下册第26章 二次函数 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 26 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列函数表达式中,一定为二次函数的是(　 　 ) A. y= 3x-1 B. y=ax2 +bx+c C. s= 2t2 -2t+1 D. y= x2 + 1 x 2. 当函数 y= (a-1)x2 +bx+c 是二次函数时,a 的取值为(　 　 ) A. a= 1 B. a= -1 C. a≠-1 D. a≠1 3. 若 A( -13 4 ,y1),B( - 5 4 ,y2),C( 1 4 ,y3)为二次函数 y= x2 +4x-5 图 象上的三点,则 y1,y2,y3 的大小关系是(　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y2 <y1 <y3 C. y3 <y1 <y2 D. y1 <y3 <y2 4. 在同一平面直角坐标系中,函数 y =mx+m 和 y = -mx2 +2x+2(m 是常数,且 m≠0)的图象可能是(　 　 ) A. B. C. D. 5. 对于二次函数 y= (x-1) 2 +2 的图象,下列说法正确的是(　 　 ) A. 开口向下 B. 对称轴是 x= -1 C. 顶点坐标是(1,2) D. 与 x 轴有两个交点 6. 如图,抛物线 y = ax2 +bx+c(a>0)的对称轴是直线 x = 1,且经过 点 P(3,0),则 a-b+c 的值为(　 　 ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 二次函数 y= x2 +bx 的图象如图,对称轴为直线 x= 1. 若关于 x 的 一元二次方程 x2 +bx-t= 0( t 为实数)在-1<x<4 的范围内有解, 则 t 的取值范围是(　 　 ) A. t≥-1 B. -1≤t<3 C. -1≤t<8 D. 3<t<8 8. 当-2≤x≤1 时,二次函数 y = -(x-m) 2 +m2 +1 有最大值 4,则实 数 m 的值为(　 　 ) A. - 7 4 B. 3或- 3 C. 2 或- 3 D. 2 或 3或- 7 4 9. 二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象 过点( -1,0),对称轴为直线 x= 2. 下列结论: ①4a+b = 0;②9a+c> 3b;③8a+ 7b+ 2c> 0;④当 x> - 1 时,y 的值随 x 值的增大而增大. 其中正确的结论有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,已知正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为各边上的 点,且 AE=BF=CG=DH. 设小正方形 EFGH 的面积为 S,AE 为 x,则 S 关于 x 的函数图象大致是(　 　 ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 11. 抛物线 y= x2 -2x+3 的顶点坐标是　 　 　 　 . 12. 抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)过点( -1,0)和点(0,-4),且顶点在 第四象限,则 a 的取值范围是　 　 　 　 . 13. 某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元,以后每月新产品的 研发资金与上月相比增长率都是 x,则该厂今年三月份新产品 的研发资金 y(元)关于 x 的函数关系式为 y= 　 　 　 　 . 14. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行 于 y 轴的直线. 若点 P(4,0)在该抛物线上,则 4a-2b+c 的值为 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 生活情境·拱桥 如图是一座拱桥,当水面宽 AB 为 12m 时,桥 洞顶部离水面 4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为 x 轴,建立平面直角坐标系. 若选取点 A 为坐标原点时的抛物线 关系式是 y= - 1 9 (x-6) 2 +4,则选取点 B 为坐标原点时的抛物 线关系式是　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)已知二次函数的表达式为:y= x2 -6x+5. (1)利用配方法将表达式化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式; (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 17. (9 分)已知二次函数 y= x2 -4x+3. (1)在网格中画出该函数的图象. (2)(1)中图象与 x 轴的交点记为 A,B,若该函数图象上存在 一点 C,且△ABC 的面积为 3,求点 C 的坐标. ·13· 18. (9 分)如图,点 E,F,G,H 分别在菱形 ABCD 的四边上,BE=BF =DG=DH,连结 EF、FG、GH、HE 得到四边形 EFGH,∠A = 60°, AB=a. (1)设 BE= x,求 HE 的长度;(用含 a,x 的代数式表示) (2)求四边形 EFGH 面积的最大值. 19. (9 分)某商店经过市场调查,整理出某种商品在第 x(1≤x≤ 90)天的售价与销量的相关信息如下表: 时间 x(天) 1≤x<50 50≤x≤90 售价(元 / 件) x+40 90 每天销量(件) 200-2x 已知该商品的进价为每件 30 元,设销售该商品每天的利润为 y 元. (1)求出 y 与 x 的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是 多少? 20. (9 分)如图,有长为 24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用 长度为 10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. (1)如果要围成面积为 45m2 的花圃,求 AB 的长度. (2) 如果要使围成的花圃面积最大,求最大面积是多少平 方米. 21. 传统文化情境·杂技 (10 分)杂技团进行杂技表演,演员从跷 跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处,其身体(看成一点) 的路线是抛物线 y= - 3 5 x2 +3x+1 的一部分,如图所示. (1)求演员弹跳离地面的最大高度; (2)已知人梯高 BC = 3. 4 米,在一次表演中,人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米,问这次表演能否成功? 请说明理由. 22. (10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = ax2 +bx+c (a≠0) 与 y 轴交于点 C( 0,2),它的顶点为 D( 1,m) 且 tan ∠COD= 1 3 . (1)求 m 的值及抛物线的表达式; (2)将此抛物线向上平移后与 x 轴正半轴交于点 A,与 y 轴交 于点 B,且 OA=OB. 若点 A 是由原抛物线上的点 E 平移所得, 求点 E 的坐标. 23. (11 分)已知抛物线 y=ax2 -2ax-2(a≠0) . (1)当抛物线经过点 P(4,-6)时,求抛物线的顶点坐标; (2)若该抛物线开口向上,当-1≤x≤5 时,抛物线的最高点为 M,最低点为 N,点 M 的纵坐标为11 2 ,求点 M 和点 N 的坐标. (3)点 A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两点,设 t≤x1 ≤t+1, 当 x2≥3 时,均有 y1≥y2,求 t 的取值范围. ·23· +4. (5 分) (2)货船能顺利通过此桥洞. (6 分) 理由:当 x= 12× 1 2 - 4× 1 2 = 4 时,y = - 1 9 ×(4- 6) 2 + 4 = 32 9 >3,∴ 货船能顺利通过此桥洞. (10 分) 23. 解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c(a≠0), 在等腰 Rt△ABC 中,OC 垂直平分 AB,且 AB= 4,∴ OA= OB=OC= 2,∴ A(-2,0),B(2,0),C(0,-2), (1 分) ∴ 4a+2b+c= 0 4a-2b+c= 0 c= -2 { , (2 分) 解得 a= 1 2 b= 0 c= -2 ì î í ï ï ïï ,∴ 抛物线的解析式为 y= 1 2 x2 -2. (3 分) (2)①设直线 l 的表达式为 y= kx,M(x1 ,y1 ),N(x2 ,y2 ), 由 y= 1 2 x2 -2 y= kx { ,可得 12 x2 -kx-2 = 0, (4 分) ∴ x1 +x2 = 2k,x1 ·x2 = -4,∴ (x1 -x2 ) 2 = (x1 +x2 ) 2 -4x1x2 = 4k2 +16,∴ | x1 -x2 | = 2 k2 +4 , (5 分) ∴ S△CMN = 1 2 OC· | x1 -x2 | = 2 k2 +4 ,∴ 当 k = 0 时,2 k2 +4取最小值为 4. ∴ △CMN 面积的最小值为 4. (6 分) ②假设抛物线上存在点 P(m, 1 2 m2 -2),使得点 P 与点 Q 关 于 直 线 l 对 称, ∴ OP = OQ, 即 12 +( 3 2 ) 2 = m2 +( 1 2 m2 -2) 2 ,解得 m1 = 3 ,m2 = - 3 ,m3 = 1,m4 = -1. (8 分) ∵ m3 = 1,m4 = -1 不合题意,舍去, (9 分) 当 m1 = 3 时,点 P( 3 , - 1 2 ), ∴ 线段 PQ 的中点为 (1 + 3 2 ,-1),代入 y = kx 得1 + 3 2 k = - 1,∴ k = 1- 3 ,∴ 直线 l 的表达式为:y= (1- 3 )x; (10 分) 当 m2 = - 3时,点 P( - 3 ,- 1 2 ),∴ 线段 PQ 的中点为 (1 - 3 2 ,-1),代入 y = kx 得1 - 3 2 k = -1,∴ k = 1+ 3 ,∴ 直线 l 的表达式为 y = (1+ 3 )x. 综上所述,直线 l 的表 达式为 y= (1- 3 )x 或 y= (1+ 3 )x. (11 分) 第 26 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B D C A C C B B 1. C　 2. D 3. B　 【解析】∵ y= x2 +4x-5 = (x+2) 2 -9,∴ 对称轴是 x = - 2,开口向上,距离对称轴越近,函数值越小. 比较可知,B (- 5 4 ,y2)离对称轴最近,C( 1 4 ,y3)离对称轴最远,∴ y2 < y1 <y3 . 故选 B. 4. D　 【解析】当二次函数开口向下时,-m<0,m>0,一次函 数图象过一、二、三象限. 当二次函数开口向上时,-m> 0,m<0,对称轴 x= 2 2m = 1 m <0,这时二次函数图象的对称 轴在 y 轴左侧,一次函数图象过二、三、四象限. 故选 D. 5. C　 6. A 7. C　 【解析】对称轴为直线 x = - b 2×1 = 1,解得 b = -2,所以 二次函数关系式为 y= x2 -2x,y=(x-1) 2 -1. 当 x = 1 时,y = -1. 当 x= 4 时,y= 16-2×4 = 8. ∵ x2 +bx-t = 0 的解相当 于 y= x2 +bx 与直线 y = t 的交点的横坐标,∴ 当-1≤t<8 时,在-1<x<4 的范围内有解. 故选 C. 8. C　 【解析】二次函数的对称轴为直线 x =m,①m<-2 时, x= -2 时二次函数有最大值,此时-(-2-m) 2 +m2 +1 = 4, 解得 m= - 7 4 ,与 m<-2 矛盾,舍去;②当-2≤m≤1 时,x =m 时,二次函数有最大值,此时,m2 +1 = 4,解得 m= - 3 或 m= 3(舍去);③当 m>1 时,x = 1 时二次函数有最大 值,此时,-(1-m) 2 +m2 +1 = 4,解得 m= 2. 综上所述,m 的 值为 2 或- 3 . 故选 C. 9. B　 【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x = - b 2a = 2,∴ b = - 4a,即 4a+b= 0,故①正确;∵ 当 x= -3 时,y<0,∴ 9a-3b+ c<0,即 9a+c<3b,故②错误;∵ 抛物线与 x 轴的一个交点 为(-1,0),∴ a-b+c= 0,而 b= -4a,∴ a+4a+c= 0,即 c= - 5a,∴ 8a+7b+2c = 8a-28a-10a = -30a,∵ 抛物线开口向 下,∴ a<0,∴ 8a+7b+2c>0,故③正确;∵ 对称轴为直线 x = 2,∴ 当-1<x<2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小,故④错误. 故选 B. 10. B 11. (1,2) 12. 0<a<4　 【解析】∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)过点(-1, 0)和点(0,-4),∴ a-b+c= 0c= -4{ ,所以 a-b = 4,b = a-4. ∵ 顶点 在 第 四 象 限, ∴ - b 2a >0 4ac-b2 4a <0 ì î í ï ï ï ï , 即 - a -4 2a > 0 ①, 4a·(-4)-(a-4) 2 4a <0②,解不等式①得,a<4,不等式② 整理得,(a+4) 2 >0,所以,a≠-4,所以 a 的取值范围是 0<a<4. 13. a(1+x) 2 14. 0　 【解析】设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q,∵ 抛物 线的对称轴过点(1,0),与 x 轴的一个交点是 P(4,0), ∴ 与 x 轴的另一个交点 Q(-2,0),把(-2,0)代入解析 式得:0 = 4a-2b+c,∴ 4a-2b+c= 0. 15. y= - 1 9 (x+6) 2 +4 16. 解:(1)y = x2 -6x+9-9+5 (2 分) = (x-3) 2 -4,即 y= (x-3) 2 -4; (4 分) (2)由(1)知,函数关系式为 y = (x-3) 2 -4,所以抛物线 的对称轴为 x= 3, (6 分) 顶点坐标为(3,-4) . (8 分) 17. 解:(1) (4 分) (2)令 y= 0,代入 y= x2 -4x+3,解得 x1 = 1,x2 = 3. (5 分) ∴ A(1,0),B(3,0),∴ AB= 2, (6 分) ∵ △ABC 的面积为 3,∴ AB 边上的高为 3, (7 分) 令 y= 3,代入 y= x2 -4x+3,解得 x1 = 0,x2 = 4. (8 分) ∴ C(0,3)或(4,3) . (9 分) 18. 解:(1)设 BE = x,则 BF = DG = DH = x. ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB=a,∴ AH=AE=a-x. (2 分) ∵ ∠A= 60°,∴ △AHE 为等边三角形,∴ HE=a-x. (4 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 17 页 (2)∵ ∠A = 60°,∴ ∠B = 120°. ∵ BE = BF,∴ ∠BEF = ∠BFE= 30°. 过点 B 作 BM⊥EF 于点 M,则 EF = 2EM, EM= 3 2 x. ∴ EF= 3x. (5 分) ∵ DH = DG, ∴ ∠DHG = ∠DGH = 180° -120° 2 = 30°, ∴ ∠EHG= 90°.同理可得∠HEF = ∠EFG = ∠HGF = 90°,∴ 四边形 HEFG 是矩形. (7 分) ∴ S矩形EFGH =HE·EF= 3x(a-x)= - 3x 2 + 3ax, (8 分) 当 x= - 3a -2 3 = 1 2 a 时,函数有最大值为 S矩形EFGH = - 3 × ( 1 2 a) 2 + 3a× 1 2 a= 3 4 a2 . (9 分) 19. 解:(1)当 1≤x<50 时, y= (200-2x)(x+40-30)= -2x2 +180x+2 000; (2 分) 当 50≤ x ≤ 90 时, y = ( 200 - 2x) ( 90 - 30) = -120x + 12 000, 综上所述,y= -2x 2 +180x+2 000(1≤x<50) -120x+12 000(50≤x≤90){ . (4 分) (2)当 1≤x<50 时,二次函数开口向下,二次函数对称 轴为 x= 45,当 x= 45 时,y最大 = -2×45 2 +180×45+2 000 = 6 050; (6 分) 当 50≤x≤90 时,y 随 x 的增大而减小,当 x= 50 时,y最大 = 6 000. (8 分) ∵ 6 050>6 000,∴ 销售该商品第 45 天时,当天销售利 润最大,最大利润是 6 050 元. (9 分) 20. 解:设 AB= xm,围成的花圃面积为 Sm2 , 则 BC 长为(24-3x)m, (1 分) (1)根据题意,得 x(24-3x) = 45,整理,得 x2 - 8x+ 15 = 0,解得 x= 3 或 x= 5. (3 分) 当 x= 3 时,BC= 24-9 = 15>10 不成立, (4 分) 当 x= 5 时,BC= 24-15 = 9<10 成立,∴ AB 长为 5m. (5 分) (2)由题意,得 S= 24x-3x2 = -3(x-4) 2 +48, (7 分) ∵ 墙的最大可用长度为 10m,即 0<24-3x≤10,∴ 14 3 ≤x <8. (8 分) ∵ 对称轴 x= 4,开口向下,∴ 当 x = 14 3 m 时,花圃面积最 大,最大面积为:24×14 3 -3×( 14 3 ) 2 = 140 3 (m2 ) . (9 分) 21. 解:(1)将二次函数 y = - 3 5 x2 + 3x+ 1 化成 y = - 3 5 ( x- 5 2 ) 2 +19 4 , (3 分) 当 x= 5 2 时,y 有最大值,y最大值 = 19 4 = 4. 75,因此,演员弹 跳离地面的最大高度是 4. 75 米. (5 分) (2)能表演成功. (6 分) 理由是:当 x= 4 时,y= - 3 5 ×42 +3×4+1 = 3. 4. (8 分) 即点 B(4,3. 4)在抛物线 y= - 3 5 x2 +3x+1 上,因此,能表 演成功. (10 分) 22. 解:(1)设对称轴与 x 轴的交点为点 M. ∵ 顶点为 D(1, m),DM∥y 轴,∴ tan∠ODM = tan∠COD = 1 3 ,则 m = 3, 则抛物线的表达式为:y=a(x-1) 2 +3, (3 分) 将 C(0,2)代入得,a+ 3 = 2,解得 a = - 1,故抛物线的表 达式为:y= -(x-1) 2 +3 = -x2 +2x+2. (5 分) (2)设抛物线向上平移 n(n> 0)个单位,则函数表达式 为:y= -x2 +2x+2+n, (7 分) 令 y= 0,则 x1 = 1+ n+3 ,x2 = 1- n+3 (舍去), (8 分) 令 x= 0,则 y= 2+n,∵ OA=OB,∴ 1+ n+3 = 2+n,解得 n = 1 或-2(舍去), (9 分) 则点 A 的坐标为(3,0),故点 E 的坐标为(3,-1) . (10 分) 23. 解:(1)该二次函数图象的对称轴是 x = 2a 2a = 1,把 P(4, -6)代入抛物线得 16a-8a-2 = -6,解得 a = - 1 2 ,∴ y = - 1 2 x2 +x-2. (2 分) ∴ 抛物线的顶点坐标的纵坐标为- 1 2 × 12 + 1- 2 = - 3 2 , 故抛物线的顶点坐标为(1,- 3 2 ) . (3 分) (2) ∵ 该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 x = 1,-1≤x≤5,∴ 当 x= 5 时,y 的值最大,即 M(5,11 2 ),当 x= 1 时,y 的值最小. (4 分) 把 M(5,11 2 )代入 y=ax2 -2ax-2,解得 a= 1 2 , (5 分) ∴ 该二次函数的表达式为 y= 1 2 x2 -x-2. (6 分) 当 x= 1 时,y= - 5 2 ,∴ N(1,- 5 2 ) . (7 分) (3)当 t≤x1 ≤t+1,x2 ≥3 时,均满足 y1 ≥y2 ,可知抛物线 开口向下,对称轴为直线 x= 1, (8 分) ∵ 点 A ( x1 , y1 )、 B ( x2 , y2 ) 在 该 函 数 图 象 上, ∴ t+1≤3 t≥1-(3-1){ , (10 分) ∴ -1≤t≤2. (11 分) 第 27 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D C B D C D C A 1. C 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法指导】设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,当 d<r 时,直线和圆相交;当 d = r 时,直线和圆相切;当 d>r 时,直线和圆相离. 3. D　 4. C　 5. B　 6. D 7. C　 【解析】过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,连结 AD,∴ AD = AB= 5,根据垂径定理,得 DE =BE,∴ CE =BE-BC =DE- 2,根据勾股定理,得 AD2 -DE2 = AC2 -CE2,∴ 52 -DE2 = 42 -(DE-2) 2,解得 DE = 13 4 ,∴ CD =DE+CE = 2DE-2 = 9 2 . 故选 C. 8. D　 【解析】连结 OB、OC,作 OF⊥BC 于点 F,则 BF =CF = 1 2 BC,∵ 点 D,E 分别是 AB,AC 边的中点,∴ BC = 2DE = 2,由圆周角定理得,∠BOC = 2∠A = 120°,∴ ∠OBF = 30°,∴ OB= BF cos∠OBF = 1 3 2 = 2 3 3 ,∴ ☉O 的直径为 2OB = 2×2 3 3 = 4 3 3 . 故选 D. 9. C　 【解析】∵ PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切点,∴ PA=PB,∴ ①正确;∵ OA = OB,PA = PB,∴ OP 垂直平分 AB,∴ ②正确;∵ PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切 点,∴ OA⊥PA,OB⊥PB,∴ ∠OAP= ∠OBP= 90°,∴ 点 A、 B 在以 OP 为直径的圆上,∴ 四边形 OAPB 有外接圆,∴ 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 18 页