下册第26章 二次函数 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 26 章追梦阶段测试卷(二) 二次函数的图象与性质及实践与探索 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 抛物线 y= 2(x-2) 2 +5 的顶点坐标是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (2,5) B. ( -2,5) C. ( -2,-5) D. (2,-5) 2. 将抛物线 y= -3(x+1) 2 +3 向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个 单位,得到的抛物线的解析式为(　 　 ) A. y= -3(x+3) 2 +4 B. y= -3(x-1) 2 +2 C. y= -3(x+3) 2 +2 D. y= -3(x-1) 2 +4 3. 抛物线 y= -x2 +4x-7 与 x 轴交点的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 0 4. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2 )是抛物线 y = ax2 -2ax+c(a>0)上两 点,若 x1 <x2 且 x1 +x2 = 2-a,则(　 　 ) A. y1 >y2 B. y1 = y2 C. y1 <y2 D. y1 与 y2 大小不能确定 5. 生活情境·踢足球 小华酷爱足球运动. 一次训练时,他将足球从 地面向上踢出,足球距地面的高度 h( m)与足球被踢出后经过 的时间 t(s)之间的关系为 h= -5t2 +12t,则足球距地面的最大高 度是 (　 　 ) A. 7m B. 7. 1m C. 7. 2m D. 7. 3m 6. 二次函数 y= ax2 -2ax+b 中,当-1≤x≤4 时,-2≤y≤3,则 b-a 的值为(　 　 ) A. -6 B. -6 或 7 C. 3 D. 3 或-2 7. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示, 对称轴为 x= - 1 2 . 下列结论中,正确的是(　 　 ) A. abc<0 B. a+b= 0 C. 2a+c<0 D. b2 >4ac 第 7 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 点 P(m,n)在以 y 轴为对称轴的二次函数 y = x2 +ax+4 的图象 上. 则 m-n 的最大值等于(　 　 ) A. 15 4 B. 4 C. -15 4 D. -17 4 9. 已知二次函数 y= (a-2)x2 -(a+2)x+1,当 x 取互为相反数的任 意两个实数值时,对应的函数值 y 总相等,则关于 x 的一元二次 方程(a-2)x2 -(a+2)x+1 = 0 的两根之积为(　 　 ) A. 0 B. -1 C. - 1 2 D. - 1 4 10. 如图是二次函数 y= ax2 +bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为 x= 1 2 ,且经过点(2,0) . 下列说法:①abc<0;②-2b+c = 0;③4a+ 2b+c<0;④若( - 5 2 ,y1 ),( 5 2 ,y2 )是抛物线上的两点,则 y1 <y2; ⑤ 1 4 b>m(am+b)(其中 m≠ 1 2 ) . 其中说法正确的是(　 　 ) A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 二次函数 y= x2 -16x-8 的最小值是　 　 　 　 . 12. 生活情境·加工爆米花 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百 分比称为“可食用率” . 在特定条件下,可食用率 y 与加工时间 x(单位:min)满足函数表达式 y= -0. 2x2 +1. 5x-2,则最佳加工 时间为　 　 　 　 min. 13. 某公司新产品上市 30 天全部售完,图 1 表示产品的市场日销 售量与上市时间之间的关系,图 2 表示单件产品的销售利润与 上市时间之间的关系,则最大日销售利润是　 　 　 　 元. 14. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标 为(4,2) . 若抛物线 y = - 3 2 ( x-h) 2 +k(h、k 为常数)与线段 AB 交于 C、D 两点,且 CD= 1 2 AB,则 k 的值为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线 形是全等的. 正常水位时,大孔水面宽度为 20m,顶点距水面 6m,小孔顶点距水面 3m. 当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的 水面宽度为　 　 　 　 m. 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分) 已知二次函数 y = ax2 + bx - 3 的图象经过点( 1, -4) 和( -1,0) . (1)求这个二次函数的表达式; (2)x 在什么范围内,y 随 x 增大而减小? 该函数有最大值还是 有最小值? 求出这个最值. 17. (9 分)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y= -x2 +2bx+b2 +1 的 对称轴与 x 轴交于点 A,将点 A 向左平移 b 个单位,再向上平 移(3-b2)个单位,得到点 B. (1)求点 B 的坐标(用含 b 的式子表示); (2)当抛物线经过点(0,2),且 b>0 时,求抛物线的表达式. ·92· 18. (9 分)已知抛物线 y=ax2 -2ax-3+2a2(a≠0) . (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在 x 轴上,求其关系式; (3)设点 P(m,y1 ),Q(3,y2 )在抛物线上,若 y1 <y2,求 m 的取 值范围. 19. (9 分)如图,以 40m / s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向 击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气阻 力,小球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具 有函数关系 h= 20t-5t2 . (1)小球从飞出到落地要用多少时间? (2)小球飞行的最大高度是多少? 此时需要多少飞行时间? 20. (9 分)某超市经销一种商品,每千克成本为 50 元,经试销发 现,该种商品的每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元 / 千克) 满足一次函数关系,其每天销售单价,销售量的四组对应值如 下表所示: 销售单价 x(元 / 千克) 55 60 65 70 销售量 y(千克) 70 60 50 40 (1)求 y(千克)与 x(元 / 千克)之间的函数表达式; (2)为保证某天获得 600 元的销售利润,则该天的销售单价应 定为多少? (3)当销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大? 最 大利润是多少? 21. (10 分)某公司分别在 A、B 两城生产同种产品共 100 件. A 城 生产产品的总成本 y(万元)与产品数量 x(件)之间具有函数 关系 y= x2 +30x,B 城生产产品的每件成本为 70 万. 若 A,B 两 城生产这批产品的总成本的和最少. (1)求 A、B 两城各生产多少件? (2)从 A 城把该产品运往 C,D 两地的费用分别为 5 万元 /件和 3 万元 /件;从 B 城把该产品运往 C,D 两地的费用分别为 1 万元 /件和 2 万元 /件. C 地需要 90 件,D 地需要 10 件,求两 城总运费之和 W 的最小值. 22. (10 分)把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的平面直角 坐标系中,桥洞离水面的最大高度为 4 米,跨度为 12 米. (1)求这条抛物线的表达式. (2)一艘宽为 4 米,高出水面 3 米的货船,能否从桥下通过? 并 说明理由. 23. (11 分)在平面直角坐标系 xOy 中,等腰直角△ABC 的直角顶 点 C 在 y 轴上,另两个顶点 A,B 在 x 轴上,且 AB= 4,抛物线经 过 A,B,C 三点,如图 1 所示. (1)求抛物线所表示的二次函数表达式. (2)过原点任作直线 l 交抛物线于 M,N 两点,如图 2 所示. ①求△CMN 面积的最小值. ②已知 Q(1,- 3 2 )是抛物线上一定点,问抛物线上是否存在点 P,使得点 P 与点 Q 关于直线 l 对称,若存在,求出点 P 的坐标 及直线 l 的一次函数表达式;若不存在,请说明理由. ·03· 8. C　 9. D 10. A　 【解析】过 A 作 AH⊥BC,过 E 作 EP⊥BC,则 AH∥ EP,∴ HC= 3,∵ AE = 2EC,∴ CE = 1 3 AC. ∴ PE AH = CE AC = PC HC = 1 3 ,∴ PC= 1,BP= 5,PE= 1 3 AH,∵ BD =DE = y,∴ 在 Rt △EDP 中,y2 =(5-y) 2 +PE2,∵ x = 6AH÷2 = 3AH,∴ AH = x 3 . ∴ PE= x 9 . ∴ y2 = (5-y) 2 +( 1 9 x) 2,∴ y = 1 810 x2 + 5 2 . 故选 A. 11. 2　 12. 2、-5　 13. -2　 14. y= 10(x+1) 2 15. S= -l2 +30l　 0<l<30　 【解析】长方形一边长为 lm,则另 一边长为(30-l)m,所以长方形的面积= l(30-l),即 S= -l2 +30l,l 的取值范围为 0<l<30. 16. 解:(1)∵ 垂直于墙的边长为 x, ∴ 平行于墙的边长为(40-2x), (2 分) ∴ y= x(40-2x), (4 分) 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= -2x2 +40x. (6 分) (2)x 的取值范围为 0<x<20. (8 分) 17. 解:(1)∵ 函数 y= (m2 + 2m) x2 +mx+m+ 1 是一次函数, ∴ m2 +2m= 0,m≠0, (2 分) 解得 m= -2. (4 分) (2)∵ 函数 y= (m2 +2m)x2 +mx+m+1 是二次函数,∴ m2 +2m≠0, (6 分) 解得 m≠-2 且 m≠0. (8 分) 18. 解:设宽为 xcm,则长为:(400-x)cm, (2 分) 故它的面积 y 与 x 之间的函数关系式为:y = (400-x) x = -x2 +400x. (7 分) 故 y 是 x 的二次函数. (9 分) 19. 解:由题意得:y = x×40 -x 2 (3 分) = - 1 2 x2 +20x, (6 分) 自变量 x 的取值范围是 0<x≤25. (9 分) 20. 解:(1)140 (2 分) (2)W内 = (y-20)x= (- 1 100 x+150-20)x= - 1 100 x2 +130x. (6 分) W外 = (150-a)x- 1 100 x2 = - 1 100 x2 +(150-a)x. (9 分) 21. 解:(1)由题意得,每件商品的销售利润为(x-30)元,那 么 m 件的销售利润为 y=m(x-30) . (1 分) 又∵ m= 162-3x,∴ y = ( x- 30) (162- 3x),即 y = - 3x2 + 252x-4 860. (3 分) ∵ x-30≥0,∴ x≥30. 又∵ m≥0,∴ 162- 3x≥0,即 x≤ 54. ∴ 30≤x≤54. (5 分) ∴ 所求关系式为 y= -3x2 +252x-4 860(30≤x≤54) . (6 分) (2)令 y = 432,即- 3x2 + 252x- 4860 = 432,整理,得( x- 42) 2 = 0. (8 分) 解得 x= 42. (9 分) ∴ 当每件商品的销售价格为 42 元时,商场每天销售这 种商品的利润能达到 432 元. (10 分) 22. 解:(1)550 (2 分) (2)当 0<x≤100 时,P= 60; (3 分) 当 100<x<550 时,P= 60-0. 02(x-100)= 62- x 50 ;(4 分) 当 x≥550 时,P= 51; (5 分) 所以 P= 60(0<x≤100) 62- x 50 (100<x<550) 51(x≥550) ì î í ï ï ïï . (6 分) (3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润 为 L 元, 则 L= (P-40)x= 20x(0<x≤100), 22x- x2 50 (100<x<550), 11x(x≥500) . ì î í ï ï ïï (8 分) 当 x= 500 时,L= 22×500-500 2 50 = 6 000(元); 当 x= 1 000 时,L= 11×1 000 = 11 000(元), 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利 润是 6 000 元;如果一次订购 1 000 个,利润是 11 000 元. (10 分) 23. 解:(1)4　 10 (4 分) (2)分两种情况: 图 1 　 　 图 2 ①如图 1,当 0≤t≤4 时,过点 Q 作 QF⊥BC 于点 F,矩 形 ABCD 中,AB⊥BC,AB= 6,∴ QF= 6. (5 分) ∵ BC= 12,PC= t,∴ BP= 12-t,∴ S= 1 2 BP×QF= 1 2 (12- t)×6 = -3t+36; (7 分) ②如图 2,当 4<t≤12 时,过点 Q 作 QM⊥BC 于点 M,∴ ∠QMC= 90°,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠D = 90°, ∴ ∠DEC = ∠QCM, ∠D = ∠QMC, ∴ △QMC ∽ △CDE,∴ QM CD =CQ CE . (9 分) ∵ CQ= 14-t,CD= 6,DE= 8,∴ QM = 3 5 (14-t),∴ S = 1 2 BP×QM= 1 2 (12-t)× 3 5 (14-t)= 3 10 t2 -39 5 t+252 2 . (11 分) 综上,S= -3t+36(0≤t≤4) 3 10 t2 - 39 5 t+ 252 2 (4<t≤12){ . (12 分) 第 26 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D A C D D C D A 1. A 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法指导】二次函数图象的平移规律:二次函数 y = a(x -h) 2 +k 的图象可由二次函数 y = ax2 的图象向右(或左) 平移 | h |个单位长度,再向上(或下)平移 | k | 个单位长度 得到;简记为“上加下减常数项,左加右减自变量” . 3. D　 4. A　 5. C 6. D　 【解析】二次函数的对称轴为 x = - -2a 2a = 1,当 a> 0 时,即抛物线开口向上,x = 1 时,y 有最小值- 2;当 x = 4 时,y 有最大值 3,∴ a-2a+b= b-a= -2;16a-8a+b = 8a+b = 3. 当 a<0 时,即抛物线开口向下,x = 1 时,y 有最大值 3;当 x= 4 时,y 有最小值-2,∴ a-2a+b = b-a= 3;16a-8a +b= 8a+b= -2. ∴ b-a 的值为 3 或-2. 故选 D. 7. D　 【解析】抛物线开口向下,a<0,对称轴为 x= - 1 2 ,即- b 2a = - 1 2 ,也就是 a= b;B 错误;抛物线与 y 轴交点在 y 轴 的正半轴,因此 c>0,故 abc>0,A 错误;抛物线与 x 轴有 两个不同交点,则 b2 -4ac>0,即 b2 >4ac,D 正确;当 x = 1 时,y=a+b+c>0,又 a= b,即 2a+c>0,C 错误. 故选 D. 8. C　 【解析】∵ 点 P(m,n)在以 y 轴为对称轴的二次函数 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 15 页 y= x2 +ax+4 的图象上,∴ a = 0,∴ n = m2 + 4,∴ m-n = m- (m2 +4)= -m2 +m-4 = -(m- 1 2 ) 2 - 15 4 ,∴ 当 m= 1 2 时,m- n 取得最大值,此时 m-n= -15 4 . 故选 C. 9. D　 【解析】∵ 二次函数 y=(a-2)x2 -(a+2)x+1,当 x 取 互为相反数的任意两个实数值时,对应的函数值 y 总相 等,可知二次函数图象的对称轴为直线 x = 0,即 y 轴,则 --(a+2) 2(a-2) = 0,解得 a= -2,则关于 x 的一元二次方程(a- 2)x2 -(a+2)x+1 = 0 为-4x2 +1 = 0,则两根之积为- 1 4 . 故 选 D. 10. A　 【解析】①∵ 抛物线开口向下,∴ a< 0,∵ 抛物线对 称轴为 x= - b 2a = 1 2 ,∴ b = -a>0,∵ 抛物线与 y 轴的交 点在 x 轴上方,∴ c>0,∴ abc<0,所以①正确;②∵ 对称 轴为 x= 1 2 ,且经过点(2,0),∴ 抛物线与 x 轴的另一个 交点为(-1,0),∴ c a = -1×2 = -2,∴ c= -2a,∴ -2b+c= 2a-2a= 0,所以②正确;③∵ 抛物线经过(2,0),∴ 当 x = 2 时,y= 0,∴ 4a+2b+c= 0,所以③错误;④∵ 点(- 5 2 , y1)要比点( 5 2 ,y2)离对称轴远,∴ y1 <y2,所以④正确; ⑤∵ 抛物线的对称轴 x= 1 2 ,∴ 当 x= 1 2 时,y 有最大值, ∴ 1 4 a+ 1 2 b+c>am2 +bm+c(其中 m≠ 1 2 ) . ∵ a= -b,∴ 1 4 b>m(am+b) (其中 m≠ 1 2 ),所以⑤正确. 所以其中说 法正确的是①②④⑤. 故选 A. 11. -72　 12. 3. 75　 13. 1 800 14. 7 2 　 【解析】∵ 点 A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(4, 2),∴ AB= 4,∵ 抛物线与线段 AB 交于 C、D 两点,且 CD = 1 2 AB= 2,∴ 设点 C 的坐标为(c,2),则点 D 的坐标为 (c+2,2),h= 2c +2 2 = c+1,∴ 2 = - 3 2 [c-( c+1)] 2 +k,解得 k= 7 2 . 15. 10 2 　 【解析】如图所示,点 C 为抛物线顶 点,坐标为(0,6),则点 A 的坐标为(- 10, 0),点 B 的坐标为(10,0),设抛物线 ACB 的函数关系式为 y=ax2 +6,∵ 点 B 在此抛物线上,∴ 0 = a×102 +6,解得 a= - 3 50 ,即抛物线 ACB 的函数关系式为 y= - 3 50 x2 +6,当 y= 3 时,3 = - 3 50 x2 +6,解得 x = ±5 2,∴ 当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为:5 2 - (-5 2)= 10 2(m) . 16. 解:(1)根据题意得 a+b-3 = -4a-b-3 = 0{ , (2 分) 解得 a= 1 b= -2{ ,所以这个二次函数表达式为 y= x 2 -2x-3. (4 分) (2)∵ y= (x-1) 2 -4,∴ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,顶 点坐标为(1,-4), (5 分) ∵ a>0,∴ 当 x<1 时,y 随 x 增大而减小, (6 分) 该函数有最小值,最小值为-4. (8 分) 17. 解:(1)由题意得抛物线 y = -x2 +2bx+b2 +1 的对称轴为 x= - 2b-2 = b, (2 分) ∴ 点 A 坐标为(b,0), (3 分) ∴ 点 B 坐标为(0,3-b2 ) . (4 分) (2)把(0,2)代入 y= -x2 +2bx+b2 +1 中,解得 b= ±1. (6 分) ∵ b>0,∴ b= 1. (7 分) ∴ 抛物线的表达式为:y= -x2 +2x+2. (9 分) 18. 解:(1)∵ 抛物线 y=ax2 -2ax-3+2a2 =a(x-1) 2 +2a2 -a- 3, (2 分) ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1. (3 分) (2)∵ 抛物线的顶点在 x 轴上,∴ 2a2 -a-3 = 0,解得 a = 3 2 或 a= -1, (5 分) ∴ 抛物线为 y= 3 2 x2 -3x+ 3 2 或 y= -x2 +2x-1. (6 分) (3)∵ 抛物线的对称轴为 x= 1,则 Q(3,y2 )关于 x= 1 对 称点的坐标为(-1,y2 ), (7 分) ∴ 当 a>0 时,若 y1 <y2 ,则-1<m<3; (8 分) 当 a<0 时,若 y1 <y2 ,则 m<-1 或 m>3. (9 分) 19. 解:(1)令 h= 20t-5t2 = 0,解得 t1 = 0(舍去),t2 = 4. (2 分) ∴ 小球从飞出到落地要用 4s; (3 分) (2)由配方法得 y= 20t-5t2 = -5( t-2) 2 +20, (5 分) ∵ a= -5<0,∴ 小球飞行的最大高度是 20m, (7 分) 此时需要飞行 2s. (9 分) 20. 解:(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 y = kx+b(k≠0), 将表中数据(55,70)、(60,60)代入得: 55k+b= 7060k+b= 60{ , (2 分) 解得 k= -2 b= 180{ . ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y = - 2x+ 180. (3 分) (2)由题意得:( x- 50) ( - 2x+ 180) = 600,整理得:x2 - 140x+4 800 = 0, (5 分) 解得 x1 = 60,x2 = 80. 则该天的销售单价应定为 60 元 / 千克或 80 元 /千克. (6 分) (3)设当天的销售利润为 w 元,则:w = ( x- 50) ( - 2x+ 180)= -2(x-70) 2 +800, (8 分) ∵ -2<0,∴ 当 x= 70 时,w最大值 = 800. 故当销售单价定为 70 元 /千克时,才能使当天的销售利润最大,最大利润 是 800 元. (9 分) 21. 解:(1)设 A 城生产 x 件,则 B 城生产(100-x)件,设总 成本为 w 元,由题意可得:w = x2 +30x+70(100-x)= (x- 20) 2 +6 600, (3 分) ∴ 当 x= 20 时,w 取得最小值,此时 w = 6 600,100-x = 80,故 A 城生产 20 件,B 城生产 80 件; (5 分) (2)设 A 城运往 C 地 m 件,则运往 D 地(20-m)件,B 城 运往 C 地(90-m)件,运往 D 地 10-(20-m)= (m-10) 件, (6 分) 由题意可得:W= 5m+ 3(20-m) +(90-m) + 2(m-10) = 3m+130,∴ W 随 m 的增大而增大, (8 分) ∵ m≥0,20-m≥0,90-m≥0,m- 10≥0,解得 10≤m≤ 20, (9 分) ∴ 当 m= 10 时,W 取得最小值,此时 W = 160,故两城总 运费之和 W 的最小值是 160 万元. (10 分) 22. 解:(1)由图象可知,抛物线的顶点坐标为(6,4), (1 分) 设抛物线的关系式为:y=a(x-6) 2 +4,过点(12,0),则 0 =a(12-6) 2 +4, (4 分) 解得 a= - 1 9 . 即这条抛物线的关系式为:y= - 1 9 (x-6) 2 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 16 页 +4. (5 分) (2)货船能顺利通过此桥洞. (6 分) 理由:当 x= 12× 1 2 - 4× 1 2 = 4 时,y = - 1 9 ×(4- 6) 2 + 4 = 32 9 >3,∴ 货船能顺利通过此桥洞. (10 分) 23. 解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c(a≠0), 在等腰 Rt△ABC 中,OC 垂直平分 AB,且 AB= 4,∴ OA= OB=OC= 2,∴ A(-2,0),B(2,0),C(0,-2), (1 分) ∴ 4a+2b+c= 0 4a-2b+c= 0 c= -2 { , (2 分) 解得 a= 1 2 b= 0 c= -2 ì î í ï ï ïï ,∴ 抛物线的解析式为 y= 1 2 x2 -2. (3 分) (2)①设直线 l 的表达式为 y= kx,M(x1 ,y1 ),N(x2 ,y2 ), 由 y= 1 2 x2 -2 y= kx { ,可得 12 x2 -kx-2 = 0, (4 分) ∴ x1 +x2 = 2k,x1 ·x2 = -4,∴ (x1 -x2 ) 2 = (x1 +x2 ) 2 -4x1x2 = 4k2 +16,∴ | x1 -x2 | = 2 k2 +4 , (5 分) ∴ S△CMN = 1 2 OC· | x1 -x2 | = 2 k2 +4 ,∴ 当 k = 0 时,2 k2 +4取最小值为 4. ∴ △CMN 面积的最小值为 4. (6 分) ②假设抛物线上存在点 P(m, 1 2 m2 -2),使得点 P 与点 Q 关 于 直 线 l 对 称, ∴ OP = OQ, 即 12 +( 3 2 ) 2 = m2 +( 1 2 m2 -2) 2 ,解得 m1 = 3 ,m2 = - 3 ,m3 = 1,m4 = -1. (8 分) ∵ m3 = 1,m4 = -1 不合题意,舍去, (9 分) 当 m1 = 3 时,点 P( 3 , - 1 2 ), ∴ 线段 PQ 的中点为 (1 + 3 2 ,-1),代入 y = kx 得1 + 3 2 k = - 1,∴ k = 1- 3 ,∴ 直线 l 的表达式为:y= (1- 3 )x; (10 分) 当 m2 = - 3时,点 P( - 3 ,- 1 2 ),∴ 线段 PQ 的中点为 (1 - 3 2 ,-1),代入 y = kx 得1 - 3 2 k = -1,∴ k = 1+ 3 ,∴ 直线 l 的表达式为 y = (1+ 3 )x. 综上所述,直线 l 的表 达式为 y= (1- 3 )x 或 y= (1+ 3 )x. (11 分) 第 26 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B D C A C C B B 1. C　 2. D 3. B　 【解析】∵ y= x2 +4x-5 = (x+2) 2 -9,∴ 对称轴是 x = - 2,开口向上,距离对称轴越近,函数值越小. 比较可知,B (- 5 4 ,y2)离对称轴最近,C( 1 4 ,y3)离对称轴最远,∴ y2 < y1 <y3 . 故选 B. 4. D　 【解析】当二次函数开口向下时,-m<0,m>0,一次函 数图象过一、二、三象限. 当二次函数开口向上时,-m> 0,m<0,对称轴 x= 2 2m = 1 m <0,这时二次函数图象的对称 轴在 y 轴左侧,一次函数图象过二、三、四象限. 故选 D. 5. C　 6. A 7. C　 【解析】对称轴为直线 x = - b 2×1 = 1,解得 b = -2,所以 二次函数关系式为 y= x2 -2x,y=(x-1) 2 -1. 当 x = 1 时,y = -1. 当 x= 4 时,y= 16-2×4 = 8. ∵ x2 +bx-t = 0 的解相当 于 y= x2 +bx 与直线 y = t 的交点的横坐标,∴ 当-1≤t<8 时,在-1<x<4 的范围内有解. 故选 C. 8. C　 【解析】二次函数的对称轴为直线 x =m,①m<-2 时, x= -2 时二次函数有最大值,此时-(-2-m) 2 +m2 +1 = 4, 解得 m= - 7 4 ,与 m<-2 矛盾,舍去;②当-2≤m≤1 时,x =m 时,二次函数有最大值,此时,m2 +1 = 4,解得 m= - 3 或 m= 3(舍去);③当 m>1 时,x = 1 时二次函数有最大 值,此时,-(1-m) 2 +m2 +1 = 4,解得 m= 2. 综上所述,m 的 值为 2 或- 3 . 故选 C. 9. B　 【解析】∵ 抛物线的对称轴为直线 x = - b 2a = 2,∴ b = - 4a,即 4a+b= 0,故①正确;∵ 当 x= -3 时,y<0,∴ 9a-3b+ c<0,即 9a+c<3b,故②错误;∵ 抛物线与 x 轴的一个交点 为(-1,0),∴ a-b+c= 0,而 b= -4a,∴ a+4a+c= 0,即 c= - 5a,∴ 8a+7b+2c = 8a-28a-10a = -30a,∵ 抛物线开口向 下,∴ a<0,∴ 8a+7b+2c>0,故③正确;∵ 对称轴为直线 x = 2,∴ 当-1<x<2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x>2 时,y 随 x 的增大而减小,故④错误. 故选 B. 10. B 11. (1,2) 12. 0<a<4　 【解析】∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)过点(-1, 0)和点(0,-4),∴ a-b+c= 0c= -4{ ,所以 a-b = 4,b = a-4. ∵ 顶点 在 第 四 象 限, ∴ - b 2a >0 4ac-b2 4a <0 ì î í ï ï ï ï , 即 - a -4 2a > 0 ①, 4a·(-4)-(a-4) 2 4a <0②,解不等式①得,a<4,不等式② 整理得,(a+4) 2 >0,所以,a≠-4,所以 a 的取值范围是 0<a<4. 13. a(1+x) 2 14. 0　 【解析】设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q,∵ 抛物 线的对称轴过点(1,0),与 x 轴的一个交点是 P(4,0), ∴ 与 x 轴的另一个交点 Q(-2,0),把(-2,0)代入解析 式得:0 = 4a-2b+c,∴ 4a-2b+c= 0. 15. y= - 1 9 (x+6) 2 +4 16. 解:(1)y = x2 -6x+9-9+5 (2 分) = (x-3) 2 -4,即 y= (x-3) 2 -4; (4 分) (2)由(1)知,函数关系式为 y = (x-3) 2 -4,所以抛物线 的对称轴为 x= 3, (6 分) 顶点坐标为(3,-4) . (8 分) 17. 解:(1) (4 分) (2)令 y= 0,代入 y= x2 -4x+3,解得 x1 = 1,x2 = 3. (5 分) ∴ A(1,0),B(3,0),∴ AB= 2, (6 分) ∵ △ABC 的面积为 3,∴ AB 边上的高为 3, (7 分) 令 y= 3,代入 y= x2 -4x+3,解得 x1 = 0,x2 = 4. (8 分) ∴ C(0,3)或(4,3) . (9 分) 18. 解:(1)设 BE = x,则 BF = DG = DH = x. ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB=a,∴ AH=AE=a-x. (2 分) ∵ ∠A= 60°,∴ △AHE 为等边三角形,∴ HE=a-x. (4 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 17 页