上册第21章 二次根式 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 21 章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 要使代数式 x -4 3 有意义,x 的取值应满足(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x≥4 B. x>4 C. x<4 D. x≠3 2. 下列各式 5a3 , a2 -b2 , 15 , x 2 , 12x , x 3 中,最简二次根 式有(　 　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 3. 若 63n是整数,则正整数 n 的最小值是(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 20 = 2 10 B. 2a + 3a = 5a C. 8 + 18 2 = 4 + 9 D. 2 2 × 3 = 2 6 5. 设 a = 6 1 3 , b = 1 2- 3 , c = 3 + 2 , 则 a, b, c 的 大 小 关 系是(　 　 ) A. b>c>a B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b 6. 若 a= 3b-1 - 1-3b +6,则 ab 的算术平方根是(　 　 ) A. 2 B. 2 C. ± 2 D. 4 7. 若 6 - 13 的整数部分为 x,小数部分为 y,则( 2x+ 13 ) y 的 值是(　 　 ) A. 5-3 13 B. 3 C. 3 13 -5 D. -3 8. 等腰三角形的两边长分别是 2 2 和 5 3 ,那么这个三角形的周 长是(　 　 ) A. 4 2 +5 3 B. 2 2 +10 3 C. 4 2 +10 3 D. 2 2 +10 3或 4 2 +5 3 9. 如图,在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 25 和 12 的两 张正方形纸片,则图中空白部分的面积为(　 　 ) A. 25-10 3 B. 13-5 3 C. -12+10 3 D. 5+5 3 10. 中考新趋势·新定义 对于任意的正实数 m、n 定义新运算∗为: m ∗ n = m - n (m≥n), m + n (m<n) .{ 计 算 ( 3 ∗ 2 ) × ( 8 ∗ 12 ) 的 结 果为(　 　 ) A. 2-4 6 B. 2 C. 2 5 D. 20 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 中考新趋势·开放性试题 写出一个能使 x-2有意义的 x 的值: = 　 　 　 　 . 12. 当二次根式 3x-9的值最小时,x= 　 　 　 　 . 13. 注重数形结合 在数轴上表示实数 a 的点如图所示, 化简 (a-5) 2 + | a-2 |的结果为　 　 　 　 . 14. 已知 a= 2+ 5 ,b= 5 -2,则 a2 +b2 = 　 　 　 　 . 15. 学习生活情境·探究注意力 观察下面的式子: 1+ 1 3 = 2 1 3 , 2+ 1 4 = 3 1 4 , 3+ 1 5 = 4 1 5 …… 请你将发现的规律用含正整数 n(n≥1)的等式表示出来是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)3 18 × 3 6 ÷2 6 ;　 　 　 (2)( 2 +1)( 2 -1) + 2 × 8 . 17. (8 分)先化简,再求值:已知 a= 1 5 -2 ,b= 1 5 +2 ,求 a2 +b2 -2 . 18. (9 分)(1)已知 x-4 的平方根为±2,x+2y+7 的立方根是 3,求 x+y 的平方根; (2)已知 b= a 2 -4 + 4-a2 a-2 -1,求(a-b) 3 . 19. 日常生活情境·观测距离 (9 分) “欲穷千里目,更上一层楼”, 说的是登得高看得远,如图,若观测点的高度为 h(单位:km), 观测者能看到的最远距离为 d(单位:km),则 d≈ 2hR ,其中 R 是地球半径,通常取 6 400 km. (1)小红站在海边的一块岩石上,眼睛离海平面的高度 h 为 5 m,她观测到远处一艘船刚露出海平面,求此时观测者能看到 的最远距离 d 约是多少千米? (2) 判断下面说法是否正确, 并说明理由; 泰山海拔约为 1 500m,泰山到海边的最小距离约 230km,天气晴朗时站在泰 山之巅可以看到大海. ·5· 20. (10 分)已知 M = x +y x - y - 2xy x y -y x ,N = 3 x -2 y x+y + y-x . 甲、乙两个 同学在 y = x-8 + 8-x + 18 的条件下分别计算了 M 和 N 的 值. 甲说 M 的值比 N 大,乙说 N 的值比 M 大,请你判断他们谁 的结论是正确的,并说明理由. 21. 学习生活情境·探究推理 (10 分)一天,蚊子落在狮子的身上对 它说:“狮子,别看你高大威猛,而实际上我们俩的体重相同!” 狮子不屑一顾地对蚊子说:“别瞎说了,那怎么可能!”蚊子不 慌不忙地说:“不信,我给你证明一下…”说着,蚊子便在地上 写出了证明过程. 证明:设蚊子重 m 克,狮子重 n 克. 又设 m+n= 2a,则有 m-a=a -n. 两边平方得(m-a) 2 = (a-n) 2 . ∵ (a-n) 2 = (n-a) 2, ∴ ( m - a ) 2 = ( n - a ) 2, 两 边 开 平 方 得 (m-a) 2 = (n-a) 2 ,∴ m- a = n - a①, ∴ m = n,即蚊子与狮子一 样重. 请判断蚊子的证明是否正确,并说明理由. 22. 数学文化情境·秦九韶公式 (10 分)阅读与计算:请阅读以下材 料,并完成相应的任务. 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角 形的三边求三角形面积的“海伦公式”:如果一个三角形的三 边长 分 别 为 a、 b、 c, 设 p = a +b+c 2 , 则 三 角 形 的 面 积 S = p(p-a)(p-b)(p-c) . 我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面 积的“秦九韶公式”(三斜求积术):如果一个三角形的三边长 分别为 a、b、c,则三角形的面积 S= 1 4 [a2b2 -(a 2 +b2 -c2 2 ) 2] . (1)若一个三角形的三边长分别是 5,6,7,则这个三角形的面 积等于　 　 　 　 . (2)若一个三角形的三边长分别是 5 、 6 、 7 ,求这个三角形的 面积. 23. (11 分)阅读下面材料,然后解答下列问题:在进行代数式化简 时,我们有时会碰上如 5 3 , 2 3 +1 这样的式子,其实我们还可以将 其进一步化简: (一) 5 3 = 5× 3 3 × 3 = 5 3 3 ; (二) 2 3 +1 = 2×( 3 -1) ( 3 +1)( 3 -1) = 2( 3 -1) ( 3 ) 2 -1 = 3 -1; (三) 2 3 +1 = 3-1 3 +1 = ( 3 ) 2 -12 3 +1 = ( 3 +1)( 3 -1) 3 +1 = 3 -1. 以上这种化简的方法叫分母有理化. (1)请用不同的方法化简 2 5 + 3 : ①参照(二)式化简 2 5 + 3 ; ②参照(三)式化简 2 5 + 3 . (2)化简: 1 3 +1 + 1 5 + 3 + 1 7 + 5 +􀆺+ 1 99 + 97 . ·6· 18. 解:矩形木板面积 S矩 = 220π × 55π = 110π, (3 分) 圆形木板面积 S圆 =S矩 = 110π,S圆 = πr 2 = 110π, (5 分) 所以 r2 = 110. ∵ r>0,∴ r= 110 . (8 分) 19. 解:(1)长方形的周长:2×(a+b)= 2×( 3 2 12 + 1 2 48 ) (2 分) = 2×(3 3 +2 3 )= 10 3 ; (4 分) (2)设正方形的边长为 c,则由题意可得 3 2 12 × 1 2 48 = c2 , (6 分) c2 = 18,c= ±3 2 (负值舍去),∴ 正方形的周长:4×3 2 = 12 2 . (9 分) 20. 解:(1) 2 (3 分) (2)∵ 1 2+ 3 = 2- 3 ,∴ 2+ 3m= 2- 3 , (6 分) 解得 m= -1,∴ m 的值是-1. (9 分) 21. 解:(1)因为 B 点到 A 点有 2 个单位长度,且点 A 在点 B 的右边,所以 m= 2- 3 . (3 分) (2)原式= | 1-2+ 3 | + 3 (2- 3 +6)+4 = 3 -1+8 3 -3+4 (6 分) = 9 3 . (9 分) 22. 解:(1) S△ABC = 1 2 ·BC·AC = 1 2 ( 10 + 2 ) ( 10 - 2 )= 4; (3 分) (2)在 Rt△ABC 中,AB2 =BC2 +AC2 , ∴ AB2 = ( 10 + 2 ) 2 +( 10 - 2 ) 2 = 24, (5 分) ∴ AB= 24 = 2 6 ; (6 分) (3)∵ 1 2 AB·CD= 4, (7 分) ∴ AB 边上的高 CD= 4 ×2 2 6 = 2 6 3 . (10 分) 23. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (4 分) (2)①4　 2 (6 分) ②由(1)可得 a=m2 +3n2 ,b= 2mn= 4,∴ mn= 2. ∵ a,m,n 均为正整数,∴ m= 1,n= 2 或 m= 2,n= 1. (8 分) ∴ 当 m= 1,n= 2 时,a=m2 +3n2 = 1+3×22 = 13;当 m= 2,n = 1 时,a=m2 +3n2 = 4+3×12 = 7. 综上,正整数 a 的值为 13 或 7. (10 分) 第 21 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D D B B B B C B 1. A　 2. A 3. D　 【解析】 63n = 3×3×7×n,当 63n为整数时,正整 数 n 最小值为 7,故选 D. 4. D　 5. B　 6. B　 7. B 8. B　 【解析】①当 2 2 为腰长时,2 2 + 2 2 = 4 2 = 32, 5 3 = 75,即 2 2 +2 2 <5 3,即 2 2,2 2,5 3 不能构 成三角形;②当 5 3为腰长时,5 3 +2 2 >5 3,则此时周 长为:5 3 +5 3 +2 2 = 10 3 +2 2,故选 B. 9. C　 【解析】空白部分的长为 12 = 2 3,宽为 25 - 12 = 5-2 3,空白部分的面积为 2 3 ×(5-2 3 )= 10 3 -12. 故选 C. 10. B　 【解析】∵ 3>2,∴ 3∗2 = 3 - 2 . 又∵ 8<12,∴ 8∗12 = 8 + 12 = 2( 2 + 3 ) . ∴ (3∗2) ×(8∗12)= ( 3 - 2)×2×( 3 + 2)= 2. 故选 B. 11. 3(答案不唯一)　 12. 3 13. 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】通过数轴得出 a 与 5,2 的大小关系,再化简 代数式. 14. 18　 【解析】当 a = 2+ 5,b = 5 - 2,原式 = 9+ 4 5 + 9- 4 5 = 18. 15. n+ 1 n+2 = (n+1) 1 n+2 16. 解:(1)原式= 3× 1 6 ÷2× 18×3÷6 = 1 4 × 9 = 3 4 ; (4 分) (2)原式= 2-1+ 16 = 1+4 = 5; (8 分) 17. 解:a= 1 5 -2 = 5 +2, (3 分) b= 1 5 +2 = 5 -2, (5 分) a2 +b2 -2 = ( 5 +2) 2 +( 5 -2) 2 -2 = 16 = 4. (8 分) 18. 解:(1)由题意知 x-4 = (±2) 2 = 4,x+2y+7 = 33 = 27, 解得 x= 8,y= 6, (3 分) 所以± x+y = ± 8+6 = ± 14 . (5 分) (2)由题意得 a2 - 4≥0,4-a2 ≥0 且 a- 2≠0,所以 a = -2,b= -1, (8 分) 所以(a-b) 3 = (-2+1) 3 = -1. (9 分) 19. 解:( 1) 由 R = 6 400 km,h = 5 m = 0. 005 km,得 d≈ 2×0. 005×6 400 = 8(km),即此时观测者能看到的最 远距离 d 约是 8 km. (4 分) (2)说法是错误, (5 分) 理由:站在泰山之巅,人的身高忽略不计,此时, h = 1. 5km,则 d2 = 2 × 1. 5 × 6400 = 19200,2302 = 52900, ∵ 19200<52900,∴ d<230,∴ 天气晴朗时站在泰山之巅看 不到大海. (9 分) 20. 解:乙的结论正确,理由如下:由 y = x-8 + 8-x + 18 可得 x= 8,y= 18, (2 分) 因此 M= x +y x - y - 2xy xy( x - y) = ( x - y) 2 x - y = x - y (5 分) = 8 - 18 = - 2 ,N= 3 8 -2 18 26 + 10 = 0, (8 分) 所以 M<N,即 N 的值比 M 大,乙的结论是正确的. (10 分) 21. 解:蚊子的证明不正确, (2 分) ①式有误,由于算术平方根非负,由题设应有关系式 m <a<n, (4 分) ∴ m-a<0,n-a>0,∴ (m-a) 2 = -(m-a), (n-a) 2 = n-a, (6 分) ∴ -(m-a)= n-a, (8 分) 仍为 m+n= 2a. ∴ 蚊子的证明是不正确的. (10 分) 22. 解:(1)6 6 (2 分) ( 2 ) S = 1 4 [a2b2 -( a2 +b2 -c2 2 ) 2 ] = 1 4 ×[( 5 ) 2 ×( 6 ) 2 -( ( 5 ) 2 +( 6 ) 2 -( 7 ) 2 2 ) 2 ] (6 分) = 1 4 ×(30-4) = 26 2 . 即这个三角形的面积是 26 2 . (10 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 2 页 23. 解:(1)①原式= 2 ×( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) = 2( 5 - 3 ) ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 = 5 - 3 . (3 分) ②原式= 5 -3 5 + 3 = ( 5 ) 2 -( 3 ) 2 5 + 3 = ( 5 + 3 )( 5 - 3 ) 5 + 3 = 5 - 3 . (6 分) (2)原式= 3 -1 2 + 5 - 3 2 + 7 - 5 2 +􀆺+ 99 - 97 2 (9 分) = 99 -1 2 = 3 11 -1 2 . (12 分) 第 22 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B D D A C B C D 1. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1)方程是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理 后未知数的最高次数是 2. 2. A　 3. B　 4. D　 5. D 6. A　 【解析】由 a2 +b2 -11 = 0 得 a2 = 11-b2,所以 11-b2 -5b -5 = 0,解得 b1 = 1,b2 = -6,当 b = -6 时,a 2 = -25(舍去), 故选 A. 7. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】方程 ax2 +bx+c= 0,(a≠0)的两个根 x1,x2 存 在以下关系 x1 +x2 = - b a ,x1x2 = c a . 8. B　 【解析】由题意得 Δ=[-(k+3)] 2 -4× 1 2 k×6 = 0,解得 k= 3,此时方程 1 2 kx2 -( k+ 3) x+ 6 = 0 的根为 x1 = x2 = 2, △ABC 周长为 2+2+3 = 7,故选 B. 9. C　 【解析】设小正方形边长为 a,根据题意得(28- 2a) (20-2a)= 180,解得 a1 = 19(舍去),a2 = 5,故选 C. 10. D　 【解析】因为实数 m,n 满足 m2 -7m+2 = 0,n2 -7n+2 = 0,所以 m,n 为一元二次方程 x2 -7x+2 = 0 的两个实数 根. 当 m=n 时, n m + m n = 2;当 m,n 为一元二次方程 x2 - 7x+2 = 0 的两个不相等的实数根时,m+n = 7,mn = 2,所 以 n m + m n = (m+n) 2 -2mn mn = 7 2 -2×2 2 = 45 2 . 综上所述 n m + m n 的值是 2 或45 2 ,故选 D. 11. 5(答案不唯一)　 12. x(x+20)= 200 13. -2　 【解析】由题可知 x2 +mx+1 = x2 +x+m,解得 x = 1,代 入任一方程,得 m= -2. 14. 13　 【解析】解题中方程得 x1 = 2,x2 = 4,根据三角形三 边关系,第三边只能为 4,此时周长为 13. 15. k>4　 【解析】方程有四个不同的解,则 Δ = k2 -16>0,解 得 k<-4 或 k>4,当 k<-4 时,x2 -k | x | +4>0,所以 k>4. 16. 解:(1)方程两边同除以 9,得(x-2) 2 = 121 9 , (1 分) 直接开方,得 x-2 = ±11 3 , (3 分) 即 x1 = 17 3 ,x2 = - 5 3 . (4 分) (2)方程两边都加 5,得 x2 -4x+4 = 5,即 (x-2) 2 = 5, (5 分) 直接开方,得 x-2 = ± 5 , (7 分) 即 x1 = 5 +2,x2 = - 5 +2. (8 分) 17. 解:(1)根据题意得 Δ= (2k-1) 2 -4(k2 -1)≥0, (1 分) 化简得-4k+5≥0,即 k≤ 5 4 . (3 分) (2)由题可知 x1 +x2 = 1-2k,x1 ·x2 = k 2 -1, (5 分) ∴ x21 +x 2 2 = (x1 +x2 ) 2 -2x1x2 = 16+x1x2 . 即(1-2k) 2 -2(k2 -1)= 16+k2 -1, (6 分) 化简得(k-2) 2 = 16,∴ k1 = -2,k2 = 6. ∵ k≤ 5 4 ,∴ k= -2. (8 分) 18. 解:(1)∵ x☆4 = 20,∴ 4x2 +4 = 20,即 x2 = 4,解得 x1 = 2, x2 = -2; (4 分) (2)∵ 2☆a 的值小于 0,∴ 22 ×a+a= 5a<0,解得 a<0. (6 分) 在方程 2x2 -bx+a= 0 中,Δ = ( -b) 2 -8a = b2 -8a>0,∴ 方 程 2x2 -bx+a= 0 有两个不相等的实数根. (9 分) 19. (1)证明:∵ 在 mx2 -2x+2-m= 0 中, Δ= b2 -4ac= 4-4m(2-m)= 4m2 -8m+4 = 4(m-1) 2 ≥0, (2 分) ∴ 不论 m 为何值,方程总有实数根. (4 分) (2)解:原方程可转化为(x-1)(mx-2+m)= 0,∴ x1 = 1, x2 = 2-m m = 2 m -1. (6 分) 要使 x1 ,x2 均为整数, 2 m 必为整数,∴ m 只能取±1 和± 2, (7 分) 当 m= 1 时,Δ= 4(m-1) 2 = 0,此时方程有两个相等的实 根,舍去. ∴ m 的值为-1、-2 或 2. (9 分) 20. 解:(1)设 CF 的长为 xm,则 CD= 65 -x 2 (m), (2 分) 由题意得,x·65 -x 2 = 450, (4 分) 解得 x1 = 20,x2 = 45(舍去),∴ CF= 20m. (5 分) (2)设 BF 的长为 ym,则 AD= 65 -y-25-y 2 = 20-y(m), (7 分) 由题意得,(25+y)(20-y)= 450, (9 分) 解得 y1 = 5,y2 = -10(舍去),∴ BF= 5m. (10 分) 21. 解:(1)设购买 A 树苗 x 棵,B 树苗 y 棵. 根据题意,得 x+y= 100 40x+35y= 3800{ , (3 分) 解得 x= 60 y= 40.{ 即购买的 A 树苗 60 棵,B 树苗 40 棵. (5 分) (2)依题意,得(40-a) (60+ 2a) +(35-a) (40+ 3a) = 3800+300,整理得 a2 - 17a+ 60 = 0,解得 a1 = 5,a2 = 12 (不符合题意,舍去) (8 分) 60+2a+40+3a= 125(棵) . 即该小区实际购买 A、B 树苗 共 125 棵. (10 分) 22. 解:(1) b a 　 c a (4 分) (2) -b- b2 -4ac 2a 　 -b+ b2 -4ac 2a (6 分) (3)∵ a= 2,b= 3m,c =m2 ,∴ 方程 2x2 +3x-1 = 0 的两根 之和为- b a = -3m 2 ,两根之积为 c a =m 2 2 (8 分) ∵ 两根之和与两根之积的和等于 2,∴ - 3m 2 +m 2 2 = 2,解 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 3 页