上册第21章 二次根式 追梦阶段测试卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年九年级全一册数学（华东师大版）

第 21 章追梦阶段测试卷(二) 二次根式的除法及二次根式的加减 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分: 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列二次根式,化简后能与 3合并的是(　 　 ) A. 6 B. 15 C. 21 D. 12 2. 计算(2 5 +5 2 ) × 1 5 的值应在(　 　 ) A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间 3. 化简( 5 -2) 2 025·( 5 +2) 2 026 的结果为(　 　 ) A. 1 B. 5 +2 C. 5 -2 D. - 5 -2 4. 跨学科试题·物理 电流通过导线时会产生热量,电流 I(单位: A)、导线电阻 R(单位:Ω)、通电时间 t(单位:s)与产生的热量 Q (单位:J)满足 Q= I2Rt. 已知导线的电阻为 2Ω,1s 时间导线产生 50J 的热量,电流 I 的值是(　 　 ) A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 5. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 2和 18不能合并 B. 只有根指数为 2 的根式才能合并 C. 8和 80可以合并 D. 被开方数相同的二次根式可以合并 6. 学习生活情境·注重数形结合 若 a+ 12 = 27 ,则表示实数 a 的 点会落在数轴的(　 　 ) A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 7. 学习生活情境·注重运算能力 若 x 为实数,在“( 3 + 1) □x” 的 “□”中添上一种运算符号(在“+,-,×,÷”中选择)后,其运算的 结果为有理数,则 x 不可能是(　 　 ) A. 3 +1 B. 3 -1 C. 2 3 D. 1- 3 8. 若(a-3) 2 与 75-b互为相反数,则 b a 的值为(　 　 ) A. 25 B. 1 5 C. 5 D. -5 9. 设 a= 5 -2,则代数式 a3 +4a2 -a+6 的值为(　 　 ) A. 6 B. 4 C. 2 5 +2 D. 2 5 -2 10. 如果最简根式 3a-8 与 17-2a 是同类二次根式, 那么使 4a-2x有意义的 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≥10 B. x≤10 C. x<10 D. x>10 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 把 20 15 化成最简二次根式的结果是　 　 　 　 . 12. 化简:- 3 × ( -24) ×( -2) = 　 　 　 　 . 13. 中考新趋势·新定义 规定运算:a⊗b= a - b ,a☉b= a + b ,其 中 a,b 为任意实数,则(3⊗5)(3☉5)= 　 　 　 　 . 14. 已知直角三角形的三边长分别是 5 , 3 , x , 则 x 的值 是　 　 　 　 . 15. 如图,从一个矩形中截去面积分别为 2cm2 和 8cm2 的两个正方形,则剩下的两个小矩形的面 积之和(图中阴影部分的面积)为　 　 　 　 cm2 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (12 分)化简或计算: (1)( 2 5 + 10 ) × 15 ; (2) 48 + 1 2 + 3 16 - 50 ; (3)2x 3y · 2x 3y3 ·(4x 9xy ) ÷(4x2y 3x 2 y ) . 17. (8 分)等腰三角形的一边长为 2 3 ,周长为 4 3 +7,求这个等 腰三角形的腰长. 18. (8 分)现有一块长为 220π ,宽为 55π的矩形木板,现要做一 个面积与矩形相等的圆形木板,求该圆的半径. ·3· 19. (9 分)已知长方形的长为 a,宽为 b,且 a= 3 2 12 ,b= 1 2 48 . (1)求长方形的周长; (2)当 S长方形 =S正方形时,求正方形的周长. 20. 中考新趋势·新定义 (9 分)定义:若两个二次根式 a,b 满足 a ·b= c,且 c 是有理数,则称 a 与 b 是关于 c 的共轭二次根式. (1)若 a 与 2是关于 2 的共轭二次根式,则 a= 　 　 　 　 ; (2)若 2+ 3与 2+ 3m 是关于 1 的共轭二次根式,求 m 的值. 21. 学习生活情境·注重数形结合 (9 分)如图,一只蚂蚁从 B 点沿数轴向右爬行 2 个单位长度到达 A 点,若点 B 表示的数为- 3 ,设点 A 所表示的数为 m. (1)求 m 的值; (2)求 | 1-m | + 3 (m+6) +4 的值. 22. (10 分)已知:如图,在直角三角形 ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 10 + 2 ,BC= 10 - 2 ,求: (1)直角三角形 ABC 的面积; (2)斜边 AB 的长; (3)求 AB 边上的高. 23. 学习生活情境·注重阅读理解 (10 分)阅读材料:小华在学习二 次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平 方,如 3+2 2 = (1+ 2 ) 2 . 善于思考的小华进行了以下探索: 设 a+b 2 = (m+n 2 ) 2(其中 a,b,m,n 均为整数), 则有 a+b 2 =m2 +2n2 +2mn 2 . ∴ a=m2 +2n2,b= 2mn. 这样小华就找到了一种类似把 a+b 2 的式子化为平方式的 方法. 请你仿照小华的方法探索并解决下列问题. (1)a,b,m,n 均为正整数,若 a+b 3 = (m+n 3 ) 2,用含 m,n 的 式子分别表示 a,b,则 a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ; (2)当 a,b,m,n 均为正整数时,利用(1)中探索的结论解答下 面问题: ①若 a+b 3 = (1+ 3 ) 2,则 a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ; ②若 a+4 3 = (m+n 3 ) 2,求正整数 a 的值. ·4· 　 　 答案详解详析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第 21 章追梦阶段测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C C B D D B C 1. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】一般地,我们把形如 a (a≥0)的式子叫做 二次根式. 即 3-m≥0. 2. D　 3. B　 4. C 5. C　 【解析】(1) (-2) 2 = 4 = 2,判断错误. 正确的有 3 个. 故选 C. 6. B　 7. D　 8. D 9. B　 【解析】由定义,得( 3+1)※( 3-1)= 4×( 3 +1)×( 3 - 1)= 8.故选 B. 10. C　 【解析】由 3x-3<2(1+x)得 x<5,所以当 0<a +2 5 ≤1 时,不等式组有四个整数解,得-2<a≤3,又因为 a≠1, 且 a≤2 得出-2<a≤2,且 a≠1,所以所有整数 a 的值和 为-1+0+2 = 1. 故选 C. 11. 2 3 　 12. 3 13. x>-1 且 x≠1　 【解析】由 x+1>0 得 x>-1,由 x-1≠0 得 x≠1,所以 x>-1 且 x≠1. 14. 5≤a≤6　 【解析】由题可知(a-5)(6-a)≥0 且 a-5≥ 0,6-a≥0,所以 5≤a≤6. 15. -b 　 【解析】由数轴得 a> 0 > b, | b | > | a | ,则原式 = -(a+b)+(a-b)+b= -b. 16. 解:(1)原式= 12× 8 27 = 4 2 3 ; (4 分) (2)原式= 8× 27 4 ×169 = 2×27×132 = 39 6 . (8 分) 17. 解:(1)原式= 6x2 +2xy-8y2 -6xy+8y2 -6x2 = -4xy (3 分) = -4 2 × 6 = -8 3 ; (5 分) (2)原式=a2 -( 3 ) 2 -a2 +3a= 3a-3 (8 分) = 3×( 3 3 +1)-3 = 3 . (10 分) 18. 解:(1)二　 a2 = | a | = -a(a<0) (4 分) (2)∵ x<2,∴ x-2<0,4-x>0,∴ 原式 = 2-x+4-x (6 分) = 6-2x. (9 分) 19. 解:因为 a、b、c 为△ABC 三边长,所以 b+c-a>0,c-b-a< 0,a+b+c>0. (3 分) 原式= | a+b+c | - | b+c-a | + | c-b-a | (6 分) 　 　 =a+b+c-b-c+a-c+b+a= 3a+b-c. (9 分) 20. 解:80 20 ×3 45 = 7 200(平方米),答:这块实验基地 的面积为 7 200 平方米. (9 分) 21. 解:(1) 4×4 = 4 · 4 (3 分) (2) ab = a· b (6 分) (3) 81×144 = 81 × 144 = 9×12 = 108. (10 分) 22. 解:(1)∵ b-5≥0,5-b≥0,∴ b= 5. (2 分) ∴ | a- 7 | +(c-4 2 ) 2 = 5-5 + 5-5 = 0. ∴ a= 7 ,b = 5,c= 4 2 . (4 分) (2)以 a、b、c 为边能构成三角形. (6 分) ∵ a2 +b2 = 7+25 = 32 = c2 ,∴ 此三角形是直角三角形,c 为 斜边. (8 分) ∴ S= 1 2 ab= 1 2 ×5× 7 = 5 7 2 . (10 分) 23. 解:(1)∵ 4+2 3 = 3+1+2 3 = ( 3 ) 2 +2× 3 +12 = ( 3 + 1) 2 , (2 分) ∴ 4+2 3 = ( 3 +1) 2 = 3 +1; (5 分) (2 ) ∵ 8 - 4 3 = 2 ( 4 - 2 3 ) = 2 ( 3 + 1 - 2 3 ) = 2[( 3 ) 2 -2 3 +12 ] = 2( 3 -1) 2 , (8 分) ∴ 8-4 3 = 2( 3 -1) 2 = 6 - 2 . (10 分) 第 21 章追梦阶段测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B B D B C C A B 1. D　 2. B　 3. B　 4. B 5. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【概念回顾】可以合并的二次根式,即被开方数相同的二 次根式. 合并被开方数相同的二次根式实际上就是合并 同类二次根式. 6. B　 【解析】∵ a+ 12 = 27,即 a = 27 - 12 = 3 3 - 2 3 = 3,∵ 1< 3 <2,即 1<a<2,故实数 a 的点会落在数 轴的段②上. 故选 B. 7. C 8. C　 【解析】由题意得( a- 3) 2 + 75-b = 0,则 a- 3 = 0, 75-b = 0,∴ a= 3,b= 75. 即 b a = 5. 故选 C. 9. A　 【解析】a3 +4a2 -a+6 =a(a2 +4a-1)+6 =( 5 -2)[( 5 -2) 2 +4 5 -8-1]+6 = 6,故选 A. 10. B　 【解析】由题意得 3a-8 = 17-2a,解得 a= 5,∴ 4a-2x = 20-2x,∵ 4a-2x有意义,∴ 20-2x≥0,解得 x≤10, 故选 B. 11. 2 3 3 　 12. -12　 13. -2 14. 2 或 8　 【解析】根据题意知( 5 ) 2 +( 3 ) 2 = ( x ) 2 或 ( x) 2 +( 3) 2 =( 5) 2,所以 x 的值是 2 或 8. 15. 2　 【解析】由题易知大正方形边长为 8 = 2 2 cm,小正 方形边长为 2 cm,所以两个小矩形的面积之和 = 2 × (2 2 - 2)= 2(cm2) . 16. 解:(1)原式= ( 10 5 + 10 )× 15 = 6 +5 6(2 分) = 6 6 ; (4 分) (2)原式= 4 3 + 2 2 + 3 4 -5 2 (6 分) = 17 4 3 - 9 2 2 ; (8 分) (3)原式 = 2x 3y · 2x y 3y ·4x· 3 xy ÷ ( 4x2y· x 3 y ) = 8 2 x3 3 y2 · y 4 3 x3y (10 分) = 2 2y 3y3 . (12 分) 17. 解:当 2 3作为腰长时,底边是 4 3 + 7- 2× 2 3 = 7,∵ 2 3 +2 3 <7,此时不能组成三角形; (4 分) 当 2 3是底边长时,腰长为(4 3 +7-2 3 ) ÷2 = 3 + 7 2 , 能组成三角形,综上所述这个三角形的腰长是 3 + 7 2 . (8 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 1 页 18. 解:矩形木板面积 S矩 = 220π × 55π = 110π, (3 分) 圆形木板面积 S圆 =S矩 = 110π,S圆 = πr 2 = 110π, (5 分) 所以 r2 = 110. ∵ r>0,∴ r= 110 . (8 分) 19. 解:(1)长方形的周长:2×(a+b)= 2×( 3 2 12 + 1 2 48 ) (2 分) = 2×(3 3 +2 3 )= 10 3 ; (4 分) (2)设正方形的边长为 c,则由题意可得 3 2 12 × 1 2 48 = c2 , (6 分) c2 = 18,c= ±3 2 (负值舍去),∴ 正方形的周长:4×3 2 = 12 2 . (9 分) 20. 解:(1) 2 (3 分) (2)∵ 1 2+ 3 = 2- 3 ,∴ 2+ 3m= 2- 3 , (6 分) 解得 m= -1,∴ m 的值是-1. (9 分) 21. 解:(1)因为 B 点到 A 点有 2 个单位长度,且点 A 在点 B 的右边,所以 m= 2- 3 . (3 分) (2)原式= | 1-2+ 3 | + 3 (2- 3 +6)+4 = 3 -1+8 3 -3+4 (6 分) = 9 3 . (9 分) 22. 解:(1) S△ABC = 1 2 ·BC·AC = 1 2 ( 10 + 2 ) ( 10 - 2 )= 4; (3 分) (2)在 Rt△ABC 中,AB2 =BC2 +AC2 , ∴ AB2 = ( 10 + 2 ) 2 +( 10 - 2 ) 2 = 24, (5 分) ∴ AB= 24 = 2 6 ; (6 分) (3)∵ 1 2 AB·CD= 4, (7 分) ∴ AB 边上的高 CD= 4 ×2 2 6 = 2 6 3 . (10 分) 23. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (4 分) (2)①4　 2 (6 分) ②由(1)可得 a=m2 +3n2 ,b= 2mn= 4,∴ mn= 2. ∵ a,m,n 均为正整数,∴ m= 1,n= 2 或 m= 2,n= 1. (8 分) ∴ 当 m= 1,n= 2 时,a=m2 +3n2 = 1+3×22 = 13;当 m= 2,n = 1 时,a=m2 +3n2 = 4+3×12 = 7. 综上,正整数 a 的值为 13 或 7. (10 分) 第 21 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D D B B B B C B 1. A　 2. A 3. D　 【解析】 63n = 3×3×7×n,当 63n为整数时,正整 数 n 最小值为 7,故选 D. 4. D　 5. B　 6. B　 7. B 8. B　 【解析】①当 2 2 为腰长时,2 2 + 2 2 = 4 2 = 32, 5 3 = 75,即 2 2 +2 2 <5 3,即 2 2,2 2,5 3 不能构 成三角形;②当 5 3为腰长时,5 3 +2 2 >5 3,则此时周 长为:5 3 +5 3 +2 2 = 10 3 +2 2,故选 B. 9. C　 【解析】空白部分的长为 12 = 2 3,宽为 25 - 12 = 5-2 3,空白部分的面积为 2 3 ×(5-2 3 )= 10 3 -12. 故选 C. 10. B　 【解析】∵ 3>2,∴ 3∗2 = 3 - 2 . 又∵ 8<12,∴ 8∗12 = 8 + 12 = 2( 2 + 3 ) . ∴ (3∗2) ×(8∗12)= ( 3 - 2)×2×( 3 + 2)= 2. 故选 B. 11. 3(答案不唯一)　 12. 3 13. 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】通过数轴得出 a 与 5,2 的大小关系,再化简 代数式. 14. 18　 【解析】当 a = 2+ 5,b = 5 - 2,原式 = 9+ 4 5 + 9- 4 5 = 18. 15. n+ 1 n+2 = (n+1) 1 n+2 16. 解:(1)原式= 3× 1 6 ÷2× 18×3÷6 = 1 4 × 9 = 3 4 ; (4 分) (2)原式= 2-1+ 16 = 1+4 = 5; (8 分) 17. 解:a= 1 5 -2 = 5 +2, (3 分) b= 1 5 +2 = 5 -2, (5 分) a2 +b2 -2 = ( 5 +2) 2 +( 5 -2) 2 -2 = 16 = 4. (8 分) 18. 解:(1)由题意知 x-4 = (±2) 2 = 4,x+2y+7 = 33 = 27, 解得 x= 8,y= 6, (3 分) 所以± x+y = ± 8+6 = ± 14 . (5 分) (2)由题意得 a2 - 4≥0,4-a2 ≥0 且 a- 2≠0,所以 a = -2,b= -1, (8 分) 所以(a-b) 3 = (-2+1) 3 = -1. (9 分) 19. 解:( 1) 由 R = 6 400 km,h = 5 m = 0. 005 km,得 d≈ 2×0. 005×6 400 = 8(km),即此时观测者能看到的最 远距离 d 约是 8 km. (4 分) (2)说法是错误, (5 分) 理由:站在泰山之巅,人的身高忽略不计,此时, h = 1. 5km,则 d2 = 2 × 1. 5 × 6400 = 19200,2302 = 52900, ∵ 19200<52900,∴ d<230,∴ 天气晴朗时站在泰山之巅看 不到大海. (9 分) 20. 解:乙的结论正确,理由如下:由 y = x-8 + 8-x + 18 可得 x= 8,y= 18, (2 分) 因此 M= x +y x - y - 2xy xy( x - y) = ( x - y) 2 x - y = x - y (5 分) = 8 - 18 = - 2 ,N= 3 8 -2 18 26 + 10 = 0, (8 分) 所以 M<N,即 N 的值比 M 大,乙的结论是正确的. (10 分) 21. 解:蚊子的证明不正确, (2 分) ①式有误,由于算术平方根非负,由题设应有关系式 m <a<n, (4 分) ∴ m-a<0,n-a>0,∴ (m-a) 2 = -(m-a), (n-a) 2 = n-a, (6 分) ∴ -(m-a)= n-a, (8 分) 仍为 m+n= 2a. ∴ 蚊子的证明是不正确的. (10 分) 22. 解:(1)6 6 (2 分) ( 2 ) S = 1 4 [a2b2 -( a2 +b2 -c2 2 ) 2 ] = 1 4 ×[( 5 ) 2 ×( 6 ) 2 -( ( 5 ) 2 +( 6 ) 2 -( 7 ) 2 2 ) 2 ] (6 分) = 1 4 ×(30-4) = 26 2 . 即这个三角形的面积是 26 2 . (10 分) 追梦之旅铺路卷·九年级·ZBH·数学　 第 2 页