探源双变量的“任意性与存在性”问题讲义-2025届高三数学一轮复习

探源双变量的“任意性与存在性”问题 摘要：与双变量有关的“任意性与存在性”问题是高考常考的内容，常以不等式和等式为工具进行考察，破解该问题的关键是在于将含有全称量词或存在量词的问题转化为两个函数值域（或最值）之间的问题.笔者结合自己的教学经验，对双变量问题进行系统梳理，希望能够为广大考生提供帮助. 关键词：分离常数 值域 恒成立 在正式讲解双变量问题之前，先给出如下两个引理，以便于我们证明文中的命题. 引理1：（1）,使得恒成立. （2）,使得恒成立. 引理2：（1）,使得成立. （2）,使得成立. 若将本文所有命题（含引理）中的“”和“”分别改为“”和“”结论依然成立.现结合以上两个引理，对双变量的“任意性与存在性”问题作出如下归纳： 一、“任意（或）存在”型问题 命题1-1：，，使得. 证明：第1步将视为变量（此时被视为常量），则为常量，根据引理1（1）知，，使得. 第2步将视为变量，此时为常量，根据引理2（2）知 . ，，使得. 小结：命题1的证明巧妙的借用了引理1和引理2的结论，第1步的与第2步的实际上就是引理中的常数. 命题1-2：，，使得. 证明：与命题1-1同理. 例1：已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是________. 解析：由命题1-1知，由于，， ，即，故答案为. 二、“任意（或）任意”型问题 命题2-1：，，使得. 证明：第1步将视为变量（此时被视为常量），则为常量，根据引理1（1）知，，使得. 第2步将视为变量，此时为常量，根据引理1（2）知 . ，，使得. 命题2-2：，，使得. 证明：与命题2-1同理 例2：已知函数，，若，都有 ，则实数的取值范围为________. 解析：由命题2-2知原命题等价于，由于当时， ，故在上单调递增，即.现只需证 ，即在上恒成立. 令，在的最大值为 由引理1（1）知，故，即. 实数的取值范围为. 小结：本例中由于的最小值不易求得，故将转化为 ，然后利用分离常数法可求，这里就避免了对函数的讨论. 三、“存在（或）存在”型问题 命题3-1：，，使得. 证明：略 命题3-2：，，使得. 证明：略 例3：设，已知函数，，若 ，使得，求实数的取值为________.（为自然数的底数） 解析：由命题3-2知原命题等价于， 令，当时，，故，即在定义域内单调递减，故在上的最大值为. ,令，得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 在上的最小值为. 由题知，解得，故答案为. 四、“任意存在”型问题 命题4-1：，，使得（分别为函数和的值域，下同）. 证明：略. 例4：已知函数，，， ，使得成立，则实数的取值范围为________. 解析：令，则，由得.故当时，单调递减；当时，单调递增. ， 又在上的值域为. 有命题4-1知，的值域是的子集，故，解得 ，故的取值范围为. 五、“存在存在”型问题 命题5-1：，，使得. 证明：略 例5：已知函数，，， ，使得，则实数的取值范围为________. 解析：，令，得或，由于， 故时，，即时，单调递减. 在上的值域为. 又，故当时，单调递增，即在上的值域为. 由命题5-1知，解得，故的取值范围为. 六、“任意任意”型问题 命题6-1：，，使得. 证明：略 有关双变量“任意性与存在性”的问题还有很多，笔者本文所谈到的只是冰山一角，要想对该问题有更深入的了解，就需要读者再去深入挖掘. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$