下册第26章 二次函数 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 26 章追梦阶段测试卷(一) 二次函数 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列各式中,y 是 x 的二次函数的是(　 　 ) A. y= 3x-1 B. y= 1 x2 C. y= 3x2 +x-1 D. y= 2x2 + 1 x 2. 已知函数 y=ax2 +bx+c,其中 a,b,c 可在 0,1,2,3,4 五个数中取 值,则不同的二次函数的个数共有(　 　 ) A. 125 个 B. 100 个 C. 48 个 D. 10 个 3. 关于 x 的函数 y= (m+2)xm 2-2 是二次函数,则 m 的值是(　 　 ) A. 2 B. 4 C. -2 或 2 D. -4 或 4 4. 在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,若 a+b = 5,则 Rt△ABC 的面积 S 关于边长 c 的函数关系式为(　 　 ) A. S= 25 -c2 4 B. S= 25 -c2 2 C. S= 25 -c 2 D. S= 25 +c2 4 5. 一长方形的长为 10cm、宽为 6cm,它的各边都减少 xcm,得到的 新长方形的面积为 ycm2,则 y 与 x 之间的关系式是(　 　 ) A. y= 32-4x(0<x<6) B. y= 32-4x(0≤x≤6) C. y= (10-x)(6-x)(0<x<6) D. y=(10-x)(6-x)(0≤x≤6) 6. 下列函数关系中,是二次函数的是(　 　 ) A. 在弹性限度内,弹簧的长度 y 与所挂物体质量 x 之间的关系 B. 距离一定时,火车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系 C. 等边三角形的周长 C 与边长 a 之间的关系 D. 半圆面积 S 与半径 R 之间的关系 7. 设等边三角形的边长为 x(x>0),面积为 y,则 y 与 x 的函数关系 式是(　 　 ) A. y= 1 2 x2 B. y= 1 4 x2 C. y= 3 2 x2 D. y= 3 4 x2 8. 据统计局公布的数据,某市去年一月 GDP 总值约为 6 百亿元人 民币,若此市三月 GDP 总值为 y 百亿元人民币,平均每个月 GDP 增长的百分率为 x,则 y 关于 x 的函数表达式是(　 　 ) A. y= 6(1+2x) B. y= 6(1-x) 2 C. y= 6(1+x) 2 D. y= 6+6(1+x) +6(1+x) 2 9. 生活情境·药价调控 药品价格一直是人们关注的焦点之一,随 着人民生活水平的提高,人们对药品价格的要求也越来越高. 为 了解决药品价格过高的问题,政府采取了一系列措施,其中之一 就是降低药品价格. 国家决定对某药品分两次降价,若设平均每 次降价的百分比为 x,该药品的原价为 33 元,降价后的价格为 y 元,则 y 与 x 之间的函数关系式为(　 　 ) A. y= 66(1-x) B. y= 33(1-x) C. y= 33(1-x2) D. y= 33(1-x) 2 10. 如图,在△ABC 中,AB = AC,BC = 6,E 为 AC 边上的点且 AE = 2EC,点 D 在 BC 边上且满足 BD =DE. 设 BD = y,S△ABC = x,则 y 与 x 的函数关系式为(　 　 ) A. y= 1 810 x2 + 5 2 B. y= 4 810 x2 + 5 2 C. y= 1 810 x2 +2 D. y= 4 810 x2 +2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若 y= (a+2)x | a | +1 是以 x 为自变量的二次函数,则 a= 　 . 12. 已知二次函数 y = ax2 +c,当 x = 2 时,y = 3;当 x = -1 时,y = -3, 则 a、c 的值分别为　 　 　 　 . 13. 若 y= (m-2)xm 2-2 +x-3 是关于 x 的二次函数,则 m 的值为 　 . 14. 某快递公司十月份快递件数是 10 万件,如果该公司第四季度 每个月快递件数的增长率都为 x(x>0),十二月份的快递件数 为 y 万件,那么 y 关于 x 的函数关系式是　 　 　 　 　 　 　 　 . 15. 用总长为 60m 的篱笆围成长方形场地,长方形的面积 S( m2 ) 与一边长 l(m)之间的函数关系式为　 　 　 　 　 　 　 　 ,自变 量 l 的取值范围是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)小李家用 40m 长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长) 的矩形菜园,如图. (1)写出这块菜园的面积 y(m2)与垂直于墙的边长 x(m)之间 的函数关系式; (2)直接写出 x 的取值范围. 17. (8 分)已知函数 y= (m2 +2m)x2 +mx+m+1, (1)当 m 为何值时,此函数是一次函数? (2)当 m 为何值时,此函数是二次函数? 18. (9 分)用一根长为 800cm 的木条做一个长方形窗框,若宽为 xcm,写出它的面积 y 与 x 之间的函数关系式,并判断 y 是 x 的 二次函数吗? ·72· 19. (9 分)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙 长 25m)的空地上修建一条矩形绿化带 ABCD,绿化带一边靠 墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围住(如图) . 若设绿化带 BC 边长为 xm,绿化带的面积为 ym2,求 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围. 20. (9 分)某公司销售一种新型节能电子小产品,现准备从国内和 国外两种销售方案中选择一种进行销售:①若只在国内销售, 销售价格 y(元 / 件)与月销量 x(件)之间的函数关系式为 y = - 1 100 x+150,成本为 20 元 /件,月利润为 W内(元);②若只在国 外销售,销售价格为 150 元 /件,受各种不确定因素影响,成本 为 a 元 /件(a 为常数,10≤a≤40),当月销量为 x(件)时,每月 还需缴纳 1 100 x2 元的附加费,月利润为 W外(元) . (1)若只在国内销售,当 x= 1 000(件)时,y= 　 　 　 　 (元 / 件); (2)分别求出 W内、W外 与 x 之间的函数关系式. (不必写 x 的取 值范围) 21. (10 分)某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现 这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)满足一 次函数关系 m= 162-3x. (1)请写出商场销售这种商品每天的销售利润 y(元)与每件销 售价 x(元)之间的函数关系式. (2)当每件商品的销售价格为多少元时,商场每天销售这种商 品的利润能达到 432 元? 22. 生产情境·零件 (10 分)某厂生产某种零件,该厂为鼓励销售 商订货,提供了如下信息: ①每个零件的成本价为 40 元; ②若订购量在 100 个以内,出厂价为 60 元 /个;若订购量超过 100 个时,每多订 1 个,订购的全部零件的出厂单价就每个 降低 0. 02 元; ③实际出厂单价不能低于 51 元 /个. 根据以上信息,解答下列问题: (1)当一次订购量为　 　 　 　 个时,零件的实际出厂单价降为 51 元 /个. (2)设一次订购量为 x 个时,零件的实际出厂单价为 P 元 /个, 写出 P 与 x 的函数表达式. (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少 元? 如果一次订购 1 000 个,利润又是多少元? (工厂售出一 个零件的利润=实际出厂价-成本) 23. (12 分)如图,矩形 ABCD 中,AB = 6cm. BC = 12cm. 点 E 在边 AD 上,点 P 从点 C 出发沿 CB 运动到点 B 停止,点 Q 从点 A 出 发,沿折线 AE → EC 运动, 它们同时出发, 运动速度都是 1cm / s,点 P 运动到点 B 时同时停止,设点 P 运动时间为 t(s), △BPQ 的面积为 S(cm2) . 当点 Q 到达点 E 时,S= 24(cm2) . (1)填空:AE= 　 　 　 　 ,CE= 　 　 　 　 ; (2)求 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围. ·82· C. 11. x2 -2x+1 = 0(答案不唯一)　 12. 1 6 　 13. 30 5 14. 3 2 15. 2 2 　 【解析】 如 图, ∠DCB = ∠CAB + ∠ABC,∵ ∠D = 90°,CD =BD = 22 +42 = 2 5,∴ △CDB 是等腰直角三角形,∴ ∠DCB= 45°,∴ sin(∠CAB+∠ABC)= sin45° = 2 2 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】本题解题的关键是根据三角形外角的性质 得到∠DCB = ∠CAB+∠ABC,推出△CDB 是等腰直角三 角形. 16. 解:(1)原式= (20 3 -18 3 + 15 ) ÷ 3 = (2 3 + 15 ) ÷ 3 = 2+ 5 ; (3 分) (2)原式= 2 × 2 2 +2× 3 2 - 3 = 1+ 3 - 3 = 1; (6 分) (3)∵ a= 1,b= 1,c= -3,∴ Δ= 12 -4×1×( -3)= 13>0,则 x= -1± 13 2 ,∴ x1 = -1+ 13 2 ,x2 = -1- 13 2 . (9 分) 17. 解:(1)如图:△A1B1C 为所作, (3 分) 点 B1 的坐标为(0,0) . (5 分) (2)如图:△A2B2C2 为所作. (9 分) 18. 解:由题意得∠ACD = 70°,∠BCD = 37°,AC = 80 海里, 在 Rt△ACD 中,CD = AC·cos∠ACD≈80× 0. 34 = 27. 2 (海里), (4 分) 在 Rt△BCD 中,BD = CD· tan ∠BCD≈ 27. 2 × 0. 75 = 20. 4(海里),即还需航行的距离 BD 的长为 20. 4 海里. (9 分) 19. 解:(1)2×( 72 + 32 ) = 2×(6 2 + 4 2 ) = 20 2 ( m) . 即长方形 ABCD 的周长是 20 2 m; (4 分) (2) 72 × 32 -( 10 +1) ×( 10 -1)= 48-(10-1)= 39(m2 ) . (7 分) 39×8×15 = 4 680(元) . 即张大伯如果将所种蔬菜全部 销售完,销售收入为 4 680 元. (9 分) 20. 解:(1) 1 4 (2 分) (2)画树状图如下 (7 分) 由图可知,共有 16 种等可能的结果数,其中萌萌同学 两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C. 漂浮的硬币” 的结果数为 9,所以萌萌同学两次随机抽得的卡片都没 有实验项目“C. 漂浮的硬币”的概率为 9 16 . (9 分) 21. (1)证明:∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠BAC= ∠CAD. ∵ ∠ACB= ∠ADC= 90°, (2 分) ∴ △ACB∽△ADC, ∴ AC AD =AB AC ,∴ AC2 =AB·AD. (4 分) (2)解:由(1)知 AC2 = AB·AD. ∵ AB = 4 3 ,AD = 3 3 , ∴ AC= 6,∴ BC= AB2 -AC2 = 2 3 , (6 分) ∴ BC = 1 2 AB, 即 sin ∠BAC = 1 2 . ∴ ∠BAC = 30°, ∴ ∠BAC= ∠CAD= 30°,∴ ∠B = ∠ACD = 60°. ∵ CE∥AD, ∴ ∠ECA= ∠CAD = 30°,∠BCE = ∠ACB-∠ECA = 60°, ∴ △BCE 是等边三角形,∴ CE = BC = 2 3 ,在 Rt△ADC 中,∠CAD= 30°,∴ CD= 1 2 AC= 3. (7 分) ∵ CE∥AD, ∴ ∠DCE = 180° - ∠ADC = 90°, ∴ DE = CE2 +CD2 = 21 . (8 分) ∵ CE∥AD,∴ △CEF∽△ADF,∴ EF DF = CE AD = 2 3 ,∴ EF DE = 2 5 . ∴ EF= 2 5 21 . (10 分) 22. 解:(1)设 A 系列产品的单价是 x 元 /件,则 B 系列产品 的单价是(x+5)元 /件. 根据题意得100 x = 150 x+5 ,解得 x = 10,经检验,x= 10 是所列方程的解,且符合题意, (3 分) ∴ x+5 = 10+5 = 15(元) . 答:A 系列产品的单价是 10 元 / 件,B 系列产品的单价是 15 元 /件; (4 分) (2)设 B 系列产品的实际售价应定为 y 元 /件,则每天 可以卖 50+10( 15 - y) = ( 200 - 10y) 件. 根据题意得 y (200-10y)= 960. 整理得 y2 -20y+96 = 0,解得 y1 = 8,y2 = 12, (8 分) 又∵ 要尽可能让顾客得到实惠,∴ y = 8. 答:B 系列产品 的实际售价应定为 8 元 /件. (10 分) 23. 解:(1)直线 l:y= - 4 3 x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 B、A 两 点,则点 A、B 的坐标分别为:(0,4)、(3,0) . (1 分) ∴ tan∠ABO=OA OB = 4 3 . (3 分) (2)DE⊥FM,理由:由折叠的性质得:∠EDF = ∠EBF. ∵ OC 为 Rt△AOB 斜边 AB 上的中线, ∴ OC= 1 2 AB=BC, (4 分) ∴ ∠COB = ∠CBO, ∴ ∠EDF = ∠COB. 又∵ ∠DNM = ∠ONF,∴ △DNM∽△ONF, (6 分) ∴ DN ON =MN FN ,即DN MN =ON FN , 又∵ ∠DNO= ∠MNF,∴ △DNO∽△MNF, (8 分) ∴ ∠DON= ∠MFN,∴ ∠EDF+∠MFN = ∠COB+∠DON = 90°,∴ ∠DMF = 180°-(∠EDF+∠MFN) = 90°,∴ DE ⊥FM. (10 分) 第 26 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A A C D D C D A 1. C　 2. B　 3. A 4. A　 【解析】∵ ∠C = 90°,BC = a,AC = b,AB = c,∴ a2 +b2 = c2 . ∵ Rt△ABC 的面积为 S,即 S= 1 2 ab. ∵ a+b = 5,∴ (a+ b) 2 = 25,即 a2 +b2 +2ab= 25,∴ c2 +4S= 25,∴ S= 25 -c2 4 . 故 选 A. 5. C　 6. D 7. D　 【解析】设等边三角形 ABC 的边长为 x,作出 BC 边上 的高 AD,则 CD = 1 2 x,AD = 3 2 x,∴ y = 1 2 · 3 2 x·x = 3 4 x2 . 故选 D. 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 14 页 8. C　 9. D 10. A　 【解析】过 A 作 AH⊥BC,过 E 作 EP⊥BC,则 AH∥ EP,∴ HC= 3,∵ AE = 2EC,∴ CE = 1 3 AC. ∴ PE AH = CE AC = PC HC = 1 3 ,∴ PC= 1,BP= 5,PE= 1 3 AH,∵ BD =DE = y,∴ 在 Rt △EDP 中,y2 =(5-y) 2 +PE2,∵ x = 6AH÷2 = 3AH,∴ AH = x 3 . ∴ PE= x 9 . ∴ y2 = (5-y) 2 +( 1 9 x) 2,∴ y = 1 810 x2 + 5 2 . 故选 A. 11. 2　 12. 2、-5　 13. -2　 14. y= 10(x+1) 2 15. S= -l2 +30l　 0<l<30　 【解析】长方形一边长为 lm,则另 一边长为(30-l)m,所以长方形的面积= l(30-l),即 S= -l2 +30l,l 的取值范围为 0<l<30. 16. 解:(1)∵ 垂直于墙的边长为 x, ∴ 平行于墙的边长为(40-2x), (2 分) ∴ y= x(40-2x), (4 分) 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= -2x2 +40x. (6 分) (2)x 的取值范围为 0<x<20. (8 分) 17. 解:(1)∵ 函数 y= (m2 + 2m) x2 +mx+m+ 1 是一次函数, ∴ m2 +2m= 0,m≠0, (2 分) 解得 m= -2. (4 分) (2)∵ 函数 y= (m2 +2m)x2 +mx+m+1 是二次函数,∴ m2 +2m≠0, (6 分) 解得 m≠-2 且 m≠0. (8 分) 18. 解:设宽为 xcm,则长为:(400-x)cm, (2 分) 故它的面积 y 与 x 之间的函数关系式为:y = (400-x) x = -x2 +400x. (7 分) 故 y 是 x 的二次函数. (9 分) 19. 解:由题意得:y = x×40 -x 2 (3 分) = - 1 2 x2 +20x, (6 分) 自变量 x 的取值范围是 0<x≤25. (9 分) 20. 解:(1)140 (2 分) (2)W内 = (y-20)x= (- 1 100 x+150-20)x= - 1 100 x2 +130x. (6 分) W外 = (150-a)x- 1 100 x2 = - 1 100 x2 +(150-a)x. (9 分) 21. 解:(1)由题意得,每件商品的销售利润为(x-30)元,那 么 m 件的销售利润为 y=m(x-30) . (1 分) 又∵ m= 162-3x,∴ y = ( x- 30) (162- 3x),即 y = - 3x2 + 252x-4 860. (3 分) ∵ x-30≥0,∴ x≥30. 又∵ m≥0,∴ 162- 3x≥0,即 x≤ 54. ∴ 30≤x≤54. (5 分) ∴ 所求关系式为 y= -3x2 +252x-4 860(30≤x≤54) . (6 分) (2)令 y = 432,即- 3x2 + 252x- 4860 = 432,整理,得( x- 42) 2 = 0. (8 分) 解得 x= 42. (9 分) ∴ 当每件商品的销售价格为 42 元时,商场每天销售这 种商品的利润能达到 432 元. (10 分) 22. 解:(1)550 (2 分) (2)当 0<x≤100 时,P= 60; (3 分) 当 100<x<550 时,P= 60-0. 02(x-100)= 62- x 50 ;(4 分) 当 x≥550 时,P= 51; (5 分) 所以 P= 60(0<x≤100) 62- x 50 (100<x<550) 51(x≥550) ì î í ï ï ïï . (6 分) (3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润 为 L 元, 则 L= (P-40)x= 20x(0<x≤100), 22x- x2 50 (100<x<550), 11x(x≥500) . ì î í ï ï ïï (8 分) 当 x= 500 时,L= 22×500-500 2 50 = 6 000(元); 当 x= 1 000 时,L= 11×1 000 = 11 000(元), 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利 润是 6 000 元;如果一次订购 1 000 个,利润是 11 000 元. (10 分) 23. 解:(1)4　 10 (4 分) (2)分两种情况: 图 1 　 　 图 2 ①如图 1,当 0≤t≤4 时,过点 Q 作 QF⊥BC 于点 F,矩 形 ABCD 中,AB⊥BC,AB= 6,∴ QF= 6. (5 分) ∵ BC= 12,PC= t,∴ BP= 12-t,∴ S= 1 2 BP×QF= 1 2 (12- t)×6 = -3t+36; (7 分) ②如图 2,当 4<t≤12 时,过点 Q 作 QM⊥BC 于点 M,∴ ∠QMC= 90°,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠D = 90°, ∴ ∠DEC = ∠QCM, ∠D = ∠QMC, ∴ △QMC ∽ △CDE,∴ QM CD =CQ CE . (9 分) ∵ CQ= 14-t,CD= 6,DE= 8,∴ QM = 3 5 (14-t),∴ S = 1 2 BP×QM= 1 2 (12-t)× 3 5 (14-t)= 3 10 t2 -39 5 t+252 2 . (11 分) 综上,S= -3t+36(0≤t≤4) 3 10 t2 - 39 5 t+ 252 2 (4<t≤12){ . (12 分) 第 26 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D A C D D C D A 1. A 2. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法指导】二次函数图象的平移规律:二次函数 y = a(x -h) 2 +k 的图象可由二次函数 y = ax2 的图象向右(或左) 平移 | h |个单位长度,再向上(或下)平移 | k | 个单位长度 得到;简记为“上加下减常数项,左加右减自变量” . 3. D　 4. A　 5. C 6. D　 【解析】二次函数的对称轴为 x = - -2a 2a = 1,当 a> 0 时,即抛物线开口向上,x = 1 时,y 有最小值- 2;当 x = 4 时,y 有最大值 3,∴ a-2a+b= b-a= -2;16a-8a+b = 8a+b = 3. 当 a<0 时,即抛物线开口向下,x = 1 时,y 有最大值 3;当 x= 4 时,y 有最小值-2,∴ a-2a+b = b-a= 3;16a-8a +b= 8a+b= -2. ∴ b-a 的值为 3 或-2. 故选 D. 7. D　 【解析】抛物线开口向下,a<0,对称轴为 x= - 1 2 ,即- b 2a = - 1 2 ,也就是 a= b;B 错误;抛物线与 y 轴交点在 y 轴 的正半轴,因此 c>0,故 abc>0,A 错误;抛物线与 x 轴有 两个不同交点,则 b2 -4ac>0,即 b2 >4ac,D 正确;当 x = 1 时,y=a+b+c>0,又 a= b,即 2a+c>0,C 错误. 故选 D. 8. C　 【解析】∵ 点 P(m,n)在以 y 轴为对称轴的二次函数 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 15 页