，________ 答案： 解析：设，则，，∵，, 2奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则__________。 答案： 解析：在区间上也为递增函数，即， 3函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则直线与函数图象的所有交点的横坐标之和 是（ ） A．1　　 B．2 　　 　C．4 　　　 D．5 答案：D 解析：是奇函数，所以的图像关于对称，且，的图像向右平移1个单位，得到，所以的图像关于对 称, ，则当 时，， 两根都大于1，即时，与函数图像交点的横坐标为 ， 所以 时，，关于的对称点为，即时，与函数图像交点的横 坐标为-1，所以，直线与函数图象的所有交点的横坐标之和是 4设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为 A．－3 B．3 C．－8 D．8 答案：选C. 解析：，，。 5已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。 答案：已证 解析：(1)设，则，而 ∴， ，∴函数是上的减函数; (2)由得，即，而，∴，即函数是奇函数。 6已知偶函数，求根的个数， 答案：7 解析：根据题意，，当，,,根据偶函数的特点，；当时，，根据偶函数的特点，，一共7个根。 7已知函数的最大值为，最小值为，求 A 1 B 2 C 3 D 4 答案：B 解析：根据题意可写为，为奇函数，由奇函数的特点，当为最大值，那么为最小值，所以，故选C 8设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。 答案：如下 解析：（1）当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （2）当时， 当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，。 9设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且。 （1）求及的值； （2）证明：是周期函数； 答案：如下 解析：（1）由，当，，当，。 （2）图象关于直线对称，可得，得，所以是周期函数。 10设函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）不恒为0，下列结论正确的是（　　） A．若f（x）具有奇偶性，则满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）中恰有一个为常函数，其函数值为0 B．若f（x）不具有奇偶性，则满足f（x）＝p（x）+q（x）奇函数p（x）与偶函数q（x）不存在 C．若f（x）为奇函数，则满足f（x）＝p（x）q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在无数对 D．若f（x）为偶函数，则满足f（x）＝q（p（x））的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在无数对 解析：对于A，f（x）＝p（x）+q（x），则f（﹣x）＝p（﹣x）+q（﹣x）＝﹣p（x）+q（x），当f（x）为奇函数时，则f（x）+f（﹣x）＝2q（x）＝0， 即q（x）＝0；当f（x）为偶函数时，则 f（x）﹣f（﹣x）＝2p（x）＝0，即p（x）＝0， 即满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确； 对于B，当f（x）＝x2+x，p（x）＝x，q（x）＝x2时，f（x）不具有奇偶性，满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在，故B错误； 对于C，f（x）为奇函数时，令奇函数，n∈N，偶函数q（x）＝n+1，n∈N，则p（x）q（x）＝f（x），因为n∈N， 故存在无数对奇函数p（x）与偶函数q（x），满足f（x）＝p（x）q（x），故C正确；对于D，f（x）为偶函数， 令奇函数p（x）＝，n∈N，偶函数q（x）＝f（x2n+1），n∈N，则q（p（x））＝q（）＝f（x），因为n∈N，故存在无数对奇函数p（x）与偶函数q（x），满足f（x）＝q（p（x））．故D正确．故选：ACD． 五、课程小结 本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础的形式考查，难度中等，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，函数的奇偶性重点是在其他知识上的应用。 1. 理解函数性质的概念。 1. 函数的性质与图像。 1. 函数的基本性质在其他知识点上的应用。 1. 函数基本性质的综合问题。 六、课后作业 【基础型】 1.设是上的奇函数，当时，，则等于 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 答案：B 解析：是周期为4的周期函数，。 2 已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的取值范围是（ ） 1. （，） B.［，） C.（，） D. ［，） 答案：选A. 解析：由于是偶函数,故＝，∴得，再根据的单调性， 得|2－1|＜ 解得＜＜. 所以答案选A. 3若函数在上是减函数，则的取值范围为__________。 答案： 解析：已知函数是一次函数，即有。 【巩固型】 4设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为 A．－3 B．3 C．－8 D．8 答案：选C. 解析：，，。 5已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。 答案：已证 解析：(1)设，则，而 ∴， ，∴函数是上的减函数; (2)由得，即，而，∴，即函数是奇函数。 6已知偶函数，求根的个数， 答案：7 解析：根据题意，，当，,,根据偶函数的特点，；当时，，根据偶函数的特点，，一共7个根。 【提高型】 7已知函数的最大值为，最小值为，求 A 1 B 2 C 3 D 4 答案：B 解析：根据题意可写为，为奇函数，由奇函数的特点，当为最大值，那么为最小值，所以，故选C 8设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。 答案：如下 解析：（1）当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （2）当时， 当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，。 9设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且。 （1）求及的值； （2）证明：是周期函数； 答案：如下 解析：（1）由，当，，当，。 （2）图象关于直线对称，可得，得，所以是周期函数。 10已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，当1≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，则（　　） A．f（x）的图象关于点（1，0）对称 B．f（3）＝1 C．当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1 D．f（x）在[0，+∞）上单调递减 解析：对于A，因为f（x）+f（2﹣x）＝0，所以f（x）＝﹣f（2﹣x），即f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，A正确； 对于B，在f（x）+f（2﹣x）＝0中，令x＝3，得f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，B错误； 对于C，当0≤x≤1时，1≤2﹣x≤2，所以f（2﹣x）＝﹣（2﹣x）+1＝x﹣1，又f（x）+f（2﹣x）＝0， 所以f（x）＝﹣f（2﹣x）＝﹣x+1，即当0≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1， 而f（x）为偶函数，所以当﹣2≤x≤0时，f（x）＝x+1，综上可知，当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1，C正确； 对于D，由B的解析可知f（3）＝f（1）＝0，故D错误．故选：AC． 学科网（北京）股份有限公司 $$