下册追梦期中达标测试卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

追梦期中达标测试卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列函数:①y= -2x;②y = -12 x ;③y = x-1;④y = 5x2 +1,是反比例 函数的个数有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2. 跨学科试题·物理 已知电流 I(安培)、电压 U(伏特)、电阻 R (欧姆)之间的关系为 I = U R ,当电压为定值时,I 关于 R 的函数 图象是(　 　 ) A B C D 3. 如图,点 E 是▱ABCD 的边 AD 上的一点,且DE AE = 1 2 ,连接 BE 并 延长交 CD 的延长线于点 F,若 DE = 3,DF = 4,则▱ABCD 的周 长为(　 　 ) A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数 y1 =kx+b(k、b 是常数, 且 k≠0)与反比例函数 y2 = c x (c 是常数,且 c≠0)的图象相交于 A (-3,-2),B(2,m)两点,则不等式 y1>y2 的解集是(　 　 ) A. -3<x<2 B. x<-3 或 x>2 C. -3<x<0 或 x>2 D. 0<x<2 5. 如图,点 M 是反比例函数 y= 4 x (x<0)图象上一点,MN⊥y 轴于 点 N. 若 P 为 x 轴上的一个动点,则△MNP 的面积为(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 无法确定 6. 如图,线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(4,4),D(6,2),以原 点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 CD 缩小为原来的一半 后得到线段 AB,则端点 A 的坐标为(　 　 ) A. (2,2) B. (3,3) C. (3,1) D. (4,1) 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 7. 如图,A、B 分别是反比例函数 y = 4 x ( x>0)图象上的两点,连接 OA,OB,分别过点 A、B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、E,且 AC 交 OB 于点 D,若 S△OAD = 4 3 ,则CD BE 的值为(　 　 ) A. 1 3 B. 3 3 C. 1 2 D. 2 2 8. 中考新趋势·新定义 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的 线段把三角形分成两个小三角形. 如果其中一个是等腰三角形, 另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三 角形的“和谐分割线”,如图,线段 CD 是△ABC 的“和谐分割 线”,△ACD 为等腰三角形,△CBD 和△ABC 相似,∠A = 46°,则 ∠ACB 的度数为(　 　 ) A. 113° B. 92° C. 113°或 92° D. 92°或 134° 9. 动点探究问题 如图,在△ABC 中,AB = 8 cm,BC = 16 cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动,速度为 2 cm / s;动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动,速度为 4 cm / s;如果 P、Q 两动点同时运动,那么经 过(　 　 )秒时,△QBP 与△ABC 相似. A. 2 B. 4 C. 2 或 0. 8 D. 2 或 4 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB= 4,BC= 5,∠ABC= 60°. 按以 下步骤作图:①以 C 为圆心,以适当长为半径作弧,交 CB、CD 于 M、N 两点;②分别以 M、N 为圆心,以大于 1 2 MN 的长为半径 作弧,两弧相交于点 E,作射线 CE 交 BD 于点 O,交 AD 边于点 F;则 BO 的长度为(　 　 ) A. 41 3 B. 17 3 C. 5 61 9 D. 25 4 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知△ABC∽△A′B′C′,S△ABC ∶S△A′B′C′ = 1 ∶4,若 AB = 2,则 A′B′ 的长为　 　 　 　 . 12. 若点 A( -2,m)与点 B(3,n)都在反比例函数 y = 2 2 -3 x 的图象 上,则 m　 　 　 　 n. (填“ >”“ = ”或“ <”) 13. 跨学科试题·物理 如图,小华做小孔成像实验,已知蜡烛与成 像板之间的距离为 21 cm,则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应 放在离蜡烛 　 　 　 　 cm 的地方时,蜡烛焰 AB 是像 A′B′的 一半. 14. 如图,过反比例函数 y = k x (x<0)的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴 于点 B, 连接 AO, 若 S△AOB = 3, 则反比例函数的表达式 为　 　 　 . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,∠MAN= 90°,点 C 为射线 AM 上一动点,点 B、D 在射线 AN 上,连接 BC,△EBC 与△ABC 关于 BC 所在 直线对称,若 AB= 5,BD = 4,连接 AE,ED. 当△EBD 为 直角三角形时,AC 的长为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (9 分)已知,△ABC 在直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为 A( -2,2)、B( -1,0)、C(0,1) (正方形网格中每个小正方形的 边长是 1 个单位长度) . (1)画出△ABC 关于 y 轴的轴对称图 形△A1B1C1; (2)以点 O 为位似中心,在网格内画 出 所 有 符 合 条 件 的 △A2B2C2, 使 △A2B2C2 与△A1B1C1 位似,且位似比 为 2 ∶1. 17. (9 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足 为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE= ∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若 AB= 4,AD= 3 3 ,AE= 3,求 AF 的长. ·13· 18. 跨学科试题·物理 (9 分)如图,小明设计了一个探究杠杆平衡 条件的实验:取一根长为 100 米的匀质木杆,用细绳绑在木杆 的中点 O 并将其吊起来. 在中点 O 的左侧距离中点 O 为 30 cm 处挂一个重 10 N 的物体,在中点 O 的右侧用一个弹簧秤向下 拉,使木杆处于水平状态. 改变弹簧秤与中点 O 的距离 L(单 位:cm),观察弹簧秤的示数 F(单位:N)的变化情况. 得出如下 几组实验数据: L / cm 10 15 20 25 30 F / N 30 20 15 a 10 　 　 　 　 　 　 　 (1)观察上表实验数据,写出表中 a 的值　 　 　 　 ; (2)以 L 的数值为横坐标,F 的数值为纵坐标建立平面直角坐 标系,在坐标系中描出以上表中的数对为坐标的各点,并用平 滑的曲线顺次连接这些点; (3)根据所画的图象,求出 F 与 L 的函数关系式. 19. 文化情境·饮食文化 (9 分)河南地处黄河中下游,一直是农耕 文明的起源地与繁荣之所,是农业大省,是中国面食文化的发 祥地之一,其中的面条文化至今已有两千多年的历史(面条在 东汉称之为“饼”) . 厨师将一定质量的面团做成拉面时,面条 的总长度 y(m)是面条横截面面积 S(mm2 )的反比例函数,其 图象经过 A(4,32),B(a,80)两点(如图) . (1)求 y 与 S 之间的函数关系式; (2)求 a 的值,并解释它的实际意义; (3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 0. 8 mm2, 求这根面条的总长度至少有多长. 20. (9 分)如图,反比例函数 y= k x (k>0)上的一点 A(m,n),其中 n >m>0,过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,连接 OA. (1)已知△AOB 的面积是 3,求 k 的值; (2)将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ACD,且点 O 的对 应点 C 恰好落在该函数图象上,求m n 的值. 21. (10 分)如图,反比例函数 y= m x 的图象与一次函数 y=kx+b 的图 象交于 A,B 两点,点 A 的坐标为(2,6),点 B 的坐标为(n,1) . (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)结合图象,直接写出不等式m x <kx+b 的解集; (3)点 E 为 y 轴上一个动点,若 S△AEB = 5,直接写出点 E 的坐标. 22. 文化情境·交通工具 (10 分)如图①,中国古代的马车已经涉 及很复杂的机械设计(相对当时的生产力),包含大量零部件 和工艺,所彰显的智慧让人叹服. 如图②是马车的侧面示意图, AB 为车轮☉O 的直径,过圆心 O 的车架 AC 一端点 C 着地时, 地面 CD 与车轮☉O 相切于点 D,连接 AD,BD. (1)求证:∠A= ∠BDC; (2)若∠A= 40°,∠C 的度数是　 　 　 　 ; (3)若BD AD = 5 6 ,BC= 2. 5 米,求车轮的半径长. 图① 　 　 图② 23. (10 分)在△ABC 中,∠ACB = 90°,BE 是 AC 边上的中线,点 D 在射线 BC 上. (1)猜想:如图①,点 D 在 BC 边上,BD ∶BC = 2 ∶3,AD 与 BE 相 交于点 P,过点 A 作 AF∥BC,交 BE 的延长线于点 F,则AP PD 的值 为　 　 　 　 . (2)探究:如图②,点 D 在 BC 的延长线上,AD 与 BE 的延长线 交于点 P,CD ∶BC= 1 ∶2,求AP PD 的值. (3)应用:在探究的条件下,若 CD=2,AC=6,则 BP=　 　 　 　 . ·23· ∵ AF ∶FD=AD ∶DB= 2 ∶1,∴ AF= 2DF. (8 分) ∵ AF+DF= 10,∴ 2DF+DF= 10,∴ DF= 10 3 . (9 分) 20. 解:(1)设经过 ts. 则 AP = 2t,CQ = t,则 PC = 8- 2t,由题 意得 1 2 ×(8-2t)×t= 2, (2 分) 整理得 t2 -4t+2 = 0,解得 t= 2± 2 ,则 P、Q 同时出发,经 过(2± 2 )秒钟 S△PCQ = 2cm 2 ; (4 分) (2)设再经过 a 秒,△PCQ 与△ACB 相似,则由题意得, AP= 2a,CQ= 2+a,则 PC= 8-2a, (5 分) 当△PCQ∽△ACB 时,CP CA = CQ CB ,即8 -2a 8 = 2+a 6 ,解得 a = 1. 6; (7 分) 当△PCQ∽△BCA 时,CP CB = CQ CA ,即8 -2a 6 = 2+a 8 ,解得 a = 26 11 . 综上所述,点 Q 从 C 点出发 2s 后点 P 从点 A 出发, 再经过 1. 6 秒或26 11 秒△PCQ 与△ACB 相似. (9 分) 21. (1)证明:由作法得 CA = CD,BA = BD,CB 平分∠ACD, ∴ ∠ACB= ∠DCB, (2 分) ∵ AB∥CD,∴ ∠ABC= ∠DCB. ∴ ∠ACB= ∠ABC,∴ AC = AB,∴ AC=AB=DC=DB, (4 分) ∴ 四边形 ACDB 为菱形; (5 分) (2)解:设菱形的边长为 x,则 CA =CD = AB = x,AF = 6- x. ∵ AB∥CE,∴ △FAB∽△FCE, (7 分) ∴ FA ∶FC=AB ∶CE,即(6-x) ∶6 = x ∶12,解得 x= 4,∴ CA= CD= 4,作 AH⊥CD 于点 H. ∵ ∠ACD= 45°,∴ AH= 2 2 , (9 分) ∴ S四边形ACDB =AH×CD= 2 2 ×4 = 8 2 . (10 分) 22. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形, ∴ ∠AFG= 45°,∠ACD= 45°. ∵ ∠MFC= ∠AFG= 45°,∴ ∠MFC = ∠ACM. ∵ ∠CMF = ∠AMC, ∴ △MFC ∽ △MCA; (3 分) (2)解:∵ DM = 1,CM = 2,∴ AD = CD = 1 + 2 = 3,在 Rt △ADM 中,AM= 32 +12 = 10 . ∵ △MFC∽△MCA,∴ MC ∶MF=MA ∶MC,即 2 ∶MF = 10 ∶2,∴ MF = 2 10 5 ,∴ AF=AM-FM= 3 10 5 . (6 分) ∵ AF 为正方形 AEFG 的对角线,∴ AG2 +GF2 = AF,即 AG= 3 5 5 ,∴ 正方形 AEFG 的面积=AG2 = (3 5 5 ) 2 = 9 5 . (9 分) (3)CF BE = 2 (11 分) 23. 解:(1)1-m　 n-1　 (2 分) (2)证明:设 AM=a,AN = b. ∵ AB AM =m,AC AN =n,∴ AB =am, AC=bn,∴ MB=MA-AB =a-am= (1-m)a,CN = AC-AN = bn-b= (n-1)b. 若点 O 是线段 BC 中点,过点 B 作 BH∥ AC 交 MN 于点 H, ∴ ∠OBH = ∠OCN. 在 △OBH 与 △OCN 中, ∠OBH= ∠OCN OB=OC ∠BOH= ∠CON{ , ∴ △OBH ≌ △OCN (ASA),∴ BH = CN = (n- 1) b. ∵ BH∥AN,∴ △BMH∽ △AMN,∴ BM AM =BH AN ,即(1 -m)a a = (n-1)b b ,∴ 1-m= n-1, ∴ m+n= 2; (7 分) (3)若CO OB = k(k≠0),过点 B 作 BG∥AC 交 MN 于点 G, ∴ ∠OBG = ∠OCN. ∵ ∠BOG = ∠CON, ∴ △OBG ∽ △OCN,∴ BG CN =OB OC . 由(2)得 MB= (1-m)a,CN = (n-1) b,∴ BG (n-1)b = 1 k ,∴ BG = n -1 k b. ∵ BG∥AN,∴ △MBG∽ △MAN,∴ BM AM =BG AN ,即(1 -m)a a = (n-1) k b b ,∴ 1-m= n -1 k , ∴ n= k-km+1. (11 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C C A A B C C C 1. C　 2. C　 3. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CF, AB=CD,∴ △ABE∽△DFE,∴ DE AE = FD AB = 1 2 . ∵ DE = 3, DF= 4,∴ AE= 6,AB= 8,∴ AD = AE+DE = 6+3 = 9,∴ 平行 四边形 ABCD 的周长为(8+9)×2 = 34. 故选 C. 4. C　 5. A　 【解析】设点 M 的坐标为(a,b) . ∵ 点 M 在反比例函 数图象上,∴ ab = 4. ∴ S△MNP = 1 2 MN·( yP - yM ) = 1 2 × (-a)×(-b)= 1 2 ab= 2. 故选 A. 6. A　 7. B　 【解析】∵ AC⊥x 轴,BE⊥x 轴,∴ S△AOC =S△BOE = 1 2 ×4 = 2,∴ S△OCD = 2- 4 3 = 2 3 . ∵ CD∥BE,∴ △OCD∽△OEB, ∴ S△OCD S△OEB =(CD EB ) 2 = 1 3 ,∴ CD EB = 3 3 . 故选 B. 8. C　 【解析】∵ △BCD∽△BAC,∴ ∠BCD = ∠A = 46°. ∵ △ACD 是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,∴ ∠ADC>∠A,即 AC≠CD,①当 AC = AD 时,∠ACD = ∠ADC = 1 2 ×(180°- 46°)= 67°,∴ ∠ACB= 67°+46° = 113°,②当 DA =DC 时, ∠ACD= ∠A= 46°,∴ ∠ACB= 46°+46° = 92°. 故选 C. 9. C　 【解析】设经过 t 秒时,△QBP 与△ABC 相似,则 AP= 2t( cm), BP = ( 8 - 2t) cm, BQ = 4t ( cm), ∵ ∠PBQ = ∠ABC,∴ 当BP BA =BQ BC 时,△BPQ∽△BAC,即8 -2t 8 = 4t 16 ,解 得 t= 2,当BP BC =BQ BA 时,△BPQ∽△BCA,即8 -2t 16 = 4t 8 ,解得 t= 0. 8,综上所述,经过 0. 8s 或 2s 时,△QBP 与△ABC 相 似. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【解题技巧】 利用相似三角形的性质进行分类讨论: △BPQ∽△BAC 与△BPQ∽△BCA 从而求解. 10. C　 【解析】过点 D 作 DG⊥BC 的延长线于点 G,由作图 可知,CF 为∠BCD 的平分线,∴ ∠BCF = ∠DCF. ∵ 四 边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD,DC = AB = 4,∴ ∠BCF = ∠DFC,∠DCG = ∠ABC = 60°,∴ ∠DFC = ∠DCF,∴ DF = DC = 4. 在 Rt△DCG 中,∠DCG = 60°, ∴ ∠CDG = 30°,∴ CG = 1 2 DC = 2,DG = DC2 -CG2 = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 20 页 2 3 . 在 Rt △BGD 中, BG = 7, DG = 2 3, ∴ BD = BG2 +DG2 = 61 . ∵ AD∥BC,∴ △BOC∽ △DOF,∴ BO DO =BC DF = 5 4 ,即 DO = 4 5 BO. 又∵ BD =BO+OD,∴ BO = 5 61 9 . 故选 C. 11. 4　 12. >　 13. 7　 14. y= - 6 x 15. 5 或 15　 【解析】若∠EBD = 90°,如图 1,∵ △EBC 与 △ABC 关 于 BC 所 在 直 线 对 称, 且 ∠EBD = 90°, ∴ ∠ABC= ∠CBE= 45°,∵ ∠MAN = 90°,∴ ∠ACB = ∠ABC = 45°,∴ AC=AB= 5; 图 1 　 图 2 　 图 3 若∠BED = 90°,如图 2,∵ △EBC 与△ABC 关于 BC 所 在直线对称,∴ BE=AB= 5,且 BD= 4,BE>BD,∴ 不合题 意舍去;若∠BDE= 90°,如图 3,∵ △EBC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称,∴ AE⊥BC,AB = BE = 5,且∠BDE = 90°,BD= 4,∴ DE = BE2 -BD2 = 25-16 = 3. ∵ AE⊥ BC,∴ ∠EAD+∠ABC = 90°,且∠EAD+∠AED = 90°,∴ ∠ABC = ∠AED,且 ∠CAB = ∠ADE = 90°,∴ △ABC ∽ △DEA,∴ AC AD = AB DE ,∴ AC= 5 3 ×9 = 15. 故 AC 的长为 5 或 15. 16. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (3 分) (2)如图,△A2B2C2 为所作. (9 分) 17. 解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AD∥ BC,∴ ∠B+∠C= 180°,∠ADF= ∠DEC. (2 分) ∵ ∠AFD+∠AFE = 180°,∠AFE = ∠B,∴ ∠AFD = ∠C, ∴ △ADF∽△DEC; (5 分) (2)∵ AE⊥BC,AD = 3 3 ,AE = 3,∴ 在 Rt△DAE 中,DE = AD2 +AE2 = (3 3 ) 2 +32 = 6. 由 ( 1) 知 △ADF ∽ △DEC,得AF DC = AD DE ,∴ AF= 2 3 . (9 分) 18. 解:(1)12 (2 分) (2)如图所示: (6 分) (3)由图可知函数为反比例函数. 设函数关系式为 F = k L ,将(10,30)代入得 k = 300. ∴ F 与 L 的函数关系式 为 F= 300 L (L>0) . (9 分) 19. 解:(1)设 y 与 S 之间的函数关系式为 y = k S (S>0),将 (4,32)代入可得 k= 128,∴ y 与 S 之间的函数表达式为 y= 128 S (S>0); (3 分) (2)将(a,80)代入 y= 128 S 可得 a = 1. 6. 实际意义:当面 条的横截面积为 1. 6mm2 时,面条长度为 80m; (6 分) (3)∵ 厨师做出的面条横截面面积不超过 0. 8mm2 ,∴ y ≥128 0. 8 = 160,故面条的总长度至少为 160m. (9 分) 20. 解:(1) ∵ A(m,n),AB⊥x 轴,∴ AB = n,OB = m. 又∵ △AOB 的面积是 3,∴ 1 2 mn = 3,∴ mn = 6. ∵ 点 A 在双 曲线 y= k x 上,∴ k=mn= 6; (3 分) (2)延长 DC 交 x 轴于 E,由旋转可得△AOB≌△ACD, ∠BAD= 90°,∴ AD = AB = n,CD = OB = m,∠ADC = 90°. ∵ AB⊥x 轴,∴ ∠ABE= 90°,∴ 四边形 ABED 是正方形, ∴ ∠DEB= 90°,∴ DE=AB= n,CE = n-m,OE =m+n,∴ C (m+n,n-m) . ∵ 点 A,C 都在双曲线上,∴ mn = (m+n) (n-m),即 m2 +mn-n2 = 0,方程两边同时除以 n2 ,得 ( m n ) 2 + m n - 1 = 0,解得 m n = -1± 5 2 . ∵ n>m> 0,∴ m n = -1+ 5 2 . (9 分) 21. 解:(1)把 A(2,6)代入 y= m x ,得 m= 2×6 = 12,∴ 反比例 函数解析式为 y= 12 x . (3 分) 把 B(n,1)代入 y= 12 x 得 n= 12,则 B(12,1),把 A(2,6), B(12,1)代入 y= kx+b 得 2k +b= 6, 12k+b= 1,{ 解得 k= - 1 2 , b= 7. { ∴ 一 次函数解析式为 y= - 1 2 x+7; (6 分) (2)由图象可知,不等式 m x <kx+b 的解集为 x<0 或 2<x <12; (8 分) (3)点 E 的坐标为(0,6)或(0,8)　 (10 分) 22. (1)证明:连接 OD,∵ CD 与☉O 相切,∴ OD⊥CD,∴ ∠ODB+∠BDC = 90°. ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠A + ∠OBD = 90°. ∵ OB = OD, ∴ ∠ODB = ∠OBD,∴ ∠A= ∠BDC; (4 分) (2)10° (6 分) (3)解:由(1)得:∠A= ∠BDC. ∵ ∠C= ∠C,∴ △CBD∽ △CDA,∴ BC CD = CD CA = BD AD . ∵ BC = 2. 5,BD AD = 5 6 ,∴ 2. 5 CD = CD 2. 5+AB = 5 6 ,∴ CD = 3,AB = 1. 1,∴ AO = BO = 1 2 AB = 0. 55. 故车轮的半径长为 0. 55 米. (10 分) 23. 解:(1) 3 2 　 (2 分) (2)过点 A 作 AF∥BC,交 BE 的延长线于点 F,设 DC = k,则 BC= 2k. ∵ AF∥BC,∴ △AEF∽△CEB,∴ BC AF =CE AE = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 21 页 1,即 AF=BC= 2k. (5 分) ∵ AF∥BD,∴ △APF∽△DPB,∴ AP PD = AF BD = 2k 3k = 2 3 . (8 分) (3)6 (10 分) 第二十八章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A A A A D A C C 1. A　 2. B　 3. A　 4. A　 【解析】在 Rt△ABC 中,设 AC= 3x,则 BC= 2x,∴ AB= (3x) 2 +(2x) 2 = 13 x. ∴ sinA= 2x 13 x = 2 13 13 . 故选 A. 5. A　 6. A　 7. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ACB = ∠ABC = 60°,AB= BC = AC. 又∵ AD = BE,∴ BD = CE,在△ACE 和 △CBD 中, AC=CB ∠ACE=∠CBD= 60° CE=BD { ,∴ △ACE≌ △CBD,∴ ∠CAE= ∠BCD. 又∵ ∠AFG = ∠CAF + ∠ACF = ∠BCD + ∠ACF= 60°,∴ 在 Rt△AFG 中,sin∠AFG =AG AF ,即 sin60° = 2 AF ,解得 AF= 4 3 3 . 故选 D. 8. A　 9. C　 【解析】∵ BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 于点 F,∴ CF∥ BE,∴ ∠DCF= ∠DBE. 设∠DCF = ∠DBE = α,∴ CF = DC ·cosα,BE = DB·cosα,∴ BE+CF = (DB+DC)cosα = BC ·cosα. ∵ ∠ABC= 90°,∴ 0°<α<90°,当点 D 从 B 向 C 运 动时,α 是逐渐增大的,∴ cosα 的值是逐渐减小的,∴ BE +CF=BC·cosα 的值是逐渐减小的. 故选 C. 10. C　 【解析】过点 A 作 AF⊥CE 于点 F,根据题意可知: AF=BE,EF = AB = 10,在 Rt△CBE 中,∠CBE = 45°,∴ BE=CE=CD+DF+FE = 16+DF. 在 Rt△ADF 中,∠DAF = 30°,∴ DF= AF·tan30° = (16+DF) × 3 3 ,解得 DF = 8 ( 3 +1),∴ CE= 16+DF= 24+8 3 ≈37. 8(m) . 故选 C. 11. 2　 12. 2 2 　 13. 115m 14. 6 5 　 【解析】延长 AD 和 BC 交于点 E. ∵ 在直角△ABE 中,tanA=BE AB = 4 3 ,AB= 3,∴ BE= 4,∴ EC=BE-BC = 4-2 = 2. ∵ 在△ABE 和△CDE 中,∠B = ∠EDC = 90°,∠E = ∠E,∴ ∠DCE= ∠A,∴ 在 Rt△CDE 中,tan∠DCE= tanA =DE DC = 4 3 . 设 DE = 4x,则 DC = 3x,在Rt△CDE 中,EC2 = DE2 +DC2,∴ 4 = 16x2 + 9x2,解得 x = 2 5 (负值舍去),则 CD= 6 5 . 15. 4 13 　 【解析】过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E,过点 D 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 F,∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠ACB= ∠DCF,BE=CE. 设 AE = 4x,则 AB = AC = 5x,∴ BE=CE= 3x. ∵ CD ∶AC= 1 ∶2,∴ CD = 5 2 x. ∵ sin∠DCF = sinB= 4 5 ,∴ DF = sin∠DCF·CD = 4 5 × 5 2 x = 2x,CF = CD2 -DF2 = 3 2 x,∴ AF = 5x+ 3 2 x = 13 2 x,∴ tan∠CAD = DF AF = 4 13 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】求一个锐角的三角函数值必定要把这个角 放到一个直角三角形中,先观察这个角是否在一个现有 的直角三角形中,如果在,那就直接求三角函数值,如果 没有现有的直角三角形,有两种方法可供选择:一是通 过添加辅助线构造直角三角形;二是通过找等角,所找 角要与所求角相等且其三角函数值易求出. 16. 解:(1)原式= 2 ×(2× 2 2 - 3 2 )+2 6 4 (2 分) = 2- 6 2 + 6 2 = 2; (4 分) (2)原式= 1 2 - 2 2 × 2 2 + 1 3 ×( 3 3 ) 2 (6 分) = 1 2 - 1 2 + 1 3 × 1 3 = 1 9 . (8 分) 17. 解:(1)根据勾股定理可得:a= 252 -152 = 20; (4 分) (2)在 Rt△ABC 中,∠A= 60°,∴ ∠B= 30°,∴ c= 2b, (6 分) tan60° = a b = 6 b = 3 ,b= 2 ,则 c= 2 2 . (8 分) 18. 解:∵ 在 Rt△ABC 中,∠B= 45°,∴ BC=AC= 12. (3 分) 在 Rt△ACD 中,∠ADC= 90°-∠E= 60°,∴ CD = AC tan60° = 4 3 . (7 分) ∴ BD=BC-DC= 12-4 3 . (9 分) 19. 解:过点 B 作 BE⊥CD,垂足为点 E. 由题意知∠CAB = ∠ACE= ∠BEC= 90°,∴ 四边形 ABEC 是矩形,∴ CE = AB= 1km. (3 分) 在 Rt△BEC 中,BE= CE tan31° ≈ 5 3 km. (5 分) 在 Rt△BED 中,∵ ∠EBD= 45°,∴ ED =BE,∴ CD =CE+ ED≈(1+ 5 3 )km, (7 分) ∴ 货船的速度约为(1+ 5 3 ) ÷ 10 60 = 16( km / h) . 故货船的 速度约为 16km / h. (9 分) 20. 解:(1)作 AH⊥BC 于点 H. 在 Rt△ACH 中,∵ cosC = 2 2 =CH AC ,AC= 2 ,∴ CH= 1, (2 分) AH= AC2 -CH2 = 1. 在 Rt△ABH 中,∵ tanB = AH BH = 1 5 , ∴ BH= 5, (4 分) ∴ BC=BH+CH= 6; (5 分) (2)∵ BD=CD,∴ CD= 3. (6 分) 在 Rt△ADH 中,DH= 2,AD= AH2 +DH2 = 5 . (8 分) sin∠ADH=AH AD = 5 5 . 故∠ADC 的正弦值为 5 5 . (10 分) 21. 解:(1)在△ABC 中,∵ ∠ACB= 90°,∴ cosA=AC AB = 3 5 . 假 设 AC= 3k,AB= 5k,则 BC= 4k,而 BC = 12,∴ k = 3,∴ AB = 15. (3 分) ∵ D 是 AB 的中点,∴ CD= 1 2 AB= 15 2 ; (5 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 22 页