上册第24章 解直角三角形 追梦阶段测试卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 24 章追梦阶段测试卷(一) 测量、直角三角形的性质及锐角三角函数 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 日常生活情境·飞行距离 如图,有两棵树,一棵高 8m,另一棵高 2m,两树相距 8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢,至少飞行(　 　 ) A. 6m B. 8m C. 10m D. 18m 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如 图, 在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, BC = 1, 则 AB= (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 3 3 D. 1. 5 3. 已知 cosα= 3 4 ,则锐角 α 的取值范围是(　 　 ) A. 0°<α<30° B. 30°<α<45° C. 45°<α<60° D. 60°<α<90° 4. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 5,AC= 12,则 sinB 的值是(　 　 ) A. 5 12 B. 12 5 C. 5 13 D. 12 13 5. 如图,在 Rt△ABC 中,CD、CE 分别是斜边上的中线、高线. 若∠A = 25°,则∠DCE 的大小为(　 　 ) A. 50° B. 40° C. 30° D. 25° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 6. 如图,已知∠AOB= 60°,点 P 在 OA 边上,OP= 8cm,点M、N 在边 OB 上,PM=PN,若 MN= 2cm,则 OM 为(　 　 ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 1cm 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,点 D 在线段 BC 上,且∠B = 30°,∠ADC= 60°,BC= 3,则 BD 的长度为(　 　 ) A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 8. 如图,∠ACB= 90°,CD 是 AB 边上的高,若 AD= 24,BD= 6,则 CD 的长是(　 　 ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 规定:sin ( - x) = - sinx,cos ( - x) = cosx,cos ( x+ y) = cosxcosy- sinxsiny,给出以下四个结论: (1)sin( -30°)= - 1 2 ;　 　 (2)cos2x= cos2x-sin2x; (3)cos(x-y)= cosxcosy+sinxsiny;　 　 (4)cos15°= 6 - 2 4 . 其中正确的结论个数为(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 120°,BC = 2 3 , D 为 BC 的 中 点, AE = 1 4 AB, 则 △EBD 的 面 积为(　 　 ) A. 3 3 4 B. 3 3 8 C. 3 4 D. 3 8 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:tan 260°+2cos45° 2sin260°-cos60° = 　 　 　 　 . 12. △ABC 中,若∠A、∠B 满足 | sinA- 3 2 | +(1-tanB) 2 = 0,则∠C 的度数为　 　 　 　 . 13. 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,∠A = 20°,则 ∠BCD= 　 　 　 　 °. 第 13 题图 　 　 　 　 第 15 题图 14. 已知一直角三角形斜边长为 16,则这个直角三角形斜边上的 中线长为　 　 　 　 . 15. 如图,∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则 cos∠AOB 的值是 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (6 分)计算: (1)2sin30°+3cos60°-4tan45°; (2) cos 230° 1+sin30° +tan260°. 17. (8 分)(1)已知 2sin(A+13°)= 1,求锐角 A 的度数; (2)已知 3tanα- 3 = 0,求锐角 α 的度数. ·71· 18. (9 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 120°,AD⊥AC 交 BC 于点 D,求证:CD= 2AD. 19. (10 分)如图,OG 平分∠MON,点 A 是 OM 边上一点,过点 A 作 AB⊥OG 于点 B,C 为线段 OA 中点,连结 BC. 求证:BC∥ON. 20. 学习情境·活动探究 (9 分)问题背景:在某次活动课中,甲、乙 两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了 测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息. 甲组:如图 1,甲组测得一根直立于平地,长为 80cm 的竹竿的 影长为 60cm; 乙组:如图 2,乙组测得学校旗杆的影长为 900cm; 任务要求:请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的 高度. 21. (10 分)如图,小华家(点 A 处)和公路( l)之间竖立着一块 35m 长且平行于公路的巨型广告牌(DE) . 广告牌挡住了小华的视 线,图中的阴影部分是视点 A 的盲区,将盲区内的那段公路记 为 BC. 一辆以 60km / h 匀速行驶的汽车经过公路段的时间是 3s,已知广告牌和公路的距离是 30m,求小华家到公路的距离. 22. (11 分)如图,等腰直角三角尺△ABC 与 30°三角尺△ABD 斜 边 AB 重合,O 为 AB 的中点,连结 DC. (1)判断△OCD 的形状,并说明理由; (2)求∠COD 的度数; (3)若 CO= 2,求△OCD 的面积. 23. (12 分)如图,在△ABC 中,∠A = 60°,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,F 为 BC 边的中点,连结 EF,DF. (1)求证:EF=DF; (2)若 BC= 6,求△DEF 的周长; (3)在(2)的条件下,若 EC= 2BF,求四边形 EFDA 的面积. ·81· 23. 解:(1)①2 (2 分) ②2 (4 分) 【解析】①当 α= 0°时,AE BD = AC BC = 2,②当 α = 180°时,如 图 1 所示:AE′ BD′ = AC BC = 2. 图 1 　 图 2 　 图 3 (2)旋转过程中,AE BD 的大小无变化, (5 分) ∵ ∠ACE + ∠BCE = ∠BCE + ∠BCD = 90°, ∴ ∠ACE = ∠BCD. AC BC =CE CD ∴ △ACE∽△BCD, (6 分) ∴ AE BD = AC BC = 2, (8 分) 故当 0°≤α<360°时,AE BD 的大小无变化; (9 分) (3)线段 AD 的长为 10 或 6. (11 分) 【解析】当△CED 旋转到如图 2 位置 A,D,C 三点共线 时(BC 右侧),由题意得:AB = 82 +42 = 4 5,由 AC BC = AB BD′ = 2, 得 BD′ = 2 5, 由 勾 股 定 理 得: CD′ = (2 5) 2 -42 = 2,AD′=AC+CD′= 8+2 = 10;当△CED 旋 转到如图 3 位置 A,D,C 三点共线时(BC 左侧),此时, BC=CE=CE′= 4,DE 是△ABC 的中位线,∴ ED =D′E′= 1 2 AB= 2 5,由勾股定理得:CD′= (2 5) 2 -42 = 2,AD′ =AC-CD′= 8-2 = 6,故线段 AD 的长为 10 或 6. 第 24 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D B B B C C B 1. C　 2. A　 3. B　 4. D 5. B　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,CD 是斜边上的中线,∴ CD =AD = 1 2 AB, ∴ ∠DCA = ∠A = 25°, ∴ ∠CDE = ∠A + ∠DCA = 50°. ∵ CE 是斜边上的高线, ∴ CE ⊥ AB, ∴ ∠CED= 90°,∴ ∠DCE= 90°-50° = 40°,故选 B. 6. B　 【解析】过点 P 作 PD⊥OB 于点 D,∵ PM =PN,MN = 2cm,∴ MD = ND = 1cm. ∵ PD⊥OB,∴ ∠PDO = 90°. ∵ ∠POB= 60°,∴ ∠OPD= 30°,∴ OD = 1 2 OP. ∵ OP = 8cm, ∴ OD= 4cm,∴ OM=OD-MD= 3cm,故选 B. 7. B　 8. C 9. C　 【解析】(1) sin(- 30°)= -sin30° = - 1 2 ,故正确;(2) cos2x= cos(x+x) = cosxcosx-sinxsinx = cos2x-sin2x,故正 确;(3)cos(x-y)= cos[ x+(-y)] = cosxcos(-y) -sinxsin (-y)= cosxcosy+sinxsiny,故正确;(4) cos15° = cos(45° - 30°)= cos45° cos30° + sin45° sin30° = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6 + 2 4 ,故错误. 所以正确的结论有 3 个,故选 C. 10. B　 【解析】连结 AD,作 EF⊥BC 于点 F,∵ AB = AC, ∠BAC = 120°,D 为 BC 的中点,∴ AD⊥BC,AD 平分 ∠BAC,∠B = ∠C = 30°. 在 Rt △ABD 中,BD = 1 2 BC = 3,∠B= 30°,∴ AB = BD cos30° = 2. ∴ AD = 1 2 AB = 1. ∵ AE = 1 4 AB,∴ BE AB = 3 4 . ∵ EF⊥BC,AD⊥BC,∴ EF∥AD,∴ △BEF∽△BAD,∴ EF AD = BE AB ,∴ EF 1 = 3 4 ,∴ EF = 3 4 ,∴ S△BDE = 1 2 ×BD×EF= 1 2 × 3 × 3 4 = 3 3 8 ,故选 B. 11. 3+ 2 12. 75°　 【解析】∵ | sinA- 3 2 | +(1-tanB) 2 = 0,∴ sinA- 3 2 = 0,1-tanB = 0,∴ sinA = 3 2 ,tanB = 1,∴ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠C= 180°-∠A-∠B= 75°. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 【解题技巧】根据 | sinA- 3 2 | +(1-tanB) 2 = 0,得到 sinA = 3 2 ,tanB= 1,推出∠A = 60°,∠B = 45°,再根据三角形内 角和求出∠C 的度数. 13. 70　 14. 8 15. 2 2 　 【解析】连接 AB,∵ OA2 = 12 +32 = 10,AB2 = 12 +32 = 10,OB2 = 22 + 42 = 20,∴ OA2 + AB2 = OB2,OA = AB,∴ △AOB 是等腰直角三角形,即∠OAB = 90°,∴ ∠AOB = 45°,∴ cos∠AOB= cos45° = 2 2 . 16. 解:(1)原式= 2× 1 2 +3× 1 2 -4×1 (1 分) = 1+ 3 2 -4 = - 3 2 ; (3 分) (2)原式= ( 3 2 ) 2 1+ 1 2 +( 3 ) 2 (4 分) = 7 2 . (6 分) 17. 解:(1)∵ 2sin(A+13°)= 1,∴ sin(A+13°)= 1 2 , (1 分) ∴ A+13° = 30°, (2 分) ∴ A= 17°,∴ 锐角 A 的度数为 17°; (4 分) (2)∵ 3tanα- 3 = 0,∴ tanα= 3 3 , (6 分) ∴ α= 30°,∴ 锐角 α 的度数为 30°. (8 分) 18. 证明:在△ABC 中,∵ AB=AC,∠BAC= 120°, ∴ ∠B= ∠C= 30°. (3 分) 又∵ AD⊥AC,∴ ∠DAC= 90°. (6 分) ∴ CD= 2AD. (9 分) 19. 证明:∵ OG 平分∠MON,∴ ∠MOG= ∠NOG. (2 分) ∵ AB⊥OG 于点 B,∴ ∠ABO= 90°. (4 分) ∵ C 为线段 OA 中点,∴ BC= 1 2 AO=CO, (6 分) ∴ ∠MOG= ∠CBO,∴ ∠NOG= ∠CBO, (8 分) ∴ BC∥ON. (10 分) 20. 解:由题意可知:∠BAC = ∠EDF = 90°,∠BCA = ∠EFD. ∴ △ABC∽△DEF. (4 分) ∴ AB DE = AC DF ,即 80 DE = 60 900 ,∴ DE= 1200cm = 12m. (8 分) 所以学校旗杆的高度是 12m. (9 分) 21. 解:∵ 60km / h = 50 3 m / s,一辆以 60km / h 匀速行驶的汽车 经过公路段的时间是 3s,则 BC= = 50 3 ×3 = 50m, (4 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 9 页 ∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC,设小华家到广告牌的距 离为 xm,∴ DE BC = x x+30 ,则35 50 = x x+30 ,解得 x= 70, (8 分) 则 70+30 = 100(m) . (9 分) 所以小华家到公路的距离为 100m. (10 分) 22. 解:(1)△OCD 是等腰三角形, (1 分) 理由是:∵ △ACB 和△ADB 是直角三角形,且∠ACB = ∠ADB= 90°,O 为 AB 的中点,∴ OC= 1 2 AB,OD= 1 2 AB, ∴ OC=OD,∴ △OCD 是等腰三角形; (3 分) (2)∵ AC=BC,O 是 AB 的中点,∴ OC⊥AB,∴ ∠AOC = 90°, (4 分) Rt△ADB 中,∠ABD = 30°,∴ AD = 1 2 AB,∵ OD = 1 2 AB, ∴ AD=OD,∴ ∠BAD= ∠AOD= 60°, (6 分) ∴ ∠COD= ∠AOD+∠AOC= 150°; (7 分) (3)过点 D 作 DE⊥OC,交 CO 延长线于点 E,∵ ∠COD = 150°,∴ ∠DOE= 30°, (8 分) ∵ OC=OD= 2,∴ DE= 1 2 OD= 1, (9 分) ∴ △COD 的面积= 1 2 OC·DE= 1 2 ×2×1 = 1. (11 分) 23. (1)证明:∵ BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,∴ ∠BDC =∠BEC= 90°. ∵ F 为 BC 边的中点,∴ EF= 1 2 BC,DF = 1 2 BC,∴ EF=DF. (3 分) (2)解:∵ FE=FB=FC =FD,∴ ∠FBE = ∠FEB,∠FCD = ∠FDC. ∵ ∠A= 60°,∴ ∠ABC+∠ACB = 120°,∴ ∠BFE+ ∠DFC= 180°-2∠ABC+180°-2∠ACB= 120°,∴ ∠EFD= 60°. (5 分) ∵ EF=DF,∴ △EFD 是等边三角形. ∵ EF = 1 2 BC = 3,∴ △DEF 的周长为 3×3= 9. (7 分) (3)解: ∵ EC = 2 BF,BF = CF, ∴ EC = 2 2 BC, ∴ cos ∠BCE= 2 2 ,∴ ∠ECB= 45°. (9 分) ∵ BC= 6,∴ EB=EC= 3 2 . ∵ ∠A = 60°,∠AEC = 90°,∴ AE2 +(3 2 ) 2 = (2AE) 2 ,∴ AE = 6 (负值舍去) . ∴ AB = BE+AE= 3 2 + 6 . (10 分) 在 Rt△ADB 中,∵ ∠ABD= 30°,∴ AD= 1 2 AB= 3 2 + 6 2 , (11 分) ∴ S四边形EFDA =S△EDF+S△ADE = 1 2 × 3 2 3 ×3+ 1 2 × 3 2 + 6 2 × 6 × 3 2 = 3 3 + 9 4 . (12 分) 第 24 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B B B D C D C A 1. A　 2. C 3. B　 【解析】过 A 作 AD⊥BC 于点 D,则∠ADC = ∠ADB = 90°,∵ tanC= 2=AD DC ,sinB= 1 3 =AD AB ,∴ AD= 2DC,AB= 3AD. ∵ AB= 3,∴ AD = 1,DC = 1 2 . 在 Rt△ADC 中,由勾股定理 得:AC= AD2 +DC2 = 12 +( 1 2 ) 2 = 5 2 ,故选 B. 4. B 5. B　 【解析】过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D. ∵ Rt△OAB 的斜 边 OA 在第一象限,并与 x 轴的正半轴夹角为 30°,∴ ∠AOD= 30°,∴ AD= 1 2 OA. ∵ 在 Rt△OAB 中 C 为 OA 的 中点,∴ AD=AC=OC =BC = 1,∴ OA = 2,∴ OD = 3,则点 A 的坐标为( 3,1),故选 B. 6. D　 【解析】由题意知,∠PAB = 30°,∠PBC = 60°,∴ 在 Rt △APC 中,PC=AP·sin30° = 6 3 × 1 2 = 3 3 (千米),AC = PC tan30° = 9(千米),∴ 在 Rt△PBC 中,BC = PC tan60° = 3(千 米),∴ AB=AC-BC= 9-3 = 6(千米),故选 D. 7. C　 8. D　 9. C 10. A　 【解析】过点 A 作 AG⊥CD,交 DC 的延长线于点 G, 过点 B 作 BE⊥CG,垂足为 E,过点 B 作 BF⊥AG,垂足 为 F,则四边形 BFGE 为矩形,∴ FG =BE,∵ AG = 120m, AF=h,∴ FG=BE=(120-h)m,在 Rt△BEC 中,BC= BE sinα = 120-h sinα m. 故选 A. 11. 6　 【解析】如图,∵ Rt △ABC 中,CA = CB,AB= 9 2,∴ CA2 +CB2 = AB2,∴ CA = CB = 9,∵ 在 Rt △ACD 中, tan∠CAD = 1 3 ,∴ CD= 3,∴ BD=BC-CD= 9-3 = 6. 12. 20 2 　 13. 600 3 14. 1 5 　 【解析】延长 AD,过点 C 作 CE⊥AD,垂足为 E,∵ tanB= 5 3 ,即AD AB = 5 3 ,∴ 设 AD = 5x,则 AB = 3x. ∵ ∠CDE = ∠BDA,∠CED = ∠BAD = 90°,∴ △CDE∽△BDA,∴ CE AB =DE AD = 1 2 ,∴ CE = 3 2 x,DE = 5 2 x,∴ AE = 15 2 x,∴ tan ∠CAD=EC AE = 1 5 . 15. 24　 【解析】过 D 点作 DF⊥BC 于点 F,设 EF = xkm,则 DF= xkm,BF= 4 3 xkm,在 Rt△BFD 中,BD= BF2 +DF2 = 5 3 xkm. ∵ D 地在 AB 正中位置,∴ AB = 2BD = 10 3 xkm, ∵ tan∠ABC= 3 4 ,∴ cos∠ABC = 4 5 ,∴ x+ 4 3 x+1 10 3 x = 4 5 ,解 得 x= 3,则 BC = 8km,AC = 6km,AB = 10km,小张某天沿 A→C→E→B→D→A 路线跑一圈,他跑了 8+10+6 = 24 (km) . 16. 解:∵ tanC=AD CD = 6 CD = 3 2 ,∴ CD= 4. (2 分) ∴ BD= 12-4= 8. (3 分) 在 Rt△ABD 中,AB= BD2 +AD2 = 10. (5 分) ∴ cosB=BD AB = 4 5 . (7 分) 17. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,在 Rt△ACD 中,AC= 8 千 米,∠CAD= 30°,∠ADC= 90°,∴ CD = AC·sin∠CAD = 4 千米,AD=AC·cos∠CAD= 4 3千米≈6. 8 千米. (3 分) 在 Rt△BCD 中,CD= 4 千米,∠BDC= 90°,∠CBD= 45°, ∴ ∠BCD= 45°,∴ BD=CD= 4 千米, (6 分) ∴ AB=AD+BD= 6. 8+4≈11(千米) . 故 A、B 两点间的距 离约为 11 千米. (8 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 10 页