第十五章 分式 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

(b-c) 2 ≥0,∴ a-b= 0,且 b-c= 0,∴ a= b,且 b= c,∴ a= b = c,∴ △ABC 是等边三角形. (10 分) 21. 解:(1)①绿化的面积为:( 3a+ b) ( 2a+ b) - ( a+ b) 2 - a(3a+b-a-b)= (3a2 +3ab)(平方米); (3 分) ②∵ 3a2 +3ab = 3a(a+b) = a(3a+3b),∴ 所拼矩形相邻 两边的长分别为 3a 米和(a+b)米或矩形相邻两边的长 分别为 a 米和(3a+3b)米; (6 分) 所以要使所拼矩形面积最大,3a = a+b,所以 2a = b;若 3a2 +3ab=a(3a+3b),此时 a = 3a+ 3b,∴ 2a = - 3b,不符 合 a>0,b>0. 综上,要使所拼矩形面积最大,a 与 b 满足 2a= b; (9 分) (2)当 a= 3,b= 2,绿化面积是 3× 9+ 3× 3× 2 = 45(平方 米) . (10 分) 22. 解:(1)x3 -xy2 = x(x-y) (x+y),当 x = 16,y = 4 时,x-y = 12,x+y = 20,∴ 得到的数字密码为 161220 或 162012; (答案不唯一) (5 分) (2)当 x = 10 时,密码为 101213,且 x3 的系数为 1,由 (1)知 x+2 = 12,x+3 = 13, (7 分) x3 +(m-n)x2 +nx= x(x+2)(x+3)= x3 +5x2 +6x,∴ m-n = 5,n= 6,即:m= 11,n= 6. (10 分) 23. 解:(1)由图可知:S1 =a 2 -b2 ,S2 = 2b 2 -ab; (3 分) (2)S1 +S2 =a 2 -b2 +2b2 -ab=a2 +b2 -ab, (5 分) ∵ a-b= 8,ab= 13,∴ S1 +S2 = a 2 +b2 -ab = (a-b) 2 +ab = 64 +13 = 77; (7 分) (3)由图可知:S3 =a 2 +b2 - 1 2 b(a+b) - 1 2 a2 = 1 2 (a2 +b2 - ab), (9 分) ∵ S1 +S2 = 34,∴ S1 +S2 = a 2 -b2 +2b2 -ab = a2 +b2 -ab = 34, ∴ S3 = 1 2 ×34 = 17. (11 分) 第十五章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D B B D C C D B 1. D　 2. D 3. D　 【解析】 x 2 -y2 (x-y) 2 = (x+y)(x-y) (x-y) 2 = x+y x-y = 6-2 6+2 = 1 2 . 故 选 D. 4. B　 5. B　 6. D 7. C　 【解析】∵ | x-4 | +(y-9) 2 = 0,∴ x-4 = 0,y-9 = 0,∴ x = 4,y= 9,∴ 原式= x(x +y) y2 · x 2y2 x(x-y) · 1 x2 = x+y x-y = 4+9 4-9 = - 13 5 . 故选 C. 8. C　 【解析】∵ 3x-1≠0,解得 x≠ 1 3 ,把 x = -a 代入分式 x+a 3x-1 中,当 x= -a 且-a≠ 1 3 时,即 a≠- 1 3 时,分式的值 为 0. 故选 C. 9. D 10. B　 【解析】 6x +12 x2 -x-6 = 6(x+2) (x-3)(x+2) = 6 x-3 ,∵ 分式 6x +12 x2 -x-6 的值为整数,∴ x-3 = ±1 或±2 或±3 或±6 且 x+2≠0,∴ 正整数 x= 4 或 2 或 5 或 1 或 6 或 9,共 6 个. 故选 B. 11. ±6　 【解析】由题意可知:n2 - 25 = 11,即 n2 = 36,故 n = ±6. 12. -m2 +2m-1 13. - 1 4 　 【解析】∵ 分式2(x -3) x2 +3 的值为 0,∴ 2(x-3)= 0,x2 +3 ≠ 0, ∴ x = 3. 则 2x x2 -1 ÷ 2x 1-x = 2x (x+1)(x-1) · 1 -x 2x = - 1 x+1 ,当 x= 3 时,原式= - 1 4 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了分式值为零的条件,若分式的值 为零,需同时具备两个条件:(1)分子为 0;(2)分母不为 0. 这两个条件缺一不可. 14. 25 4 　 【解析 】 原 式 = (x +y) 2·(x-y) 2 4x2y2 ÷ (x-y) 2 x2y2 = (x+y) 2(x-y) 2 4x2y2 · x 2y2 (x-y) 2 = (x+y) 2 4 ,∵ x+ y = 5,∴ 原式 = 25 4 . 15. 8x2 -36x+16 或2x -1 x-4 　 【解析】∵ a·b = a2 -b2(a≥b) a+b a-b (a<b){ , 当 3x-5≥x+3 时,即 x≥4,(3x-5)·(x+3)= (3x-5) 2 - (x+3) 2 =(3x-5+x+3)(3x-5-x-3)= 8x2 -36x+16;当 3x -5<x+3,即 x< 4,(3x- 5)·( x+ 3)= (3x -5)+(x+3) (3x-5)-(x+3) = 4x-2 2x-8 = 2x-1 x-4 . 16. 解:(1)原式= x(y-x)· xy (x-y) 2 ·x -y x2 = -y; (4 分) (2)原式= (x -y) 2 (x+y) 2 · 1 (x-y) 3 ·(x +y) 2 x-y = 1 (x-y) 2 . (8 分) 17. 解:( 1) 原式 = (a +2)(a-2) (a+3) 2 · 2(a +3) a-2 = 2a+4 a+3 . 当 a = -5 时,原式= 2 ×(-5)+4 (-5)+3 = 3; (4 分) (2)由已知条件得(a+5) 2 + | b-3 | = 0,所以 a= -5,b= 3. (6 分) 原式= b 4 (a-b) 2 ·a(a -b) 2 b3 · b(a +b) (b+a)(b-a) = ab 2 b-a . 所以当 a= -5,b= 3 时,原式= ( -5)×32 3-(-5) = -45 8 . (10 分) 18. 解:原式= (x -1) 2 (x+1)(x-1) · x +1 x(x-1) ·x3 = x2 , (5 分) 所以当 x= 2 或 x= -2 时,原式= 4. (8 分) 19. 解:∵ x 2 -1 x2 +2x ÷x-1 x = (x+1)(x-1) x(x+2) · x x-1 = x+1 x+2 . (2 分) 解不等式 x+2<1,得 x<-1,解不等式 2(x-1)>-6,得 x> -2,∴ 原不等式组的解集是-2<x<-1. (6 分) ∴ x+1<0,x+2>0,∴ x +1 x+2 <0,即代数式的符号为负. (9 分) 20. 解:甲工程队修 900 m 所用时间为 900 a2 -4 天,乙工程队修 600 m 所用时间为 600 (a-2) 2 天. (4 分) 由题意可得: 900 a2 -4 ÷ 600 (a-2) 2 = 900 (a+2)(a-2) ·(a -2) 2 600 = 3a-6 2a+4 . 即甲工程队修 900m 所用时间是乙工程队修 600m 所用时间的3a -6 2a+4 倍. (9 分) 21. 解:(1)设被墨水污染的部分是 A,由题意得 x -4 x2 -9 ÷ A x-3 = x-4 (x+3)(x-3) ·x -3 A = x-4 A(x+3) = 1 x+3 ,所以 A = x- 4. 故 被墨水污染的部分为 x-4; (5 分) (2)不能, (6 分) 若 1 x+3 = 1 7 ,则 x= 4. (8 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 9 页 当 x=4 时,原分式无意义,所以 1 x+3 不能等于 1 7 . (10 分) 22. 解:(1)王大伯家试验田的面积是:(a2 - 1) m2 ,则单位 产量为:1 000 a2 -1 kg / m2 ;李大爷家试验田的面积是:( a- 1) 2 m2 ,则单位产量为: 1 000 (a-1) 2 kg / m2 , (2 分) ∵ a>1,∴ (a-1) 2 >0,a2 -1>0,∵ a2 -1-(a-1) 2 = a2 -1- a2 - 1 + 2a = 2 ( a- 1) > 0,∴ a2 - 1 > ( a- 1) 2 ,∴ 1 000 a2 -1 < 1 000 (a-1) 2 . 所以李大爷家的榨菜品种单位面积产量高. (6 分) (2) 1 000 (a-1) 2 ÷ 1 000 a2 -1 = 1 000 (a-1) 2 · a 2 -1 1 000 = (a+1)(a-1) (a-1) 2 = a+1 a-1 . 高的单位面积产量是低的单位面积产量的a +1 a-1 倍. (10 分) 23. 解:(1)①③④ (2 分) (2)x 2 +6x-3 x-1 = x 2 +6x-7+4 x-1 = (x-1)(x+7)+4 x-1 = x+7+ 4 x-1 ; (5 分) (3)解方程组 x+my= 11x+3m= 2y{ ,得 x= 6-3m+ 10 m+2 y= 3+ 5 m+2 ì î í ï ï ïï ,∵ 方程组 有正整数解,∴ m+2 = ±5 或±1,∴ m1 = -3,m2 = -1,m3 = -7,m4 = 3. 又∵ x、y 为正整数,∴ m= -1 或-7. (11 分) 第十五章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C D D D C A A C 1. B　 2. D 3. C　 【解析】m= -1,n= 4,p= -8,∴ p<m<n. 故选 C. 4. D　 【解析】整理,得 5(x-2)= ax,解得 x= 10 5-a . ∵ 分式方程 有解,∴ 5-a≠0,∴ a≠5.又∵ x-2≠0,∴ 10 5-a -2≠0,∴ a≠0. 故选 D. 5. D 6. D 　 【解析】 原 式 = 2x (x+8y)(x-8y) - x+8y (x+8y)(x-8y) = x-8y (x+8y)(x-8y) = 1 x+8y . ∵ x= -1,y= 2,∴ 原式= 1-1+8×2 = 1 15 . 故选 D. 7. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了实际问题抽象出分式方程,读懂 题目信息,理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关 键. 8. A 9. A　 【解析】甲的单位面积产量为: 180 (a+1)(a-1) = 180 a2 -1 (千克 / 平方米),乙的单位面积产量为: 130 (a-1) 2 (千克 / 平方米),∴ 180 a2 -1 - 130 (a-1) 2 = 50a-310 (a-1) 2(a+1) ,∵ a > 7,∴ 50a-310 (a-1) 2(a+1) > 0,∴ 甲试验田的单位面积产量高. 故 选 A. 10. C　 【解析】解分式方程得 x = 4 m-1 ,∵ x≠2,∴ 4 m-1 ≠2, ∴ m≠3 且 m≠1. ∵ 关于 x 的分式方程有整数解,∴ m≠ - 1 2 . ∵ 不等式组无解,∴ m>-3,∴ m≠-3. 综上,符合条 件的 m 值有:-1, 1 2 ,∴ 所有满足条件的 m 的值之和是 - 1 2 . 故选 C. 11. 1　 12. ≠3　 ≠-3　 13. 1 14. 3 或-1 或- 3 7 　 【解析】原方程去分母,得 x+3+k(x-3) = 3+k,∴ (k+1)x= 4k. 当 k+1 = 0,即 k= -1 时,此方程无 解;当 k+1≠0 时,(k+1)x= 4k 有解,∵ 原方程无解,∴ x = 3 或-3;当 x= 3 时,3(k+1)= 4k,解得 k = 3;当 x = -3 时,-3(k+1)= 4k,解得 k = - 3 7 ,综上所述,所求 k 的值 为 3 或-1 或- 3 7 . 15. 6 16. 解:(1)原式= - 1 8 - 3 2 -16 = -17 5 8 ; (4 分) (2)原式= 3-1×1-3+4 = 3. (8 分) 17. 解:(1)方程两边乘(2x-5)(2x+5),得 2x(2x+5) -2(2x -5)= (2x+5)(2x-5) . 解得 x= -35 6 . (3 分) 检验:当 x= -35 6 时,(2x-5)(2x+5)≠0,所以,原分式方 程的解为 x= -35 6 ; (5 分) (2)方程两边同乘 2x(x+1)(x-1),得 3×2x-2×2(x+1) = 3(x-1),解得 x= -1. (8 分) 检验,当 x= -1 时,2x(x+1)(x-1) = 0,x = -1 不是该方 程的解,该分式方程无解. (10 分) 18. 解:原式 = ( x 2 -4x+3 x-3 + 1 x-3 ) · [ (x -1) 2 (x-1)(x-2) - 2 x-2 ] = (x-2) 2 x-3 ·x -3 x-2 = x-2. (6 分) 当 x= 4 时,原式= 4-2 = 2. (9 分) 19. 解:解分式方程 3 2x = 1 x-1 ,得 x= 3,经检验 x= 3 是原分式 方程的解. (3 分) 将 x= 3 代入 2 x+4 = m x ,得 2 7 = m 3 ,解得 m= 6 7 . (6 分) ∴ m2 -2m= ( 6 7 ) 2 -2× 6 7 = -48 49 . (9 分) 20. 解:设每套《水浒传》连环画的价格为 x 元,则每套《三 国演义》连环画的价格为(x+60)元. 由题意,得4 800 x = 2×3 600 x+60 , (5 分) 解得 x = 120,经检验,x = 120 是原方程的解,且符合题 意. (8 分) 故每套《水浒传》连环画的价格为 120 元. (9 分) 21. 解: ( 1 ) 根 据 题 意 得: ① = ② + ③ = x 2 +4 x2 -4 + x 2-x = x2 +4 (x+2)(x-2) - x(x+2) (x+2)(x-2) = - 2 x+2 ; (5 分) (2)根据题意得:- 2 x+2 = 3 x ,去分母得-2x = 3x+6,解得 x= - 6 5 ,检验:把 x= - 6 5 代入得 x(x+ 2) ≠0,∴ 分式方 程的解为 x= - 6 5 ,则李老师心中的数为- 6 5 . (9 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 10 页 第十五章追梦基础训练卷(一) 分式、分式的乘除 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 在 1 4n ,2a -b 5 , a π ,3x 2y 2x , 1 5+a ,m 2 -n2 m-n 中,分式的个数有(　 　 ) A. 1 个　 　 　 B. 2 个　 　 　 C. 3 个　 　 　 D. 4 个 2. 若代数式 1 x-1 + x有意义,则实数 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0 且 x≠1 3. 当 x= 6,y= -2 时,分式 x 2 -y2 (x-y) 2 的值为(　 　 ) A. 2 B. 4 3 C. 1 D. 1 2 4. 如果把 2y 2x-3y 中的 x 和 y 都扩大到 5 倍,那么分式的值(　 　 ) A. 扩大 5 倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 1 5 D. 扩大 4 倍 5. 计算x 2 y · y x ÷( - y x )的结果是(　 　 ) A. x 2 y B. -x 2 y C. x y D. - x y 6. 计算 81 -a2 a2 +6a+9 ÷ a-9 2a+6 ·a +3 a+9 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 C. -1 D. -2 7. 若 | x-4 | +(y-9) 2 = 0,则x 2 +xy y2 ÷x 2 -xy x2y2 ÷x2 的值为(　 　 ) A. 13 15 B. 16 81 C. -13 5 D. -16 81 8. 分式 x +a 3x-1 中,当 x= -a 时,下列结论正确的是(　 　 ) A. 分式的值为零 B. 分式无意义 C. 若 a≠- 1 3 ,则分式的值为零 D. 若 a≠ 1 3 ,则分式的值为零 9. 学习情境·接力游戏 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成 分式化简,规则是:每人只能看到前一个人给的式子,并进行一 步计算,再将结果传递给下一个人,最后完成化简. 过程如图,接 力中,自己负责的一步出现错误的是(　 　 ) 老师 x2 -2x x-1 ÷ x 2 1-x→ 甲 x2 -2x x-1 ·1 -x x2 → 乙 x2 -2x x-1 ·x -1 x2 → 丙 x(x-2) x-1 ·x -1 x2 → 丁 x-2 2 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 10. 若分式 6x +12 x2 -x-6 的值为整数,则正整数 x 的个数为(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若 1 n2 -25 , 1 n+5 的最简公分母的值是 11,则 n= 　 　 　 　 . 12. 计算:1÷1 +m 1-m ·(m2 -1)= 　 　 　 　 . 13. 若分式2(x -3) x2 +3 的值为 0,则 2x x2 -1 ÷ 2x 1-x 的值为　 　 　 　 . 14. 若 x+y= 5,则( -x 2 -y2 2xy ) 2 ÷(x -y -xy ) 2 的值为　 　 　 　 . 15. 中考新趋势·新定义 对 实 数 a, b 定 义 新 运 算 a · b = a2 -b2(a≥b) a+b a-b (a<b) ì î í ï ï ï ï 例:4 · 3 = 42 - 32 = 7, 3 · 4 = 3 +4 3-4 = - 7,化简 (3x-5)·(x+3)= 　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)(xy-x2) ÷x 2 -2xy+y2 xy ·x -y x2 ; (2)(y -x x+y ) 2 ÷(x-y) 3·x 2 +2xy+y2 x-y . 17. (10 分)先化简,再求值: (1) a 2 -4 a2 +6a+9 ÷ a-2 2a+6 ,其中 a= -5; (2)已知 a2 +10a+25 = - | b-3 | ,求( b 2 a-b ) 2·a 3 +ab2 -2a2b b3 ÷b 2 -a2 ab+b2 的值. 18. 学习情境·抄错题 (8 分) 已知有这样的一道作业题: “计算 x2 -2x+1 x2 -1 · x +1 x2 -x ÷( 1 x ) 3 的值,其中 x = 2. ”小虎同学在抄题时, 把“x= 2”错抄成“x = -2”,但他的计算结果也是正确的,你说 这是怎么回事? ·91· 19. (9 分) 化简代数式 x 2 -1 x2 +2x ÷ x-1 x ,并判断当 x 满足不等式组 x+2<1 2(x-1) >-6{ 时该代数式的符号. 20. (9 分)甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修 (a2 -4) m,乙工程队每天修(a-2) 2 m(其中 a>2),则甲工程队 修 900 m 所用时间是乙工程队修 600 m 所用时间的多少倍? 21. 学习情境·墨水污染 (10 分)如图,小琪的作业本上有这样一 道填空题,其中有一部分被墨水污染了,若该题化简的结果 为 1 x+3 . (1)求被墨水污染的部分; (2)该题化简的结果 1 x+3 能等于 1 7 吗? 为什么? 22. 生活情境·榨菜之乡 (10 分)涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”, 今年榨菜更是喜获丰收,为了选育更好的榨菜品种,农民伯伯 们开始自己建试验田,王大伯家试验田是边长为 a 米(a>1)的 正方形去掉一个边长为 1 米的正方形水池后余下的部分,李大 爷家试验田是边长为(a-1)米的正方形,两块试验田的榨菜最 后都分别收获了 1 000 kg. 　 　 　 　 　 (1)哪家的榨菜品种单位面积产量高? (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 23. 中考新趋势·新定义 (11 分)定义:如果一个分式能化成一个 整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为 “和谐分式” . 如 x+1 x-1 = x-1+2 x-1 = x-1 x-1 + 2 x-1 = 1+ 2 x-1 , a2 -2a+3 a-1 = (a-1) 2 +2 a-1 =a-1+ 2 a-1 , 则 x+1 x-1 和 a2 -2a+3 a-1 都是“和谐分式” . (1)下列分式中,属于“和谐分式”的是　 　 　 　 (填序号); ①x +1 x ;②2 +x 2 ;③x +2 x+1 ;④y 2 +1 y2 . (2)将“和谐分式”x 2 +6x-3 x-1 化成一个整式与一个分子为常数的 分式的和的形式; (3)应用:已知方程组 x+my= 11 x+3m= 2y{ 有正整数解,求整数 m 的值. ·02·