第十五章 分式 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十五章追梦基础训练卷(二) 分式的加减、整数指数幂、分式方程 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 化简a 2 -b2 ab -ab-b 2 ab-a2 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. b a B. a b C. - b a D. - a b 2. 生活情境·计算机 某种计算机完成一次基本运算的时间为 0. 000 000 001s, 把 0. 000 000 001s 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为(　 　 ) A. 0. 1×10- 8s B. 0. 1×10- 9s C. 1×10- 8s D. 1×10- 9s 3. 若 m = -( - 1 2 ) 0,n = ( - 1 2 ) - 2,p = ( - 2) 3,则 m,n,p 的大小关 系是(　 　 ) A. m<n<p B. m<p<n C. p<m<n D. p<n<m 4. 关于 x 的分式方程 5 x = a x-2 有解,则字母 a 的取值范围是(　 　 ) A. a= 5 或 a= 0 B. a≠0 C. a≠5 D. a≠5 且 a≠0 5. 若( 4 a2 -4 + 1 2-a )·W= 1,则 W= (　 　 ) A. a+2 B. -a+2 C. a-2 D. -a-2 6. 若 x= -1,y= 2,则 2x x2 -64y2 - 1 x-8y 的值等于(　 　 ) A. - 1 17 B. 1 17 C. 1 16 D. 1 15 7. 生活情境·骑行 八年级学生去距学校 10 km 的博物馆参观,一 部分学生骑自行车先走,过了 20 min 后,其余学生乘汽车出发, 结果他们同时到达. 已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍,求 骑车学生的速度. 设骑车学生的速度为 x km / h,则所列方程正 确的是(　 　 ) A. 10 x = 10 2x - 1 3 B. 10 x = 10 2x -20 C. 10 x = 10 2x + 1 3 D. 10 x = 10 2x +20 8. 中考新趋势·新定义 对于非零的两个实数 a,b,规定 a ⊕ b = 1 b - 1 a ,若 2 ⊕(2x-1)= 1,则 x 的值为(　 　 ) A. 5 6 B. 5 4 C. 3 2 D. - 1 6 9. 生活情境·试验田 有甲,乙两块边长为 a 米(a>7)的正方形试 验田. 负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整(如 图):沿甲试验田的一边在试验田内修了 1 米宽的水池,又在邻 边增加了 1 米宽的田地;沿乙试验田的一组邻边在试验田内均 修了 1 米宽的小路. 杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小 麦,其中甲试验田收获了 180 千克小麦,乙试验田收获了 130 千 克小麦,对于这两块试验田的单位面积产量,下列说法正确的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 甲　 　 　 　 　 乙 A. 甲试验田的单位面积产量高 B. 乙试验田的单位面积产量高 C. 两块试验田的单位面积产量一样 D. 无法判断哪块试验田的单位面积产量高 10. [学科内融合]从-3,-1,- 1 2 , 1 2 ,1,3 这六个数中,随机抽取一 个数,记为 m,若 m 使得关于 x 的分式方程 6 x-2 + mx 2-x = -1 有整 数解,且使得关于 y 的不等式组 2y+ 5 6 ≥y+ 1 3 y-2≥ 1 2 (4y+m) ì î í ï ïï ï ïï 无 解,则这六个数中所有满足条件的 m 的值之和是(　 　 ) A. - 7 2 B. -1 C. - 1 2 D. - 5 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 化简:( x x-3 + 2 3-x )·x -3 x-2 = 　 　 　 　 . 12. 若(x-3)- 2 有意义,则 x　 　 　 　 ;若(x+3)0 =1,则 x　 　 　 　 . 13. 当 x= 　 　 　 　 时,分式3 -x 2-x 的值比分式 1 x-2 的值大 3. 14. 关于 x 的方程 1 x-3 + k x+3 = 3+k x2 -9 无解,则 k 的值为　 　 　 　 . 15. 生产劳动情境·机器零件 要在规定的时间内加工一批机器零 件,如果甲单独做,刚好在规定时间内完成,乙单独做则要超过 3 天才能完成. 现在甲、乙两人合作 2 天后,再由乙单独做,正 好按时完成,则规定时间是　 　 　 　 天. 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)( -2) - 3 +3×( -2) - 1 -( 1 4 ) - 2; (2) | -3 | +( -1) 2 025 ×(π-3) 0 - 3 27 +( 1 2 ) - 2 . 17. (10 分)解方程: (1) 2x 2x-5 - 2 2x+5 = 1;　 　 　 (2) 3 x2 -1 - 2 x2 -x = 3 2x2 +2x . 18. (9 分)先化简,再求值: (x 2 -4x+3 x-3 - 1 3-x )(x 2 -2x+1 x2 -3x+2 - 2 x-2 ),其中 x= 4. ·12· 19. (9 分)已知关于 x 的分式方程 2 x+4 = m x 与分式方程 3 2x = 1 x-1 的解 相同,求 m2 -2m 的值. 20. 文化情境·传统文化 (9 分)中华优秀传统文化是中华民族的 “根”和“魂”,是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因. 为 传承优秀传统文化,某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》 连环画若干套,其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水 浒传》连环画的价格贵 60 元,用 4 800 元购买《水浒传》连环画 的套数是用 3 600 元购买《三国演义》连环画套数的 2 倍,求每 套《水浒传》连环画的价格. 21. (9 分)数学课上,李老师和同学们做一个游戏:他在三张硬纸 片上分别写出一个代数式,背面分别标上序号①、②、③,摆成 如图所示的一个等式,然后翻开纸片②是x 2 +4 x2 -4 ,翻开纸片③是 x 2-x . (1)求纸片①上的代数式; (2)李老师说,他心里想着一个数,能使①与 3 x 相等,请求出李 老师心中的数 x. 22. 学习情境·抄错题 (10 分)已知分式方程 3 1+x - x 1+x = ■有解,其 中“■”表示一个数. (1)若“■”表示的数为 7,求分式方程的解; (2)嘉淇回忆说:由于抄题时等号右边的数值抄错了,导致找 不到原题目了,但可以肯定的是“■”是-1,0 这两个数中的一 个. 请你帮助嘉淇确定“■”表示的数,并求原分式方程的解. 23. 生活情境·全民健身 (11 分)在全民健身运动中,骑自行车越 来越受到市民青睐,从 A 地到 B 地有一条自行车骑行车道. 小 明从 A 地出发骑行去 B 地,小军从 B 地出发骑行去 A 地. (1)小明和小军相约在上午 8 时同时从各自出发地出发,匀速 前行,到上午 10 时,他们还相距 30 km,到中午 12 时,两人又相 距 30 km. A、B 两地间的自行车道的距离为　 　 　 　 km. (2)因骑自行车的市民越来越多,政府决定重新改建一条自行 车道,改建的自行车道比 A、B 两地的距离多 30 km,某工程队 由于采用了更加先进的修路技术和修路机器,每天可以比原计 划的改建里程多 20%,结果完成此项修路工程比原计划少用了 5 天. 若每天付给工程队的施工费用为 4 万元,则完成工程后, 一共付给工程队的费用是多少? ·22· 当 x=4 时,原分式无意义,所以 1 x+3 不能等于 1 7 . (10 分) 22. 解:(1)王大伯家试验田的面积是:(a2 - 1) m2 ,则单位 产量为:1 000 a2 -1 kg / m2 ;李大爷家试验田的面积是:( a- 1) 2 m2 ,则单位产量为: 1 000 (a-1) 2 kg / m2 , (2 分) ∵ a>1,∴ (a-1) 2 >0,a2 -1>0,∵ a2 -1-(a-1) 2 = a2 -1- a2 - 1 + 2a = 2 ( a- 1) > 0,∴ a2 - 1 > ( a- 1) 2 ,∴ 1 000 a2 -1 < 1 000 (a-1) 2 . 所以李大爷家的榨菜品种单位面积产量高. (6 分) (2) 1 000 (a-1) 2 ÷ 1 000 a2 -1 = 1 000 (a-1) 2 · a 2 -1 1 000 = (a+1)(a-1) (a-1) 2 = a+1 a-1 . 高的单位面积产量是低的单位面积产量的a +1 a-1 倍. (10 分) 23. 解:(1)①③④ (2 分) (2)x 2 +6x-3 x-1 = x 2 +6x-7+4 x-1 = (x-1)(x+7)+4 x-1 = x+7+ 4 x-1 ; (5 分) (3)解方程组 x+my= 11x+3m= 2y{ ,得 x= 6-3m+ 10 m+2 y= 3+ 5 m+2 ì î í ï ï ïï ,∵ 方程组 有正整数解,∴ m+2 = ±5 或±1,∴ m1 = -3,m2 = -1,m3 = -7,m4 = 3. 又∵ x、y 为正整数,∴ m= -1 或-7. (11 分) 第十五章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C D D D C A A C 1. B　 2. D 3. C　 【解析】m= -1,n= 4,p= -8,∴ p<m<n. 故选 C. 4. D　 【解析】整理,得 5(x-2)= ax,解得 x= 10 5-a . ∵ 分式方程 有解,∴ 5-a≠0,∴ a≠5.又∵ x-2≠0,∴ 10 5-a -2≠0,∴ a≠0. 故选 D. 5. D 6. D 　 【解析】 原 式 = 2x (x+8y)(x-8y) - x+8y (x+8y)(x-8y) = x-8y (x+8y)(x-8y) = 1 x+8y . ∵ x= -1,y= 2,∴ 原式= 1-1+8×2 = 1 15 . 故选 D. 7. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了实际问题抽象出分式方程,读懂 题目信息,理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关 键. 8. A 9. A　 【解析】甲的单位面积产量为: 180 (a+1)(a-1) = 180 a2 -1 (千克 / 平方米),乙的单位面积产量为: 130 (a-1) 2 (千克 / 平方米),∴ 180 a2 -1 - 130 (a-1) 2 = 50a-310 (a-1) 2(a+1) ,∵ a > 7,∴ 50a-310 (a-1) 2(a+1) > 0,∴ 甲试验田的单位面积产量高. 故 选 A. 10. C　 【解析】解分式方程得 x = 4 m-1 ,∵ x≠2,∴ 4 m-1 ≠2, ∴ m≠3 且 m≠1. ∵ 关于 x 的分式方程有整数解,∴ m≠ - 1 2 . ∵ 不等式组无解,∴ m>-3,∴ m≠-3. 综上,符合条 件的 m 值有:-1, 1 2 ,∴ 所有满足条件的 m 的值之和是 - 1 2 . 故选 C. 11. 1　 12. ≠3　 ≠-3　 13. 1 14. 3 或-1 或- 3 7 　 【解析】原方程去分母,得 x+3+k(x-3) = 3+k,∴ (k+1)x= 4k. 当 k+1 = 0,即 k= -1 时,此方程无 解;当 k+1≠0 时,(k+1)x= 4k 有解,∵ 原方程无解,∴ x = 3 或-3;当 x= 3 时,3(k+1)= 4k,解得 k = 3;当 x = -3 时,-3(k+1)= 4k,解得 k = - 3 7 ,综上所述,所求 k 的值 为 3 或-1 或- 3 7 . 15. 6 16. 解:(1)原式= - 1 8 - 3 2 -16 = -17 5 8 ; (4 分) (2)原式= 3-1×1-3+4 = 3. (8 分) 17. 解:(1)方程两边乘(2x-5)(2x+5),得 2x(2x+5) -2(2x -5)= (2x+5)(2x-5) . 解得 x= -35 6 . (3 分) 检验:当 x= -35 6 时,(2x-5)(2x+5)≠0,所以,原分式方 程的解为 x= -35 6 ; (5 分) (2)方程两边同乘 2x(x+1)(x-1),得 3×2x-2×2(x+1) = 3(x-1),解得 x= -1. (8 分) 检验,当 x= -1 时,2x(x+1)(x-1) = 0,x = -1 不是该方 程的解,该分式方程无解. (10 分) 18. 解:原式 = ( x 2 -4x+3 x-3 + 1 x-3 ) · [ (x -1) 2 (x-1)(x-2) - 2 x-2 ] = (x-2) 2 x-3 ·x -3 x-2 = x-2. (6 分) 当 x= 4 时,原式= 4-2 = 2. (9 分) 19. 解:解分式方程 3 2x = 1 x-1 ,得 x= 3,经检验 x= 3 是原分式 方程的解. (3 分) 将 x= 3 代入 2 x+4 = m x ,得 2 7 = m 3 ,解得 m= 6 7 . (6 分) ∴ m2 -2m= ( 6 7 ) 2 -2× 6 7 = -48 49 . (9 分) 20. 解:设每套《水浒传》连环画的价格为 x 元,则每套《三 国演义》连环画的价格为(x+60)元. 由题意,得4 800 x = 2×3 600 x+60 , (5 分) 解得 x = 120,经检验,x = 120 是原方程的解,且符合题 意. (8 分) 故每套《水浒传》连环画的价格为 120 元. (9 分) 21. 解: ( 1 ) 根 据 题 意 得: ① = ② + ③ = x 2 +4 x2 -4 + x 2-x = x2 +4 (x+2)(x-2) - x(x+2) (x+2)(x-2) = - 2 x+2 ; (5 分) (2)根据题意得:- 2 x+2 = 3 x ,去分母得-2x = 3x+6,解得 x= - 6 5 ,检验:把 x= - 6 5 代入得 x(x+ 2) ≠0,∴ 分式方 程的解为 x= - 6 5 ,则李老师心中的数为- 6 5 . (9 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 10 页 22. 解:(1)根据题意得: 3 1+x - x 1+x = 7,去分母得 3-x= 7+7x, 解得 x= - 1 2 . 检验:把 x= - 1 2 代入得 1+x≠0,∴ 分式方 程的解为 x= - 1 2 ; (5 分) (2)若“■”是-1,则有 3 1+x - x 1+x = -1,去分母得 3-x= -1 -x,无解; (7 分) 若“■”是 0,则有3 -x 1+x = 0,得 3-x= 0,解得 x= 3,检验:把 x= 3 代入得 1+x≠0,∴ 分式方程的解为 x= 3. (10 分) 23. 解:(1)90 (2 分) (2)设原计划每天修 xkm,则实际每天修 x(1+ 20%) = 1. 2xkm,根据题意,得90 +30 x -90+30 1. 2x = 5,解得 x= 4,经检 验:x= 4 是原方程的解, (7 分) 4×90 +30 1. 2×4 = 100(万元),故完成工程后,一共付给工程队 的费用是 100 万元. (11 分) 第十五章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D D C B D B C 1. B 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】用科学记数法表示小于 1 的正数时,要注意 小数点位置的变化,即小数点向右移了几位,10 的指数 就是负几. 3. C　 4. D　 5. D 6. C　 【解析】解方程得 m-3 = x-1,解得 x =m-2,由题意得 m-2≥0,解得 m≥2. ∵ 当 x = 1 时,方程无解,即 m-2≠ 1,m≠3,∴ m 的取值范围是 m≥2 且 m≠3. 故选 C. 7. B　 8. D 9. B 　 【 解 析 】 4x -9 (3x+2)(x-1) = A(x-1)-B(3x+2) (3x+2)(x-1) = (A-3B)x-(A+2B) (3x+2)(x-1) ,∴ A-3B = 4,A+ 2B = 9,∴ A = 7,B = 1. 故选 B. 10. C　 【解析】点 P(2a-1,a-2)关于 x 轴的对称点是(2a- 1,2-a),且在第一象限内,∴ 2a-1>02-a>0{ ,∴ 1 2 <a<2. ∵ a 为整数,∴ a= 1,把 a= 1 代入分式方程x +1 x-a = 2 得,x +1 x-1 = 2,解得 x= 3,经检验 x= 3 是分式方程的解. 故选 C. 11. x(x+3)(x-3) 12. 1 3 　 【解析】由题意知 2x x-1 -x-1 x = 1,解得 x = 1 3 ,经检验 x= 1 3 是原分式方程的解. 13. x≠- 1 2 且 x≠-2　 14. 120 x -3 = 120 (1+ 1 4 )x 15. 19　 【解析】由3y -2 2 ≥2y+1 得,y≤-4,由y -a 3 <1 得,y<a +3,∵ 不等式组的解集为 y≤- 4,∴ a+ 3>- 4,∴ a>- 7, 解分式方程 1-x x-3 +4 = a 3-x 得 x= 11 -a 3 ,∵ 方程的解是非负 整数,∴ 11-a 是 3 的倍数,∵ 11 -a 3 ≠3,∴ a≠2,∴ a 的 取值为-4,-1,5,8,11,∴ 所有满足条件的整数 a 的值 之和是 19. 16. 解:(1)原式 = 4- 1+ 81× 10-8 ÷(9× 10-10 ) = 4- 1+ 900 = 903; (4 分) (2 ) 原 式 = (x -y) 2 +4xy x-y · (x +y) 2 -4xy x+y = (x+y) 2 x-y · (x-y) 2 x+y = x2 -y2 . (8 分) 17. 解:(1)方程的两边同乘(y2 -1),得 4-(y-3) (y+1) +y2 -1 = 0,解得 y= -3. 检验:当 y= -3 时,y2 -1 = 8≠0. 所以 y= -3 是原分式方程的解; (4 分) (2)方程两边同乘 x2 ,得 2(x+ 1) 2 -x(x+ 1) = x2 . 化简, 得 2x2 +4x+2-x2 -x = x2 ,解得 x = - 2 3 . 检验:当 x = - 2 3 时,x2 ≠0,所以 x= - 2 3 是原分式方程的解. (8 分) 18. 解:原式= x 2 -4-x2 +x x(x-2) ·(x -2) 2 x-4 = x-2 x . (3 分) 由 3x+7>1 得 x>-2,∴ 负整数解为 x= -1. (6 分) 当 x= -1 时,原式= -1-2 -1 = 3. (8 分) 19. 解:由题意得 2 x-1 - 1 1-x = 1. (5 分) 解得 x= 4,经检验 x= 4 是分式方程的解. ∴ x 的值为 4. (9 分) 20. 解:(1)方程两边乘(x-3),得 x = 2(x-3) +a,整理,得 x = 6-a①. ∵ x = 3 时,原方程无解,但却是方程①的解, ∴ 将 x= 3 代入①,得 a= 3; (5 分) (2)方程两边同乘 y(y-1),得 y2 -m = (y-1) (y-1),整 理,得 2y= 1+m②. 因为 y = 0 和 y = 1 时原方程无解,所 以将 y= 0 和 y= 1 分别代入方程②,得 0 = 1+m,即 m= - 1;2 = 1+m,即 m= 1. 综上所述,m = -1 或 m = 1 时,方程 无解. (10 分) 21. 解:将方程 y y2 -9 + 1 3-y = 3 y+3 的两边同乘 y2 - 9,得 y-(y+ 3)= 3(y-3),解得 y = 2. 经检验,y = 2 是原分式方程的 解. (5 分) 所以 k= 2. 所以x +3 2 = x+2 3 -1. 解得 x= -11. (10 分) 22. 解:(1)设每个乙种商品的进价为 x 元,则每个甲种商 品的进价为(x-2)元,根据题意,得 80 x-2 = 100 x ,解得 x = 10,经检验,x= 10 是原方程的解,10-2 = 8(元) . (4 分) 故每个甲种商品的进价为 8 元,每个乙种商品的进价 为 10 元; (5 分) (2)设购进乙种商品 y 个,则购进甲种商品(3y-5)个. 由题意,得 3y-5+y≤95,解得 y≤25. 故商场最多购进乙 种商品 25 个; (7 分) (3)由(2)知,(12-8)(3y-5)+(15-10)y>380,解得 y> 23 9 17 . (9 分) ∵ y 为整数,y≤25. ∴ y= 24 或 25. ∴ 共有 2 种方案. 方案一:购进甲种商品 67 个,乙种商品 24 个; 方案二:购进甲种商品 70 个,乙种商品 25 个. (11 分) 23. 解:(1)由分母为 x-1,可设 2x2 +3x+6 = (x-1)(2x+a) + b. 因为( x - 1) ( 2x + a) + b = 2x2 + ax - 2x - a + b = 2x2 + (a-2)x-a+b,所以 2x2 +3x+6 = 2x2 +(a-2)x-a+b,所以 a-2 = 3 -a+b= 6{ , 解 得 a= 5 b= 11{ , 所 以 2x2 +3x+6 x-1 = (x-1)(2x+5)+11 x-1 = 2x+5+ 11 x-1 ; (5 分) (2)由分母为 x+2,可设 5x2 +9x-3 = (x+2) (5x+a) +b, 因为(x+2)(5x+a) +b = 5x2 +ax+ 10x+ 2a+b = 5x2 +(a+ 10)x+2a+b,所以 5x2 +9x-3 = 5x2 +(a+10)x+2a+b,所以 a+10= 9 2a+b= -3{ , 解 得 a= -1 b= -1{ , 所 以 5x2 +9x-3 x+2 = (x+2)(5x-1)-1 x+2 = 5x-1- 1 x+2 , (8 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 11 页