上册第24章 解直角三角形 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 24 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 如图,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为 D,下列结论错误的是(　 　 ) A. 图中有三个直角三角形 B. ∠1 = ∠2 C. ∠1 和∠B 都是∠A 的余角 D. ∠2 = ∠A 2. 已知 cosA> 1 2 ,则锐角∠A 的取值范围是(　 　 ) A. 0°<∠A<30° B. 30°<∠A<90° C. 0°<∠A<60° D. 60°<∠A<90° 3. 在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠ABC = 26°,BC = 5. 若用科学计算器 求边 AC 的长,则下列按键顺序正确的是(　 　 ) A. 5 ÷ tan 2 6 = B. 5 ÷ sin 2 6 = C. 5 × cos 2 6 = D. 5 × tan 2 6 = 4. 在△ABC 中,∠C= 90°,sinB= 4 5 ,则 tanB 的值为(　 　 ) A. 4 3 B. 3 4 C. 3 5 D. 4 5 5. 在锐角△ABC 中,(tanC- 3 ) 2 + | 2 -2sinB | = 0,则∠A= (　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 6. 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC= 45°, OC= 2 ,则点 B 的坐标为(　 　 ) A. ( 2,1) B. (1, 2) C. ( 2+1,1) D. (1, 2+1) 第 6 题图 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 10 题图 7. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,若 BC= 3,AC= 4,则 sinB 的值为(　 　 ) A. 4 5 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 3 8. 如图,由六个边长为 1 的小正方形组成的网格图中,△ABC 的各 个顶点都在格点上,则 sin∠BAC 的值是(　 　 ) A. 2 B. 1 2 C. 5 D. 5 5 9. 传统文化情境·作揖礼 中国自古就是礼仪之邦,班会课开展“礼 仪待人,学作揖礼”活动,平辈行礼,上半身前弯 15°,晚辈行礼, 上半身前弯 45°. 班主任和小贤示范遇见师长行作揖礼. 小贤面 向班主任行了一个 45°的作揖礼,班主任面向小贤回了一个 15° 的作揖礼. 已知小贤身高 150cm,上半身高 70cm(把臀部到头顶 的距离视为上半身), 小贤行礼时头距离地面的高度约 为(　 　 ) A. 70+35 2 cm B. 80+35 2 cm C. 70+35 3 cm D. 80+35 3 cm 10. 数学文化情境·赵爽弦图 公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在 注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个 全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 如 果大正方形的面积是 125,小正方形面积是 25,则(sinθ-cosθ) 2 = (　 　 ) A. 1 5 B. 5 5 C. 3 5 5 D. 9 5 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,tanA= 5 12 ,则 sinB 的值为　 　 　 　 . 12. 在每个小正方形边长均为 1 的正方形网格中,∠AOB 如图放 置,则 cos∠AOB 的值为 . 13. 已知 sinα+cosα= 7 5 ,则 sinαcosα= 　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图,某货船以 24 海里 /时的速度从 A 处向正东方向的 D 处 航行,在点 A 处测得小岛 C 在北偏东 60°的方向. 该货船航行 30 分钟后到达 B 处,此时测得该岛在北偏东 30°的方向上. 则 货船在航行中离小岛 C 的最短距离是　 　 　 　 . 15. 如图,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得∠ABC = α, ∠ADC=β,则竹竿 AB 与 AD 的长度比值为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)( -1) 2·cos30°-( 1 2 ) 2·tan60°; (2)4sin60°-3tan30°+2cos45°·sin45°. 17. (8 分)在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c. 若 a= 2,sinA= 1 3 ,求 b 和 c. 18. 日常生活情境·测量长度 (9 分)某商场为了方便消费者购物, 准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯. 如图所 示,已知原阶梯式扶梯 AB 长为 10m,坡角∠ABD = 30°;改造后 斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB = 9°,请计算改造后的斜坡 AC 的长度. (结果精确到 0. 01) ( sin9° ≈0. 156, cos9° ≈0. 988, tan9°≈0. 158) ·12· 19. (10 分)利用下面的图形,我们可以求出 tan30°的值,如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AB = 2,AC = 1,可求出∠B = 30°,tan30° = AC BC = 1 3 = 3 3 . 在此图的基础上,我们还可以添加适当的辅助 线,求出 tan15°值,请你动手试一试. 20. (10 分)如图,A,B 两市相距 50km,国家级风景区中心 C 位于 A 市北偏东 60°方向上,位于 B 市北偏西 45°方向上. 已知风景 区是以点 C 为圆心、15km 为半径的圆形区域. 为了促进旅游经 济发展,有关部门计划修建连结 A,B 两市的高速公路,高速公 路 AB 是否穿过风景区? 通过计算加以说明. (参考数据: 3 ≈ 1. 73) 21. (10 分)如图,一艘船由 A 港沿北偏东 65°方向航行 38km 到 B 港,然后再沿北偏西 42°方向航行至 C 港,已知 C 港在 A 港北 偏东 20°方向. (1)直接写出∠C 的度数; (2)求 A、C 两港之间的距离. (结果用含非特殊角的三角函数 及根式表示即可) 22. (10 分)【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材的部 分内容. 如图 1,画 Rt△ABC,并画出斜边 AB 上的中线 CD,量一量,看 看 CD 与 AB 有什么关系. 相信你与你的同伴一定会发现,CD 恰好是 AB 的一半. 下面让我们用演绎推理证明这一猜想. 已知:如图 2,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 是斜边 AB 上的 中线,求证:CD= 1 2 AB. 定理证明: 请根据图 2 的提示,完成直角三角形的性质:“直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半”的证明. 定理应用: (1)如图 3,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为点 D(点 D 在 BC 上),CE 是 AB 边上的中线,DG 垂直平分 CE. 求证: ∠B = 2∠BCE; (2)如图 4,在△ABC 中,∠B = 30°,∠ADC = 45°,AD 恰好是中 线,则∠C 的度数为　 　 　 　 度. 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 23. 学习情境·社团课题 (10 分)陕西省西安市古观音禅寺内有一 棵千年银杏树,据传是当年唐太宗李世民亲手栽种,距今已有 1 400 多年历史,已被国家列为古树名木保护名录. 某校数学社 团的同学们想要利用所学的知识测量这棵银杏树的高度,他们 分成了三个小组并分别设计了不同的方案,测量方案与数据 如表: 课题 测量银杏树(AB)的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 示意图 说明 点 C、D 在点 B 的正西方向 GH 是银杏 树旁的房屋 EF 是银杏树正西方向的指路 牌,借助 EF 进行测量,使 P、 E、A 三点在一条直线上, 点 P、F 在点 B 的正西方向 测量数据 ∠C= 37°,∠ADB = 45°,CD= 12m ∠AGE= 37°, ∠BGE= 45° EF= 9m,∠P= 37°, ∠AFB= 45° (1)第　 　 　 　 小组的数据无法算出银杏树的高度; (2)请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度; (结果精确到 1m,参考数据: sin37° ≈ 0. 60, cos37° ≈ 0. 80, tan37°≈0. 75) (3)你认为在测量方案实施过程中,小组成员应注意的事项有 哪些? (写出一条即可) ·22· 18. 解:在 Rt△ABC 中,∵ cosa=AC AB ,∴ AC=AB·cosa, (2 分) 当 a= 50°时,AC=AB·cosa≈6×0. 64 = 3. 84m; (4 分) 当 a= 75°时,AC=AB·cosa≈6×0. 26 = 1. 56m; (6 分) 所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子底端与墙面的距离应该在 1. 56m ~ 3. 84m 之 间,1. 56<2<3. 84, (8 分) 故当梯子底端离墙面 2m 时,此时人能够安全使用这架 梯子. (10 分) 19. 解:设 AD 长为 xm,在 Rt△ABD 中,∠ABD= 45°,∴ BD= x. 则 DC= x+50, (2 分) 在 Rt △ACD 中, ∵ ∠ACD = 30°, ∴ tan30° = AD BD+BC = x x+50 , (6 分) ∴ 3 3 = x x+50 . ∴ x= 25( 3 +1) . 经检验,x = 25( 3 +1)是 原方程的根,∴ 小明家到公路的距离 AD 的长度为 25 ( 3 +1)m. (9 分) 20. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则∠CAD = ∠ACD = 45°, ∴ AD=CD, (2 分) 设 AD= x,则 AC = 2 x,∴ BD = AB-AD = 2 - x,∵ 在 Rt △BCD 中,∠CBD= 60°,tan∠CBD=CD BD ,∴ x 2-x = 3 , (5 分) 解得 x= 3- 3 . (7 分) 经检验,x = 3- 3 是原方程的根. ∴ AC = 2 x = 2 ( 3- 3 )= (3 2 - 6 )km. (9 分) 故船 C 离观测站 A 的距离为(3 2 - 6 )km. (10 分) 21. 解:∵ 在 Rt△CBD 中,∠CBD = 30°,CD = 12m,∴ DB = CD tan30° = 12 3 (m) . (2 分) 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则 CE=DB= 12 3 m,BE=CD = 12m. (4 分) ∵ 在 A 处测得旗杆 CD 的顶端 C 的俯角为 42°, ∴ ∠ACE= 42°, ∴ AE = CE· tan42° = 12 3 × 0. 9 ≈ 18. 4 (m), (7 分) ∴ AB=BE+AE=CD+AE= 12+18. 4≈30(m) . (9 分) 故楼 AB 的高度约为 30m. (10 分) 22. 解:∵ AB⊥BD,∠BAM= 45°,∴ ∠AMB = ∠BAM,∴ AB = BM= 20 米. ∴ 在Rt△ABM 中,AM= 20 2米, (3 分) 作 AE⊥MC 于点 E,由题意得∠ACM = 45°, ∠CAM = 75°,∴ ∠AMC= 60°, (5 分) ∴ 在 Rt△AME 中,AM = 20 2 米. ∵ sin∠AME = AE AM ,∴ AE= sin60°·20 2 = 3 2 ×20 2 = 10 6米, (7 分) 在 Rt△AEC 中,∠AEC= 90°,∠ACE= 45°,AE= 10 6米, ∴ sin∠ACE= AE AC ,∴ AC = AE sin45° = 20 3 米≈35 米,故两 建筑物顶点 A、C 之间的距离约为 35 米. (10 分) 23. 解:(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险, (1 分) 理由如下:作 AD⊥BC 于点 D,则∠ADB = ∠ADC = 90°, 由题意得:AB= 60,∠BAD= 90°-60° = 30°,∴ BD = 1 2 AB = 30,AD= 3BD= 30 3海里≈51. 9 海里>50 海里, (4 分) ∴ 这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险. (5 分) (2)由(1)得:BD= 30,AD = 30 3 ,∵ BC = 3× 30 = 90(海 里),∴ DC=BC-BD= 90-30 = 60(海里), (8 分) 在 Rt△ADC 中,AC = AD2 +DC2 = (30 3 ) 2 +602 = 30 7 (海里)≈79. 50 海里; (10 分) 故 A,C 之间的距离约为 79. 50 海里. (11 分) 第 24 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A D C A D B A 1. B　 2. C　 3. D　 4. A　 5. D　 6. C　 7. A 8. D　 【解析】由勾股定理得:AB2 = 22 +22 = 8,BC2 = 12 +12 = 2,AC2 = 32 +12 = 10,∴ AB2 +BC2 =AC2,∴ △ABC 是直角三 角形,∠ABC= 90°,∴ sin∠BAC=BC AC = 2 10 = 5 5 . 故选 D. 9. B 10. A　 【解析】∵ 大正方形的面积是 125,小正方形面积是 25,∴ 大正方形的边长为 5 5,小正方形的边长为 5,∴ 5 5 cosθ-5 5 sinθ= 5,∴ cosθ-sinθ = 5 5 ,∴ ( sinθ-cosθ) 2 = 1 5 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】先由两个正方形的面积分别得出其边长,设 AC=BD=a,由勾股定理解得 a 的值,后按照正弦函数和 余弦函数的定义得出 sinθ 和 cosθ 的值,最后代入要求的 式子计算即可. 11. 12 13 　 12. 2 2 13. 12 25 　 【解析】 把 sinα + cosα = 7 5 两边平方得: ( sinα + cosα) 2 = 1 + 2sinαcosα = 49 25 , 即 2sinαcosα = 24 25 , 则 sinαcosα= 12 25 . 14. 6 3海里　 【解析】作 CH⊥AD 于点 H,由题意得,∠CAB = 30°,∠CBH = 60°,∴ ∠ACB = 30°,∴ ∠CAB = ∠ACB, ∴ BC=BA= 24× 1 2 = 12(海里),在Rt△CBH 中,CH =BC ·sin∠CBH= 6 3(海里) . 15. sinβ sinα 　 【解析】在 Rt △ABC 中,AB = AC sinα ,在 Rt △ACD 中,AD= AC sinβ ,∴ AB ∶AD= AC sinα ∶ AC sinβ = sinβ sinα . 16. 解:(1)原式= 3 2 - 1 4 × 3 (2 分) = 3 4 . (4 分) (2)原式= 4× 3 2 -3× 3 3 +2× 2 2 × 2 2 (6 分) = 2 3 - 3 +1 = 3 +1. (8 分) 17. 解:∵ a= 2,sinA= 1 3 ,∴ c= a sinA = 2 1 3 = 6, (4 分) 则 b= c2 -a2 = 62 -22 = 4 2 . (8 分) 18. 解:在 Rt△ABD 中,∠ABD= 30°,AB = 10m,∴ AD = AB· sin∠ABD= 10×sin30° = 5(m). (4 分) 在 Rt△ACD 中,∠ACD = 9°,sin9° = AD AC ,∴ AC = 5 sin9° ≈ 5 0. 156 = 32. 05(m). (8 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 11 页 故改造后的斜坡 AC 的长度为 32. 05 米. (9 分) 19. 解: 如图所示, 在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°, ∠ABC = 30°,那么由 30°角的三角函数,可知 BC = 3 , 延长 CB 到 D,使 BD = AB,连结 AD. (3 分) ∵ ∠ABC= ∠1+∠2,AB=BD, ∴ ∠ABC= 2∠1 = 2∠2,∴ ∠1 = ∠2 = 15°. (6 分) 在 Rt△ACD 中,DC=DB+BC = AB+BC = 2+ 3 ,∴ tan15° = tan∠2 = AC DC = 1 2+ 3 = 2- 3 . (10 分) 20. 解:高速公路 AB 不穿过风景区. (1 分) 过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. 根据题意,得∠CAB = 30°, ∠CBA= 45°,在 Rt△CHB 中,∵ tan∠CBH = CH HB = 1,∴ CH=BH. (3 分) 设 BH= tkm,则 CH= tkm,在 Rt△CAH 中,∵ tan∠CAH = CH AH = 3 3 ,∴ AH= 3 tkm. (5 分) ∵ AB= 50km,∴ 3 t+t= 50,∴ t≈18. 32. (8 分) ∵ 18. 32>15,∴ 高速公路 AB 不穿过风景区. (10 分) 21. 解:(1)∠C= 62°. (3 分) (2)由题意得,∠CAB = 65°- 20° = 45°,∠ACB = 62°,AB = 38km,过 B 作 BE⊥AC 于点 E,∴ ∠AEB = ∠CEB = 90°. 在 Rt△ABE 中,∵ ∠EAB= 45°,∴ △ABE 是等腰直 角三角形. ∵ AB= 38km,∴ AE=BE = 2 2 AB = 19 2 km. ∴ BE= 19 2 km. (6 分) 在 Rt△CBE 中,∵ ∠ACB = 62°,tan∠ACB = BE CE ,∴ CE = BE tan62° = 19 2 tan62° km, (8 分) ∴ AC=AE+CE = (19 2 + 19 2 tan62° ) km. ∴ A,C 两港之间的 距离为(19 2 + 19 2 tan62° )km. (10 分) 22.定理证明:延长 CD 到 E,使 DE = CD,连接 AE,BE,则 CD= 1 2 CE,∵ CD 是斜边 AB 上的中线,∴ AD =BD,∴ 四 边形 ACBE 是平行四边形, (2 分) ∵ ∠ACB = 90°,∴ 平行四边形 ACBE 是矩形,∴ CE = AB,∴ CD= 1 2 AB; (4 分) 定理应用:(1)解:连接 DE,∵ CE 是 AB 边上的中线,∴ AE=BE,∵ AD⊥BC,∴ DE = 1 2 AB = AE = BE,∴ ∠B = ∠BDE, (6 分) ∵ DG 垂直平分 CE,∴ DE = DC,∴ ∠DEC = ∠BCE,∴ ∠BDE= 2∠BCE,∴ ∠B= 2∠BCE; (8 分) (2)105 (10 分) 23. 解:(1)二 (2 分) (2)选择第一小组的测量数据. ∵ ∠ABD= 90°,∠ADB = 45°,∴ △ABD 是等腰直角三角形,∴ AB=BD, (5 分) 设 AB= x m,则 BD= AB = x m,BC =BD+CD = (x+12) m, 在 Rt△ABC 中,tanC= AB BC = tan37°≈0. 75 = 3 4 ,∴ x x+12 = 3 4 ,解得 x= 36; (8 分) (3)①测量距离时,卷尺要拉直;②测量角度时,测角仪 与地面保持垂直状态. (答案不唯一) (10 分) 第 25 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B C B D B B C B 1. D　 2. D　 3. B 4. C　 【解析】将Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的 3 个信封记为①②③,画树状 图如下: 由树状图知,共有 6 种等可能结果,其中信封与信的编 号都相同的只有 1 种结果,∴ 信封与信编号都相同的概 率为 1 6 . 故选 C. 5. B 6. D　 【解析】根据题意画图: 共有 12 种等可能的结果,其中第二次摸出球的号码与 第一次摸出球的号码的和等于 15 的有 2 种,则 P(第二 次摸出球的号码与第一次摸出球的号码的和等于 15)= 2 12 = 1 6 . 故选 D. 7. B 8. B　 【解析】被裁剪后的 3 张图画分别用甲 1、甲 2、乙 1、 乙 2、丙 1、丙 2 表示,根据题意画图如下: 共有 30 种等可能的结果,其中随机抽取两张,正好是一 张完整的风景画的结果有 6 种,所以 P(随机抽取两张, 正好是一张完整的风景画)= 6 30 = 1 5 . 故选 B. 9. C　 【解析】A. 抛一枚硬币,出现正面朝上的频率是 1 2 = 0. 5;B. 掷一个正六面体的骰子,出现 2 点朝上的频率约 为: 1 6 ≈0. 17;C. 从一个装有 3 个红球和 2 个黑球的袋 子中任取一球,取到的是黑球的概率是 2 5 = 0. 4;D. 一副 去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是 红桃的概率是 13 52 = 0. 25. 故选 C. 10. B　 【解析】∵ E 为 BC 的中点,∴ BE AD = 1 2 ,∴ BO OD = OE AO = 1 2 ,BO BD = 1 3 ,∴ S△BOE = 1 2 S△AOB,S△AOB = 1 3 S△ABD,∴ S△BOE = 1 6 S△ABD = 1 12 S▱ABCD,∴ P(米粒落在图中阴影部分)= 1 12 . 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【思路点拨】随机事件 A 的概率 P(A)= 事件 A 可能出现 的结果数÷所有可能出现的结果数. 本题中事件 A 可能 出现的结果数可以用事件 A 对应的面积来表示. 11. 5 9 　 12. 1 8 　 13. 2 3 14. 15　 【解析】设白球个数大约为 x 个,∵ 摸到红球的频 率稳定在 0. 25 左右,∴ 5 x+5 = 1 4 ,解得 x= 15,经检验 x= 15 是原方程的解,即白球的个数大约为 15 个. 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 12 页