第十三章 轴对称 章追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（人教版）

第十三章追梦综合演练卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 生活情境·交通标志 下列四个交通标志图中为轴对称图形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 30°,CD 是斜边 AB 上 的高,AD= 3 cm,则 AB 的长度是(　 　 ) A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm 第 2 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 3. 下列能确定△ABC 为等腰三角形的是(　 　 ) A. ∠A= 50°,∠B= 80° B. ∠A= 42°,∠B= 48° C. ∠A= 2∠B= 70° D. AB= 4,BC= 5,周长为 15 4. 如图,若△ABC 是等边三角形,AB = 6,BD 是∠ABC 的平分线, 延长 BC 到点 E,使 CE=CD,则 BE 的长为(　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知 A、B 是两格点,如果点 C 也是图中的格点,且使得△ABC 为等腰三 角形,则点 C 的个数是(　 　 ) A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 6. [学科内融合] 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 关于直线 m (直线m 上各点的横坐标都为 1)对称,点 C 的坐标为(4,1),则点 B 的坐标为(　 　 ) A. ( -2,1) B. ( -3,1) C. (2,-1) D. ( -2,-1) 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 学习情境·最值 如图,在△ABC 中,AB = AC,BC = 5,S△ABC = 15, AD⊥BC 于点 D,EF 垂直平分 AB,交 AC 于点 F,在 EF 上确定一 点 P 使 PB+PD 最小,则这个最小值为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,过 点 E 作 EF∥AC 交 AB 于点 F,则(　 　 ) A. AF= 2BF B. AF=BF C. AF>BF D. AF<BF 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,在△ABC 中,IB,IC 分别平分∠ABC,∠ACB,过点 I 作 DE ∥BC,分别交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,给出下列结论:①△DBI 是等腰三角形; ② △ACI 是等腰三角形; ③ AI 平分 ∠BAC; ④△ADE 周长等于 AB+AC. 其中正确的是(　 　 ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图,∠AOB= 30°,M,N 分别是边 OA,OB 上的定点,P,Q 分别 是边 OB,OA 上的动点,记∠OPM = α,∠OQN = β,当 MP+PQ+ QN 最小时,则关于 α,β 的数量关系正确的是(　 　 ) A. β-α= 60° B. β+α= 210° C. β-2α= 30° D. β+2α= 240° 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如果点 P ( -m,3) 与点 P1 ( - 5,n) 关于 y 轴对称,则 m + n = 　 　 　 　 . 12. 学习情境·翻折 如图,点 D,E 分别在等边三角形 ABC 的边 AB,BC 上,将△BDE 沿直线 DE 翻折,使点 B 落在 B1 处. 若 ∠ADB1 = 70°,则∠CEB1 = 　 　 　 　 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 如图,已知∠AOB= 30°,OC 平分∠AOB,在 OA 上有一点M,OM = 10 cm,现要在 OC,OA 上分别找点 Q,N,使 QM+QN 最小,则 其最小值为　 　 　 　 . 14. [学科内融合]如图,已知△ABC,按以下步骤作图:①分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半径作弧,两弧相交于点 E, F;②作直线 EF 交 AB 于点 D,连接 CD. 若 CD =CB,∠A = 25°, 则∠BCA 的度数为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 数学思想·分类讨论 如图,∠BOC = 60°,点 A 是 BO 延长线上 一点,OA= 10 cm,动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm / s 的速度移 动,动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm / s 的速度移动,如果点 P, Q 同时出发,用 t(s)表示移动的时间,当 t= 　 　 　 　 s 时,△POQ 是等腰三角形. 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)已知,如图,在△ABC 中,AB<AC,BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,AC = 8 cm,△ABE 的周长是 14 cm,求 AB 的长. 17. (9 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在边 AB,BC, AC 上,且 BE=CF,BD=CE. (1)求证:△DEF 是等腰三角形; (2)当∠A= 40°时,求∠DEF 的度数. ·31· 18. (9 分)如图,在所给网格图(每小格边长均是 1 的正方形)中 完成下列各题: (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上) 关于直线 DE 对称 的△A1B1C1; (2)在 DE 上画出点 P,使 PB1 +PC 最小; (3)在 DE 上画出点 Q,使 QA+QC 最小. 19. (9 分)如图,分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作 等边△ACD,等边△ABE. 已知∠BAC= 30°,EF⊥AB,垂足为 F, 连接 DF. 求证: (1)AC=EF; (2)EF∥AD 且 EF=AD. 20. (9 分)如图,在 Rt△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 90°,O 为 BC 的 中点. (1)写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A,B,C 的距离关系(不要 求证明); (2)如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,在移动中保持 AN =BM,请判断△OMN 的形状,并证明你的结论. 21. (9 分)如图,已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 内一点,AC = BC,∠ACB= 90°,∠CAD = ∠CBD = 15°,E 为 AD 的延长线上的 一点,且 CE=CA. (1)求证:DE 平分∠BDC; (2)若点 M 在 DE 上,且 DC=DM,求证:ME=BD. 22. (10 分)如图,点 P 是等边△ABC 内一点,将△APC 绕点 C 顺 时针旋转 60°得到△BDC,连接 PD. (1)求证:△DPC 是等边三角形; (2)当∠APC= 150°时,试判断△DPB 的形状,并说明理由; (3)当∠APB = 100°且△DPB 是等腰三角形时,求∠APC 的 度数. 23. 学习情境·动点探究 (12 分)如图所示,已知在△ABC 中,AB = AC=BC= 10 厘米,M、N 分别从点 A、点 B 同时出发,沿三角形 的边运动,已知点 M 的速度是 1 厘米 /秒,点 N 的速度是 2 厘 米 /秒,当点 N 第一次到达 B 点时,M、N 同时停止运动. (1)M、N 同时运动几秒后,M、N 两点重合? (2)M、N 同时运动几秒后,可得等边三角形 AMN? (3) M、N 在 BC 边上运动时,能否得到以 MN 为底边的等腰 △AMN? 如果存在,请求出此时 M、N 运动的时间. ·41· ∠BAC)= 1 2 ∠ACB= 1 2 ×92° = 46°. 故选 D. 11. ∠A= ∠D 12. 14 　 【解析】 ∵ AD 是 ∠BAC 的 平 分 线, ∴ ∠EAD = ∠CAD. 在 △ADE 和 △ADC 中, AE = AC, ∠EAD = ∠CAD,AD= AD,∴ △ADE≌△ADC(SAS),∴ ED = CD, ∴ BC=BD+CD=DE+BD= 10,∴ △BDE 的周长=BE+BD +ED=(12-8)+10 = 14. 13. 6　 14. 14　 15. ①② 16. 证明:在△AOC 和△BOC 中,∵ OA = OB,AC = BC,OC = OC,∴ △AOC≌△BOC(SSS),∴ ∠AOC= ∠BOC. (8 分) 17. 证明:∵ AB∥DE,∴ ∠B= ∠DEF. ∵ BE=CF,∴ BC=EF. (3 分) 在△ABC 和△DEF 中,AB = DE,∠B = ∠DEF,BC = EF, ∴ △ABC≌△DEF(SAS), (6 分) ∴ ∠ACB= ∠F,∴ AC∥DF. (8 分) 18. 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ AD = AE,∴ ∠ADE = ∠AED. (3 分) ∵ ∠ADE + ∠ADB = 180°, ∠AEB + ∠AEC = 180°, ∴ ∠ADB= ∠AEC. (5 分) 在△ABD 和△ACE 中,∠B = ∠C,∠ADB = ∠AEC,AB = AC,∴ △ABD≌△ACE(AAS),∴ BD=CE. (9 分) 19. 解:过点 C 作 CF⊥AD,交 AD 的延长线于点 F. ∵ AC 平 分∠BAD,CE⊥AB,∴ CF=CE. (2 分) 在 Rt △ACF 和 Rt △ACE 中, AC = AC, CF = CE, ∴ Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),∴ AF=AE. (4 分) 又∵ AF=AD+DF,AE = AB-BE,AE = 1 2 (AB+AD),∴ DF =BE. 在△CDF 和△CBE 中,DF =BE,∠CFD = ∠CEB = 90°,CF = CE, ∴ △CDF ≌ △CBE ( SAS), ∴ ∠CDF = ∠CBE. (8 分) ∵ ∠ADC+∠CDF= 180°,∴ ∠ABC+∠ADC= 180°. (9 分) 20. 证明:(1)∵ BE⊥CE,AD⊥CE,∴ ∠BEC = ∠CDA= 90°. 在Rt△BEC 中, ∠BCE+ ∠CBE = 90°,在 Rt△BCA 中, ∠BCE+∠ACD= 90°,∴ ∠CBE= ∠ACD, (3 分) 在 △BEC 和 △CDA 中, ∠BEC = ∠CDA, ∠CBE = ∠ACD,BC=CA,∴ △BEC≌△CDA(AAS); (6 分) (2)∵ △BEC≌△CDA,∴ BE=CD,CE=AD. 又∵ CE-CD =DE,∴ DE=AD-BE. (9 分) 21. (1) 证明:在△AOD 和△BOE 中, ∠A = ∠B,∠AOD = ∠BOE. ∴ ∠BEO= ∠2. 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1 = ∠BEO, ∴ ∠AEC= ∠BED. (3 分) 在 △AEC 和 △BED 中, ∠A = ∠B, AE = BE, ∠AEC = ∠BED,∴ △AEC≌△BED(ASA); (6 分) (2)解:∵ △AEC≌△BED,∴ EC=ED,∠C= ∠BDE. (8 分) ∵ EC=ED,∠1 = 42°,∴ ∠C = ∠EDC = 69°,∴ ∠BDE = ∠C= 69°. (10 分) 22. (1)证明:过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. 在△AFE 与△AHC 中,∠AFE= ∠AHC = 90°,∠E = ∠C,EA = CA,∴ △AFE ≌△AHC(AAS),∴ AF=AH,∴ GA 平分∠DGB; (4 分) (2)解:∵ 在△ABC 与△ADE 中,BC =DE,∠C = ∠E,CA =EA,∴ △ABC≌△ADE(SAS),∴ AD=AB. (6 分) 又∵ AF⊥DE,AH⊥BC,AF = AH,∴ Rt△ADF≌Rt△ABH (HL),∴ S四边形DGBA =S四边形AFGH = 6. (8 分) ∵ 在 Rt △AFG 与 Rt △AHG 中, AG = AG, AF = AH, ∴ Rt△AFG≌Rt△AHG(HL),∴ SRt△AFG = 3. (10 分) ∵ AF= 3 2 ,∴ 1 2 FG× 3 2 = 3,解得 FG= 4. (11 分) 23.特例探究:证明:∵ CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN = 90°,∴ ∠BDA= ∠AFC = 90°,∴ ∠BAD+∠ABD = 90°,∠BAD+ ∠CAF= 90°,∴ ∠ABD= ∠CAF. (3 分) 在△ABD 和△CAF 中,∠BDA= ∠AFC,∠ABD = ∠CAF, AB=CA,∴ △ABD≌△CAF(AAS); (5 分) 归纳证明:证明: ∵ ∠1 = ∠2 = ∠BAC, ∠1 = ∠BAE + ∠ABE,∠BAC= ∠BAE+∠CAF,∠2 = ∠FCA+∠CAF,∴ ∠ABE= ∠CAF,∠BAE= ∠FCA. (7 分) 在△ABE 和△CAF 中,∠ABE = ∠CAF,AB = CA,∠BAE = ∠ACF,∴ △ABE≌△CAF(ASA); (9 分) 拓展应用:5 (11 分) 第十三章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D A C C A D B C B 1. D　 2. D　 3. A　 4. C　 5. C 6. A　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化,根据题 意得出 C,B 关于直线 m 对称,即关于直线 x = 1 对称,进 而得出 B 点的坐标. 7. D　 【解析】∵ AB = AC,BC = 5,S△ABC = 15,AD⊥BC 于点 D,∴ AD= 6. ∵ EF 垂直平分 AB,∴ 点 A、B 关于直线 EF 对称,∴ AD 的长度 = (PB +PD) 的最小值,即为 6. 故 选 D. 8. B　 【解析】∵ AD 平分∠BAC,EF∥AC,∴ ∠FAE = ∠CAE = ∠AEF,∴ AF=EF. ∵ BE⊥AD,∴ ∠FAE+∠ABE = 90°, ∠AEF+∠BEF= 90°,∴ ∠ABE= ∠BEF,∴ BF =EF,∴ AF =BF. 故选 B. 9. C 10. B　 【解析】作 M 关于 OB 的对称点 M′,N 关于 OA 的对 称点 N′,连接 M′N′交 OA 于点 Q,交 OB 于点 P,则 MP+ PQ+QN 最小,易知∠OPM = ∠OPM′ = ∠NPQ,∠OQP = ∠AQN′= ∠AQN. ∵ ∠OQN= 180°-30°-∠ONQ,∠OPM = ∠NPQ= 30°+∠OQP,∠OQP = ∠AQN = 30°+∠ONQ, ∴ α+β= 180°-30°-∠ONQ+30°+30°+∠ONQ = 210°. 故 选 B. 11. -2 12. 50°　 【解析】由翻折的性质可知:∠BDE = ∠B1DE. ∵ ∠ADB1 = 70°,∴ ∠BDE= 1 2 ∠BDB1 = 1 2 ×110° = 55°. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B= 60°. 在△BDE 中,∠BED = 180°- 55° - 60° = 65°. ∴ ∠BEB1 = 2 × 65° = 130°,∴ ∠CEB1 = 180°-130° = 50°. 13. 5cm　 【解析】作点 M 关于 OC 的对称点 P,过 P 作 PN ⊥OA 于点 N,交 OC 于点 Q,则此时 QM+QN 的值最小. ∵ ∠AOB= 30°,OC 平分∠AOB,∴ OP = OM = 10cm,QM =PQ,∠PNO = 90°,∵ PN = 1 2 OP = 1 2 × 10 = 5(cm),∴ QM+QN=PQ+QN=PN= 5(cm) . 14. 105° 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的 性质,掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 根据作 图步骤得出 EF 为线段 AC 的垂直平分线,得出 DA =DC, 从而得出∠CDB,再由 CD=CB 得出∠B = ∠CDB,从而得 出∠BCD,即可得到∠BCA 度数. 15. 10 3 或 10　 【解析】当点 P 在 OC 左侧时,∵ PO = AO-AP = 10-2t,QO= t,∴ 当 PO =QO 时,10-2t = t,∴ t = 10 3 ;当 点 P 在 OC 右侧时,∵ PO=AP-AO = 2t-10,OQ = t,∴ 当 PO=QO 时,2t-10 = t,∴ t= 10. 综上所述,当 t = 10 3 或 10s 时,△POQ 是等腰三角形. 16. 解:由题意,得 EB=EC,则△ABE 的周长=AB+BE+AE = AB+AE+EC = AB+AC = 14cm,∵ AC = 8,∴ AB = 14- 8 = 6 (cm) . (8 分) 17. (1)证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. 在△DBE 和△ECF 中,BE = CF, ∠B = ∠C, BD = CE, ∴ △DBE ≌ △ECF (SAS),∴ DE=EF,∴ △DEF 是等腰三角形; (5 分) (2)解:由(1)可知△DBE≌△ECF,∴ ∠1 = ∠3. ∵ ∠A +∠B+ ∠C = 180°,∠A = 40°,∠B = ∠C, ∴ ∠B = 1 2 × 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 6 页 (180°- 40°) = 70°, ∴ ∠1 + ∠2 = 110°, ∴ ∠3 + ∠2 = 110°,∴ ∠DEF= 70°. (9 分) 18. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (3 分) (2)连接 B1C 交 DE 于点 P,则 P 点就是所求的点,如图 所示; (6 分) (3)Q 为 AC1(或 CA1 )与 DE 的交点,如图所示. (9 分) 19. 证明:(1)∵ Rt△ABC 中,∠BAC= 30°,∴ AB= 2BC. 又∵ △ABE 是等边三角形,EF⊥AB,∴ AE =BA,AB = 2AF,∴ AF=BC. 在 Rt△AFE 和 Rt△BCA 中,AE = BA,AF = BC, ∴ Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),∴ AC=EF; (5 分) (2)∵ △ACD 是等边三角形,∴ ∠DAC = 60°,AC = AD, ∴ ∠DAB= ∠DAC+∠BAC= 90°. 又∵ ∠AFE = 90°,∴ EF ∥AD. ∵ AC=EF,AC=AD,∴ EF=AD. (9 分) 20. 解:(1)OA=OB=OC; (2 分) (2)△OMN 为等腰直角三角形. (3 分) 证明:连接 AO, ∵ AC = AB, OC = OB, ∴ AO ⊥ BC, 即 ∠AOB= 90°,且∠CAO = ∠BAO. 又∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠CAO= 45°,∵ AC = AB,∠BAC = 90°,∴ ∠B = 45°,∴ ∠NAO= ∠B. (5 分) 在△AON 与△BOM 中,AO=BO,∠NAO = ∠B,AN =BM, ∴ △AON≌△BOM,∴ ON=OM,∠NOA= ∠MOB, (7 分) ∴ ∠NOA+∠AOM = ∠MOB+∠AOM,∴ ∠NOM = ∠AOB = 90°,∴ △OMN 是等腰直角三角形. (9 分) 21. 证明:(1) ∵ AC = BC,∠ACB = 90°,∴ ∠BAC = ∠ABC = 45°,∵ ∠CAD = ∠CBD = 15°,∴ ∠BAD = ∠ABD = 30°, ∴ AD=BD. (2 分) 又 ∵ AC = BC, ∠CAD = ∠CBD, ∴ △ADC ≌ △BDC (SAS), ∴ ∠ACD = ∠BCD = 45°, ∴ ∠ADC = ∠BDC = 120°. (3 分) ∵ ∠ADC + ∠CDE = 180°, ∴ ∠CDE = 60°, ∴ ∠BDE = 120°-60° = 60°,∴ ∠BDE= ∠CDE,即 DE 平分∠BDC; (5 分) (2)连接 CM,∵ DC = DM,∠CDE = 60°,∴ △CDM 为等 边三角形,∴ ∠CMD = 60°,CD = CM,∴ ∠CME = 120°, ∴ ∠CME= ∠BDC. ∵ CE=CA,∴ ∠CAE = ∠E. ∵ ∠CAE =∠CBD,∴ ∠E= ∠CBD,在△CME 和△CDB 中,∠E = ∠CBD,∠CME = ∠CDB,CM = CD, ∴ △CME≌ △CDB (AAS),∴ ME=BD. (9 分) 22. (1)证明:由旋转的性质,得△APC≌△BDC,PC = DC, ∠PCD= 60°,∴ △DPC 是等边三角形; (3 分) (2)解:△DPB 是直角三角形,理由如下:由旋转,得 ∠BDC= ∠APC = 150°,又由( 1) 知△DPC 是等边三角 形,∴ ∠PDC= 60°,∴ ∠BDP = ∠BDC-∠PDC = 90°,∴ △DPB 是直角三角形; (6 分) (3)解:设∠APC = x,则∠BPD = 200° - x, ∠BDP = x - 60°,①若 PD=PB,则(200°-x) +2(x-60°) = 180°,∴ x = 100°; (7 分) ②若 PD= DB,则 2( 200° - x) + ( x- 60°) = 180°,∴ x = 160°; (8 分) ③若 PB=DB,则 200°-x= x-60°,∴ x = 130°;综上所述, ∠APC 的度数是 100°,160°或 130°. (10 分) 23. 解:(1)设点 M、N 运动 x 秒后,M、N 两点重合,x+ 10 = 2x,解得 x= 10; (3 分) (2)设点 M、N 运动 t 秒后,可得到等边三角形 AMN,AM = t,AN=AB-BN= 10-2t. ∵ 三角形 AMN 是等边三角形, ∴ t= 10-2t,解得 t= 10 3 ,∴ 点 M、N 运动10 3 秒后,可得到 等边三角形 AMN; (7 分) (3)当点 M、N 在 BC 边上运动时,可以得到以 MN 为底 边的等腰三角形, (8 分) 由(1) 知 10 秒时 M、N 两点重合,恰好在 C 处,假设 △AMN 是等腰三角形,∴ AN = AM,∴ ∠AMN = ∠ANM, ∴ ∠AMC= ∠ANB. ∵ AB = BC = AC,∴ △ACB 是等边三 角 形, ∴ ∠C = ∠B. 在 △ACM 和 △ABN 中, ∠C= ∠B ∠AMC= ∠ANB AC=AB{ , ∴ △ACM ≌ △ABN ( AAS), ∴ CM = BN. (10 分) 设此时 M、N 运动的时间为 y,则 CM = y- 10,NB = 30- 2y,∴ y-10 = 30- 2y,解得 y = 40 3 . 故假设成立. ∴ 当点 M、N 在 BC 边上运动时,能得到以 MN 为底边的等腰 △AMN,此时 M、N 运动的时间为40 3 秒. (12 分) 追梦期中达标测试卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A B C C B B D C 1. B　 2. C　 3. A 4. B 　 【解析】 ∵ AB = AC,∠A = 30°,∴ ∠ABC = ∠ACB = (180°-30°)÷ 2 = 75°. 又∵ BC = BD,∴ ∠BDC = ∠ACB = 75°,∴ ∠ABD= ∠BDC-∠A= 45°. 故选 B. 5. C　 6. C 7. B　 【解析】如图,∠α = ∠1+∠D,∠β = ∠4+∠F,∴ ∠α+∠β = ∠1+∠D+ ∠4+∠F= ∠2+∠D+∠3+∠F = ∠2+ ∠3+ 30° + 90° = 180° + 30° = 210°. 故 选 B. 8. B　 【解析】∵ DF 垂直平分 AC,∴ AD =CD. ∴ ∠CAD = ∠ACD. ∵ ∠CAD = 45°,∴ ∠ACD = 45°,∴ ∠CAD + ∠ACD= 90°,∴ ∠CDE= 90°,∴ ∠ADB= 180° -∠CDE = 90°,∴ ∠ADB= ∠CDE= 90°,∴ △ABD 和△CED 都是直 角三角形. 在 Rt△ABD 和 Rt△CED 中,AB = CE,AD = CD,∴ Rt△ABD≌Rt△CED(HL),∴ ∠B = ∠CED = 75°. ∵ ∠CDE= 90°,∴ ∠CED+∠DCE= 90°,∴ ∠DCE= 90°- ∠CED = 15°. 故选 B. 9. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】根据三角形中线的定义可得 BD=CD,然后利 用“边角边”证明△BDF 和△CDE 全等,根据全等三角形 对应边相等可得 CE = BF,全等三角形对应角相等可得 ∠F= ∠CED,再根据内错角相等,两直线平行可得 BF∥ CE,最后根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD 和△ACD 的面积相等. 10. C　 【解析】取 AB 的中点 G,连接 CG 交 AD 于点 F,∵ 等 边三角形边长为 4,AE= 2,∴ 点 E 是 AC 的中点,∴ G、E 关于 AD 对称,此时 EF+FC =CG 取得最小值. ∴ ∠ECF = 1 2 ∠ACB= 30°. 故选 C. 11. 1<c<5　 12. BC=EF(答案不唯一) 　 13. 10°　 14. 4　 【解析】作 DH∥CB 交 AB 于点 H,∵ ∠C = 90°,∠A= 30°,∴ ∠ABC = 60°,AB = 2BC. ∵ DH∥BC,∴ ∠AHD = ∠ABC= 60°,∴ ∠DHG = ∠FBG. ∵ AE = ED,∴ ∠A = ∠EDA= 30°,∴ ∠HED= ∠A+∠EDA = 60°,∴ △EDH 是 等边三角形,∴ ED = EH = AE = DH = BF,在 △DHG 和 △FBG 中,∠DHG = ∠FBG,∠HGD = ∠BGF,DH = FB, ∴ △DHG≌△FBG,∴ BG =HG. ∵ HE = AE,∴ EG = 1 2 AB =BC= 4. 15. ①③⑤　 【解析】∵ ∠ACB = 90°,BF⊥AE,∴ ∠ACB = ∠BED = ∠BCF = 90°,∴ ∠F + ∠FBC = 90°,∠BDE + ∠FBC= 90°,∴ ∠F = ∠BDE. ∵ ∠BDE = ∠ADC,∴ ∠F = ∠ADC. ∵ AC = BC,∴ △BCF≌△ACD,∴ AD = BF,① 正确; ∵ AF > AD, ∴ BF ≠ AF, ② 错 误; ∵ △BCF ≌ △ACD,∴ CD=CF,∴ AC+CD =AF. 又∵ AE 平分∠BAC, ∴ ∠BAE= ∠FAE. 又∵ ∠FEA = ∠BEA = 90°,AE = AE, ∴ △BEA≌△FEA,∴ AB = AF,∴ AC+CD = AB,③正确; ∵ BF=AD,在△ADB 中,AB>AD,∴ AB>BF,④错误;由 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBR·数学　 第 7 页