第二十四章 圆 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十四章追梦阶段测试卷(一) 圆的有关性质及点和圆、直线和圆的位置关系 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 已知☉O 的半径是 4cm,圆心 O 到同一平面内直线 l 的距离为 3cm,则直线 l 与☉O 的位置关系是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 2. 如图,ABDC 是☉O 的内接四边形,∠BOC = 110°,则∠BDC 的度 数是(　 　 ) A. 110° B. 70° C. 55° D. 125° 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,☉O 为△ABC 的内切圆,AC= 10,AB= 8,BC = 9,点 D,E 分 别为 BC, AC 上的点, 且 DE 为 ☉O 的切线, 则 △CDE 的周 长为(　 　 ) A. 9 B. 7 C. 11 D. 8 4. 如图,点 A 的坐标为( -3,-2),☉A 的半径为 1,P 为 x 轴上一动 点,PQ 切☉A 于点 Q,则当 PQ 为最小值时,点 P 的坐标为(　 　 ) A. ( -4,0) B. ( -2,0) C. ( -4,0)或( -2,0) D. ( -3,0) 5. 如图,☉O 的半径为 2,△ABC 是☉O 的内接三角形,连接 OB、 OC. 若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦 BC 的长为(　 　 ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,圆 O 经过五边形 OABCD 的四个顶点. 若 AD ( = 150°,∠A = 75°,∠D= 60°,则 BC ( 的度数为(　 　 ) A. 25° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 文化情境·传统文化 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工 具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工 作原理,如图 1. 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的 圆,如图 2. 已知圆心 O 在水面上方,且☉O 被水面截得的弦 AB 长为 8 米,☉O 半径长为 5 米. 若点 C 为运行轨道的最低点,则 点 C 到弦 AB 所在直线的距离是(　 　 ) A. 1 米 B. 2 米 C. 3 米 D. 4 米 图 1 　 　 　 　 图 2 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,已知 A、B 两点的坐标分别为( -2,0)、(0,1),☉C 的圆心 坐标为(0,-1),原点(0,0)在☉C 上,E 是☉C 上的一动点,则 △ABE 面积的最小值为(　 　 ) A. 1 B. 2- 5 2 C. 1- 3 2 D. 25 8 - 5 8 9. 在半径为 2 的☉O 中,两条弦 AB = 2 2 ,AC = 2,∠BAC 的度 数为(　 　 ) A. 45°或 60° B. 105° C. 15° D. 15°或 105° 10. 如图,点 A,B 的坐标分别为 A(2,0),B(0,2),点 C 为坐标平面 内一点,BC= 1,点 M 为线段 AC 的中点,连接 OM,则 OM 的最 大值为(　 　 ) A. 2 +1 B. 2 + 1 2 C. 2 2 +1 D. 2 2 - 1 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图,∠ABC= 90°,O 为射线 BC 上一点,以点 O 为圆心、 1 2 BO 长 为半径作☉O,当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转　 　 　 　 度 时与☉O 相切. 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 12. 如图在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,圆心坐标 是　 　 　 　 . 13. 如图是水平放置的水管截面示意图,已知水管的半径为 50cm, 水面宽 AB= 80cm,则水深 CD 约为　 　 　 　 cm. 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 14. 如图,点 I 为△ABC 的内心,AB = 4cm,AC = 3cm,BC = 2cm,将 ∠ACB 平移,使其顶点与点 I 重合,则图中阴影部分的周长为 　 　 　 　 cm. 15. 如图,PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为切点,点 C、D 在 ☉O 上. 若∠P= 108°,则∠B+∠D= 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,☉O 的半径为 2,点 A 为☉O 上一点,OD⊥弦 BC 于点 D,如果∠BAC= 60°. 求 OD 的长和∠OCB 度数. 17. (8 分)一辆装满货物的卡车,高 2. 5 米,宽 1. 6 米,要开进厂门 形状如图所示的某工厂,问这辆卡车能否通过厂门(厂门上方 为半圆形拱门)? 说明你的理由. ·31· 18. (8 分)如图,点 E 是△ABC 的内心,AE 的延长线和△ABC 的外 接圆相交于点 D. 求证:DE=DB. 19. 文化情境·数学文化 (10 分)阅读材料,解答问题: 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有 10 余 种,下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题: 如图 1,AB 是☉O 的弦,点 C 在☉O 上,CD⊥AB 于点 D,在弦 AB 上 取一点 E,使 DE=AD,点 F 是 BC ( 上的一点,且 CF ( =CA ( ,连接 BF, 则 BF=BE. 小颖对这个问题很感兴趣,经过思考,写出了下面的证明过程: 证明:如图 2,连接 CA,CE,CF,BC, ∵ CD⊥AB 于点 D,DE=AD,∴ CA=CE. ∴ ∠CAE= ∠CEA. ∵ CF ( =CA ( ,∴ CF=CA(依据 1),∠CBF= ∠CBA. ∵ 四边形 ABFC 内接于☉O,∴ ∠CAB+∠CFB= 180°. (依据 2) …… 图 1 　 　 　 　 图 2 (1)上述证明过程中的依据 1 为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,依据 2 为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)将上述证明过程补充完整. 20. (10 分)如图,在钝角△ABC 中,∠C = 45°,AE⊥BC,垂足为点 E,且 AB 与 AC 的长度为方程 x2 -9x+18 = 0 的两个根,☉O 是 △ABC 的外接圆. 求: (1)☉O 的半径; (2)BE 的长. 21. (10 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,以 AB 为直径作半 圆☉O 交 AC 于点 D,点 E 为 BC 的中点,连接 DE. (1)求证:DE 是半圆☉O 的切线; (2)若∠ACB= 60°,DE= 2,求 AD 的长. 22. 文化情境·传统文化 (10 分)抖空竹在我国有着悠久的历史, 是国家级非物质文化遗产之一. 为弘扬传统文化,某校将抖空 竹列入了体育课程. 在学习了圆之后,数学兴趣小组的同学们 对抖空竹进行了探究,示意图如图所示,已知绳 AC,BD 分别与 空竹☉O 相切于点 C,D,且 AC = BD,连接左右两个绳柄 A,B, AB 经过圆心 O,交☉O 于点 E,F. (1)求证:AE=BF; (2)若 AE= 4,AC= 8,求两个绳柄之间的距离 AB. 　 23. (11 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,BC 为☉O 的直径,D 为☉O 上任意一点,连接 AD 交 BC 于点 F,EA⊥AD 交 DB 的延长线于 点 E,连接 CD. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)当∠CAD 的度数为　 　 　 　 时,四边形 ABDC 是正方形; (3)若四边形 ABDC 的面积为 4,求 AD 的长. ·41· 开方,得 x-2 = ± 5 , (3 分) 解得 x1 = 2+ 5 ,x2 = 2- 5 ; (4 分) (2)方程整理,得(x-1) 2 = 8, (6 分) 开方,得 x-1 = ±2 2 , (7 分) 解得 x1 = 1+2 2 ,x2 = 1-2 2 . (8 分) 17. (1)证明:∵ Δ= [-(m+1)] 2 -4×2(m-1) = m2 -6m+9 = (m-3) 2 ≥0,∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (3 分) (2)解:若腰长为 4,将 x= 4 代入原方程,得 16-4(m+1) +2(m-1)= 0,解得 m= 5,∴ 原方程为 x2 -6x+8 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 4. 组成三角形的三边长度为 2、4、4; (5 分) 若底边长为 4,则此方程有两个相等实数根,∴ Δ = 0,即 m= 3,此时方程为 x2 -4x+4 = 0,解得:x1 = x2 = 2,由于 2+ 2 = 4,不能构成三角形,舍去;所以三角形另外两边长度 为 4 和 2. (8 分) 18. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作. (2 分) A1(2,2),B1(3,-2) . (3 分) (2)A2(3,-5),B2(2,-1),C2(1,-3); (6 分) (3)如图,△A3B3C3 为所作, (8 分) A3(5,3),B3(1,2),C3(3,1) . (9 分) 19. 解:(1)设销售利润为 W 元,根据题意得 W= (x-20)y = (x-20)( - 10x+ 500) = - 10x2 + 700x- 10 000 = - 10( x- 35) 2 +2 250. ∴ 当 x= 35,即销售单价为 35 元时,该水杯 每天的销售利润最大. (4 分) (2)方案 A:设销售利润为 W′元,设涨价 t 元,t≤5. 当售 价为 25 元时,销售量为 y = -10×25+500 = 250(个),W′ = (25+t-20)(250- 10t) = - 10t2 + 200t+ 1 250 = - 10( t- 10) 2 +2 250. ∴ 当 t= 5 时,W′取得最大值为 2 000. 方案 B:销售单价为 x≥20+ 16 = 36,由(1)知利润 W = -10(x-35) 2 +2 250,∵ -10<0,x≥36,∴ 当 x = 36 时,W 最大,为 2 240 元. ∵ 2 240>2 000,∴ B 方案的最大利润 较大. (9 分) 20. 解:(1)函数图象的开口方向向上,对称轴为直线 x = 2, 顶点坐标为(2,-1); (3 分) (2)函数图象如下: (6 分) (3)当 y= 0 时,x2 -4x+3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 3,∴ AB = 2. 设点 P 的纵坐标为 yP . ∵ S△ABP = 1 2 ×AB× | yP | = 2,∴ | yP | = 2,∵ y≥-1,∴ 将 yP = 2 代入函数可得 x 2 -4x+3 = 2,解 得 x1 = 2+ 3,x2 = 2- 3,∴ P 点的坐标为(2+ 3,2)或(2 - 3,2) . (10 分) 21. 解:(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 x. 由题意得 500(1+x) 2 = 720,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题 意,舍去) . 故该品牌头盔销售量的月增长率为 20%; (5 分) (2)设该品牌头盔的实际售价应定为 y 元 /个. 由题意 得(y-30)[600-10(y-40)] = 10 000. 整理得 y2 -130y+ 4 000 = 0. 解得 y1 = 50,y2 = 80. ∵ 尽可能让顾客得到实 惠,∴ y= 50. 故该品牌头盔的实际售价应定为 50 元 / 个. (10 分) 22. 解:(1)根据题意,得抛物线顶点坐标(4,11),且过点 B (3,10) . 设抛物线解析式为 y = a(x- 4) 2 + 11,将 B(3, 10)代入,得 10 =a×(3- 4) 2 + 11,解得 a = - 1,故抛物线 的解析式为 y= -(x-4) 2 +11; (5 分) (2)由题可得,当 y= 0 时,则 0 = -(x-4) 2 +11,即(x-4) 2 = 11,解得 x1 = 4+ 11 ,x2 = 4- 11 . ∵ 入水处 C 在对 称轴的右侧,对称轴为直线 x = 4,∴ C(4+ 11 ,0),∴ OC= 4+ 11 . 答:入水处 C 距池边 O 的水平距离为(4+ 11 )米. (10 分) 23. 解:(1)BE=DG　 90° (2 分) (2)①(1)的结论仍然成立,理由如下:设 BE 交 AD 于 点 O,∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形,∴ AE =AG,AB=AD,∠BAD= ∠EAG = 90°,∴ ∠GAE+∠DAE = ∠BAD+ ∠DAE,∴ ∠BAE = ∠DAG. 在△ABE 和△ADG 中, AB=AD ∠BAE= ∠DAG AE=AG { , ∴ △ABE ≌ △ADG, ∴ BE = DG, ∠ABE = ∠ADG. ∵ ∠ABE + ∠AOB = ∠ADG + ∠DOH = 90°,∴ ∠BHD= 90°; (5 分) ②m= 2 ,n= 1. 证明:在 BE 上取 N,使得 BN =DH,连接 AN,AH,∵ ∠ABE = ∠ADH,AD = AB,∴ △ADH≌△ABN (SAS),∴ ∠BAN= ∠DAH,AN = AH. ∵ ∠DAN+∠BAN = 90°,∴ ∠DAH+∠DAN = 90°,即∠NAH = 90°,∴ △AHN 为等腰直角三角形,∴ HN = 2 AH,∴ HN+BN = 2 AH+ DH=BH,∴ m= 2 ,n= 1; (8 分) (3) 10或 2 . (11 分) 　 【解析】①如图 1,∵ AB = 5,AE = 1,四边形 ABCD 和 四边形 AEFG 均为正方形, ∴ EF = FG = 1, ∠AEF = ∠GFE= 90°. ∵ 点 F,H 重合,∴ 点 B、E、F 在同一直线 上,∴ ∠AEB = 90°,∴ BE = 2,BF = BE+EF = 3,∴ BG = GF2 +BF2 = 10;②如图 2,∵ 点 F,H 重合,∴ 点 B、 E、F 在同一直线上,∴ ∠DFB = 90°,∴ BE = 2,BF =BE- EF= 1,∴ BG = GF2 +BF2 = 2 . 综上,BG 的长为 10 或 2 . 图 1 　 　 　 　 图 2 第二十四章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C D C D B B D B 1. A　 2. D 3. C　 【解析】设 AB,AC,BC 和圆的切点分别是 P,N,M,DE 与☉O 相切于 Q,CM = x,根据切线长定理,得 CN =CM = x,BM=BP= 9-x,AN = AP = 10-x. 则有 9-x+10-x = 8,解 得 x= 5. 5. 又因为 MD=QD,EQ=NE,所以△CDE 的周长 =CD+CE+QE+DQ= 2x= 11. 故选 C. 4. D　 【解析】连接 AQ,AP. 根据切线的性质定理,得 AQ⊥ PQ,要使 PQ 最小,只需 AP 最小,根据垂线段最短,可知 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 8 页 当 AP⊥x 轴时,AP 最短,∴ P 点的坐标是(-3,0) . 故选 D. 5. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【技巧点拨】过点 O 作 OD⊥BC,垂足为 D,根据已知可得 ∠BAC+∠BOC = 180°,再根据圆周角定理可得∠BOC = 120°,然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定 理可得∠OBC= ∠OCB = 30°,最后在 Rt△OBD 中,利用 含 30 度角的直角三角形的性质求出 OD,BD 的长,再利 用垂径定理进行计算,即可解答. 6. D　 7. B　 【解析】连接 OC 交 AB 于 D,则 OC⊥AB,又∵ AB = 8, ∴ AD=BD= 1 2 AB = 4. 在 Rt△OAD 中,OA = 5,AD = 4,∴ OD= 52 -42 = 3,∴ CD= 5-3 = 2(米) . 故选 B. 8. B　 【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,交☉C 于点 E,此 时△ABE 面积的值最小,由题意可知:AB = 22 +12 = 5 . OC= 1,BC= 2. ∵ 1 2 BC·OA= 1 2 AB·CD,∴ 1 2 ×2×2 = 1 2 × 5 ·CD,∴ CD = 4 5 5 ,∴ DE =CD-CE = 4 5 5 -1. ∴ S△ABE的最小值 = 1 2 AB·DE = 1 2 (4 5 5 - 1) × 5 = 2- 5 2 . 故选 B. 9. D　 【解析】分为两种情况:①如图,弦 AB 和弦 AC 在直径 AE 的同旁时,过 O 作 OG⊥AB 于点 G,则 AG = 1 2 AB = 2, ∠AGO = 90°, OG = AO2 -AG2 = 22 -( 2) 2 = 2 =AG. 连接 OC,∵ OA =OC =AC,∴ ∠CAO= 60°. ∵ ∠GAO = 45°,∴ ∠BAC = ∠CAO- ∠GAO= 60°-45° = 15°; ②当弦 AC 和弦 AB 在直径 AE 的两旁时, 此时∠BAC= ∠GAO+∠FAO= 60°+45° = 105°; 所以∠BAC 的度数是 15°或 105°. 故选 D. 10. B　 【解析】在 x 轴负半轴取 OD=OA= 2,连接 CD. ∵ AM =CM,OD=OA,∴ OM = 1 2 CD,当 OM 最大时,即 CD 最 大. 而当 D,B,C 三点共线时,即 C 在 DB 的延长线上 时,CD 最大. ∵ OB = OD = 2,∠BOD = 90°,∴ BD = 2 2, ∴ CD= 2 2 +1,∴ OM= 1 2 CD = 2 + 1 2 ,即 OM 的最大值 为 2 + 1 2 . 故选 B. 11. 60 或 120　 12. (2,0) 13. 20　 【解析】连接 OA,易知 OD⊥AB,交 AB 于点 C,∴ AC =BC. 在 Rt△ACO 中,AO2 =OC2 +AC2,即 502 =OC2 +402, ∴ OC= 30. ∴ CD=OD-OC= 20(cm) . 14. 4 15. 216°　 【解析】连接 AB,∵ PA、PB 是☉O 的切线,A、B 为 切点,∴ PA =PB,∴ ∠PAB = ∠PBA = 1 2 (180°-∠APB) = 36°. ∵ A、D、C、B 四点共圆,∴ ∠D+∠CBA = 180°,∴ ∠PBC+∠D= ∠PBA+∠CBA+∠D= 36°+180° = 216°. 16. 解:∵ ∠BAC= 60°,∴ ∠BOC= 2∠BAC= 120°. (2 分) ∵ OB=OC,∴ ∠OBC=∠OCB= 1 2 ×(180°-120°)= 30°. (4 分) ∵ OD⊥BC,∴ ∠ODC= 90°,∴ OD= 1 2 OB= 1. (8 分) 17. 解:这辆卡车能通过厂门. (1 分) 理由如下:如图 M,N 为卡车的宽度,过 M, N 作 AB 的垂线交半圆于 C,D,连接 CD,过 O 作 OE⊥CD,E 为垂足, (3 分) 则 CD=MN= 1. 6m,AB = 2m,由作法得,CE = DE = 0. 8m. 又 ∵ OC = OA = 1m, 在 Rt △OCE 中,OE= OC2 -CE2 = 12 -0. 82 = 0. 6( m),∴ CM= 2. 3+0. 6 = 2. 9m>2. 5m. ∴ 这辆卡车能通过厂门. (8 分) 18. 证明: 连接 BE, ∵ E 是 △ABC 的内心, ∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ABE= ∠CBE. (2 分) 又∵ ∠CBD = ∠CAD, ∴ ∠BED = ∠BAD + ∠ABE = ∠CAD + ∠CBE, ∠DBE = ∠CBD + ∠CBE = ∠CAD + ∠CBE. ∴ ∠BED= ∠DBE. ∴ DE=DB. (8 分) 19. 解:(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等　 圆内接四边 形的对角互补 (4 分) (2) 证明:∵ ∠CEA+∠CEB = 180°,∴ ∠CFB = ∠CEB, 在△CFB 和 △CEB 中, ∠CFB= ∠CEB ∠CBF= ∠CBA BC=BC { , ∴ △CFB ≌ △CEB(AAS),∴ BF=BE. (10 分) 20. 解:(1)连接 OB,解方程 x2 -9x+18 = 0,得 x1 = 3,x2 = 6, ∴ AC= 3,AB= 6, (2 分) 由圆周角定理得,∠AOB = 2∠C = 90°,∴ △AOB 为等腰 直角三角形, (3 分) ∴ OB2 +OA2 =AB2 ,即 2OB2 = 62 ,∴ OB= 3 2 . 即☉O 的半 径为 3 2 . (5 分) (2)∵ ∠C= 45°,AE⊥BC,∴ △AEC 为等腰直角三角形, ∴ 由勾股定理得 AE = 3 2 2 , ∴ BE = AB2 -AE2 = 3 2 14 . (10 分) 21. (1)证明:连接 OD、BD. ∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ADB= ∠CDB= 90°. (2 分) ∵ 点 E 为 BC 的中点, ∴ BE = DE = CE, ∴ ∠DBE = ∠BDE. ∵ OB = OD, ∴ ∠OBD = ∠ODB, ∴ ∠OBD + ∠DBE= ∠ODB+∠BDE,即∠ABC = ∠ODE = 90°,∴ OD ⊥DE,∴ DE 是半圆☉O 的切线; (5 分) (2)解:由(1)知:BE=DE =CE = 2,∴ BC = 4. ∵ ∠ACB = 60°,∴ △CDE 是 等 边 三 角 形, ∴ CD = CE = 2. 在 Rt△ABC 中,∠BAC= 30°,∴ AC = 2BC = 2×4 = 8,∴ AD = AC-CD= 8-2 = 6. (10 分) 22. (1)证明:连接 OC,OD. ∵ AC,BD 分别与☉O 相切于点 C,D,∴ ∠ACO= ∠BDO= 90°. (3 分) 在△ACO 和△BDO 中, AC=BD ∠ACO= ∠BDO= 90° OC=OD { ,∴ △ACO ≌△BDO(SAS),∴ AO=BO. 又∵ EO=FO,∴ AE=BF. (6 分) (2)解:设 OE=OC= x,则 AO= x+4. 在 Rt△ACO 中,由勾 股定理,得(x+4) 2 = x2 +82 . 解得 x= 6. ∴ AO= 10. ∴ AB = 20. ∴ 两个绳柄之间的距离 AB 为 20. (10 分) 23. (1)证明:∵ BC 为☉O 直径,EA⊥AD,∴ ∠BAC = ∠BDC =∠DAE= 90°. ∴ ∠BAF+∠CAF = ∠BAF+∠BAE = 90°, ∴ ∠CAF = ∠BAE. ∵ ∠ABD + ∠ACD = 180°, ∠ABD + ∠ABE= 180°,∴ ∠ABE= ∠ACD. 又∵ AB = AC,∴ △ABE ≌△ACD(ASA) . (4 分) (2)45° (6 分) (3)解:∵ △EAB≌△DAC,∴ AE = AD,S△ABE = S△ADC,∴ 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 9 页 S四边形ABDC =S△AED = 4,∴ 1 2 ·AD2 = 4,∴ AD= 2 2 . (11 分) 第二十四章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A D B A C B D C 1. B 2. A　 【解析】根据题意得 2πr= 270·π·l 180 ,所以 l = 4 3 r( r> 0),即 l 与 r 为正比例函数关系,其图象在第一象限. 故 选 A. 3. A　 4. D　 【解析】设正多边形的外接圆为☉O,连接 OA,OB,∵ ∠ADB= 15°,∴ ∠AOB= 2∠ADB= 30°,而 360°÷30° = 12, ∴ 这个正多边形为正十二边形. 故选 D. 5. B　 【解析】设正三角形的边心距为 x,则其半径为 2x,边 长为 2 3 x,因为圆内接正三角形的面积为 3 3,所以 1 2 × 2 3 x(x+2x)= 3 3,解得 x = 1 或-1(舍去) . 所以边心距 为 1. 故选 B. 6. A　 【解析】连接 OE,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠D = ∠B= 70°,AD = AB = 3,∴ OA = OD = 1. 5. ∵ OD = OE,∴ ∠OED= ∠ODE = 70°,∴ ∠DOE = 180°- 2× 70° = 40°,∴ DE ( 的长= 40π ×1. 5 180 = 1 3 π. 故选 A. 7. C　 【解析】AB ( = 120π×2 180 = 4π 3 , 4 3 π÷ 2 3 π = 2(秒),2026÷2 = 1013,故在第 2026 秒时点 P 的纵坐标为 0. 故选 C. 8. B　 【解析】∵ ☉O 的直径为 2,则半径是 1,连接 BC、AO, 根据题意知 BC⊥AO,AO = BO = 1,在 Rt△ABO 中,AB = OB2 +OA2 = 2,即扇形的对应半径 R = 2,弧长 l = 90π× 2 180 = 2 2 π,设圆锥底面圆半径为 r,则有 2πr= 2 2 π, 解得 r= 2 4 . 故选 B. 9. D　 【解析】作 DH⊥AE 于点 H,∵ ∠AOB = 90°,OA = 2, OB = 1, ∴ AB = OA2 +OB2 = 5 . 由 旋 转 得 △EOF ≌ △BOA,∴ ∠OAB = ∠EFO. ∵ ∠FEO+ ∠EFO = ∠FEO+ ∠HED= 90°,∴ ∠EFO = ∠HED,∴ ∠HED = ∠OAB. ∵ ∠DHE = ∠AOB = 90°, DE = AB, ∴ △DHE ≌ △BOA (AAS), ∴ DH = OB = 1, S阴影 = S△ADE + S△EOF + S扇形AOF - S扇形DEF = 1 2 ×3×1+ 1 2 ×1×2+90·π ×22 360 -90·π×5 360 = 10-π 4 . 故选 D. 10. C　 【解析】连接 FD 交 EC 于 H,在圆内接正六边形 AB- CDEF 中,FE=ED=DC =CB,∠FED = ∠EDC = ∠DCB = 120°,∴ ∠EFD = ∠EDF = ∠ECD = ∠CED = ∠CBD = ∠BDC= 30°,∴ CG = DG,DH = EH,∴ ∠GDH = ∠DGH = ∠DHG= 60°,∴ CG=GH=DG=DH=EH,连接 OE,OD 交 EC 于 N,则 OD⊥EC,∠DOE = 60°,∵ OD = 3,∴ EN = 3 3 2 ,∴ EC= 2EN= 3 3,∴ EG= 2 3 EC= 2 3 . 故选 C. 11. 45 12. 2π - 4 　 【解析】如图,连接 PA、PB、OP. 则 S半圆O = π·12 2 = π 2 ,S△ABP = 1 2 ×AB·OP = 1 2 × 2 × 1 = 1, 由 题 意, 得 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 = 4(S半圆O-S△ABP)= 4( π 2 -1)= 2π-4. 13. 15 2 π　 【解析】∵ AB = 18cm,BD = 9cm,∠DAE = 150°,∴ AD= 9cm,∴ DE ( 的长为 150×π×9 180 = 15 2 π(cm) . 14. 2π- 2 3 　 【解析】设等边三角形 ABC 的边长为 r,∴ 60·π·r 180 = 2π 3 ,解得 r= 2,即正三角形的边长为 2,∴ 这 个曲边三角形的面积 = 2× 3 ÷ 2+( 60·π×4 360 - 3 ) × 3 = 2π-2 3 . 15. 4π-4 2 　 【解析】连接 AB,CD,OE,OE 交 CD 于点 J. ∵ OC=AC,OD=DB,∴ CD∥AB. ∵ AE ( =BE ( ,∴ OE⊥AB,∴ CD ⊥ OE. ∵ ∠COD = 90°, ∴ CD = OC2 +OD2 = 22 +22 = 2 2,∴ S四边形OCED = 1 2 ·CD·OE = 4 2,∴ S阴 =S扇形AOB-S四边形OCED = 1 4 ·π·42 -4 2 = 4π-4 2 . 16. 解:设圆锥的底面圆的半径为 r,则 2πr= 6π,解得 r= 3, (2 分) 设扇形 AOB 的半径为 R,则120·π·R 180 = 6π,解得 R = 9, (5 分) ∴ 圆锥的侧面积= 1 2 ×6π×9 = 27π. (8 分) 17. (1)证明:连接 OC. ∵ CF 为☉O 的切线,∴ OC⊥CE,∴ ∠OCA+ ∠ACE = 90°. ∵ OE⊥AB, ∴ ∠OAC + ∠ODA = 90°. ∵ OA= OC,∴ ∠OAC = ∠OCA,∴ ∠ACE = ∠ODA = ∠CDE,∴ ED=EC; (4 分) (2)解:设 OE 交劣弧 AC 于点 H,∵ ∠A = 30°,∠AOD = 90°,∴ ∠ADO = ∠CDE = ∠ACE = 60°,∴ ∠CED = 60°, ∠EOC= 30°. ∵ ∠OCE= 90°,EC= 1,∴ OC = 3 ,OE = 2, ∴ OH= OC = 3 ,∴ EH = OE-OH = 2 - 3 ,CH ( 的长 l = 30π× 3 180 = 3 π 6 , (7 分) ∴ 图中阴影部分的周长=CE+EH+l = 1+2- 3 + 3 π 6 = 3 - 3 + 3 π 6 . (8 分) 18. (1)正方形 ABCD 和正六边形 AEFCGH 如图所示: (4 分) (2)证明:连接 OE、DE. ∵ ∠AOD = 360° 4 = 90°,∠AOE = 360° 6 = 60°,∴ ∠DOE = ∠AOD-∠AOE = 30°. ∵ 360°÷30° = 12,∴ DE 为☉O 的内接正十二边形的一边. (8 分) 19. 解:(1)AB ( 的长= 135π ×36 180 = 27π,CD ( 的长 = 135π ×12 180 = 9π,∴ 花边的总长度= (2π×36-27π) +(2π×12-9π) = 60π(cm); (4 分) (2) S扇形OAB = 135π×362 360 = 486π, S扇形OCD = 135π×122 360 = 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 10 页