第二十二章 二次函数 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十二章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 已知二次函数 y = mx2 +x+m(m- 2) 的图象经过原点,则 m 的 值为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 或 2 B. 0 C. 2 D. 无法确定 2. 对于函数 y= (x+2) 2 -9,下列结论错误的是(　 　 ) A. 图象顶点是( -2,-9) B. 图象开口向上 C. 图象关于直线 x= -2 对称 D. 函数最大值为-9 3. 在平面直角坐标系中,将抛物线 y= 2x2 -4 先向右平移 2 个单位 长度,再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线对应的函数表达 式是(　 　 ) A. y= 2(x+2) 2 +3 B. y= 2(x-2) 2 +3 C. y= 2(x+2) 2 -3 D. y= 2(x-2) 2 -3 4. 已知二次函数 y= 2x2 -bx+1,当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,则 实数 b 的取值范围为(　 　 ) A. b≤4 B. b≥2 C. b≤2 D. b≥4 5. 已知二次函数 y =ax2 +bx 的图象开口向下,且与 x 轴的负半轴交 于点 P,则一次函数 y=(-a-b)x+b 的图象经过的象限是(　 　 ) A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 6. 如果点 A(1,3),B(m,3)是抛物线 y=a(x-4) 2 +h 上两个不同的 点,那么 m 的值为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 在同一坐标系中,一次函数 y=mx+n2 与二次函数 y = x2 +m 的图 象可能是(　 　 ) A B C D 8. 如图是一张长 12cm,宽 10cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的 正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成有盖的 长方体铁盒. 设剪去的正方形的边长为 x,则底面积为(　 　 ) A. S= -2x2 +22x+60 B. S= 2x2 -22x+60 C. S= 4x2 -32x+60 D. S= -2x2 -22x+60 9. 已知二次函数 y= -2(x-m) 2 +4,当 x<-2 时,y 随 x 增大而增大, 当 x>0 时,y 随 x 增大而减小,且 m 满足 m2 -2m-3 = 0,则当 x= 0 时,y 的值为(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 1+ 2 D. 1± 2 10. 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,与 x 轴的一 个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是 x= 1. 下列结论中: ①abc>0; ②2a+b= 0; ③方程 ax2 +bx+c= 2 有两个不相等的实数根; ④4a-2b+c= 0; ⑤若点 A(m,n)在该抛物线上,则 am2 +bm+c≤ a+b+c. 其中正确的个数有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 抛物线 y=ax2 +bx+c 的部分图象如图所示,则当 y<0 时,x 的取 值范围是　 　 　 　 　 　 . 第 11 题图 　 　 　 　 第 15 题图 12. 已知抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)的顶点为(2,4),若点( -2,m), (3,n)在抛物线上,则 m　 　 　 　 n(填“ >”、“ = ”或“ <”) . 13. 已知二次函数 y=ax2 -2ax+c(a≠0)的图象与 x 轴的一个交点 为( -2,0),则关于 x 的一元二次方程 ax2 -2ax+c = 0 的两根之 积是　 　 　 　 . 14. 已知二次函数 y= -3x2 +(m-1)x+1,当 x>m +1 2 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 15. 二次函数 y= -2x2-2x+3 的图象如图所示,若线段 AB 在 x 轴上, 且 AB 为 2 3个单位长度,以 AB 为边作等边三角形 ABC,使点 C 落在该函数 y 轴左侧的图象上,则点 C 的坐标为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)已知二次函数 y= -x2 +bx+c 的图象与 x 轴的一个交点坐 标为( -1,0),与 y 轴的交点坐标为(0,3) . (1)求此二次函数的解析式; (2)用配方法求此抛物线的顶点坐标. 17. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m-3)x-m= 0. (1)试判断原方程根的情况; (2)若抛物线 y= x2 -(m-3) x-m 与 x 轴交于 A(1,0),B( t,0) 两点,求 m 的值及 A、B 两点间的距离. 18. (8 分)如图窗户边框的上部分是由 4 个全等扇形组成的半圆, 下部分是矩形,现在制作一个窗户边框的材料总长度为 6 米. ( π 取 3) (1)若设扇形半径为 x,请用含 x 的代数式表示出 AB. 并求出 x 的取值范围. (2)当 x 为何值时,窗户透光面积最大,最大面积为多少? (窗 框厚度不予考虑) ·7· 19. (9 分)如图,以 40m / s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向 击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气阻 力,小球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具 有函数关系 h= 20t-5t2 . (1)小球从飞出到落地要用多少时间? (2)小球飞行的最大高度是多少? 此时需要多少飞行时间? 20. (10 分)学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品. 试销发现:该电子产品的销售价格 y(元 /件)与销售量 x(件) 之间满足一次函数关系,其图象如图所示. 已知销售 60 件电子 产品所得利润为 1680 元. (1)根据以上信息,填空:销售量为 60 件时的销售价格是 　 　 　 　 元 /件,该产品的成本价格是　 　 　 　 元 /件; (2)求销售利润 w(元)关于销售量 x(件)的函数解析式,当销 售量为多少时,销售利润最大? 最大值是多少? (3)该社团继续开展科技创新,降低产品成本价格,预估当销 售量在 120 件以上时,销售利润达到最大,则科技创新后该产 品的成本价格应低于多少? 21. (10 分)已知抛物线 y=ax2 -2ax+m 与 x 轴交于 A( -1,0)、B 两 点,与 y 轴正半轴交于点 C(0,2) . (1)求此抛物线的解析式; (2)过点 O 的直线交 BC 于点 D,且 OD 刚好平分△ABC 的面 积,求点 D 的纵坐标. 22. 跨学科试题·地理 (11 分)信阳位于中国南北地理分界线,地 处淮河中上游,素有“北国江南,江南北国”美誉,自古雨水充 沛,河流众多,降雨量和人均水资源量久居河南第一,素以“水 广桥多”著称,被誉为“千湖之市” . 其中一座桥的桥洞形状符 合抛物线形状,如图 1 所示,桥墩高 3 米,拱顶 A 与起拱线 BC 相距 4 米,桥孔宽 6 米. (1)若以起拱点 B 为坐标原点建立平面坐标系,求抛物线的函 数表达式,并求其顶点坐标. (2)河面的平均水位 2 米,信阳游客服务部门打算建造河上观赏 船,故应考虑船下水后的吃水线问题.额定载客后,观赏船吃水线 上面部分的截面图为矩形 EFGH(如图 2),当船宽 FG 为 3 米时. ①求吃水线上船高约多少米时,可以恰好通过此桥; ②若考虑涝季水面会再往上升 1 米,则求此时吃水线上船高的 设计范围. 　 　 　 图 1 　 　 　 图 2 23. (11 分)如图,已知二次函数 y= - 3 8 x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 点 A、C,与 y 轴交于点 B,直线 y= 3 4 x+3 经过 A、B 两点. (1)求 b、c 的值. (2)若点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一动点,过点 P 作 PF⊥ x 轴于点 F,交直线 AB 于点 D,求线段 PD 的最大值. (3)在(2)的结论下,连接 CD,点 Q 是抛物线对称轴上的一动 点,在抛物线上是否存在点 G,使得以 C、D、G、Q 为顶点的四边 形是平行四边形,若存在,请直接写出点 G 的坐标;若不存在, 请说明理由. 　 　 　 　 ·8· (3)-1<x<3 (8 分) 17. (1)证明:∵ Δ= (-2m) 2 -4(m2 -4)= 16>0,∴ 该二次函 数的图象与 x 轴有两个交点; (4 分) (2)解:y= x2 -2mx+m2 -4 = (x-m) 2 -4 通过平移后得到 y= (x-m+2) 2 -3, (6 分) 将 x= 0,y= 0 代入以上函数解析式,得 0 = (-m+2) 2 -3, ∴ m= 2± 3 . (8 分) 18. 解:(1)∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4,∴ 当 y = 0 时,x1 = 3, x2 = -1,当 x= 0 时,y = -3,∴ 点 A 的坐标为( -1,0),点 B 的坐标为(3,0),点 C 的坐标为(1,-4),点 D 的坐标 为(0,-3); (4 分) (2)连接 OC,∴ 四边形 ABCD 的面积是:S△AOD +S△ODC + S△OCB = 3×1 2 +3×1 2 +3×4 2 = 9. (8 分) 19. 解:(1)根据题意,得:W = ( - 2x+ 100) (x- 10) = - 2x2 + 120x-1 000; (3 分) (2)由(1)知,W= -2x2 +120x-1 000 = -2(x-30) 2 +800, (5 分) ∵ -2<0,∴ 当 x = 30 时,W 有最大值,即销售单价为 30 元时,该商城获利最大,最大利润为 800 元. (6 分) (3)W= -2x2 +120x-1000 = 750,解得 x1 = 35,x2 = 25. (8 分) 又∵ 要确保顾客得到优惠,∴ x= 25. 故应将销售单价定 为 25 元. (9 分) 20. 解:(1)根据题意,得(10- 2x) 2 = 81,解得 x1 = 0. 5,x2 = 9. 5(不符合题意,舍去) . 故剪去的小正方形的边长为 0. 5cm. (4 分) (2)根据题意,得 S= 4x(10-2x)= -8x2 +40x(0<x<5) . (6 分) (3)不能. (7 分) 理由如下:-8x2 +40x= 60,整理得 2x2 -10x+15 = 0. ∵ Δ= 100-120 = -20<0,∴ 此方程无解. 故长方体盒子的侧面 积 S 的值不能是 60cm2 . (10 分) 21. 解:(1)2 (3 分) 【解析】设一元二次方程 x2 -3x+c= 0 的根是 a,2a,则 a+ 2a= 3,得 a= 1,则 2a= 2,∴ 1×2 = c 1 ,得 c= 2. (2)由题意得该抛物线的对称轴是直线 x = 1 +t+4-t 2 = 5 2 , (5 分) 设抛物线 y = ax2 +bx+ c 与 x 轴的两个交点为( x1 ,0), (x2 ,0),则 x1 +x2 = 5. (7 分) ∵ 方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)是倍根方程,假设 x1 = 2x2 , 则 3x2 = 5,得 x2 = 5 3 ,则 x1 = 10 3 ,即一元二次方程 ax2 +bx +c= 0(a≠0)的根是 5 3 和 10 3 . (10 分) 22. 解:(1) 产品 种类 每天工人 人数(人) 每天产 量(件) 每件产品可 获利润(元) 甲 65-x 2(65-x) 15 乙 x x 130-2x (3 分) (2)由题意得,15× 2(65-x) = x(130- 2x) + 550,∴ x2 - 80x+700 = 0,解得 x1 = 10,x2 = 70(舍去),∴ 130- 2x = 110(元) . 即每件乙产品可获利润是 110 元. (7 分) (3)根据题意,得:w= 15(130-2x)+x(130-2x)= -2(x- 25) 2 +3200, (9 分) x= 25 时,w 最大为 3200,65-x = 40. 答:安排 40 名工人 生产甲产品,安排 25 名工人生产乙产品可获得最大利 润,w 的最大值为 3200 元. (11 分) 23. 解:(1)由 y= - 1 2 x+2 知,y= 0 时,x= 4;x= 0 时,y= 2,∴ A(4,0),C(0,2) . (1 分) 把 A ( 4, 0 ) 和 C ( 0, 2 ) 代入 y = - 1 2 x2 + bx + c, 得 -8+4b+c= 0, c= 2,{ 解得 b= 3 2 , c= 2. { (2 分) ∴ 抛物线解析式为 y= - 1 2 x2 + 3 2 x+2; (3 分) (2)由题可知,只能是∠GCP = 90°或∠GPC = 90°. ①若 ∠GPC= 90°时,则 CP⊥GP,即 CP 垂直对称轴. 由(1) 知对称轴为 x= 3 2 ,∴ 点 P 坐标为( 3 2 ,2); (7 分) ②若∠GCP= 90°时,设 P( 3 2 ,a) . ∵ G( 3 2 ,0),∴ GP2 = a2 ,CG2 = ( 3 2 ) 2 +22 = 25 4 ,CP2 = ( 3 2 ) 2 +(a-2) 2 = a2 -4a+ 25 4 ,在 Rt△CGP 中,∴ CG2 +CP2 =GP2 ,∴ 25 4 +a2 -4a+ 25 4 =a2 ,∴ a = 25 8 ,∴ P( 3 2 ,25 8 ) . 综上所述,点 P 的坐标为 ( 3 2 ,2)或( 3 2 ,25 8 ) . (11 分) 第二十二章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D D D D C B A D 1. C　 2. D 3. D　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【归纳总结】二次函数图象的平移,先将一般式转换成顶 点式,再利用平移规律“左加右减,上加下减”进行平移 变换,即可得到新的解析式. 4. D　 【解析】∵ y= 2x2 -bx+1,∴ 对称轴为 x = b 4 . ∵ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,∴ b 4 ≥1,∴ b≥4. 故选 D. 5. D　 6. D　 7. C　 8. B　 9. A　 【解析】函数的对称轴为:x=m,当 x<-2 时,y 随 x 增 大而增大,当 x>0 时,y 随 x 增大而减小,则- 2≤m≤0, ∵ m2 -2m-3 = 0,解得 m= 3 或-1,故 m= -1,则 x = 0 时,y = -2(x+1) 2 +4 = 2. 故选 A. 10. D　 【解析】由图象可得,a< 0,b> 0,c> 0,∴ abc< 0,故① 错误;- b 2a = 1,则 b= -2a,故 2a+b= 0,故②正确;抛物线 与直线 y= 2 有两个交点,故方程 ax2 +bx+c= 2 有两个不 相等的实数根,故③正确;∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0) 与 x 轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是 x = 1,∴ 该抛物线与 x 轴的另一个交点为(-2,0),∴ 当 x = -2 时,y= 4a-2b+c = 0,故④正确;∵ 当 x = 1 时,该函 数取得最大值,此时 y = a+b+c,∴ 点 A(m,n)在该抛物 线上,则 am2 +bm+c≤a+b+c,故⑤正确;故选 D. 11. x<-1 或 x>3　 12. > 13. -8　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 - 2ax+c 的对称轴为直 线 x= 1,∴ 二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为(4, 0),∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2 - 2ax+c = 0 的两根为 x1 = -2,x2 = 4,∴ 关于 x 的一元二次方程 ax 2 -2ax+c = 0 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 4 页 的两根之积为-8. 14. m≥ - 2　 【解析】 ∵ 函数的对称轴为 x = - m -1 2×(-3) = m-1 6 ,且二次函数开口向下,∴ 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小,∴ m -1 6 ≤m +1 2 . 解得 m≥-2. 15. ( -1- 13 2 ,-3)或(-1,3)　 【解析】∵ △ABC 是等边三 角形,且 AB= 2 3,∴ AB 边上的高为 3. ∵ 点 C 在二次 函数图象上,∴ C 的纵坐标为 ± 3. 令 y = ± 3,得 x = -1± 13 2 或 0 或 - 1. ∵ C 在 y 轴左侧,∴ x < 0,∴ x = -1- 13 2 或 x = - 1. ∴ C 点坐标为 ( -1- 13 2 ,-3) 或 (-1,3) . 16. 解: ( 1) 把 ( - 1, 0), ( 0, 3) 代入 y = - x2 + bx + c 得 -1-b+c= 0, c= 3{ 解得 b= 2, c= 3.{ 所以抛物线解析式为 y = -x 2 + 2x+3; (4 分) (2)y= -x2 +2x+3 = -(x2 -2x+1-1)+3 = -(x-1) 2 +4, (6 分) 所以抛物线的顶点坐标为(1,4) . (8 分) 17. 解:(1)Δ= [-(m-3)] 2 -4(-m)= m2 -2m+9 = (m-1) 2 + 8, (2 分) ∵ (m-1) 2 ≥0,∴ Δ= (m-1) 2 +8>0,∴ 原方程有两个不 等实数根; (4 分) (2)将 x= 1 代入一元二次方程 x2 -(m-3)x-m = 0 中得 12 -(m-3)-m= 0,解得 m = 2. 则原方程为 x2 +x- 2 = 0. 解得 x1 = 1,x2 = -2, (7 分) ∴ t= -2,则 A、B 两点间的距离为 1-(-2)= 3. (8 分) 18. 解:(1)根据题意,得 2AB+7x+πx= 2AB+10x = 6,整理得 AB= 3-5x; (2 分) 根据 3-5x>0,所以 x 的取值范围是 0<x< 3 5 ; (4 分) (2)设面积为 S,则 S = 2x(3- 5x) + 3 2 x2 = - 17 2 x2 + 6x = -17 2 (x- 6 17 ) 2 +18 17 ,当 x= 6 17 时,S最大 = 18 17 . (8 分) 19. (1)令 h= 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0(舍去),t2 = 4. (2 分) ∴ 小球从飞出到落地要用 4s; (3 分) (2)由配方法得 h= 20t-5t2 = -5( t-2) 2 +20, (5 分) ∵ a= -5<0,∴ 小球飞行的最大高度是 20m, (7 分) 此时需要飞行 2s. (9 分) 20. 解:(1)68　 40 (4 分) (2)设销售价格 y(元 /件)与销售量 x(件)之间的函数 关系式为 y = kx + b, 由题意可得 64 = 80k+b, 70 = 50k+b,{ 解得 k= - 1 5 , b= 80. { ∴ 销售价格 y(元 /件)与销售量 x(件)之间的 函数关系式为 y= - 1 5 x+80,w = (y-40) x = ( - 1 5 x+80- 40)x= - 1 5 x2 +40x = - 1 5 (x-100) 2 + 2 000,∴ 当 x = 100 时,销售利润最大,最大值为 2 000 元. (7 分) (3)设科技创新后该产品的成本价格为 a 元,∵ w = (y- a)x= - 1 5 x2 +(80-a)x, (8 分) ∵ 当销售量在 120 件以上时,销售利润达到最大,∴ - 80-a 2×(- 1 5 ) >120,∴ a<32,故科技创新后该产品的成本 价格应低于 32 元. (10 分) 21. 解:(1)抛物线 y=ax2 -2ax+m 与 x 轴交于 A( -1,0),与 y 轴正半轴交于点 C ( 0, 2 ), ∴ a +2a+m= 0, m= 2{ 解得 a= - 2 3 , m= 2 { ∴ 抛物线解析式为 y= - 23 x2 + 43 x+2; (4 分) (2)∵ 抛物线 y=ax2 - 2ax+m 与 x 轴交于 A( - 1,0),且 对称轴为直线 x= - -2a 2a = 1,∴ B(3,0),∴ OB= 3,(6 分) ∵ OA= 1,OC= 2,∴ AB= 4,∴ S△ABC = 1 2 AB·OC = 1 2 ×4× 2 = 4, (8 分) 设点 D 的纵坐标为 n. 由题意 S△BOD = 1 2 S△ABC,∴ 1 2 ×3× n= 2,∴ n= 4 3 ,∴ 点 D 的纵坐标为 4 3 . (10 分) 22. 解:(1)以起拱点 B 为坐标原点建立平面坐标系,BC 所 在直线为 x 轴,过点 B 作 BC 的垂线为 y 轴,建立平面 直角坐标系,根据所建立的平面直角坐标系可知,B 点 的坐标为(0,0),抛物线的顶点坐标为(3,4)、C 点的坐 标为(6,0),因此设抛物线的函数表达式为 y=a(x-3) 2 +4,将 B(0,0)代入得 9a+4 = 0,解得 a= - 4 9 ,则所求的 抛物线的函数表达式为 y= - 4 9 (x-3) 2 +4; (4 分) (2)①由题意,当船的中轴线与桥拱的对称轴重合,而 且恰好通过此桥时,如图,∵ FG = 3,则 E、F 的横坐标 x = 3- 3 2 = 3 2 . 当 x = 3 2 得 y = - 4 9 ×( 3 2 -3) 2 + 4 = 3,即 E 坐标为( 3 2 ,3) . ∵ 河面的平均水位 2 米,故 EF= 3-2+3 = 4(米),船高 EF 约 4 米时,可以恰好通过此桥; (9 分) ②若考虑涝季水面会再往上升 1 米,则要求吃水线上 船高减少 1 米,吃水线上船高 EF≤4-1 = 3,即若考虑涝 季水面会再往上升 1 米,则要求吃水线上船高不超过 3 米. (11 分) 23. 解:(1)∵ 直线 y= 3 4 x+3 经过 A、B 两点. ∴ 当 x= 0 时,y = 3,当 y= 0 时,x= -4,∴ A(-4,0),B(0,3) . (1 分) 将 A ( - 4, 0 ), B ( 0, 3 ) 代入 y = - 3 8 x2 + bx + c 得 c= 3, 0 = - 3 8 ×(-4) 2 -4b+c,{ 解得 b= - 3 4 , c= 3. { (3 分) (2)由(1)得 y= - 3 8 x2 - 3 4 x+3,设点 P(m,- 3 8 m2 - 3 4 m 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 5 页 +3),则 D(m, 3 4 m+3), (5 分) ∴ PD = - 3 8 m2 - 3 4 m+ 3 - ( 3 4 m+ 3) = - 3 8 m2 - 3 2 m = - 3 8 (m+2) 2 + 3 2 , (7 分) ∴ 当 m= -2 时,PD 最大,最大值是 3 2 . (8 分) (3)存在点 G,G 点的坐标为(1,15 8 )或(3,- 21 8 )或( -5, -21 8 ) . (11 分) 【解析】∵ y= - 3 8 x2 - 3 4 x+3,∴ y = 0 时,x = -4 或 x = 2, ∴ C(2,0) . 由(2)可知 D(-2, 3 2 ),抛物线的对称轴为 x = -1,设 G(n,- 3 8 n2 - 3 4 n+3),Q(-1,p),CD 与 y 轴交 于点 E,E 为 CD 的中点,①当 CD 为对角线时,n+(-1) = 0,∴ n= 1,此时 G(1,15 8 ) . ②当 CD 为边时,若点 G 在 点 Q 上边,则 n+4 = -1,则 n= -5,此时点 G 的坐标为(- 5,-21 8 ) . 若点 G 在点 Q 下边,则-1+4 = n,则 n= 3,此时 点 G 的坐标为(3,-21 8 ) . 综上所述,G 点的坐标为(1, 15 8 )或(3,-21 8 )或(-5,-21 8 ) . 第二十三章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B C A D D B D B 1. D　 2. D 3. B 　 【解析】由旋转得 AC = CD,∠CED = ∠B = 55°,∴ △ACD 是等腰直角三角形,∴ ∠CAD = 45°,∴ ∠ADE = ∠CED-∠CAD= 55°-45° = 10°. 故选 B. 4. C　 5. A　 6. D　 7. D　 【解析】 ∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 △AB1C1,∴ AC = AC1 = 6,∠CAC1 = 60°,AB = AB1 = 8,∴ ∠BAC1 = 90°,∴ BC1 = AB2 +C1A 2 = 64+36 = 10. 故选 D. 8. B　 【解析】 设 A′的坐标为 (m, n),∵ A 和 A′关于点 C(-1,0)对称. ∴ m +a 2 = - 1,n +b 2 = 0,解得 m = -a- 2,n = -b. 点 A′的坐标(-a-2,-b) . 故选 B. 9. D　 【解析】连接 EC,∵ 由旋转得 DE =BC = 12,AD = AB, AC=AE,∠DAB= ∠EAC. ∵ ∠B = 60°,∴ ∠ACB = 30°,∴ AB= 1 2 BC = 6,AC = CB2 -AB2 = 6 3 . ∵ AD = AB,∠B = 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∴ ∠DAB = 60° = ∠EAC,∴ △ACE 是等边三角形,∴ AC=AE=EC= 6 3 . 故选 D. 10. B　 【解析】 ∵ 点 A 的坐标为( 2 2 , 2 2 ),∴ OA = 1. ∵ ∠BAD= 60°,四边形 ABCD 是菱形,∴ BD⊥AC,△ABD 是等边三角形. ∵ AB = 3,∴ AC = 3,∴ OC = 2. ∵ 360°÷ 45° = 8,∴ 每旋转 8 次后,菱形回到原位置. ∵ 85÷8 = 10 ……5,∴ 菱形 ABCD 旋转 85 次后 C 点在 y 轴正半轴. ∴ C(0,2) . 故选 B. 11. -4 12. 115° 　 【解析】由旋转得,∠BAB1 = 25°,∠B = ∠B1 = 90°,∴ ∠DAB1 = ∠DAB- ∠BAB1 = 65°. ∵ ∠D+ ∠B1 + ∠DAB1 +∠DMB1 = 360°,∴ ∠DMB1 = 115°,∴ ∠CMC1 = 115°. 13. 9　 【解析】由旋转得△ABC≌△A1BC1,∴ A1B = AB = 6, ∴ △A1BA 是等腰三角形,∠A1BA = 30°,过点 A1 作 A1E ⊥AB 于点 E,∵ ∠A1BE = 30°,∴ A1E = 1 2 A1B = 3,∴ S△A1BA = 1 2 × 6× 3 = 9. 又∵ S阴影 = S△A1BA +S△A1BC1 -S△ABC, S△A1BC1 =S△ABC,∴ S阴影 =S△A1BA = 9. 14. 2 　 【解析】过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,∵ ∠C = ∠ADE = ∠EFD= 90°,∠FED+∠EDF = 90°,∠EDF+∠ADC = 90°, ∴ ∠DEF = ∠ADC. 在 △EDF 和 △DAC 中, ∠DEF= ∠ADC ∠EFD= ∠C DE=AD { ,∴ △EDF≌△DAC(AAS),∴ DF = AC = 3,EF=CD,设 CD= x,则 BE2 = x2 +(2-x) 2 = 2(x-1) 2 + 2,∴ BE2 的最小值是 2,∴ BE 的最小值是 2 . 15. ②③④　 【解析】∵ AB =AC,∴ ∠B = ∠C = 30°,∠BAC = 120°,由旋转得,△ADE 的旋转角为 180°- 120° = 60°, 故①错误;∵ DE∥BC,∴ ∠ADE = ∠B,∠AED = ∠C,∴ ∠ADE= ∠AED,∴ AD = AE,∴ △ABD≌△ACE,∴ BD = EC,故 ② 正确;BE = AE + AB = AD + AC,故 ③ 正确;∵ ∠BAC= ∠DAE= 120°,∴ ∠EAC = 180°-∠BAC = 180°- 120° = 60°,∠DAC = 120° -∠EAC = 120° - 60° = 60°. ∵ AD=AE,∴ DE⊥AC,故④正确. 故答案为②③④. 16. 解:(1)(2)(3)如图所示. (9 分) 17. 解:(1)点 B 是旋转中心; (2 分) (2)旋转角度是 60°; (4 分) (3)连接 PP′后,△BPP′是等边三角形, (5 分) 理由:∵ 旋转角是 60°,∴ ∠PBP′ = 60°. 又∵ BP = BP′, ∴ △BPP′是等边三角形. (8 分) 18. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (3 分) (2)如图,△A1B2C2 为所作; (6 分) (3)△A1C1C2 为等腰直角三角形. (7 分) 理由如下:由旋转得 A1C1 = A1C2 , ∠C2A1C1 = 90°, ∴ △A1C1C2 为等腰直角三角形. (9 分) 19. 解:(1)由旋转得 AC =CD = 6,∠ACD = 60°,∴ △ACD 是 等边三角形. (2 分) 过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵ AC⊥BC,∴ ∠DCE=∠ACB -∠ACD= 90°-60° = 30°. ∴ 在 Rt△CDE 中,DE = 1 2 CD = 3,CE= CD2 -DE2 = 3 3 . (3 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 6 页