上册第24章 解直角三角形 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 24 章追梦阶段测试卷(二) 解直角三角形 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 房屋建筑情境·比萨斜塔 比萨斜塔是意大利的著名建筑,其示 意图如图所示,设塔顶中心点为点 B,塔身中心线 AB 与垂直中 心线 AC 的夹角为∠A,过点 B 向垂直中心线 AC 引垂线,垂足为 点 D. 通过测量可得 AB、BD、AD 的长 度,利用测量所得的数据计算∠A 的三 角函数值,进而可求∠A 的大小. 下列 关系式正确的是(　 　 ) A. sinA=BD AB 　 　 B. cosA= AB AD C. tanA= AD BD D. sinA=AD AB 2. 在 △ABC 中, ∠A = 40°, ∠C = 90°, BC = 7, 则 AB 边 的 长是(　 　 ) A. 7sin40° B. 7cos40° C. 7 sin40° D. 7 cos40° 3. 如图,在△ABC 中,sinB= 1 3 ,tanC= 2,AB= 3,则 AC 的长为(　 　 ) A. 2 B. 5 2 C. 5 D. 2 第 3 题图 　 第 4 题图 　 第 5 题图 4. 如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距 200 米 的 P、Q 两点分别测定对岸一棵树 T 的位置,T 在 P 的正北方 向,且 T 在 Q 的北偏西 70°方向,则河宽(PT 的长)可以表示 为(　 　 ) A. 200tan70°米 B. 200 tan70° 米 C. 200sin 70°米 D. 200 sin70° 米 5. 如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的斜边 OA 在第一象限, 并与 x 轴的正半轴夹角为 30°. C 为 OA 的中点,BC = 1,则点 A 的坐标为(　 　 ) A. ( 3 , 3 ) B. ( 3 ,1) C. (2,1) D. (2, 3 ) 6. 如图是在 A 处测得点 P 在北偏东 60°方向上,在 B 处测得点 P 在北偏东 30°方向上,若 AP = 6 3 千米,则 A,B 两点的距离为 (　 　 )千米. A. 4 B. 4 3 C. 2 D. 6 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 日常生活情境·测量高度 如图是某商场一楼与二楼之间的电梯 示意图. ∠ABC= 150°,BC 的长是 8m,则乘电梯从点 B 到点 C 上 升的高度 h 是(　 　 ) A. 8 3 3 m B. 4 3 m C. 4m D. 8m 8. 日常生活情境·测量河坝 如图,一河坝的横断面为等腰梯形 AB- CD,坝顶宽 10 米,坝高 12 米,斜坡 AB 的坡度 i = 1 ∶1. 5,则坝底 AD 的长度为(　 　 ) A. 26 米 B. 28 米 C. 30 米 D. 46 米 第 8 题图 　 第 9 题图 　 第 10 题图 9. 体育竞赛情境·测量赛道 如图,AB 表示一条跳台滑雪赛道,在点 A 处测得起点 B 的仰角为 40°,底端点 C 与顶端点 B 的距离为 50 米. 则赛道 AB 的长度为(　 　 ) A. 50sin40°米 B. 50cos40°米 C. 50 sin40° 米 D. 50 cos40° 米 10. 如图是简化的跳台滑雪的雪道示意图,AB 为助滑道,BC 为着 陆坡,着陆坡倾斜角为 α,A 点与 B 点的高度差为 h,A 点与 C 点的高度差为 120m,着陆坡 BC 长度为(　 　 ) A. 120 -h sinα m B. 120 -h cosα m C. (120-h)sinα m D. (120-h)cosα m 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 在 Rt△ABC 中,CA=CB,AB = 9 2 ,点 D 在 BC 边上,连结 AD, 若 tan∠CAD= 1 3 ,则 BD 的长为　 　 　 . 12. 日常生活情境·测量距离 如图,海中有个小岛 A,一艘轮船由西 向东航行,在点 B 处测得小岛 A 位于它的东北方向,此时轮船 与小岛 A 相距 20 海里,继续航行至点 D 处,测得小岛 A 在它的 北偏西 60°方向,此时轮船与小岛 A 的距离 AD 为 　 　 　 　 海里. 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 13 题图 13. 日常生活情境·测量缆车长度 如图,某风景区为了方便游人参 观,计划从主峰 A 处架设一条缆车线路到另一山峰 C 处. 若在 A 处测得 C 处的俯角为 30°,两山峰的底部 BD 相距 900 米,则 缆车线路的长为　 　 　 米. 14. 如图,在 Rt△BAD 中,延长斜边 BD 到点 C,使 DC= 1 2 BD,连结 AC. 若 tanB= 5 3 ,则 tan∠CAD 的值　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. “健康中国,你我同行”,市民小张积极响应“全民健身动起来” 的号召,坚持在某步道上跑步. 已知此步道外形近似于如图所 示的 Rt△ABC,其中∠C = 90°,AB 与 BC 间另有步道 DE 相连, D 地在 AB 正中位置,E 地与 C 地相距 1km. 若 tan∠ABC = 3 4 , ∠DEB= 45°,小张某天沿 A→C→E→B→D→A 路线跑一圈,则 他跑了　 　 　 　 km. ·91· 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (7 分)如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,若 AD= 6,tanC= 3 2 , BC= 12,求 cosB 的值. 17. (8 分)如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为 A、B、C,测得 ∠CAB= 30°,∠ABC= 45°,AC = 8 千米,求 A、B 两点间的距离. (参考数据: 2 ≈1. 4, 3 ≈1. 7,结果精确到 1 千米) 18. (10 分)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角 a 一般要满足 50°≤a≤75°,现有一架 长为 6m 的梯子,当梯子底端离墙面 2m 时,此时人是否能够安 全使用这架梯子? (参考数据:sin50°≈0. 77,cos50°≈0. 64, sin75°≈0. 97,cos75°≈0. 26) 19. 日常生活情境·测量距离 (9 分)如图,小明家在 A 处,门前有一 片池塘,隔着池塘有一条公路 l,AB 是 A 到 l 的小路.现新修一条 路 AC 到公路 l,小明测量出∠ACD= 30°,∠ABD= 45°,BC= 50m, 请计算出小明家到公路的距离 AD 的长度(结果保留根号) . 20. (10 分)如图,在一笔直的海岸线上有 A、B 两个观测站,A 在 B 的正西方向,AB= 2km,从观测站 A 测得船 C 在北偏东 45°的方 向,从观测站 B 测得船 C 在北偏西 30°的方向. 求船 C 离观测 站 A 的距离. 21. 日常生活情境·测量楼高 (10 分)如图,小东在楼 AB 的顶部 A 处测得该楼正前方旗杆 CD 的顶端 C 的俯角为 42°,在楼 AB 的 底部 B 处测得旗杆 CD 的顶端 C 的仰角为 30°. 已知旗杆 CD 的高度为 12m,根据测得的数据,计算楼 AB 的高度. (结果保 留整数,参考数据:sin42°≈0. 7,cos42°≈0. 7,tan42°≈0. 9, 3 ≈1. 7) 22. (10 分)如图,AB、CD 为两个建筑物,两建筑物底部之间的水 平地面上有一点 M,从建筑物 AB 的顶点 A 测得 M 点的俯角为 45°,从建筑物 CD 的顶点 C 测得 M 点的俯角为 75°,测得建筑 物 AB 的顶点 A 的俯角为 30°. 若已知建筑物 AB 的高度为 20 米,求两建筑物顶点 A、C 之间的距离. (结果精确到 1m,参考 数据: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732) 23. 日常生活情境·海上航行 (11 分)如图,一艘渔船从位于 A 海岛 北偏东 60°方向,距 A 海岛 60 海里的 B 处出发,以每小时 30 海 里的速度沿正南方向航行. 已知在 A 海岛周围 50 海里水域内 有暗礁. (参考数据: 3 ≈1. 73, 5 ≈2. 24, 7 ≈2. 65) (1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险? 请说明理由; (2)渔船航行 3 小时后到达 C 处,求 A,C 之间的距离. ·02· ∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,设小华家到广告牌的距 离为 xm,∴ DE BC = x x+30 ,则35 50 = x x+30 ,解得 x= 70, (8 分) 则 70+30 = 100(m) . (9 分) 所以小华家到公路的距离为 100m. (10 分) 22. 解:(1)△OCD 是等腰三角形, (1 分) 理由是:∵ △ACB 和△ADB 是直角三角形,且∠ACB = ∠ADB= 90°,O 为 AB 的中点,∴ OC= 1 2 AB,OD= 1 2 AB, ∴ OC=OD,∴ △OCD 是等腰三角形; (3 分) (2)∵ AC=BC,O 是 AB 的中点,∴ OC⊥AB,∴ ∠AOC = 90°, (4 分) Rt△ADB 中,∠ABD = 30°,∴ AD = 1 2 AB,∵ OD = 1 2 AB, ∴ AD=OD,∴ ∠BAD= ∠AOD= 60°, (6 分) ∴ ∠COD= ∠AOD+∠AOC= 150°; (7 分) (3)过点 D 作 DE⊥OC,交 CO 延长线于点 E,∵ ∠COD = 150°,∴ ∠DOE= 30°, (8 分) ∵ OC=OD= 2,∴ DE= 1 2 OD= 1, (9 分) ∴ △COD 的面积= 1 2 OC·DE= 1 2 ×2×1 = 1. (11 分) 23. (1)证明:∵ BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,∴ ∠BDC =∠BEC= 90°. ∵ F 为 BC 边的中点,∴ EF= 1 2 BC,DF = 1 2 BC,∴ EF=DF. (3 分) (2)解:∵ FE=FB=FC =FD,∴ ∠FBE = ∠FEB,∠FCD = ∠FDC. ∵ ∠A= 60°,∴ ∠ABC+∠ACB = 120°,∴ ∠BFE+ ∠DFC= 180°-2∠ABC+180°-2∠ACB= 120°,∴ ∠EFD= 60°. (5 分) ∵ EF=DF,∴ △EFD 是等边三角形. ∵ EF = 1 2 BC = 3,∴ △DEF 的周长为 3×3= 9. (7 分) (3)解: ∵ EC = 2 BF,BF = CF, ∴ EC = 2 2 BC, ∴ cos ∠BCE= 2 2 ,∴ ∠ECB= 45°. (9 分) ∵ BC= 6,∴ EB=EC= 3 2 . ∵ ∠A = 60°,∠AEC = 90°,∴ AE2 +(3 2 ) 2 = (2AE) 2 ,∴ AE = 6 (负值舍去) . ∴ AB = BE+AE= 3 2 + 6 . (10 分) 在 Rt△ADB 中,∵ ∠ABD= 30°,∴ AD= 1 2 AB= 3 2 + 6 2 , (11 分) ∴ S四边形EFDA =S△EDF+S△ADE = 1 2 × 3 2 3 ×3+ 1 2 × 3 2 + 6 2 × 6 × 3 2 = 3 3 + 9 4 . (12 分) 第 24 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B B B D C D C A 1. A　 2. C 3. B　 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于点 D,则∠ADC = ∠ADB = 90°,∵ tanC= 2=AD DC ,sinB= 1 3 =AD AB ,∴ AD= 2DC,AB= 3AD. ∵ AB= 3,∴ AD = 1,DC = 1 2 . 在 Rt△ADC 中,由勾股定理 得:AC= AD2 +DC2 = 12 +( 1 2 ) 2 = 5 2 ,故选 B. 4. B 5. B　 【解析】过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D. ∵ Rt△OAB 的斜 边 OA 在第一象限,并与 x 轴的正半轴夹角为 30°,∴ ∠AOD= 30°,∴ AD= 1 2 OA. ∵ 在 Rt△OAB 中 C 为 OA 的 中点,∴ AD=AC=OC =BC = 1,∴ OA = 2,∴ OD = 3,则点 A 的坐标为( 3,1),故选 B. 6. D　 【解析】由题意知,∠PAB = 30°,∠PBC = 60°,∴ 在 Rt △APC 中,PC=AP·sin30° = 6 3 × 1 2 = 3 3 (千米),AC = PC tan30° = 9(千米),∴ 在 Rt△PBC 中,BC = PC tan60° = 3(千 米),∴ AB=AC-BC= 9-3 = 6(千米),故选 D. 7. C　 8. D　 9. C 10. A　 【解析】过点 A 作 AG⊥CD,交 DC 的延长线于点 G, 过点 B 作 BE⊥CG,垂足为 E,过点 B 作 BF⊥AG,垂足 为 F,则四边形 BFGE 为矩形,∴ FG =BE,∵ AG = 120m, AF=h,∴ FG=BE=(120-h)m,在 Rt△BEC 中,BC= BE sinα = 120-h sinα m. 故选 A. 11. 6　 【解析】如图,∵ Rt △ABC 中,CA = CB,AB= 9 2,∴ CA2 +CB2 = AB2,∴ CA = CB = 9,∵ 在 Rt △ACD 中, tan∠CAD = 1 3 ,∴ CD= 3,∴ BD=BC-CD= 9-3 = 6. 12. 20 2 　 13. 600 3 14. 1 5 　 【解析】延长 AD,过点 C 作 CE⊥AD,垂足为 E,∵ tanB= 5 3 ,即AD AB = 5 3 ,∴ 设 AD = 5x,则 AB = 3x. ∵ ∠CDE = ∠BDA,∠CED = ∠BAD = 90°,∴ △CDE∽△BDA,∴ CE AB =DE AD = 1 2 ,∴ CE = 3 2 x,DE = 5 2 x,∴ AE = 15 2 x,∴ tan ∠CAD=EC AE = 1 5 . 15. 24　 【解析】过 D 点作 DF⊥BC 于点 F,设 EF = xkm,则 DF= xkm,BF= 4 3 xkm,在 Rt△BFD 中,BD= BF2 +DF2 = 5 3 xkm. ∵ D 地在 AB 正中位置,∴ AB = 2BD = 10 3 xkm, ∵ tan∠ABC= 3 4 ,∴ cos∠ABC = 4 5 ,∴ x+ 4 3 x+1 10 3 x = 4 5 ,解 得 x= 3,则 BC = 8km,AC = 6km,AB = 10km,小张某天沿 A→C→E→B→D→A 路线跑一圈,他跑了 8+10+6 = 24 (km) . 16. 解:∵ tanC=AD CD = 6 CD = 3 2 ,∴ CD= 4. (2 分) ∴ BD= 12-4= 8. (3 分) 在 Rt△ABD 中,AB= BD2 +AD2 = 10. (5 分) ∴ cosB=BD AB = 4 5 . (7 分) 17. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,在 Rt△ACD 中,AC= 8 千 米,∠CAD= 30°,∠ADC= 90°,∴ CD = AC·sin∠CAD = 4 千米,AD=AC·cos∠CAD= 4 3千米≈6. 8 千米. (3 分) 在 Rt△BCD 中,CD= 4 千米,∠BDC= 90°,∠CBD= 45°, ∴ ∠BCD= 45°,∴ BD=CD= 4 千米, (6 分) ∴ AB=AD+BD= 6. 8+4≈11(千米) . 故 A、B 两点间的距 离约为 11 千米. (8 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 10 页 18. 解:在 Rt△ABC 中,∵ cosa=AC AB ,∴ AC=AB·cosa, (2 分) 当 a= 50°时,AC=AB·cosa≈6×0. 64 = 3. 84m; (4 分) 当 a= 75°时,AC=AB·cosa≈6×0. 26 = 1. 56m; (6 分) 所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子底端与墙面的距离应该在 1. 56m ~ 3. 84m 之 间,1. 56<2<3. 84, (8 分) 故当梯子底端离墙面 2m 时,此时人能够安全使用这架 梯子. (10 分) 19. 解:设 AD 长为 xm,在 Rt△ABD 中,∠ABD= 45°,∴ BD= x. 则 DC= x+50, (2 分) 在 Rt △ACD 中, ∵ ∠ACD = 30°, ∴ tan30° = AD BD+BC = x x+50 , (6 分) ∴ 3 3 = x x+50 . ∴ x= 25( 3 +1) . 经检验,x = 25( 3 +1)是 原方程的根,∴ 小明家到公路的距离 AD 的长度为 25 ( 3 +1)m. (9 分) 20. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则∠CAD = ∠ACD = 45°, ∴ AD=CD, (2 分) 设 AD= x,则 AC = 2 x,∴ BD = AB-AD = 2 - x,∵ 在 Rt △BCD 中,∠CBD= 60°,tan∠CBD=CD BD ,∴ x 2-x = 3 , (5 分) 解得 x= 3- 3 . (7 分) 经检验,x = 3- 3 是原方程的根. ∴ AC = 2 x = 2 ( 3- 3 )= (3 2 - 6 )km. (9 分) 故船 C 离观测站 A 的距离为(3 2 - 6 )km. (10 分) 21. 解:∵ 在 Rt△CBD 中,∠CBD = 30°,CD = 12m,∴ DB = CD tan30° = 12 3 (m) . (2 分) 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,则 CE=DB= 12 3 m,BE=CD = 12m. (4 分) ∵ 在 A 处测得旗杆 CD 的顶端 C 的俯角为 42°, ∴ ∠ACE= 42°, ∴ AE = CE· tan42° = 12 3 × 0. 9 ≈ 18. 4 (m), (7 分) ∴ AB=BE+AE=CD+AE= 12+18. 4≈30(m) . (9 分) 故楼 AB 的高度约为 30m. (10 分) 22. 解:∵ AB⊥BD,∠BAM= 45°,∴ ∠AMB = ∠BAM,∴ AB = BM= 20 米. ∴ 在Rt△ABM 中,AM= 20 2米, (3 分) 作 AE⊥MC 于点 E,由题意得∠ACM = 45°, ∠CAM = 75°,∴ ∠AMC= 60°, (5 分) ∴ 在 Rt△AME 中,AM = 20 2 米. ∵ sin∠AME = AE AM ,∴ AE= sin60°·20 2 = 3 2 ×20 2 = 10 6米, (7 分) 在 Rt△AEC 中,∠AEC= 90°,∠ACE= 45°,AE= 10 6米, ∴ sin∠ACE= AE AC ,∴ AC = AE sin45° = 20 3 米≈35 米,故两 建筑物顶点 A、C 之间的距离约为 35 米. (10 分) 23. 解:(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险, (1 分) 理由如下:作 AD⊥BC 于点 D,则∠ADB = ∠ADC = 90°, 由题意得:AB= 60,∠BAD= 90°-60° = 30°,∴ BD = 1 2 AB = 30,AD= 3BD= 30 3海里≈51. 9 海里>50 海里, (4 分) ∴ 这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险. (5 分) (2)由(1)得:BD= 30,AD = 30 3 ,∵ BC = 3× 30 = 90(海 里),∴ DC=BC-BD= 90-30 = 60(海里), (8 分) 在 Rt△ADC 中,AC = AD2 +DC2 = (30 3 ) 2 +602 = 30 7 (海里)≈79. 50 海里; (10 分) 故 A,C 之间的距离约为 79. 50 海里. (11 分) 第 24 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A D C A D B A 1. B　 2. C　 3. D　 4. A　 5. D　 6. C　 7. A 8. D　 【解析】由勾股定理得:AB2 = 22 +22 = 8,BC2 = 12 +12 = 2,AC2 = 32 +12 = 10,∴ AB2 +BC2 =AC2,∴ △ABC 是直角三 角形,∠ABC= 90°,∴ sin∠BAC=BC AC = 2 10 = 5 5 . 故选 D. 9. B 10. A　 【解析】∵ 大正方形的面积是 125,小正方形面积是 25,∴ 大正方形的边长为 5 5,小正方形的边长为 5,∴ 5 5 cosθ-5 5 sinθ= 5,∴ cosθ-sinθ = 5 5 ,∴ ( sinθ-cosθ) 2 = 1 5 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】先由两个正方形的面积分别得出其边长,设 AC=BD=a,由勾股定理解得 a 的值,后按照正弦函数和 余弦函数的定义得出 sinθ 和 cosθ 的值,最后代入要求的 式子计算即可. 11. 12 13 　 12. 2 2 13. 12 25 　 【解析】 把 sinα + cosα = 7 5 两边平方得: ( sinα + cosα) 2 = 1 + 2sinαcosα = 49 25 , 即 2sinαcosα = 24 25 , 则 sinαcosα= 12 25 . 14. 6 3海里　 【解析】作 CH⊥AD 于点 H,由题意得,∠CAB = 30°,∠CBH = 60°,∴ ∠ACB = 30°,∴ ∠CAB = ∠ACB, ∴ BC=BA= 24× 1 2 = 12(海里),在Rt△CBH 中,CH =BC ·sin∠CBH= 6 3(海里) . 15. sinβ sinα 　 【解析】在 Rt △ABC 中,AB = AC sinα ,在 Rt △ACD 中,AD= AC sinβ ,∴ AB ∶AD= AC sinα ∶ AC sinβ = sinβ sinα . 16. 解:(1)原式= 3 2 - 1 4 × 3 (2 分) = 3 4 . (4 分) (2)原式= 4× 3 2 -3× 3 3 +2× 2 2 × 2 2 (6 分) = 2 3 - 3 +1 = 3 +1. (8 分) 17. 解:∵ a= 2,sinA= 1 3 ,∴ c= a sinA = 2 1 3 = 6, (4 分) 则 b= c2 -a2 = 62 -22 = 4 2 . (8 分) 18. 解:在 Rt△ABD 中,∠ABD= 30°,AB = 10m,∴ AD = AB· sin∠ABD= 10×sin30° = 5(m). (4 分) 在 Rt△ACD 中,∠ACD = 9°,sin9° = AD AC ,∴ AC = 5 sin9° ≈ 5 0. 156 = 32. 05(m). (8 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 11 页