第二十二章 二次函数 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（人教版）

第二十二章追梦阶段测试卷(一) 二次函数的图象和性质 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 在下列关于 x 的函数中,一定是二次函数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= x2 B. y=ax2 +bx+c C. y= 8x D. y= x2(1+x) 2. 已知 y = ( m + 2) x | m | + 2 是关于 x 的二次函数, 那么 m 的 值为(　 　 ) A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0 3. 在二次函数 y= -x2 +2x+1 的图象中,若 y 随 x 的增大而减小,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x<1 B. x>1 C. x<-1 D. x>-1 4. 抛物线 y= 2(x+1) 2 - 1 2 的顶点坐标为(　 　 ) A. (1,- 1 2 ) B. ( -1,- 1 2 ) C. ( -1, 1 2 ) D. (1, 1 2 ) 5. 已知点 A(1,y1)、B( - 2 ,y2)、C( -2,y3)在函数 y = 2(x+1) 2 - 1 2 上,则 y1、y2、y3 的大小关系是(　 　 ) A. y1 >y2 >y3 B. y1 >y3 >y2 C. y3 >y1 >y2 D. y2 >y1 >y3 6. 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示,则下列关系式不正确的 是(　 　 ) A. a<0 B. abc>0 C. a+b+c>0 D. 2a<b 7. 函数 y = ax2 -a 与 y = ax-a( a≠0) 在同一坐标系中的图象可 能是(　 　 ) A B C D 8. 二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象是抛物线 G,自变量 x 与函 数 y 的部分对应值如下表: x … -5 -4 -3 -2 -1 0 … y … 4 0 -2 -2 0 4 … 下列说法正确的是(　 　 ) A. 抛物线 G 开口向下 B. 抛物线 G 的对称轴是直线 x= -2 C. 抛物线 G 与 y 轴的交点坐标为(0,4) D. 当 x>-3 时,y 随 x 的增大而增大 9. 如图,抛物线 y= ax2 +bx+c 交 x 轴于( -1,0),(3,0)两 点,则下列判断中,错误的是(　 　 ) A. 图象的对称轴是直线 x= 1 B. 当-1<x<3 时,y<0 C. 当 x>1 时,y 随 x 的增大而减小 D. 9a+3b+c= 0 10. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记函 数 y= -x2 +a(a>0)的图象在 x 轴上方的部分与 x 轴围成的区 域(不含边界)为 W. 当 a = 2 时,区域 W 内的整点个数为 1. 若 区域 W 内恰有 7 个整点,则 a 的取值范围是(　 　 ) A. 3<a≤4 B. 3≤a<4 C. 2<a≤3 D. 2≤a<3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若二次函数 y= ax2 的图象经过点( -1,2),则二次函数 y = ax2 的解析式是　 　 　 　 . 12. 已知二次函数 y = (m+ 1) xm 2-2 的图象开口向下,则 m 的值 是　 　 　 　 . 13. 矩形的周长等于 40,请写出它的面积 S 与宽 x 之间的关系 式　 　 　 　 . 14. 将抛物线 y= 3x2 -6x+4 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个 单位后得到新的抛物线,则新抛物线的顶点坐标是　 　 　 　 . 15. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A( -3,0),B(0,1),形状相同 的抛物线 Cn(n = 1,2,3,4,…)的顶点在直线 AB 上,其对称轴 与 x 轴的交点的横坐标依次为 2,3,5,8,13,…,根据上述规律, 抛物线 C2 的顶点坐标为 　 　 　 　 ;抛物线 C8 的顶点坐标 为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)已知抛物线 y= x2 +bx-3 经过点(2,-3) . (1)求这条抛物线的解析式; (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 17. (9 分)已知二次函数 y= x2 -4x+5. (1)将 y= x2 -4x+5 化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式; (2)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标; (3)当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大? 18. (9 分)若二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)中,函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表: x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 -2 -2 0 4 … (1)求该二次函数的表达式; (2)当 y≥4 时,求自变量 x 的取值范围. ·3· 19. (9 分)如图,二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两 点,其中点 A( -1,0),点 C(0,5),点 D(1,8)都在抛物线上,M 为抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数解析式; (2)求直线 CM 的解析式. 20. (9 分)已知抛物线经过点(2,-3),它的对称轴为直线 x = 1,且 函数有最小值为-4. (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线与 x 轴的交点为 A,B(A 点在 B 点左侧),与 y 的 交点为 C,在第四象限的抛物线上找一点 P,使△BCP 的面积 为△ABC 的一半,求出此时点 P 的横坐标. 21. (10 分)已知抛物线 y= x2 -4x+2. (1)此抛物线的顶点坐标是　 　 　 　 . (2)根据抛物线 y= x2 -4x+2 填写下表,并在坐标系中利用描点 法画出此抛物线. x … 0 1 2 3 4 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … (3)结合图象回答: ①设抛物线 y= x2 -4x+2 与 y 轴交于点 P(x1,y1 ),过点 P 垂直 于 y 轴的直线 L 与抛物线交于另一点 Q(x2,y2 ),则 x1 +x2 = 　 　 　 　 ; ②若点 A(5,t)和点 B(m,n)都在抛物线 y= x2 -4x+2 上,且 n< t,求 m 的取值范围. 22. (10 分)一次函数 y= kx+4 与二次函数 y= ax2 +c 的图象的一个 交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点. (1)求 k,a,c 的值; (2)过点 A(0,m)(0<m<4)且垂直于 y 轴的直线与二次函数 y =ax2 +c 的图象相交于 B,C 两点,点 O 为坐标原点,记 W =OA2 +BC2,求 W 关于 m 的函数解析式,并求 W 的最小值. 23. (11 分)如图,在△ABC 中,∠B = 90°,AB = 12cm,BC = 24cm,动 点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm / s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm / s 的速度移动,如果 P、Q 两 点分别从 A,B 两点同时出发,设运动时间为 t. (1)AP= 　 　 　 　 ,BP= 　 　 　 　 ,BQ= 　 　 　 　 ; (2) t 为何值时△PBQ 的面积为 32cm2? (3) t 为何值时△PBQ 的面积最大? 最大面积是多少? ·4· ②x = 2 5 ± 20 -16 4 = 2 5 ±2 4 ,∴ x1 = 5 +1 2 ,x2 = 5 -1 2 , ∵ 5 +1 2 = 5 -1 2 +1,∴ 2x2 -2 5 x+2 = 0 是“邻根方程” . (4 分) (2)整理,得(x-m)(x+2)= 0,∴ x1 =m,x2 = -2, (5 分) ∵ 方程是“邻根方程”,∴ m = -2+1 或 m = -2-1,∴ m = -1 或-3. (7 分) (3) 解方程 ax2 + bx + 2 = 0 得: x1 = -b+ b2 -8a 2a , x2 = -b- b2 -8a 2a , (8 分) ∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+2 = 0(a、b 是常数,且 a<0)是 “邻根方程”, ∴ -b+ b2 -8a 2a + 1 = -b- b2 -8a 2a , ∴ b2 -8a a = -1,∴ b2 -8a = -a,等号两边平方得:b2 -8a =a2 ,∴ b2 =a2 +8a=a(a+8),∵ a<0,∴ a≤-8, (10 分) ∵ t= 16+b2 ,∴ t=a2 +8a+16 = (a+4) 2 ,当 a≤-8 时, t = (a+4) 2 = -(a+4)= -a-4. (11 分) 第二十二章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B B B C D C B A 1. A　 2. B 3. B　 【解析】y= -x2 +2x+1 = -(x-1) 2 +2,∴ 抛物线的对称 轴为直线 x= 1. ∵ a= -1<0,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大而 减小. 故选 B. 4. B　 5. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法:将几个点的横坐标分别代入二次函数 解析式,求出对应函数值,再比较函数值大小; (2)图象比较法:当点在对称轴同侧,直接根据增减性比 较,当点不在对称轴同侧,利用二次函数图象对称性,将 点转化到对称轴同侧,再根据增减性比较. 6. C　 【解析】∵ 抛物线开口向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴 交于正半轴,∴ c>0,∵ 对称轴在 y 轴左边,- b 2a <0,∴ b< 0,abc>0. ∵ - b 2a >-1,∴ b 2a <1,∴ b>2a. 当 x = 1 时,y<0, ∴ a+b+c<0. 故选 C. 7. D　 8. C　 【解析】B. 由表格可知,该函数的对称轴是直线 x= -3-2 2 = - 5 2 ;A. 该抛物线开口向上,在 x = - 5 2 时,y 取得 最小值;D. 当 x>- 5 2 时,y 随 x 的增大而增大. 故选 C. 9. B　 10. A　 【解析】由题可得,顶点坐标为(0,a),开口向下,由 二次函数对称性可知:函数的对称轴为 y 轴,当区域 W 内恰有 7 个整点时,这七个整数点坐标分别为(1,1), (1,2),(0,1),(0,2),(0,3),(- 1,1),(- 1,2),因此 a 的取值范围为 3<a≤4. 故选 A. 11. y= 2x2 　 12. -2 13. S= -x2 +20x 14. (4,3)　 【解析】∵ y= 3x2 -6x+4 = 3(x-1) 2 +1,∴ 抛物线 的顶点坐标为(1,1),平移后得到点的坐标为(4,3) . 15. (3,2) 　 (55,58 3 ) 　 【解析】设直线 AB 的解析式为 y = kx+b,则 -3k+b= 0, b= 1,{ 解得 k = 1 3 ,b = 1,∴ 直线 AB 的解 析式为 y= 1 3 x+1. ∵ 抛物线 C2 的顶点坐标的横坐标为 3,且顶点在直线 AB 上,∴ 抛物线 C2 的顶点坐标为(3, 2) . ∵ 对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2,3,5,8, 13,…,∴ 每个数都是前两个数的和. ∴ 抛物线 C8 的顶 点坐标的横坐标为 55. ∴ 抛物线 C8 的顶点坐标为(55, 58 3 ) . 16. 解:(1)把(2,-3)代入 y = x2 +bx-3,得 4+2b-3 = -3,解 得 b= -2,则抛物线的解析式为 y= x2 -2x-3; (4 分) (2)∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4, (5 分) ∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为 (1,-4) . (8 分) 17. 解:(1)y= (x-2) 2 +1; (3 分) (2)对称轴为直线 x= 2,顶点坐标为(2,1); (6 分) (3)∵ 图象开口向上,对称轴为 x = 2,∴ 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大. (9 分) 18. 解:(1)由表可知,对称轴是直线 x= - 1 2 ,设二次函数的 表达式是 y=a(x+ 1 2 ) 2 +k, (1 分) 把点(-2,0)和点(0,- 2)代入,得 a(-2+ 1 2 ) 2 +k= 0, a(0+ 1 2 ) 2 +k= -2 ì î í ï ï ï ï , 解得 a= 1,k= - 9 4 , (3 分) y= (x+ 1 2 ) 2 - 9 4 = x2 +x-2,所以该二次函数的表达式是 y= x2 +x-2; (5 分) (2)当 y= 4 时,x2 +x-2 = 4,解得 x= -3 或 2, (7 分) 所以当 y≥4 时,自变量 x 的取值范围是 x≤-3 或 x≥ 2. (9 分) 19. 解:(1)根据题意得 a-b+c= 0 c= 5 a+b+c= 8 { ,解得 a= -1 b= 4 c= 5 { ,所以二次 函数解析式为 y= -x2 +4x+5; (4 分) (2)y= -x2 +4x+5 = -(x-2) 2 +9,则 M 点坐标为(2,9), (6 分) 设直线 MC 的解析式为 y=mx+n,把 M(2,9)和 C(0,5) 代入得 2m+n= 9 n= 5{ ,解得 m= 2, n= 5,{ 所以直线 MC 的解析式 为 y= 2x+5. (9 分) 20. 解:(1)设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2 -4,将(2,-3) 代入上式得-3 =a-4,解得 a= 1,故抛物线的表达式为 y = (x-1) 2 -4; (3 分) (2)对于 y= (x-1) 2 -4,令 x= 0,则 y= -3,令 y= 0,则 x= -1 或 3,故 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3),设直线 BC 的 表达式为:y = mx+ t,则 t = -3 0 = 3m+t{ ,解得 m= 1 t= -3{ ,故直线 BC 的表达式为 y= x-3, (5 分) 分别过点 A、P 作 BC 的平行线,分别交 y 轴于点 M、N, ∵ △BCP 的面积为△ABC 的一半,故 MC= 2NC,∵ OB = OC= 3,∴ 直线 BC 和 x 轴的夹角为 45°,则直线 AM、PN 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 2 页 和 x 轴的夹角均为 45°,则 AO=MO= 1,而 OC= 3,故 CN = 1 2 MC= 1 2 ×(1+3)= 2,则点 N(0,-5),则直线 PN 的 表达式为 y= x-5,联立 y= (x-1) 2 -4 和 y = x-5 并解得 x= 1 y= -4{ 或 x= 2 y= -3{ ,∴ 点 P 的横坐标为 1 或 2. (9 分) 21. 解:(1)(2,-2) (1 分) (2)列表: (3 分) x … 0 1 2 3 4 … y … 2 -1 -2 -1 2 … 描点、连线画出函数图象如图: (6 分) (3)①4 (8 分) ②∵ 对称轴为直线 x = 2,∴ A 关于对称轴的对称点为 (-1,t),∵ n<t,由图象可得 m 的取值范围是-1<m<5. (10 分) 22. 解:(1)由题意,得 k+4 = 2,解得 k = -2,∴ 一次函数为 y = -2x+4. (2 分) 又∵ 二次函数图象的顶点为(0,c),代入 y= -2x+4,得 c = 4, (4 分) 把(1,2)代入二次函数表达式得 a+c= 2,解得 a= -2. 综 上,a= -2,c= 4,k= -2. (5 分) (2)由(1)得二次函数解析式为 y= -2x2 +4,令 y =m,得 2x2 +m-4 = 0,∴ x= ± 4 -m 2 . (7 分) 设 B,C 两点的坐标分别为(x1 ,m)(x2 ,m),则 BC= | x1 - x2 | = 2 4-m 2 ,∴ W=OA2 +BC2 =m2 +4×4 -m 2 =m2 -2m+8 = (m-1) 2 +7. (9 分) ∴ 当 m= 1 时,W 取得最小值 7. 即 W = m2 - 2m+ 8,最小 值为 7. (10 分) 23. 解:(1)2tcm　 (12-2t)cm　 4tcm (3 分) (2)S= 1 2 ×BP×BQ= 1 2 ×(12-2t) ×4t = -4t2 +24t = 32,解 得 t= 2 或 4,即当 t = 2 秒或 4 秒时,△PBQ 的面积是 32cm2 ; (7 分) (3)S= -4t2 +24t= -4( t-3) 2 +36,所以当 t 为 3 时△PBQ 的最大面积是 36cm2 . (11 分) 第二十二章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B B C C B B C B 1. D　 2. B　 3. B　 【解析】抛物线的对称轴为直线 x = - -2a 2a = 1,而抛物 线与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0),所以抛物线与 x 轴 的另一个交点坐标为(3,0),所以方程 ax2 -2ax+c = 0 的 解为 x1 = -1,x2 = 3. 故选 B. 4. B　 【解析】∵ AB = 11m,OC = 5m,∴ B( 11 2 ,0),C(0,5) . 设抛物线的表达式为 y = ax2 +k,把 B( 11 2 ,0),C(0,5)代 入,得 k= 5 a×( 11 2 ) 2 +k= 0{ ,解得 a= - 20 121 k= 5 { ,∴ 抛物线的表达 式为 y= - 20 121 x2 +5. 故选 B. 5. C　 6. C　 7. B　 【解析】根据题意,可设抛物线的解析式为 y =mx2,将 点 A(-15,-100)代入得-100 = 225m,解得 m= - 4 9 ,则抛 物线的解析式为 y= - 4 9 x2 . 当 y= -144 时,- 4 9 x2 = -144, 解得 x= ±18. ∵ 点 B 在第四象限,∴ a= 18. 故选 B. 8. B　 【解析】抛物线 y= x2 +bx+c 与 x 轴只有一个交点,∴ Δ = b2 -4c= 0,设 M 到直线 l 的距离为 m,则有 x2 +bx+c=m 两根的差为 3,(x1 -x2) 2 =(x1 +x2) 2 -4x1x2,可得(-b) 2 -4 (c-m)= 9,解得 m= 9 4 . 故选 B. 9. C　 【解析】∵ 对称轴为直线 x= - m 2×(-1) = 2,∴ m= 4,∴ 抛物线解析式为 y= -x2 +4x,当 x = 2 时,y = -4+8 = 4,即 抛物线的顶点坐标为(2,4) . ∵ 关于 x 的一元二次方程 -x2 +mx-t= 0( t 为实数)在 1<x<6 的范围内有解,∴ 抛物 线 y= -x2 +4x 与直线 y= t 在 1<x<6 的范围内有交点,当 x= 1 时,y= -1+4 = 3;当 x= 6 时,y= -36+24 = -12,即 1<x <6 时,y 的范围为-12<y≤4. 故选 C. 10. B　 【解析】∵ 抛物线开口向上,∴ a> 0. ∵ 抛物线对称 轴是 x= 1,∴ b<0 且 b= -2a. ∵ 抛物线与 y 轴交于正半 轴,∴ c>0. ∴ ①错误;∵ b = -2a,∴ 3a+b = 3a-2a = a>0, ∴ ②正确;∵ b= -2a,∴ 4a+2b+c = 4a-4a+c = c>0,∴ ④ 错误;∵ 直线 y = kx+c 经过第一、二、四象限,∴ k<0. ∵ OA=OD,∴ 点 A 的坐标为( c,0) . 直线 y = kx+c 当 x = c 时,y>0,∴ kc+c>0 可得 k>-1. ∴ ③正确;∵ 直线 y = kx+ c 与抛物线 y=ax2 +bx+c 的图象有两个交点,∴ ax2 +bx+ c= kx+c,得 x1 = 0,x2 = k-b a . 由图象知 x2 >1,∴ k-b a >1. ∴ k >a+b,∴ ⑤正确,即正确命题的是②③⑤. 故选 B. 11. x1 = 2,x2 = -4　 12. -4 13. 6　 【解析】-5<0,则抛物线的开口向下,有最大值,当 t = - 10 (-5)×2 = 1 时,h 有最大值是 6. 14. 4　 【解析】连接 BE、DF. 令 y= 0,则 x= ±1,令 x = 0,则 y = 2,则 OB= 1,BD = 2,OE = 2,S阴影部分图形 = S四边形BDFE = BD ×OE= 2×2 = 4. 15. ①②④　 【解析】∵ 抛物线开口向上,∴ a> 0,∵ - b 2a < 1 2 ,∴ a>-b,∴ a+b> 0,故①正确;若(- 3 2 ,y1),(- 1 2 , y2),( 1 2 ,y3)在抛物线上,由图象可知,y1 >y2 >y3 . 故② 正确;∵ 抛物线与直线 y= t 有交点时,方程 ax2 +bx+c = t 有解,t≥n,∴ ax2 +bx+c-t= 0 有实数解. 要使得 ax2 +bx+ k= 0 有实数解,则 k= c-t≤c-n. 故③错误;∵ x= -1 时,y >0,∴ a-b+c>0. ∵ a>-b,∴ 2a+c>a-b+c>0,故④正确, 故答案为①②④. 16. 解:(1)完成如表: (4 分) x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 -4 -3 0 … (2)图象如图. (6 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBR·数学　 第 3 页