铺路帮手-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第 11 章　 数的开方 测试时间:40 分钟　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1. 在下面各数中,- 5 ,-3π, 1 2 ,3. 1415, 3 64 , 9 , 8 ,0. 1616616661…,无理数有(　 　 ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 2. 81的平方根是(　 　 ) A. ±3 B. ± 1 3 C. 3 D. ±9 3. 下列说法中错误的是(　 　 ) A. 2 是 8 的立方根 B. ±4 是 64 的立方根 C. - 1 3 是 1 9 的一个平方根 D. 4 是 256的算术平方根 4. 实数- 6 ,-2,- 7之间的大小关系是(　 　 ) A. - 7 >- 6 >-2 B. - 7 >-2>- 6 C. -2>- 6 >- 7 D. - 6 >-2>- 7 5. 已知 2m-4 与 m-5 是同一个数的平方根, 则 m 的值是(　 　 ) A. -3 B. 1 C. -1 或 3 D. -3 或 1 6. 生活情境·长跑 为了满足广大人民群众日 益增长的体育运动需求,也为了纪念北京奥 运会成功举办,国务院批准,从 2009 年起,每 年 8 月 8 日为“全民健身日”,长跑因为其便 捷性及有效性成为人们最喜爱的运动方式 之一,普通人长跑 5 公里的平均速度约为 ( 3 +1)m / s 左右,估计 3 +1 的值在(　 　 ) A. 1 到 2 之间 B. 2 到 3 之间 C. 3 到 4 之间 D. 4 到 5 之间 7. 数学思想·数形结合 直径为 1 个单位长度 的圆上有一点 A,现在将点 A 与数轴上表示 3的点重合,并将圆沿数轴无滑动地向左 滚动两周,如图,若点 A 到达数轴上的点 B 处,则点 B 表示的数是(　 　 ) A. 2π- 3 B. π- 3 C. 3 -π D. 3 -2π 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 中考新趋势·结论开放性 写出一个比 4 大且 比 5 小的无理数是　 　 　 　 . 9. 中考新趋势·新定义 用“ ∗”表示一种新运 算:对于任意正实数 a,b,都有 a∗b= b +a, 例如 4 ∗ 9 = 9 + 4 = 7, 那 么 5 ∗ 289 = 　 　 　 　 . 10. 跨学科试题·物理 电流通过导线时会产生 热量,满足 Q = I2Rt,其中 Q 为产生的热量 (单位:J),I 为电流(单位:A),R 为导线电 阻(单位:Ω),t 为通电时间(单位:s),若 导线电阻为 5Ω,2s 时间导线产生 40J 的热 量,则电流的值是　 　 　 　 . 11. 任何实数 a,可用[a]表示不超过 a 的最大 整数,如[4] = 4,[ 3 ] = 1,现对 72 进行如 下操 作: 72 第一次 → [ 72 ] = 8 第 2 次 → [ 8 ] = 2 第三次 →[ 2 ] = 1,这样对 72 只需 进行 3 次操作后变为 1,类似地,对 2027 进行　 　 　 　 次操作后变为 1. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 1 页 三、解答题(共 32 分) 12. (8 分)计算: (1) - 3 0. 008 × 1 9 16 + 172 -82 ÷ 3 - 1 125 ; (2) | 2- 3 | - 4 + 2. 25 + 3 -3 3 8 . 13. (8 分)已知 x 的两个平方根分别是 2a-1 和 a- 5,且 3 y-x-2 = 3,求 x+ y 的算术平 方根. 14. (8 分)观察下列各式及验证过程: ① 2- 2 5 = 8 5 = 4×2 5 = 2 2 5 ,即 2- 2 5 = 2 2 5 ; ② 3- 3 10 = 27 10 = 9×3 10 = 3 3 10 , 即 3- 3 10 = 3 3 10 . (1) 猜想 5- 5 26 等于多少? 并写出推导 过程. (2)直接写出第 n(n>0)个等式. 15. 跨学科试题·地理 (8 分)从理论上讲,人 眼能看清楚无限远处的物体,但受光线等 外在条件和人的眼球本身的健康程度等影 响,实际上无法做到. 天气晴朗时,一个人 能看到大海的最远距离 s 可用经验公式 s2 = 17h 来估计,其中 h 是眼睛离海平面的 高度(公式中 s 的单位是千米,h 的单位是 米) . 某游客站在海边一处观景台上,眼睛 距离海平面的高度约为 34 米,他能看到大 海的最远距离约是多少千米? (用计算器 计算,结果保留整数) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 2 页 第 12 章　 整式的乘除 幂的运算、整式的乘法 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列运算正确的是(　 　 ) A. 2m6 ÷m2 = 2m3 B. 2m2·m3 = 2m5 C. ( -m3) 2 =m9 D. (ab2) 3 ÷(ab) 2 =ab3 2. 如果(am·b·bn) 3 =a6b15,那么 m,n 的值分 别是(　 　 ) A. 2,4 B. 2,5 C. 3,5 D. 3,-5 3. 学习情境·错解问题 小轩计算一道整式乘 法的题:(3x+2m)(5x-6),由于小轩将第一 个多项式中的“ + 2m”抄成“ - 2m”,得到的 结果为 15x2 -78x+72,则 m 的值为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 文化情境·数学文化 《孙子算经》中有记载: “凡大数之法,万万曰亿,万万亿曰兆. ” 说 明了大数之间的关系:1 亿= 1 万×1 万,1 兆 = 1 万×1 万×1 亿. 则 1 兆等于(　 　 ) A. 108 B. 1012 C. 1016 D. 1024 5. 生活情境·摸球 如图,在甲、乙、丙三只袋中 分别装有球 29 个、29 个、5 个,先从甲袋中取 出 2x 个球放入乙袋,再从乙袋中取出(2x +2y) 个球放入丙袋,最后从丙袋中取出 2y 个球放 入甲袋,此时三只袋中球的个数都相同,则 2x+y 的值等于(　 　 ) A. 128 B. 64 C. 32 D. 16 6. 数学思想·数形结合 通过计算比较图 1,图 2 中阴影部分的面积,可以验证的计算式子 是(　 　 ) 图 1 　 　 　 图 2 A. a(b-x)= ab-ax B. b(a-x)= ab-bx C. (a-x)(b-x)= ab-ax-bx D. (a-x)(b-x)= ab-ax-bx+x2 二、填空题(每题 3 分,共 12 分) 7. 若 2m+3n= 3,则 9m·27n = 　 　 　 　 . 8. 如果 a= 255,b = 344,c = 433,那么 a、b、c 之间 的大小关系是　 　 　 　 (用“>”连接) . 9. 学习情境·墨迹覆盖 数学课上,老师讲了单 项式乘多项式,放学回到家,李刚拿出课堂 笔记复习,发现一道题:-4xy(3y- 2x- 3) = -12xy2□+12xy,□的地方被墨水弄污了,你 认为□内应填写　 　 　 　 . 10. 生活情境·wifi 密码 如图,王老师把家里 的 wifi 密码设置成了数学问题. 小明来王 老师家做客,看到 wifi 图片,思索了一会 儿,输入密码,顺利地连接到了王老师家里 的网络,那么他输入的密码是　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 11. (10 分)化简或计算: (1)计算:2 0242 -2 025×2 023; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 3 页 (2)先化简,再求值:(3x4 -2x3 ) ÷( -x) -(x -x2)·3x,其中 x= - 1 2 . 12. 中考新趋势·新定义 (10 分)规定两数 a,b 之间的一种运算,记作(a,b):如果 ac = b, 那么(a,b) = c. 例如:因为 23 = 8,所以(2, 8)= 3. (1)根据上述规定,填空:(5,25)= 　 　 　 　 , (4,64)= 　 　 　 　 . (2)小明在研究这种运算时发现一个特征: (3n,4n)= (3,4),并作出了如下的证明: 设(3n,4n)= x,则(3n)x = 4n,即(3x)n = 4n. 所 以 3x =4,即(3,4)= x,所以(3n,4n)= (3,4). 试解决下列问题: ①计算(8,1 000) -(32,100 000); ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等 式:(3,2) +(3,5)= (3,10) . 13. 文化情境·传统文化 (10 分)某校同学在 某村社会实践的过程中,遇到一些各具特 色的建筑,有在加拿大魁北克城举行的第 32 届世界遗产大会上正式被列入《世界遗 产名录》 的福建土楼,也有新中式风格的 传统民宿,同学们对于哪个建筑的占地面 积更大展开了争论. ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面 积更大; ②组的同学们认为新中式民宿占地面积 更大; 为了证明自己的想法是正确的,两组同学 分别对建筑物进行了数据的测量,数据如 图所示. 回字形福建土楼 　 新中式民宿 (1)请你帮助这两组同学计算建筑物的占 地面积各为多少? (2)村口王大叔告诉同学们 a= b,两栋建筑 的占地面积均为 324m2,求 a 的值为多少? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 4 页 乘法公式 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列计算能运用平方差公式的是(　 　 ) A. (m+n)( -m-n) B. (2x+3)(3x-2) C. (5a2 -b2c)(bc2 +5a2) D. ( 2 3 m2 - 3 4 n2)( - 2 3 m2 - 3 4 n2) 2. 若 x2 +y2 = (x+y) 2 +A= (x-y) 2 -B,则 A、B 的 数量关系为(　 　 ) A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定 3. 如果两数和的平方的结果是 x2 +(a- 1) x+ 25,那么 a 的值是(　 　 ) A. -9 B. -9 或 11 C. 9 或-11 D. 11 4. 学习情境·接力游戏 老师设计了接力游戏, 用合作的方式完成运算,规则是:每人只能看 到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结 果传递给下一人,最后完成化简,过程如图所 示. 其中自己负责的一步出现错误的是(　 　 ) A. 只有甲 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,点 C 是线段 BG 上的一点,以 BC,CG 为边向两边作正方形,面积分别是 S1 和 S2, 两正方形的面积和 S1 +S2 = 40,已知 BG = 8, 则图中阴影部分面积为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 现有甲、乙、丙三种不同的纸片各 4 块(边 长如图,a>b) . 嘉嘉准备从中挑选一些纸片 紧密拼接成一个正方形,下列无法实现的方 案是(　 　 ) A. 2 块甲、1 块乙、4 块丙 B. 1 块甲、4 块乙、4 块丙 C. 4 块甲、1 块乙、4 块丙 D. 1 块甲、1 块乙、2 块丙 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 7. 计算:20252 -2024×2026 = 　 　 　 　 . 8. 设 M = 2x+y,N = 2x-y,P = xy,若 M = 4,N = 2,则 P= 　 　 　 　 . 9. 文化情境·数学文化 我国古代数学的许多 创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家 杨辉(约 13 世纪)所著的《详解九章算术》 一书中,用如图的三角形解释二项和( a+ b) n 的展开式的各项系数,此三角形称为 “杨辉三角”,根据“杨辉三角”计算(a+b) 9 的展开式中第三项的系数为　 　 　 　 . 三、解答题(共 33 分) 10. (8 分)计算: (1)a(3-2a) +2(a+1)(a-1); 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 5 页 (2)4(y+1) 2 -(2y+3)(2y-3) . 11. (8 分)已知 2a2 +3a-6 = 0,求式子 3a(2a+ 1) -(2a+1)(2a-1)的值. 12. 学习情境·阅读理解 ( 8 分) 阅读下列材 料:小明在计算 3×(4+1) ×(42 +1)时,把 3 写成 4-1 后,发现可以连续运用平方差公 式计算:3×(4+1) ×(42 +1) = (4-1) ×(4+ 1) ×(42 +1)= (42 -1) ×(42 +1) = 162 -1. 他 很受启发. 后来在求(2+1) ×(22 +1) ×(24 + 1) ×(28 +1) ×(216 +1) ×(232 +1)时,联想到 “凑成”平方差公式,改造此法:将乘积式 前面乘 1,并且把 1 写成(2-1)得:(2-1) × (2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) ×(28 +1) ×(216 + 1) ×(232 +1)= (22 -1) ×(22 +1) ×(24 +1) × (28 +1) ×(216 +1) ×(232 +1) = (24 -1) ×(24 +1) ×( 28 + 1) ×( 216 + 1) ×( 232 + 1) = … = (232 -1) ×(232 +1)= 264 -1. 请你根据小明解决问题的方法,试着计 算:2×(3+1) ×(32 +1) ×(34 +1) ×(38 +1). 13. (9 分)(1)请同学们观察:用 4 个长为 a 宽 为 b 的长方形硬纸片拼成的图形(如图), 根据图形的面积关系,我们可以写出一个 代数 恒 等 式 为: ( a + b ) 2 - ( 　 　 　 ) 2 = (　 　 　 ); (2) 根据 ( 1) 中的等量关系, 解决如下 问题: ①若 m+n= 8,mn= 12,求 m-n 的值; ②已知(2m+n) 2 = 13,(2m-n) 2 = 5,请利用 上述等式求 mn 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 6 页 整式的除法 测试时间:20 分钟　 测试分数:30 分 一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1. 计算-14x3y3 ÷7x2y 的结果是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2x B. -2x C. 2y2 D. -2xy2 2. 已知 4a3bm÷9anb2 = 4 9 b2,则(　 　 ) A. m= 4,n= 3 B. m= 4,n= 1 C. m= 1,n= 3 D. m= 2,n= 3 3. 学习情境·错解问题 小亮在 计算 ( 6x3y - 3x2y2) ÷3xy 时,错把括号内的减号写成了 加号,那么正确结果与错误结果的乘积 是(　 　 ) A. 2x2 -xy B. 2x2 +xy C. 4x4 -x2y2 D. 无法计算 4. 跨学科试题·科学 地球的体积约为 1012 立 方千米,太阳的体积约为 1. 4× 1018 立方千 米,则地球的体积约为太阳体积的(　 　 ) A. 7. 14×10-7 倍 B. 7. 14×10-6 倍 C. 1. 4×106 倍 D. 1. 4×107 倍 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 5. 若长方形面积是 6a2 - 4ab + 2a,一边长为 2a,则这个长方形的另一边长是　 　 　 　 . 6. 学习情境·墨迹覆盖 小明在做作业的时候, 不小心把墨水滴到了作业本上,■ × 5ab = 10a2b-5ab2,阴影部分即为被墨汁弄污的部 分,那么被墨汁遮住的一项是　 　 　 　 . 7. 生活情境·破译密码 信息时代确保信息的安 全很重要,于是在传输信息的时候需要加密传 输.发送方将明文加密为密文传输给接收方, 接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种 加密规则如图所示,当发送方发出 a= 2,b= 4, 则解密后明文的值:mn= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 9 分) 8. (9 分)学习了《整式的乘除》 一章之后,小 华联想到小学除法运算时,会碰到余数的问 题,那么类比多项式除法也会出现余式的问 题. 例如,如果一个多项式(设该多项式为 M)除以 3x2 的商为 2x+6,余式为 x+1,那么 这个多项式是多少? 他通过类比小学除法 的运算法则:被除数 = 除数×商+余数,推理 出多项式除法法则:被除式 = 除式 × 商 + 余式. 请根据以上材料,解决下列问题: (1)请你帮小华求出多项式 M; (2) 小华继续探索,已知关于 x 的多项式 2x3 -4x2 -1 除以多项式 N,得商是 2x,余式 是 x-1,请你根据以上法则求出多项式 N; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 7 页 因式分解 测试时间:40 分钟　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列等式从左到右的变形,属于因式分解的 是(　 　 ) A. m(a+b)= ma+mb B. x2 +2x+1 = x(x+2) +1 C. x2 +x= x2(1+ 1 x ) D. x2 -9 = (x+3)(x-3) 2. 对于①a-2ab=a(1-2b),②(a+2) (a-1)= a2 + a - 2, 从左到右的变形, 表述正确的 是(　 　 ) A. ①是因式分解,②是乘法运算 B. ①是乘法运算,②是因式分解 C. ①②都是因式分解 D. ①②都是乘法运算 3. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的 是(　 　 ) A. -4a2 -b2 B. -4a2 +b2 C. a2 -b4 D. 9a2 -16b2 4. 若9a2(x-y) 2 -3a( y-x) 3 = M·(3a+x-y), 则 M 等于(　 　 ) A. y-x B. x-y C. 3a(x-y) 2 D. -3a(x-y) 5. 生活情境·破译密码 小军是一位密码编译 爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信 息:x-y,a-b,c,x2 -y2,a,x+y,分别对应下列 六个字:学,我,爱,美,游,数. 现将 ac( x2 - y2) -bc(x2 -y2 )因式分解,结果呈现的密码 信息可能是(　 　 ) A. 我爱美学 B. 我爱数学 C. 我爱数 D. 我爱游学 二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 6. 多项式 12ab3c+8a3b 的公因式是　 　 　 　 . 7. 已知 a+b = 3,a-b = 5,则式子 a2 -b2 的值 是　 　 　 　 . 8. 已知三角形三边长 a,b,c 满足(a-b)2+(a-b)c =0,则此三角形一定是　 　 　 　 三角形. 9. 已知长方形的边长为 a 和 b,周长为 12,面 积为 8,则 a2b+ab2 的值为　 　 　 　 . 10. 数学思想·数形结合 如图,将一张大长方 形纸板按图中实线裁剪成 9 块,其中有 2 块是边长为 a 厘米的大正方形,2 块是边 长为 b 厘米的小正方形,5 块是长为 a 厘 米,宽为 b 厘米的相同的小长方形,且 a> b. 观察图形,可以发现代数式 2a2 + 5ab+ 2b2 可以因式分解为　 　 　 　 . 三、解答题(共 35 分) 11. (8 分)分解因式: (1)16(x-y) 2 -25(x+y) 2; (2)(x2 +6x) 2 +18(x2 +6x) +81. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 8 页 12. (8 分)已知 a+b= 1,ab = 1 4 ,利用因式分解 求 a(a+b)(a-b) -a(a+b) 2 的值. 13. 学习情境·阅读理解 (9 分)先阅读下列材 料,再解答下列问题: 材料:因式分解:(x+y) 2 +2(x+y) +1. 解:将“x+y”看成整体,设 x+y =m,则原式 =m2 +2m+1 = (m+1) 2 . 再将 x+y=m 代入,得原式= (x+y+1) 2 . 上述解题用到的是“整体思想”,“整体思 想”是数学解题中常用的一种思想方法. 请你完成下列各题: (1)因式分解:1-2(x-y) +(x-y) 2; (2)因式分解:25(a+2) 2 -10(a+2) +1; (3)因式分解:(y2 -6y)(y2 -6y+18) +81. 14. (10 分)问题情境:我们知道形如 a2 ±2ab+ b2 的式子称为完全平方式. 对于一些不是 完全平方式的多项式,我们可做如下变形: 先添加一个适当的项,使式子中出现完全 平方式,再减去这个项,使整个式子的值不 变,这种方法叫做配方法. 配方法是一种重 要的解决数学问题的方法,不仅可以将有 些看似不能分解的多项式分解因式,还能 解决一些与非负数有关的问题及求代数式 最大、最小值等问题. 例如:分解因式 x2 -2x-3. 解:原式= x2 -2x+1-1-3 = (x2 -2x+1) -4 = (x-1) 2 -4 = (x-1+2) (x- 1- 2) = ( x+ 1)(x-3); 例如:求代数式 x2 +4x+6 的最小值. 解:原式= x2 +4x+4-4+6 = x2 +4x+4+2 = (x +2) 2 +2. ∵ (x+2) 2≥0, ∴ 当 x= -2 时,x2 +4x+6 有最小值是 2. 解决问题: (1)若多项式 x2 -10x+m 是一个完全平方 式,那么常数 m 的值为　 　 　 　 ; (2)分解因式:x2 +8x+7; (3) 求代数式 - x2 - 12x + 9 的最大或最 小值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 9 页 专题　 因式分解及其应用 1. 学习情境·阅读理解 阅读下列材料,回答 问题. (1)形如 x2 +( p+q) x+pq 型的二次三项式, 有以下特点:①二次项系数是 1;②常数项 是两个数之积;③一次项系数是常数项的 两个因数之和. 把这个二次三项式进行因式分解,可以这 样来解: x2 +(p+q)x+pq= x2 +px+qx+pq = (x2 +px) +(qx+pq) = x(x+p) +q(x+p) = (x+p)(x+q) . 因此,可以得 x2 +(p+q)x+pq= 　 　 　 　 . 利用上面的结论,可以直接将某些二次项 系数为 1 的二次三项式分解因式; (2)利用(1)中的结论,分解因式: ①m2 +7m-18 = 　 　 　 　 ; ②x2 -2x-8 = 　 　 　 　 ; ③x2y2 -7xy+10 = 　 　 　 　 . 2. 阅读与思考:常用的因式分解的方法有:提 公因式法和公式法,但有的多项式用上述方 法无法分解,例如 x2 -4y2 -2x+4y,我们细心 观察就会发现,前两项可以分解,后两项也 可以分解,分别分解后会产生公因式,就可 以完整分解了,具体分解过程如下:x2 -4y2 - 2x+4y= ( x2 -4y2 ) -(2x- 4y) = ( x+ 2y) ( x- 2y) -2(x-2y)= (x-2y)(x+2y-2) . 这种方法叫分组分解法,请利用这种方法对 下列多项式进行因式分解: (1)mn2 -2mn+2n-4; (2)x2 -2xy+y2 -16; (3)4x2 -4x-y2 +4y-3. 3. 数学思想·数形结合 若干张正方形和长方 形卡片如图 1 所示,其中甲型、乙型卡片分 别是边长为 a,b(a>b)的正方形,丙型卡片 是长为 a、宽为 b 的长方形. 选取 2 块甲型 卡片,2 块乙型卡片,5 块丙型卡片,拼成如 图 2 所示的大长方形卡片. 　 图 1 　 　 　 图 2 (1) 观察图 2,写出一个多项式的因式分 解　 　 　 　 ; (2)若图 2 中甲型、乙型卡片的面积和为 136,大长方形卡片的周长为 60,求大长方 形卡片的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 10 页 第 13 章　 全等三角形 命题、全等三角形的判定 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列命题中,真命题有(　 　 ) ①实数和数轴上的点是一一对应的 ②无限小数都是无理数 ③任何偶数都是 8 的倍数 ④三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 如图,∠C= ∠DFE = 90°,下列条件中,不能 判定△ACB 与△DFE 全等的是(　 　 ) A. ∠A= ∠D,AB=DE B. AC=DF,BC=EF C. AB=DE,BC=EF D. ∠A= ∠D,∠ABC= ∠E 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,AD⊥BC,垂足为 D,BF⊥AC,垂足为 F,AD 与 BF 交于点 E,AD = BD = 5,DC = 2, 则 AE 的长为(　 　 ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 7 4. 生活情境·测量物品 在测量一个小口圆形 容器的壁厚时,小明用“ X 型转动钳” 按如 图方法进行测量,其中 OA=OD,OB=OC,测 得 AB = 5 厘米,EF = 7 厘米,圆形容器的壁 厚是(　 　 ) A. 1 厘米 B. 2 厘米 C. 5 厘米 D. 7 厘米 5. 学习情境·问题探讨 老师布置的作业中有 这么一道题: 　 　 如图,在△ABC 中,D 为 BC 的中点,若 AC = 3,AD = 4, 则 AB 的长不可能是( 　 　 ) A. 5　 　 B. 7　 　 C. 8　 　 D. 9 甲同学认为 AB,AC,AD 这三条边不在同一 个三角形中,无法解答,老师给的题目有错 误. 乙同学认为可以从中点 D 出发,构造辅 助线,利用全等的知识解决. 丙同学认为可 以从点 C 作平行线,构造辅助线,利用全等 的知识解决. 你认为正确的是(　 　 ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 6. 把命题“等角的补角相等” 改写成“如果 ……,那么……”的形式是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 7. 如图, △ABC≌ △A′B′C′,其中∠A = 36°, ∠C′= 24°,则∠B= 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在△PAB 中,∠A = ∠B,M、N、K 分别 是 PA、PB、AB 上的点,且 AM =BK,BN=AK, 若∠MKN= 42°,则∠P= 　 　 　 　 . 9. (淄博二模)如图,点 D 在△ABC 内部,BD 平 分∠ABC,且 AD⊥BD,连结 CD. 若△BCD 的 面积为 2,则△ABC 的面积为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 11 页 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 12, BC= 6,PQ = AB,P、Q 两点分别在 AC 和过 点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动,要使 △ABC 和△QPA 全等,则 AP= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 25 分) 11. (7 分)如图,已知点 D,E 分别在 AB 和 AC 上,AB=AC,∠B= ∠C,求证:CE=BD. 12. 生活情境·制作风筝 (8 分)如图 1 是小军 制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图 2 所示,AB = AE,AC = AD,∠BAD = ∠EAC, ∠C= 50°,求∠D 的大小. 图 1 　 　 图 2 13. 学习情境·过程学习 (10 分)一节数学课 后,老师布置了一道课后练习题: 如图,已知在 Rt△ABC 中,AB =BC,∠ABC = 90°,BO⊥AC 于点 O,点 P、D 分别在 AO 和 BC 上,PB =PD,DE⊥AC 于点 E,求证: △BPO≌△PDE. (1)理清思路,完成解答. 本题证明的思路可用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证 明过程; (2)特殊位置,证明结论. 若 PB 平分∠ABO,其余条件不变. 求证: AP=CD. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 12 页 等腰三角形 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如果等腰三角形一内角的度数是 80°,则这 个等腰三角形顶角的度数是(　 　 ) A. 100° B. 80° C. 50°或 80° D. 20°或 80° 2. 如图,在△ABC 中,AC = BC,∠C = 36°,AD 平分 ∠BAC, 则图中等腰三角形的个数 是(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在△ABC 中,∠A = 45°,∠B = 60°,点 D 在边 AB 上, 且 BD = BC, 连结 CD, 则 ∠ACD 的大小为(　 　 ) A. 30° B. 25° C. 15° D. 10° 4. 生活情境·平板放置 将一平板保护套展开 放置在水平桌面上,其侧面示意图如图所 示,若∠BAC = ∠BCA,AB = 10cm,则 BC 的 长为(　 　 ) A. 10cm B. 11cm C. 12cm D. 13cm 第 4 题图 　 第 5 题图 5. 一题多解 如图,衣架框内部可以近似看成 一个等腰三角形,记为等腰三角形 ABC,其 中 AB=AC,D 是 BC 的中点,∠ABC= 30°,则 ∠CAD 的度数为(　 　 ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 6. 如图,△ABC 的两个内角的平分线 BO,CO 相交于点 O,过点 O 作 MN∥BC 分别交 AB, AC 于点 M,N,若△AMN 的周长为 15,BC = 8,则△ABC 的周长为(　 　 ) A. 15 B. 19 C. 23 D. 31 第 6 题图 　 第 7 题图 7. 如图,已知∠MON = 30°,点 A1,A2,A3,…在 射线 ON 上,点 B1,B2,B3,…在射线 OM 上, △A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边 三角形, 若 OA1 = 2, 则 △A6B6A7 的边长 为(　 　 ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 二、填空题(每题 3 分,共 9 分) 8. [教材习题 8 变式]木工师傅将一把含 45° 角的三角尺和一个重锤如图放置,就能检查 一根横梁是否水平,能解释这一现象的数学 知识是 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 10 题图 9. 一个等腰三角形的三边长分别为 12,a+2, 3a - 6, 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为　 　 　 　 . 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=AE,若∠B = 55°,∠BAD= 50°,则∠EDC= 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 13 页 三、解答题(共 25 分) 11. (8 分)如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC=CB,F 是 AB 边上的中点,点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动,且始终保持 AD =CE,连结 DE、DF、EF、CF. (1)求证:△ADF≌△CEF; (2)试证明△DFE 是等腰直角三角形. 12. (8 分)如图,已知△ABC,AB = AC,点 D 在 线段 BC 上,点 E 在线段 AC 上,设∠BAD= α,∠CDE=β. (1)如果∠B = 60°,α = 20°,β = 10°,那么 △ADE 是什么特殊三角形? 请说明理由; (2)猜想 α 与 β 之间有什么关系时,使得 AD=AE,并进行证明. 13. (9 分) (黑龙江三模)已知△ABC 为等边 三角形,点 D 在边 BC 上,点 F 在射线 AB 上,以 DF 为一边作等边三角形 DEF,连 结 BE. (1)当点 F 与点 A 重合时,如图 1,线段 BE,BD,BF 之间的数量关系是　 　 　 　 ; (2)点 F 在 AB 边上时,如图 2,当点 F 在 AB 边的延长线上时,如图 3,猜想线段 BF, BD,BE 之间存在怎样的数量关系? 写出 你的猜想,并对图 3 的猜想给予证明. 图 1 　 图 2 　 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 14 页 专题　 构造等腰三角形的常用方法 类型 1　 角平分线+垂线→等腰三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 模型构建:如图,在 △ABC 中,AD 平分 ∠BAC,CD⊥AD,延长 CD 交 AB 于点 E, 则△ACE 是等腰三角形. 1. 如图,在△ABC 中,∠ABC = 3∠C,AD 平分 ∠BAC,BE⊥AD 于点 E. 求证:BE= 1 2 (AC-AB) . 类型 2　 利用平行线构造等腰三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 模型构建:①作腰的平行线构造等腰三 角形. 如图 1、图 2. 若 AB=AC,DE∥AC,则 △BDE 为等腰三角形. 图 1 　 图 2 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 ②作底边的平行线构造等腰三角形,如 图 3、图 4,若 AB = AC,DE∥BC,则△ADE 为等腰三角形. 图 3 　 图 4 2. 已知,△ABC 为等边三角形,点 D 为 AC 上 的一个动点,点 E 为 BC 延长线上一点,且 BD=DE. (1)如图 1,若点 D 在边 AC 上,猜想线段 AD 与 CE 之间的关系,并说明理由; (2)如图 2,若点 D 在 AC 的延长线上,(1) 中的结论是否成立,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 15 页 类型 3　 利用截长补短法构造等腰三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 模型构建:①角平分线+截长:如图 1,当 ∠1 = ∠2,∠B = 2∠C,则 AC = AB+BD;② 角平分线 + 补短:如图 2,当 ∠1 = ∠2, ∠ABC= 2∠C,则 AC=AB+BD. 图 1 　 图 2 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 120°,AD⊥BC 于点 D,且 AB+BD =DC,求∠C 的度数. (用 两种方法解答) 类型 4　 倍角关系→等腰三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 模型构建:在△ABC 中,∠ABC= 2∠C. 方法一:如图 1,外构等腰三角形,作 DB= AB. 方法二:如图 2,内构等腰三角形,作 AD =AB. 方法三:如图 3,作 BE 平分∠ABC. 图 1 　 图 2 图 3 4. 【问题原型】 有这样一道问题: 如图 1, 在 △ABC 中, ∠BCA= 2∠A,BD 为边 AC 上的中线,且 BC = 1 2 AC. 求证:△BCD 为等边三角形. 小聪同学的解决办法是:延长 AC 至点 E,使 CE=BC,如图 2,利用二倍角的条件构造等 腰三角形进而解决问题. 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题. 图 1 　 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 16 页 尺规作图、逆命题与逆定理 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 现有下列命题:①若 x = 5,则 x2 = 25;②若 a >b,则 a c2 +1 > b c2 +1 ;③若 x = y,则 x2 = y2,其中 逆命题是真命题的有(　 　 )个. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 如图, 在 △ABC 中, ∠B = 90°, AD 平分 ∠BAC,BC= 10,CD = 6,则点 D 到 AC 的距 离为(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,已知∠MON = 60°,以点 O 为圆心,OA 长为半径画弧,分别交 OM、ON 于点 B、A. 连结 BA,用尺规作图法依据图中的作图痕 迹作射线 AC,AC 交 OB 于点 C,则∠ACB 的 度数是(　 　 ) A. 120° B. 105° C. 90° D. 75° 4. 用尺规作一个角等于已知角. 已知∠AOB. 求作:∠DEF,使∠DEF = ∠AOB. 作法如下: (1)作射线 EG; (2)以①为圆心,任意长为半径画弧,交 OA 于点 P、交 OB 于点 Q; (3)以点 E 为圆心,以②为半径画弧交 EG 于点 D; (4)以点 D 为圆心,以③为半径画弧交前面 的弧于点 F; (5)过点 F 作④,∠DEF 即为所求作的角. 以上作图步骤中,序号代表的内容错误的 是(　 　 ) A. ①表示点 O B. ②表示 OP C. ③表示 OQ D. ④表示射线 EF 图 1 　 　 图 2 5. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B = 90°,BC = 3, 连结 AC,AC⊥CD,垂足为 C,并且∠ACB = ∠D,点 E 是 AD 边上一动点,则 CE 的最小 值是(　 　 ) A. 1. 5 B. 3 C. 3. 5 D. 4 第 5 题图 　 　 第 6 题图 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 6. 如图,在△ABC 中,DE 为线段 AB 的垂直平 分线. 若△ABC 的周长为 18,线段 AE 的长 度为 4,则△BCD 的周长为　 　 　 　 . 7. 如图,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,AD 平分 ∠BAC,交 BC 于点 D,AB= 10,S△ABD = 15,则 CD 的长为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂 足为 E,△ABC 的面积为 60,AB = 16,BC = 14,则 DE 的长等于　 　 　 　 . 三、解答题(共 31 分) 9. (10 分)如图,在△ABC 中,∠B = 40°,∠C = 50°. (1)按要求尺规作图:(不写作法,保留作图 痕迹) ①作线段 AB 的垂直平分线,交 AB 于点 F, 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 17 页 交 BC 于点 D; ②作∠CAD 的平分线,交 CD 于点 E. (2)求∠DAE 的度数. 10. (10 分)如图,已知△ABC 中,∠B= 45°. (1)实践与操作:利用尺规按下列要求作 图,并在图中标明相应的字母. (保留作图 痕迹,不要求写作法) ①作 BC 边上的高 AD; ②在 AD 上截取 DE,使 DE=DC. (2) 猜想与证明:在( 1) 的条件下,连结 BE,试判断 BE 与 AC 之间的数量关系,并 说明理由. 11. (11 分)已知∠MAN,AP 平分∠MAN,定点 C 在射线 AP 上,∠DCB 与射线 AN 交于点 B,与直线 AM 交于点 D,且∠MAN+∠DCB = 180°,当 CB⊥AN 时,AB 的长为 5. 【证明】(1)如图 1,当点 D 在射线 AM 上, 且 CB⊥AN 时. 求证:①CD=CB; ②AB+AD= 10; 【探究】(2)如图 2,当点 D 在射线 AM 上, 且 CB 与 AN 不垂直时,(1)中的结论②是 否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成 立,请说明理由; 【拓展】(3)如图 3,当点 D 在射线 AM 的反 向延长线上时,(1)中的结论②是否仍然 成立? 若成立,请直接回答;若不成立,请 直接写出 AB 与 AD 满足的新的结论. 图 1 　 图 2 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 18 页 专题　 构造全等三角形的常用辅助线 方法 1　 利用“角平分线”构造全等三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:因为角平分线本身已经具备 全等三角形的三个条件中的两个(角相 等和公共边相等),故在处理角平分线问 题时,常作以下辅助线构造全等三角形: (1)在角的两边截取两条相等的线段; (2)过角平分线上的一点作角两边的垂 线段. 1. 如图,∠AOB = 90°,OC 是∠AOB 的角平分 线. 把直角三角尺的直角顶点落在 OC 的任 意一点 P 上,使三角尺的两条直角边分别 与 OA、OB 相交于点 E、F. 如图①,若 PE⊥ OA,PF⊥OB,我们依据“角平分线上的点到 角的两边距离相等”有结论:PE = PF. 把三 角尺绕点 P 旋转一定角度(如图②),那么 PE=PF 是否仍成立? 请说明理由. ① 　 　 ② 方法 2　 利用“截长补短法”构造全等三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:截长补短法的具体做法:在某 一条线段上截取一条线段与特定线段相 等,或将某条线段延长,使之与特定线段 相等,再利用全等三角形的性质加以说 明. 当条件中出现角平分线时,又体现了 方法 1 中的构造全等三角形. 这种方法适 用于证明线段的和、差、倍、分等关系. 2. 如图,∠A+∠D = 180°,BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,点 E 在 AD 上. (1)探讨线段 AB、CD 和 BC 之间的等量关 系,并说明理由; (2)探讨线段 BE 与 CE 之间的位置关系, 并说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 19 页 3. (1) 如图 1,在四边形 ABCD 中,AB = AD, ∠B+∠D = 180°,E、F 分别是 BC、CD 上的 点,∠EAF= 1 2 ∠BAD,试探究图中线段 BE、 EF、FD 之间的数量关系. (2)如图 2,已知在四边形 ABCD 中,∠ABC +∠ADC= 180°,AB = AD,若点 E 在 CB 的延 长线上,点 F 在 CD 的延长线上,仍然满足 (1)中的结论,请求出∠EAF 与∠DAB 的数 量关系. 图 1 　 　 图 2 方法 3　 利用“倍长中线法”构造全等三角形 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 方法指导:将中线延长一倍,然后利用 “S. A. S. ”判定三角形全等. 4. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问 题:如图 1,△ABC 中,若 AB = 8,AC = 6,求 BC 边上的中线 AD 的取值范围. 小明在组 内经过合作交流,得到了如下的解决方法: 延长 AD 到点 E,使 DE = AD,请根据小明的 方法思考: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　(1)求得 AD 的取值范围是　 　 　 　 . A. 6<AD<8 B. 6≤AD≤8 C. 1<AD<7 D. 1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时,条件中若出现“中点” “中线”字样, 可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散 的已知条件和所求证的结论集合到同一个 三角形中. 【问题解决】 (2)如图 2,已知:CD = AB,∠BDA = ∠BAD, AE 是△ABD 的中线,求证:∠C= ∠BAE. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 20 页 第 14 章　 勾股定理 勾股定理 测试时间:40 分钟　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列各组数中,为勾股数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3,4,5 B. 2,3,4 C. 3 , 4 , 5 D. 13,14,15 2. 若直角三角形的三边 a、b、c 满足 a2 -4a+4+ b-3 = 0,则第三边 c 的长度是(　 　 ) A. 5 B. 13 C. 5或 13 D. 5 或 13 3. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别记 为 a,b,c,由下列条件不能判定△ABC 为直 角三角形的是(　 　 ) A. ∠A+∠B= ∠C B. ∠A ∶∠B ∶∠C= 1 ∶2 ∶3 C. a2 = c2 -b2 D. a ∶b ∶c= 1 3 ∶ 1 4 ∶ 1 5 4. 学科内融合 如图,A(6,0),B( -4,0),以 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交 y 轴正半轴于 点 C,则点 C 的坐标为(　 　 ) A. (0,8) B. (8,0) C. (0,10) D. (10,0) 5. 如图,由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积 是 17,小正方形面积是 5,直角三角形较长 直角边为 a,较短直角边为 b,则 ab 的值 为(　 　 ) A. 6 B. 23 C. 29 D. 35 6. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,以点 A、B 为圆心,以大于 1 2 AB 为半径作弧,交于点 M、N,作直线 MN 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,若 AC= 3,AB= 5,则 DE 等于(　 　 ) A. 2 B. 10 3 C. 15 8 D. 15 2 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 用反证法证明命题“已知△ABC 中,CA = CB;求证:∠A<90°. ”第一步应先假设　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. 如图,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D,若 BC = 16,CD = 6,则 AC= 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 中考新趋势·新定义 对角线互相垂直的四 边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的 “垂美”四边形 ABCD,对角线 AC,BD 交于 点 O. 若 AB = 3, CD = 2, 则 AD2 + BC2 = 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 21 页 10. 文化情境·数学文化 勾股定理 a2 + b2 = c2 本身就是一个关于 a,b,c 的方程,满足这 个方程的正整数解(a,b,c)通常叫作勾股 数组. 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾 股数组的公式,根据该公式可以构造出如 下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24, 25),…,分析上面勾股数组可以发现,4= 1× (3+1),12= 2×(5+1),24 = 3×(7+1),…,分 析上面规律,第 5 个勾股数组为　 　 　 　 . 三、解答题(共 20 分) 11. 数学思想·分类思想 (10 分)在 Rt △ACB 中,∠ABC= 90°,BC= 6 cm,AC= 10 cm. 　 备用图 　 　 (1)求 AB 的长; (2)若点 P 从点 B 出发,以 2 cm / s 的速度 在 BC 所在的直线 l 上运动,设运动时间 为 t s,那么当 t 为何值时,△ACP 为等腰 三角形? 12. 数学思想·数形结合 (10 分)一个直立的 火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾 股定理一种新的证明方法. 如图,火柴盒 的一个侧面 ABCD(是一个长方形),倒下 到 AB′C′D′的位置,连结 AC,AC′,CC′,设 AB=a,BC= b,AC= c. (1) 试用 a、b、c 有关的代数式分别表示 △ABC,△AD′C′,△ACC′的面积; (2) 试用 a、 b 有关的代数式表示梯形 BCC′D′的面积; (3)由(1)和(2)的结论证明勾股定理:a2 +b2 = c2 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 22 页 勾股定理的应用 测试时间:40 分钟　 测试分数:45 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 生活情境·公园 如图,某公园内的一块长方 形草坪 ABCD,已知 AB = 8m,BC = 6m,公园 管理处为了方便群众,沿 AC 修了一条近 道,一个人从 A 到 C 走 A-B-C 比直接走 AC 多走了(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 米 B. 4 米 C. 6 米 D. 8 米 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 将一根长 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm,高 8cm 的圆柱形水杯中,如图所示, 设筷子露在杯子外面的长度为 hcm,则 h 的 取值范围是(　 　 ) A. h≤17 B. h≥8 C. 15≤h≤16 D. 7≤h≤16 3. 生活情境·秋千 如图,有一个绳索拉直的木 马秋千,绳索 AB 的长度为 5 米,若将它往 水平方向向前推进 3 米(即 DE = 3 米),且 绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高 度为(　 　 ) A. 1 米 B. 2米 C. 2 米 D. 4 米 第 3 题图 　 第 4 题图 4. 生活情境·拉船靠岸 如图,在离水面点 A 高 度为 8m 的岸上点 C 处,有人用绳子拉船靠 岸,开始时绳子 BC 的长度为 17m,此人以 1m / s 的速度收绳,7s 后船移动到点 D 的位 置,则船向岸边移动了( 　 　 ) (假设绳子是 直的) A. 9 米 B. 8 米 C. 7 米 D. 6 米 5. 生活情境·笔记本电脑 某数学兴趣小组开 展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活 动. 如图,当张角为∠BAF 时,顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为 7cm,此时底部边缘 A 处与 C 处间的距离 AC 为 24cm,小组成员 调整张角的大小继续探究,最后发现当张 角为∠DAF 时(D 是 B 的对应点),顶部边 缘 D 处到桌面的距离 DE 为 20cm,则底部 边缘 A 处与 E 之间的距离 AE 为(　 　 ) A. 15cm B. 18cm C. 21cm D. 24cm 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. 生活情境·旗杆 小明想知道学校旗杆的高, 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m,当 他把绳子的下端拉开 4m 后,发现下端刚好 接触地面,则旗杆的高为　 　 　 　 m. 7. 生活情境·停靠梯子 如图,小巷左右两侧是 竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底 端到左墙角的距离为 0. 7 米,顶端距离地面 2. 4 米,如果保持梯子底端位置不动,将梯 子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,则小 巷的宽度为　 　 　 　 米. 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 23 页 8. 如图所示,已知圆柱底面圆直径为16 π ,高为 12,P 为 BC 中点,则一只蚂蚁沿着图中几何 体表 面 从 点 A 爬 到 点 P 的 最 短 距 离 是　 　 　 　 . 9. 生活情境·衣架 由于木质衣架没有柔性,在 挂置衣服的时候不太方便操作. 小敏设计了 一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进 衣服后松开即可. 如图 1,衣架杆 OA =OB = 18cm,若衣架收拢时∠AOB= 60°,如图 2,若 衣架打开时∠AOB = 120°,点 O 到 AB 的距 离为 9cm,则此时 A,B 两点之间的距离扩大 了　 　 　 　 cm. 图 1 　 　 图 2 三、解答题(共 18 分) 10. 生活情境·游泳池 (9 分)如图,小明在某 泳池沿泳道 l 练习游泳,点 A 处有一个攀 梯. 游了一段时间后,在 B 处的小明想上 岸休息,他决定游至点 C 后再向攀梯游 去. 已知 B、C、D 三点都在直线 l 上,BC = 9 米,AC= 12 米,AB= 15 米. (1)AC 的长是否为攀梯 A 到泳道 l 的最近 距离,请通过计算加以说明; (2)小明游至 C 处后又沿泳道 l 滑行 2 米 到达点D,若从点D 游至攀梯 A,求DA 的长 度. (保留根号) 11. 生活情境·放风筝 (9 分)八(1)班小明和 小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测 得下图风筝 CE 的高度,他们进行了如下 操作: ①测得 BD 的长度为 24 米; ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 30 米; ③牵线放风筝的小明身高 AB 为 1. 68 米. (1)求风筝的高度 CE; (2)若小亮让风筝沿 CD 方向下降了 8 米 到点 M(即 CM = 8 米),则他往回收线多 少米? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 24 页 第 15 章　 数据的收集与表示 数据的收集与表示 测试时间:40 分钟　 测试分数:40 分 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 跨学科试题·化学 空气是由多种气体混合 而成的,为了简明扼要地介绍空气的组成 情况,较好地描述数据,最恰当的统计图 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 扇形统计图 B. 条形统计图 C. 折线统计图 D. 复式折线统计图 2. 将某班女生的身高分成三组,情况如下表所 示,则表中 a 的值是(　 　 ) 第一组 第二组 第三组 频数 6 10 a 频率 b c 20% A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 文化情境·传统文化 立夏,是二十四节气中 的第 7 个节气,表示告别春天,是夏天的开 始,因此又称“春尽日”. 如图是我省某地立 夏后连续 10 天的平均气温折线统计图,则 这 10 天中平均气温最高是(　 　 ) A. 19℃ B. 20℃ C. 21℃ D. 22℃ 4. 甲、乙两所学校男女生人数如下图所示,甲学 校有 1000 人,乙学校有 1250 人,则(　 　 ) A. 甲校的女生与乙校的女生一样多 B. 甲校的女生比乙校的女生少 C. 甲校的女生比乙校的女生多 D. 甲校与乙校共有女生 1250 人 5. 安全意识·火灾 春季是北方火灾的多发季 节,为此,某校从 300 名九年级学生中随机 抽取了 50 名学生进行“安全防火,警钟长 鸣”知识问卷调查活动,对问卷调查成绩按 “很好” “较好” “一般” “较差”四类汇总分 析,并绘制了如下条形统计图. 下列说法中 正确的是(　 　 ) A. 抽取的学生中成绩为较好的学生人数 最多 B. 抽取的学生中成绩为“很好”的学生人数 占总人数的 18% C. 抽取的学生中成绩为一般的有 10 人 D. 估计九年级学生成绩为较好的学生有 120 人 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 6. 为统计了解某市 4 万名学生平均每天读书 的时间,有以下步骤:①得出结论,提出建 议;②分析数据;③从 4 万名学生中随机抽取 400 名学生,调查他们平均每天读书的时间; ④利用统计图表将收集的数据整理和表示, 请您对以上步骤进行合理排序 　 　 　 　 . (只填序号) 7. 在一次数学测试中,某班 40 名学生的成绩 分为六组,第一组到第四组的频数分别为 6,9,5,10,第五组频率是 0. 2,则第六组频 数是　 　 　 　 . 8. 科学实验·品种苗 某林木良种繁育试验基 地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律, 定期对培育的 1 000 棵该品种苗进行抽测. 如 图是某次随机抽测该品种苗的高度 x(cm)的 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 25 页 统计图,则此时该基地高度低于 250cm 的“无 絮杨”品种苗约有　 　 　 　 棵. 　 A:x<200 B:200≤x<250 C:250≤x<300 D:300≤x<350 E:x≥350 三、解答题(共 16 分) 9. (8 分)某中学开展“汉字听写大赛”活动, 为了解学生的参与情况,在该校随机抽取了 四个班级学生进行调查,将收集的数据整理 并绘制成图 1 和图 2 两幅不完整的统计图, 请根据图中的信息,解答下列问题: (1)这四个班参与大赛的学生共　 　 　 　 人; (2)请你补全两幅统计图; (3)求图 1 中甲班所对应的扇形圆心角的 度数. 图 1 　 图 2 10. (8 分)假期临近,某校计划开展中学生假 期社会实践活动,成立文明宣传、环境保 护、交通监督三个志愿者队伍,每名学生最 多选择一个队伍. 为了解学生的选择意向, 随机抽取八年级(1)、(2)、(3)、(4)四个 班共 200 名学生进行调查,将调查得到的 数据进行整理,绘制成如图所示的两幅尚 不完整的统计图. 各班级选择交通监督和环境保护志愿者 　 　 队伍的学生人数的折线统计图 200 名学生选择志愿者队伍情况的 　 　 　 　 扇形统计图 根据以上统计图提供的信息,解答下列 问题: (1)求扇形统计图中,环境保护所占的百 分比; (2)求(4)班选择交通监督志愿者队伍的 学生人数,并补全折线统计图; (3)若该校共有 2 000 人,请你估计该校学 生选择文明宣传志愿者队伍的人数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 26 页 期末测试前题组训练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 选填题　 　 　 　 　 　 　 　 满分:54 分 一、选择题(每小题 3 分,共 33 分) 1. 下列各数中,无理数是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 25 B. 8 C. 22 7 D. 3. 1415926534 2. “少年强则国强;强国有我,请党放心. ” 这 句话中,“强”字出现的频率是(　 　 ) A. 1 7 B. 3 7 C. 3 14 D. 1 8 3. 下列运算正确的是(　 　 ) A. m2 +m2 = 2m4 B. m2·m3 =m6 C. m4 ÷m4 =m D. (2mn2) 3 = 8m3n6 4. 下列说法正确的是(　 　 ) A. ( -3) 2 的平方根是 3 B. 16 = ±4 C. 4 的算术平方根是 2 D. 9 的立方根是 3 5. 文化情境·传统文化 世界上最大的金字 塔———胡夫金字塔高达 146. 6 米,底边长 230. 4 米,用了约 2. 3×106 块大石块,每块 重约 2. 5× 103 千克,则胡夫金字塔总重约 为(　 　 ) A. 5. 57×1018 千克 B. 5. 75×109 千克 C. 2. 5×103 千克 D. 3. 38×104 千克 第 5 题图 　 第 6 题图 6. 乐乐爸爸的公司今年 1-7 月份的销售额在 七个月之内增长率的变化状况如图所示. 从 图上看出,下列结论正确的是(　 　 ) A. 1-6 月份销售额在逐渐减少 B. 在这七个月中,1 月份的销售额最大 C. 这七个月中,每月的销售额不断上涨 D. 这七个月中,销售额有增有减 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 6, BC= 8,AB = 10. 如果点 D,E 分别为 BC,AB 上的动点,那么 AD+DE 的最小值是(　 　 ) A. 8. 4 B. 9. 6 C. 10 D. 10. 8 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 四边形 ABCD 的边长如图所示,对角线 AC 的长度随四边形形状的改变而变化. 当 △ABC 为等腰三角形时, △ABC 的面积 为(　 　 ) A. 3 32 B. 3 7 C. 3 7或 3 32 D. 15 9. 如图,在△ABC 中,以 A 为圆心,AC 为半径 作弧交 BC 于点 D,再分别以 B,D 为圆心, 大于 1 2 BD 的长为半径作弧,两弧分别交于 M,N,连结 MN 交 AB 于点 E,已知△ADE 的 周长为 13,AC= 5,则 AB 的长为(　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第 9 题图 　 　 第 10 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 27 页 10. 文化情境·传统文化 山西太原晋祠圣母殿 的大殿正面八根下檐柱上有木制雕龙缠 绕,这就是作为晋祠“古建三绝”之一的盘 龙雕柱. 国庆期间,某小区计划将门口的四 根圆柱形立柱仿照盘龙雕柱用彩带装饰, 为了美观,每根立柱需要按如图所示的方 式从点 A 沿立柱表面缠绕三周到其正上方 的点 B 处. 若每根立柱的底面周长为 1. 5m,高为 6m,则每根立柱所用彩带的最 短长度为(　 　 ) A. 5 2 m B. 3 17 2 m C. 15 2 m D. 30m 11. 如图,在一个宽度为 AB 长的小巷内,一个 梯子的长为 a,梯子的底端位于 AB 上的点 P,将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的 点 C 处,点 C 到 AB 的距离 BC 为 b,梯子 的倾斜角∠BPC 为 45°;将该梯子的顶端 放于另一侧墙上的点 D 处,点 D 到 AB 的 距离 AD 为 c,且此时梯子的倾斜角∠APD 为 75°,则 AB 的长等于(　 　 ) A. a B. b C. b +c 2 D. c 二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 12. 请写出一个比 23小的整数　 　 　 　 . 13. 把多项式 x2 +ax-6 分解因式得(x+2) (x- b),则 a= 　 　 　 　 . 14. 如图,是一个正在绘制的扇形统计图,整个 圆表示八年级全体同学参加拓展课的总人 数,那么表示参加“生活数学”拓展课的人 数占总人数的 25%的扇形是 　 　 　 　 . (填“N””M”“P”或“Q”) 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,已知在△ABC 和△DEF 中,点 B,E, C,F 在同一条直线上,AB∥DE,BE =CF. 请 你添加一个条件　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , 使得△ABC≌△DEF. 16. 下列命题中,①同位角相等;②三角形的高 相交于三角形的内部;③三角形的一个外 角大于任意一个内角;④一个多边形的边 数每增加一条,这个多边形的内角和就增 加 180°;⑤两个角的两边分别平行,则这 两个角相等. 真命题的有　 　 　 　 个. 17. 如图,A,B,C,O 四点都在 3×3 正方形网格 的格点上,则∠AOB-∠BOC= 　 　 　 　 °. 第 17 题图 　 　 第 18 题图 18. 如图,长方形 ABCD 中,∠DAB= ∠B= ∠C= ∠D= 90°,AD=BC= 9,AB=CD= 15. 点 E 为 射线 DC 上的一个动点,△ADE 与△AD′E 关于直线 AE 对称,当△AD′B 为直角三角 形时,DE 为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 28 页 期末测试前题组训练 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 简单解答题(针对 16-20 题) 　 　 　 　 　 满分:65 分 1. (8 分)(1)计算:- 4 + 3 27 + | 5 -3 | ; (2)化简:(2y-x) 2 -(x+2y)(x-2y) . 2. ( 8 分) 先化简, 再求值: ( 4ab3 - 8a2b2 ) ÷ ( -4ab) -2(a+b)(a-b) +3a2,其中(a-2) 2 + b+3 = 0. 3. (9 分)如图,点 A,B,C,D 在同一条直线上, 点 E,F 分别在直线 AB 的两侧,且 AE =BF, ∠A= ∠B,∠ACE= ∠BDF. (1)求证:△ACE≌△BDF; (2)若 AB= 8,AC= 2,求 CD 的长. 4. 中考新趋势·新定义 (10 分)若定义一种运 算:a△b=a3 -b2 +ab+1, 如:2△( -3)= 23 -( -3) 2 +2×( -3) +1 = 8-9 -6+1 = -6. (1)计算:( -x)△(1-x); (2)将(1)计算所得的多项式分解因式; (3)若 x3 -x-2 = 0,求(1)中计算所得的多项 式的值. 5. 中考新趋势·过程性学习 (10 分)如图,已知 ∠AOB 和线段 MN, 点 M, N 在射线 OA, OB 上. (1)尺规作图:作∠AOB 的角平分线和线段 MN 的垂直平分线,交于点 P,保留作图痕 迹,不写作图步骤; (2)连接 MP、NP,过 P 作 PC⊥OA,PD⊥ OB,垂足分别为点 C 和点 D,求证:MC = ND,请补全下列证明. 证明:∵ P 在线段 MN 的垂直平分线上, ∴ MP=NP,(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) ∵ P 在∠AOB 的角平分线上,PC⊥OA,PD ⊥OB, ∴ PC=PD,(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) 请补全后续证明. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 29 页 6. 文化情境·传统文化 (10 分)近日,教育部 印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲 大赛的通知》,本届大赛以“传承中华经典, 庆祝建党百年”为主题,分为“诵读中国”经 典诵读,“诗教中国”诗词讲解,“笔墨中国” 汉字书写,“印记中国”印章篆刻比赛四类 (依次记为 A,B,C,D) . 为了解同学们参与 这四类比赛的意向,某校学生会从有意向参 与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行 了问卷调查(调查问卷如图所示),所有问 卷全部收回,并将调查结果绘制成如下所示 的统计图和统计表(均不完整) . 请根据图 表提供的信息,解答下列问题: “中华经典诵写讲大赛” 参赛意向调查 问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选 项,在其后“( 　 　 )”内打“√”,非常感谢 您的合作. A. “诵读中国”经典诵读( 　 　 ) B. “诗教中国”诗词讲解( 　 　 ) C. “笔墨中国”汉字书写( 　 　 ) D. “印记中国”印章篆刻( 　 　 ) 类别 占调查总人数的百分比 A 70% B 30% C m D 20% (1)参与本次问卷调查的总人数为　 　 　 　 人,统计表中 C 的百分比 m 为　 　 　 　 ; (2)请补全统计图; (3)小华想用扇形统计图反映有意向参与 各类比赛的人数占被调查总人数的百分比, 是否可行? 若可行,求出表示 C 类比赛的 扇形圆心角的度数;若不可行,请说明理由. 7. (10 分)如图,四边形 ABCD 为某工厂的平 面图,经测量 AB=BC =AD = 80m,CD = 80 3 m,且∠ABC= 90°. (1)求∠DAB 的度数; (2)若直线 AB 为工厂的车辆进出口道路 (道路的宽度忽略不计),工作人员想要在 点 D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂 的情况,已知摄像头能监控的最远距离为 80m,求被监控到的道路长度为多少 m? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学　 第 30 页 边的中线,∴ AD⊥BC,BD=CD,∴ AD 垂直平分 BC,∴ EP +CP=EP+BP. 当点 B、P、E 三点共线时,EP+CP 的值最 小,∴ EP+CP=BE. ∵ 点 E 为 AC 的中点,∴ BE⊥AC,CE = 1 2 AC= 3,∴ BE= BC2 -CE2 = 27,∴ EP+CP 的最小 值为 27,故选 D. 10. B　 【解析】圆桶的侧面展开图如图所示,点 A、C 之间 最短距离为线段 AC 的长,则 CD = AB = 3,AD = 1 2 ×10π = 15,∴ AC = 32 +152 = 234,∴ 最短路径为 234, 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利 用两点之间线段最短以及勾股定理,即可求解. 11. >　 12. △ABC 为直角三角形 13. 40° 　 【解析】由作图可知 MN 为 AB 的垂直平分线,∴ AD=DB,∴ ∠DBA = ∠DAB = 35°,∴ ∠CDB = 70°. 又∵ DC=BC,∴ ∠CBD= ∠CDB= 70°,∴ ∠C= 40°. 14. 72　 【解析】90 ~ 110 这一组的频数为 4,∴ 这一组的扇 形圆心角是 4÷20×360° = 72°. 15. 6　 4 16. 解:(1)原式=a2 -2ab-b2 -(a2 -2ab+b2 ) (2 分) =a2 -2ab-b2 -a2 +2ab-b2 = -2b2 ; (4 分) (2)原式= x(x2 -25)= x(x-5)(x+5) . (8 分) 17. 解:原式= x2 +2x+1-x2 +4+4x2 -4x+1 (3 分) = 4x2 -2x+6. (5 分) ∵ - 5 ≤x≤π,∴ 可取 x= 0,当 x = 0 时,原式 = 6. (答案 不唯一) (8 分) 18. 证明: ∵ EC = ED, ∠C = 90°, ED ⊥ AB, ∴ ∠CAE = ∠DAE. (3 分) 在 Rt△ACB 中,∠CAE+∠DAE+∠B= 90°,∠B= 30°,∴ ∠CAE= ∠DAE= ∠B= 30°,∴ EA=EB. (6 分) ∵ ED⊥AB,∴ AD=BD,即 D 为 AB 的中点. (9 分) 19. 解:(1)(120+80)÷40% = 500(人) . 所以参与问卷调查 的总人数为 500 人; (3 分) (2) (7 分) (3)8 000×(1-40%-10%-15%)= 2 800(人) . 所以这些 人中最喜欢微信支付方式的人数约为 2 800 人. (10 分) 20. 解:(1) x -y= 2a+1① x+2y= 5a-5②{ ,①×2+②,得 3x = 9a-3,解得 x = 3a-1,将 x= 3a-1 代入①,得 3a-1-y = 2a+1,解得 y =a-2,∴ x = 3a-1 y=a-2;{ (3 分) (2)由题意,得 2x·(23 ) y = 32,∴ 2x+3y = 25 ,∴ x+3y= 5, (5 分) 将(1)中结果代入得:3a-1+3(a-2)= 5,解得 a = 2,∴ 原式= (-1) 2025 = -1; (7 分) (3)证明:原式= [3a-1-3(a-2)] 2 -5 = 52 -5 = 20,∴ 不 论 a 取何实数,(x-3y) 2 -5 的值始终不变. (10 分) 21. (1)AO=CM. (1 分) 证明:∵ △ABC 为等边三角形,∴ AB =CB,∠ABC = 60°. ∵ ∠OBM= 60°,∴ ∠ABO= ∠CBM. (3 分) ∵ BO=BM,∴ △ABO≌△CBM,∴ AO=CM; (5 分) (2)△OMC 为直角三角形. (6 分) 证明:∵ OA= 8,△ABO≌△CBM,∴ CM = 8. ∵ BO =BM, ∠OBM= 60°,∴ △BOM 为等边三角形. (7 分) ∵ OB= 10,∴ OM = 10. ∵ OC = 6,∴ OC2 +CM2 = 62 + 82 = 102 =OM2 ,∴ △OMC 为直角三角形. (10 分) 22. 解:(1) 连结 AC,∵ AB = BC = 2,∠B = 90°,∴ ∠BAC = ∠BCA= 45°,AC2 =AB2 +BC2 = 8. ∵ AD = 1,CD = 3,∴ AD2 +AC2 =CD2 , (3 分) ∴ △ACD 为直角三角形, ∠DAC = 90°, ∴ ∠BAD = ∠BAC+∠DAC= 45°+90° = 135°; (5 分) (2)设旗杆的高度为 x 米,绳长(x+2)米,由题意,得(x +2) 2 = x2 +52 , (8 分) 解得 x= 21 4 ,即旗杆的高度为21 4 米. (10 分) 23. 解:(1)S. S. S. (2 分) (2)∵ OM = ON,CM = CN,OC = OC,∴ △OCM≌△OCN (S. S. S. ),∴ ∠AOC= ∠BOC,∴ 射线 OC 是∠AOB 的平 分线; (7 分) (3)如图,点 E 即为所求的点. (10 分) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第 11 章　 数的开方 1. A 　 【解析 】 根 据 无 理 数 的 定 义: - 5, - 3π, 8, 0. 1616616661…是无理数,故选 A. 2. A 3. B　 【解析】B. 64 的立方根是 4. 故选 B. 4. C 5. C　 【解析】2m-4 与 m-5 相等时,即 2m-4 =m-5,解得 m = -1;2m-4 与 m-5 互为相反数时,即 2m-4+m-5 = 0,解 得 m= 3. 故选 C. 6. B 7. D　 【解析】由题意知,在数轴上点 A 与点 B 之间的距离 为 π×1×2 = 2π,且点 B 在点 A 的左侧,所以点 B 表示的 数是 3 -2π. 故选 D. 8. 17(答案不唯一) 9. 22　 【解析】5∗289 = 289 +5 = 17+5 = 22. 10. 2A　 【解析】由题意可得 R= 5Ω,t = 2s,Q = 40J,∴ 40 = I2 ×5×2,∴ I2 = 4,∴ I = ±2(负值不符合实际情况,舍去), ∴ 电流的值是 2A. 11. 4　 【解析】[ 2 027] = 45,[ 45 ] = 6,[ 6 ] = 2,[ 2 ] = 1,需进行 4 次操作后变为 1. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 16 页 12. 解:( 1) 原式 = - 0. 2 × 5 4 + 15 ÷ ( - 1 5 ) = - 0. 25 - 75 = -75. 25; (4 分) (2)原式= 2- 3 -2+ 3 2 +(- 3 2 )= - 3 . (8 分) 13. 解:∵ x 的两个平方根是 2a-1 和 a-5,∴ 2a-1+a-5 = 0, ∴ a= 2,∴ x= (2a-1) 2 = 9. (2 分) ∵ 3 y-x-2 = 3,∴ y-x-2 = 27,∴ y= 38, (4 分) ∴ x+y= 9+38 = 47,∴ x+y 的算术平方根是 47 . (8 分) 14. 解:(1)猜想 5- 5 26 = 5 5 26 . (2 分) 推导过程为 5- 5 26 = 125 26 = 25×5 26 = 5 5 26 ;(6 分) (2) (n+1)- n+1 (n+1) 2 +1 = (n+1) n +1 (n+1) 2 +1 . (8 分) 15. 解:由题意,得 s2 = 17h = 17× 34 = 578,∴ s = 578 ≈24 (千米). 答:他能看到大海的最远距离约是 24 千米. (8 分) 第 12 章　 整式的乘除 幂的运算、整式的乘法 1. B　 2. A 3. C　 【解析】(3x- 2m) (5x- 6)= 15x2 - 18x- 10mx+ 12m = 15x2 -(18+10m)x+12m,∴ 15x2 -(18+10m)x+12m = 15x2 -78x+72,∴ 12m= 72,18+10m= 78,∴ m= 6. 故选 C. 4. C 5. A　 【解析】5-2y+2x+2y = 29+2y-2x = 29+2x-2x-2y,即 5+ 2x = 29+2y-2x = 29-2y,∴ 2 ×2x-2y = 24 2×2y = 2x{ ,解得 2x = 16 2y = 8{ ,∴ 原式= 2x×2y = 16×8 = 128. 故选 A. 6. D 7. 27　 【解析】∵ 2m+3n= 3,∴ 原式=(32) m·(33) n = 32m· 33n = 32m+3n = 33 = 27. 8. b>c>a　 【解析】∵ a = (25) 11 = 3211,b = (34) 11 = 8111,c = (43) 11 = 6411,∴ b>c>a. 9. +8x2y　 10. yang8888 11. 解:(1)原式 = 2 0242 -(2 024+1) (2 024-1) = 2 0242 - (2 0242 -1)= 1; (5 分) (2)原式= -3x3 +2x2 -3x2 +3x3 = -x2 , (8 分) 当 x= - 1 2 时,原式= -(- 1 2 ) 2 = - 1 4 . (10 分) 12. 解:(1)2　 3 (2 分) (2)①(8,1000) -(32,100000)= (23 ,103 ) -(25 ,105 ) = (2,10)-(2,10)= 0; (5 分) ②设 3x = 2,3y = 5,则 3x·3y = 3x+y = 2×5 = 10,所以(3,2) = x,(3,5) = y, ( 3,10) = x + y,所以 ( 3,2) + ( 3,5) = (3,10) . (10 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】幂的乘方法则:底数不变,指数相乘. (am) n = amn(m,n 是正整数)注意:①幂的乘方的底数指的是幂的 底数;②法则中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指 数相乘,这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区 别. 13. 解:(1)回字形福建土楼占地面积为(3a+2b) (2a+b) - (2b+a)(b+a)= 5a2 +4ab; (2 分) 新中式民宿占地面积为(a+a+b)(2a+b+a+a) -(2a+b) (a+b)= 6a2 +3ab; (6 分) (2)由题意可得 5a2 + 4ab = 5a2 + 4a2 = 9a2 = 324,∴ a2 = 36. ∴ a= 6(负值舍去),即 a 的值为 6. (10 分) 乘法公式 1. D　 2. A　 3. B　 4. B 5. A　 【解析】设 BC=a,CG= b,则 S1 =a 2,S2 = b 2,a+b =BG = 8. ∴ a2 +b2 = 40. ∵ (a+b) 2 = a2 +b2 +2ab = 64,∴ 2ab = 64- 40 = 24,∴ ab= 12,∴ S阴影 = 1 2 ab= 1 2 ×12 = 6. 故选 A. 6. A　 【解析】∵ a2 +4b2 +4ab=(a+2b) 2,∴ 需要取 1 块甲、4 块乙、4 块丙;∵ 4a2 +b2 + 4ab = (2a+b) 2,∴ 需要取 4 块 甲、1 块乙、4 块丙;∵ a2 +b2 +2ab=(a+b) 2,∴ 需要取 1 块 甲、1 块乙、2 块丙. ∴ 无法实现的方案是取 2 块甲、1 块 乙、4 块丙. 故选 A. 7. 1　 8. 1. 5 9. 36　 【解析】找规律发现(a+b) 3 的第三项系数为 3 = 1+ 2;(a+b) 4 的第三项系数为 6 = 1+2+3;(a+b) 5 的第三项 系数为 10 = 1+2+3+4;不难发现(a+b) n 的第三项系数为 1+2+3+…+(n-2)+(n-1),∴ (a+b) 9 第三项系数为 1+ 2+3+…+8 = 36. 10. 解:(1)原式= 3a-2a2 +2(a2 -1)= 3a-2a2 +2a2 -2 = 3a- 2; (4 分) (2)原式= 4(y2 +2y+1)-(4y2 -9) = 4y2 +8y+4-4y2 +9 = 8y+13. (8 分) 11. 解:原式= 6a2 +3a-4a2 +1 = 2a2 +3a+1, (4 分) ∵ 2a2 +3a-6 = 0,即 2a2 +3a= 6, (6 分) ∴ 原式= 6+1 = 7. (8 分) 12. 解:原式= (3-1) ×(3+1) ×(32 +1) ×(34 +1) ×(38 +1) = (32 -1)×(32 +1)×(34 +1) ×(38 +1)= (34 -1) ×(34 +1) × (38 +1)= (38 -1)×(38 +1)= 316 -1. (8 分) 13. 解:(1)a-b　 4ab (2 分) (2)①∵ (m+n) 2 -(m-n) 2 = 4mn,∴ (m-n) 2 = (m+n) 2 - 4mn, (4 分) ∵ m+n= 8,mn= 12,∴ (m-n) 2 = 82 -4×12 = 16,∴ m-n = ±4. (5 分) ②∵ (2m+n) 2 = 13,(2m-n) 2 = 5,∴ (2m+n) 2 -(2m-n) 2 = 4×2m×n= 8mn= 13-5 = 8,∴ mn= 1. (9 分) 整式的除法 1. D 2. A　 【解析】原式 = 4 9 a3-nbm-2 = 4 9 b2,∴ 3-n = 0,m-2 = 2, 解得 n= 3,m= 4. 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作 为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的 指数一起作为商的一个因式. 3. C　 【解析】正确结果为:原式 = 6x3y÷ 3xy- 3x2y2 ÷ 3xy = 2x2 -xy,错误结果为:原式 = 6x3y÷ 3xy+ 3x2y2 ÷ 3xy = 2x2 + xy,∴ (2x2 -xy)(2x2 +xy)= 4x4 -x2y2 . 故选 C. 4. A 5. 3a-2b+1　 6. 2a-b 7. 120　 【解析】n=(4a2b-2a3)÷(-2a) 2 = b- 1 2 a,将 a= 2,b = 4 代入:m= 22 +2×42 + 1 4 ×42 = 40,n= b- 1 2 a= 4- 1 2 ×2 = 3,∴ mn= 40×3 = 120. 8. 解:(1)M= 3x2(2x+6)+x+1 = 3x2 ·2x+3x2 ·6+x+1 = 6x3 +18x2 +x+1; (4 分) (2)由题意,得(2x3 -4x2 -1)÷N= 2x…x-1, (5 分) ∴ N= [2x3 -4x2 -1-(x-1)]÷2x= x2 -2x- 1 2 . (9 分) 因式分解 1. D　 2. A　 3. A　 4. C　 5. B 6. 4ab　 7. 15 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 17 页 8. 等腰 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】因为(a-b) 2 +(a-b)c=(a-b)(a-b+c)= 0,通 过题目已知条件可以得到 a-b+c≠0,所以 a-b = 0,即 a= b,则此三角形是等腰三角形. 9. 48　 【解析】根据题意得 a+b = 6,ab = 8,所以 a2b+ab2 = ab(a+b)= 8×6 = 48. 10. (2a+b)(2b+a) 11. 解:(1)原式= [4(x-y)+5(x+y)][4(x-y) -5(x+y)] = (4x-4y+5x+5y) (4x-4y-5x-5y) = (9x+y) ( -x- 9y) = -(9x+y)(x+9y); (4 分) (2)原式= (x2 +6x+9) 2 = [(x+3) 2 ] 2 = (x+3) 4 . (8 分) 12. 解:原式 = a(a+b) [ a- b- ( a+ b)] = a( a+ b) ( - 2b) = -2ab(a+b), (4 分) ∵ a+b= 1,ab= 1 4 ,∴ 原式= -2× 1 4 ×1 = - 1 2 . (8 分) 13. 解:(1)设 x-y=m,原式= 1-2m+m2 = (1-m) 2 = [1-(x- y)] 2 = (1-x+y) 2 ; (3 分) (2)设 a+2 =m,原式= 25m2 -10m+1 = (5m-1) 2 = [5(a+ 2)-1] 2 = (5a+9) 2 ; (6 分) (3)设 y2 -6y=m,原式 =m(m+18) +81 =m2 +18m+81 = (m+9) 2 = (y2 -6y+9) 2 = (y-3) 4 . (9 分) 14. 解:(1)25 (2 分) (2)原式= x2 +8x+16-16+7 = (x2 +8x+16) -9 = (x+4) 2 - 9 = (x+4+3)(x+4-3)= (x+7)(x+1); (5 分) (3)原式 = -(x2 + 12x- 9) = -[(x2 + 12x+ 36) - 36- 9] = -[(x+6) 2 -45] = -(x+6) 2 +45, (8 分) ∵ -(x+ 6) 2 ≤0,∴ 当 x = - 6 时,-x2 - 12x+ 9 有最大值 45. (10 分) 专题　 因式分解及其应用 1. (1)(x+p)(x+q) (2)①(m-2)(m+9)　 ②(x+2)(x-4) ③(xy-2)(xy-5) 2. 解:(1)原式= (mn2 -2mn)+(2n-4)= mn(n-2)+2(n-2) = (n-2)(mn+2); (2)原式= (x2 -2xy+y2 )-16 = (x-y) 2 -42 = (x-y-4)(x-y +4); (3)原式= 4x2 -4x+1-y2 + 4y- 4 = (4x2 - 4x+ 1) -(y2 - 4y+ 4)= (2x-1) 2 -(y-2) 2 = (2x-1-y+2) (2x-1+y-2)= (2x -y+1)(2x+y-3) . 3. 解:(1)2a2 +5ab+2b2 = (2a+b)(a+2b) (2)∵ 甲型、乙型卡片的面积和为 136,∴ 2a2 +2b2 = 136, 即 a2 +b2 = 68. ∵ 大长方形卡片的周长为 60,∴ 2[(2a+b) +(a+2b)] = 60,即 a+b = 10. ∵ (a+b) 2 = a2 +b2 + 2ab,∴ 102 = 68+ 2ab,∴ ab = 16,∴ 2a2 + 5ab+ 2b2 = 136+ 5 × 16 = 216,∴ 大长方形卡片的面积为 216. 第 13 章　 全等三角形 命题、全等三角形的判定 1. B　 2. D 3. C 　 【解析】 ∵ AD⊥BC,BF⊥AC,∴ ∠ADC = ∠ADB = ∠BFC = 90°, ∴ ∠C + ∠DAC = ∠C + ∠DBF = 90°, ∴ ∠DAC = ∠DBF. 在 △DBE 和 △DAC 中, ∠DBE= ∠DAC BD=AD ∠BDE= ∠ADC { ,∴ △DBE≌△DAC(A. S. A. ),∴ CD = ED= 2,∴ AE=AD-DE= 3. 故选 C. 4. A 　 【解析】 在 △AOB 和 △DOC 中,OA = OD,∠AOB = ∠DOC,BO=CO,∴ △AOB≌ △DOC( S. A. S. ),∴ AB = CD= 5 厘米,∵ EF = 7 厘米,∴ 圆柱形容器的壁厚是 1 2 × (7-5)= 1(厘米) . 故选 A. 5. D　 【解析】延长 AD 到点 E,使得 ED = AD = 4,则 AE = 2AD= 8,连结 EC,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = CD,在 △ABD 和△ECD 中,AD = ED,∠ADB = ∠EDC,BD = CD, ∴ △ABD≌△ECD(S. A. S. ),∴ AB=EC,在△ACE 中,AE -AC<EC<AE+AC,即 8-3<EC<8+3,∴ 5<EC<11,即 5<AB <11,∴ AB 的长不可能是 5;过 C 作 CE∥AB 交 AD 的延 长线于点 E,则∠BAD = ∠E,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = CD, 在 △ABD 和 △ECD 中, ∠BAD = ∠E, ∠ADB = ∠EDC,BD = CD,∴ △ABD≌△ECD(A. A. S. ),∴ AB = EC,AD=ED= 4,∴ AE = 2AD = 8,在△ACE 中,同理得 5< EC<11,∴ 5<AB<11,∴ AB 的长不可能是 5;综上所述,正 确的是乙和丙. 故选 D. 6. 如果两个角相等,那么它们的补角相等 7. 120°　 【解析】∵ △ABC≌△A′B′C′,∴ ∠C = ∠C′ = 24°, ∴ ∠B= 180°-∠A-∠C= 180°-36°-24° = 120°. 8. 96°　 【解析】在△AMK 和△BKN 中,AM =BK,∠A = ∠B, AK = BN, ∴ △AMK ≌ △BKN ( S. A. S. ), ∴ ∠AMK = ∠BKN,∴ ∠MKB= ∠MKN+∠NKB = ∠A+∠AMK,∴ ∠A = ∠MKN= 42°,∴ ∠P= 180°-∠A-∠B= 96°. 9. 4　 【解析】延长 AD 交 BC 于点 E. ∵ BD 平分∠ABC,AD ⊥BD,∴ ∠ABD = ∠EBD,∠ADB = ∠EDB = 90°. ∵ BD = BD,∴ △ABD≌△EBD(A. S. A. ),∴ AD = ED,∴ S△ADB = S△BDE,S△ADC = S△DEC . ∵ S△BCD = 2,∴ S△ADB +S△ADC = S△BDE + S△DEC =S△BDC = 2,∴ S△ABC = 4. 10. 6 或 12　 【解析】①当 AP=CB 时,∵ ∠C = ∠QAP = 90°. 在 Rt △ABC 与 Rt △QPA 中, AP=CBAB=QP{ ,∴ Rt △ABC≌ Rt△QPA(H. L. ),∴ AP=BC = 6;②当 P 运动到与 C 点 重合时,AP=AC. 在 Rt△PAQ 与 Rt△ACB 中, AP=CAQP=BA{ , ∴ Rt△PAQ≌Rt△ACB(H. L. ),∴ AP=AC = 12 时△ABC 和△QPA 全等. 综上所述,AP= 6 或 12. 11. 证明:在△ABE 和△ACD 中, ∠B= ∠C AB=AC ∠A= ∠A { , ∴ △ABE≌ △ACD(A. S. A. ),∴ AE=AD. 又∵ AC=AB,∴ CE=BD. (7 分) 12. 解: ∵ ∠BAD = ∠EAC, ∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC + ∠CAD,即∠BAC= ∠EAD, (2 分) 在△BAC 与 △EAD 中, AB=AE ∠BAC= ∠EAD AC=AD { , ∴ △BAC ≌ △EAD(S. A. S. ) . ∴ ∠D= ∠C. (6 分) ∵ ∠C= 50°,∴ ∠D= ∠C= 50°. (8 分) 13. 证明:(1)∵ AB=BC,∠ABC= 90°,∴ ∠C= 45°. ∵ BO⊥ AC,∴ ∠1 = 45°,∴ ∠1 = ∠C= 45°. (2 分) ∵ PB= PD,∴ ∠2 = ∠PBD. ∵ ∠3 = ∠PBC-∠1,∠4 = ∠2-∠C,∴ ∠3 = ∠4. (4 分) ∵ BO⊥AC,DE⊥AC,∴ ∠BOP= ∠PED= 90°. 在△BPO 和△PDE 中, ∠3 = ∠4 ∠BOP= ∠PED BP=PD { ,∴ △BPO≌ △PDE( A. A. S. );(5 分) (2)由(1),得∠3 = ∠4,∵ BP 平分∠ABO,∴ ∠ABP = ∠3,∴ ∠ABP= ∠4. (8 分) 在△ABP 和△CPD 中, ∠A= ∠C ∠ABP= ∠4 PB=PD { ,∴ △ABP≌△CPD (A. A. S. ),∴ AP=CD. (10 分) 等腰三角形 1. D 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 18 页 2. C　 【解析】∵ AC = BC,∠C = 36°,∴ △ABC 是等腰三角 形,∠BAC = ∠ABC = 72°,∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD = ∠BAD= ∠C= 36°,∴ △CAD 为等腰三角形,∠BDA= ∠C +∠CAD= 72° = ∠B,∴ △BAD 为等腰三角形,则图中等 腰三角形的个数是 3 个. 故选 C. 3. C　 【解析】在△ABC 中,∠A = 45°,∠B = 60°,∴ ∠ACB = 180°-45°-60° = 75°. ∵ BD =BC,∴ ∠BCD = (180°-60°) ÷2 = 60°,∴ ∠ACD = ∠ACB-∠BCD = 75°- 60° = 15°. 故 选 C. 4. A 5. C　 【解析】解法一:∵ AB = AC,D 是 BC 的中点,∴ AD⊥ BC,∠C= ∠ABC= 30°,∴ ∠CAD= 180°-90°-30° = 60°. 解法二:∵ AB=AC,∠ABC = 30°,∴ ∠C = ∠ABC = 30°,∴ ∠BAC= 180°-∠ABC-∠C = 120°. ∵ D 是 BC 的中点,∴ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAD= 1 2 ∠BAC= 60°. 故选 C. 6. C　 【解析】∵ △ABC 的两个内角的平分线 BO,CO 相交 于点 O,∴ ∠ABO = ∠CBO,∠ACO = ∠BCO,∵ MN∥BC, ∴ ∠MOB= ∠CBO,∠NOC = ∠BCO,∴ ∠MOB = ∠MBO, ∠NCO= ∠NOC,∴ MO = MB,NO = NC,∴ MN = MB+NC, ∵ △AMN 的周长为 15,∴ AB + AC = 15,∵ BC = 8, ∴ △ABC 的周长为 15+8 = 23. 7. C 　 【解析】 ∵ △A1B1A2 为等边三角形,∴ ∠B1A1A2 = 60°,A1B1 = A1A2,∴ ∠A1B1O = ∠B1A1A2 -∠MON = 60°- 30° = 30°,∴ ∠A1B1O = ∠MON,∴ A1B1 = OA1,∴ A1B1 = A1A2 =OA1,同理可得 A2B2 = A2A3 = OA2 = 2OA1,∴ A3B3 = A3A4 =OA3 = 2OA2 = 2 2·OA1,A4B4 =A4A5 =OA4 = 2OA3 = 2 3 ·OA1,∴ AnBn =AnAn+1 = 2 n-1·OA1 = 2 n,∴ △A6B6A7 的边 长:A6B6 = 2 6 = 64. 故选 C. 8. 等腰三角形的三线合一 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【拓展】我们知道等腰三角形的“三线合一”定理,即:等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相 重合. 我们也可以逆用“三线合一”定理,证明这个三角形 是等腰三角形,即:在三角形中,角平分线、中线、高线只 要两线重合,则这个三角形是等腰三角形. 9. 32 10. 25°　 【解析】∵ AB = AC,AD = AE,∴ ∠B = ∠C,∠ADE = ∠AED. ∵ ∠ADC = ∠B + ∠BAD, ∴ ∠ADE = ∠ADC - ∠EDC= ∠B+∠BAD-∠EDC. ∵ ∠AED = ∠EDC+∠C, ∴ ∠B + ∠BAD - ∠EDC = ∠EDC + ∠C, ∴ ∠EDC = 1 2 ∠BAD= 1 2 ×50° = 25°. 11. 证明:(1)在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC =BC,∴ ∠A= ∠B= 45°. (2 分) 又∵ F 是 AB 的中点,∴ ∠ACF = ∠FCB = 45°,即∠A = ∠FCA= ∠FCB= 45°,且 AF=CF. (3 分) 在△ADF 和△CEF 中, AD =CE,∠A = ∠FCE,AF = CF, ∴ △ADF≌△CEF(S. A. S. ); (5 分) (2)由(1)知△ADF≌△CEF,∴ DF=FE,∴ △DFE 是等 腰三角形. (7 分) 又∵ F 是 AB 的中点,∠AFD = ∠CFE,∴ ∠AFD+∠DFC = ∠CFE+∠DFC= 90°,∴ △DFE 是等腰直角三角形. (8 分) 12. (1)解:△ADE 是等腰三角形, (2 分) 理由:∵ AB= AC,∠B = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠C= ∠BAC = 60°,∵ ∠BAD = 20°,∴ ∠DAE = ∠BAC- ∠BAD= 40°,∵ ∠AED 是△CDE 的一个外角,∴ ∠AED = ∠C+∠CDE = 70°,∴ ∠ADE = 180°-∠DAE-∠AED = 70°,∴ ∠ADE= ∠AED = 70°,∴ AD = AE,∴ △ADE 是等 腰三角形; (4 分) (2)当 α= 2β 时,使得 AD=AE, (6 分) 证明:∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,∵ ∠ADC = ∠B+∠BAD, ∴ ∠ADE+∠CDE = ∠B+∠BAD,∴ ∠ADE+β = ∠B+α, ∵ α= 2β,∴ ∠ADE = ∠B+β,∵ ∠AED = ∠C+ ∠CDE = ∠C+β,∴ ∠ADE= ∠AED,∴ AD=AE. (8 分) 13. (1)BE+BD=BF (2 分) 【解析】∵ 点 F 与点 A 重合,△ABC 与△ADE 都是等边 三角形,∴ AB = AC =BC,∠BAC = 60°,AD = AE,∠DAE = 60°,∴ ∠BAE = ∠DAE-∠BAD = 60° -∠BAD,∠CAD = ∠BAC- ∠BAD = 60° - ∠BAD, ∴ ∠BAE = ∠CAD, ∴ △CAD≌△BAE(S. A. S. ),∴ BE =CD,∴ BE+BD =CD+ BD=BC. ∵ BC=BF,∴ BE+BD=BF; (2)图 2 猜想:BE+BD=BF. 图 3 猜想:BD+BF=BE. (4 分) 图 3 证明:过点 D 作 DG∥AC,交 AB 于点 G. ∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC = ∠A = ∠C = 60°. ∵ DG∥AC,∴ ∠BGD= ∠A= 60°,∠BDG= ∠C = 60°,∴ △BDG 为等边 三角形,∴ BD=DG=BG. (6 分) ∵ △DEF 为等边三角形,∴ DE = DF,∠FDE = 60°. ∵ ∠GDB+∠BDF= ∠EDF+∠BDF,即∠GDF = ∠BDE,∴ △BDE≌△GDF(S. A. S. ),∴ BE=GF. ∵ GF =BF+BG = BF+BD,∴ BD+BF=BE. (9 分) 专题　 构造等腰三角形的常用方法 1. 证明:延长 BE 交 AC 于点 F. ∵ BE⊥ AD, ∴ ∠AEB = ∠AEF. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAE= ∠FAE. 在△ABE 和 △AFE 中, ∠AEB= ∠AEF AE=AE ∠BAE= ∠FAE { , ∴ △ABE ≌ △AFE ( A. S. A. ) . ∴ ∠ABF= ∠AFB,AB = AF,BE =FE. ∵ ∠C+∠CBF = ∠AFB= ∠ABF,∠ABF+∠CBF = ∠ABC = 3∠C,∴ ∠C +2∠CBF = 3 ∠C. ∴ ∠CBF = ∠C. ∴ BF = CF, ∴ BE = 1 2 BF= 1 2 CF. ∵ CF = AC-AF = AC-AB,∴ BE = 1 2 (AC- AB) . 2. 解:(1)AD =CE,理由如下:过点 D 作 DP∥BC,交 AB 于 点 P. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ △APD 也是等边三角 形,∴ AP = PD = AD,∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDA = 60°. ∴ ∠BPD = ∠DCE = 120°. ∵ DB = DE, ∴ ∠DBC = ∠DEC. ∵ DP ∥BC, ∴ ∠PDB = ∠CBD, ∴ ∠PDB = ∠DEC. 在△BPD 和△DCE 中,∠PDB= ∠CED,∠BPD= ∠DCE,DB = ED,∴ △BPD≌△DCE( A. A. S. ),∴ PD = CE,∴ AD=CE; (2)(1)中结论仍成立,即 AD =CE. 理由如下:过点 D 作 DP∥BC,交 AB 的延长线于点 P. ∵ △ABC 是等边三角 形,∴ △APD 也是等边三角形,∴ AP = PD = AD,∠APD = ∠ABC= ∠ACB = ∠PDA = 60°. ∵ DB = DE, ∴ ∠DBC = ∠DEC. ∵ DP ∥BC, ∴ ∠PDB = ∠CBD, ∴ ∠PDB = ∠CED,在△BPD 和△DCE 中, ∠PDB = ∠CED, ∠P = ∠DCE,DB = ED,∴ △BPD≌△DCE( A. A. S. ),∴ PD = CE,∴ AD=CE. 3. 解:方法 1(截长法):在 CD 上取点 E,使 DE = BD,连结 AE,则 CE = AB = AE. ∴ ∠B = ∠AED = ∠C + ∠CAE = 2∠C. ∵ ∠BAC= 120°,∴ ∠B+∠C = 2∠C+∠C = 60°. ∴ ∠C= 20°. 方法 2(补短法):延长 DB 至点 F,使 BF = AB,连结 AF, 则 AB+BD=DF=CD. ∴ AF =AC,∠C = ∠F = 1 2 ∠ABC. ∵ ∠BAC= 120°,∴ ∠ABC+∠C= ∠ABC+ 1 2 ∠ABC = 60°,∴ ∠ABC= 40°,∠C= 20°. 4. 解:延长 AC 至点 E,使 CE =BC,连结 BE. ∵ BD 为边 AC 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 19 页 上的中线,∴ AD =CD = 1 2 AC. ∵ BC = 1 2 AC,∴ AD = CD = BC. ∵ BC=CE,∴ ∠E= ∠CBE,AC =DE. ∵ ∠BCA = ∠E+ ∠CBE = 2∠E. ∵ ∠BCA= 2∠A,∴ ∠A= ∠E,∴ AB =BE. 在△BAC 和△BED 中, AC=ED ∠A= ∠E AB=EB { . ∴ △BAC≌△BED(S. A. S. ),∴ BD=BC. ∵ BC =CD,∴ BD =BC =CD,∴ △BCD 为等边三角形. 尺规作图、逆命题与逆定理 1. C　 【解析】①的逆命题是:若 x2 = 25,则 x = 5,这是假命 题;②的逆命题是:若 a c2 +1 > b c2 +1 ,则 a>b,这是真命题;③ 的逆命题是:若 x2 = y2,则 x= y,这是假命题. 故选 C. 2. A　 【解析】过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. ∵ BC= 10,CD= 6, ∴ BD=BC-CD = 10-6 = 4. 在△ABC 中,∠B = 90°,AD 平 分∠BAC,∴ 点 D 到 AC 的距离 DF=BD= 4. 故选 A. 3. C　 【解析】由作图痕迹可知,射线 AC 为∠OAB 的平分 线,OA=OB. ∵ ∠MON= 60°,∴ △AOB 为等边三角形,∴ AC⊥OB,∴ ∠ACB= 90°. 故选 C. 4. C　 5. B 6. 10　 【解析】∵ △ABC 的周长为 18,∴ AC+BC+AB= 18. ∵ DE 为线段 AB 的垂直平分线,AE = 4,∴ AB = 2AE = 8,DA =DB,∴ AC+BC= 10,∴ △BCD 的周长 =BD+CD+BC =AD +CD+BC=AC+BC= 10. 7. 3　 【解析】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,∵ AD 平分∠BAC, ∠C= 90°,∴ CD = DE. 又∵ S△ABD = 1 2 ·DE·AB = 15,∴ DE= 3,即 CD=DE= 3. 8. 4　 【解析】作 DF⊥BC 于 F,∵ BD 是△ABC 的角平分 线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴ DF =DE,∴ S△ ABC = S△ ABD +S△ DBC = 1 2 ×AB×DE+ 1 2 ×BC×DF = 1 2 ×(AB+BC)·DE = 1 2 × (16+14)·DE= 60,∴ DF=DE= 4. 9. 解:(1)①如图,FD 即为所求; (3 分) ②如图,AE 即为所求; (6 分) (2)在△ABC 中,∵ ∠B = 40°,∠C = 50°,∴ ∠BAC = 180° -∠B-∠C= 90°. ∵ DF 是 AB 的垂直平分线,∴ DA =DB, ∴ ∠DAB= ∠B= 40°,∴ ∠DAC = ∠BAC-∠DAB = 50°. ∵ AE 平分∠DAC,∴ ∠DAE= 1 2 ∠DAC= 25°. (10 分) 10. 解:(1)①如图,AD 为所作; (2 分) ②如图,DE 为所作; (5 分) (2)BE=AC. 理由如下:∵ AD 为高,∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°. ∵ ∠ABC= 45°,∴ △ABD 为等腰直角三角形,∴ AD = BD, 在 △BDE 和 △ADC 中, DB=DA ∠BDE= ∠ADC DE=DC { , ∴ △BDE≌△ADC(S. A. S. ),∴ BE=AC. (10 分) 11. (1)证明:①在四边形 ABCD 中,∠MAN+∠DCB = 180°, ∴ ∠CDA+ ∠CBA = 360° - 180° = 180°. ∵ CB⊥ AN,∴ ∠CBA= 90°,∴ ∠CDA= 90°. ∵ AC 平分∠MAN,∴ CD = CB; (3 分) ②在 Rt△ADC 和 Rt△ABC 中, CD=CBAC=AC{ ,∴ Rt△ADC≌ Rt△ABC(H. L. ),∴ AD=AB,∴ AB+AD= 10; (6 分) (2)(1)中的结论②仍然成立; (7 分) 证明:过点 C 分别作 AM 与 AN 的垂线,垂足分别为 E, F,∴ ∠CED= ∠CFB= 90°,与(1)同理可得 CE =CF,AF =AE = 5. ∵ ∠MAN + ∠ECF = 180°, ∠MAN + ∠DCB = 180°,∴ ∠ECF = ∠DCB. ∴ ∠ECF - ∠DCF = ∠DCB - ∠DCF, 即 ∠ECD = ∠FCB. 在 △CED 和 △CFB 中, ∠CED= ∠CFB CE=CF ∠ECD= ∠FCB { ,∴ △CED≌△CFB(A. S. A. ),∴ DE = BF,∴ AB+AD=AF+BF+AD=AF+DE+AD=AF+AE= 10; (9 分) (3)(1)中的结论②不成立,AB-AD= 10. (11 分) 专题　 构造全等三角形的常用辅助线 1. 解:PE=PF 仍成立. 理由如下: 过 P 点作 PM⊥OA 于点 M,PN⊥OB 于点 N, ∵ OC 是 ∠AOB 的角平分线, ∴ PM = PN, ∵ ∠PMO = ∠PNO= ∠MON= 90°,∴ ∠MPN= 90°,∵ ∠MPE+∠EPN = 90°, ∠EPN + ∠NPF = 90°, ∴ ∠MPE = ∠NPF, 在 △PME 和 △PNF 中, ∠PME= ∠PNF PM=PN ∠MPE= ∠NPF { , ∴ △PME ≌ △PNF(A. S. A. ),∴ PE=PF. 2. 解:(1)BC=CD+AB;理由如下:延长 BE 交 CD 延长线于 F. ∵ ∠A + ∠D = 180°, ∴ AB∥CD, ∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°. ∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,∴ ∠EBC = 1 2 ∠ABC,∠ECB= 1 2 ∠BCD,∴ ∠EBC+∠ECB= 1 2 (∠ABC +∠BCD) = 90°, ∴ ∠BEC = 180° - ( ∠EBC + ∠ECB) = 180°-90° = 90°,∴ CE⊥BF. ∵ CE 平分∠BCD,∴ ∠BCE = ∠FCE. 在 △BCE 与 △FCE 中, ∠BCE= ∠FCE EC=EC ∠BEC= ∠FEC { , ∴ △BCE≌△FCE( A. S. A. ),∴ BC = FC,BE = FE. ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ABE = ∠F. 在 △ABE 与 △DFE 中, ∠ABE= ∠F BE=FE ∠AEB= ∠DEF { ,∴ △ABE≌△DFE( A. S. A. ),∴ AB = DF,∴ BC=CF=CD+DF=CD+AB; (2)BE⊥CE;理由如下:∵ ∠A+∠D= 180°,∴ AB∥CD,∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°. ∵ BE 平 分 ∠ABC, CE 平 分 ∠BCD, ∴ ∠EBC = 1 2 ∠ABC, ∠ECB = 1 2 ∠BCD, ∴ ∠EBC+∠ECB = 1 2 ( ∠ABC+ ∠BCD) = 90°,∴ ∠BEC = 180°-(∠EBC+∠ECB)= 180°-90° = 90°,∴ BE⊥CE. 3. 解:(1) 延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连结 AG. ∵ ∠B+ ∠ADC= 180°,∠ADC+∠ADG = 180°,∴ ∠B = ∠ADG. 在 △ABE 和 △ADG 中, AB=AD ∠B= ∠ADG BE=DG { , ∴ △ABE ≌ △ADG (S. A. S. ),∴ AE=AG,∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠BAD = ∠BAE +∠EAD,∠EAG = ∠EAD+ ∠DAG,∴ ∠BAD = ∠EAG. ∵ 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 20 页 ∠EAF = 1 2 ∠BAD, ∴ ∠EAF = 1 2 ∠EAG, ∴ ∠EAF = ∠GAF. 在△AEF 和△AGF 中, AE=AG ∠EAF= ∠GAF AF=AF { ,∴ △AEF ≌△AGF(S. A. S. ),∴ EF=FG. ∵ GF=GD+DF=DF+BE, ∴ EF=BE+DF; (2)在 DC 延长线上取一点 G,使得 DG =BE,连结 AG. ∵ ∠ABC+∠ADC= 180°,∠ABC+∠ABE = 180°,∴ ∠ADC = ∠ABE. 在 △ABE 和 △ADG 中, AB=AD ∠ABE= ∠ADG BE=DG { , ∴ △ABE≌△ADG(S. A. S. ),∴ AG=AE,∠DAG= ∠BAE. ∵ EF=BE+DF,∴ EF=DG+DF=GF. 在△AEF 和△AGF 中, AE=AG AF=AF EF=GF { , ∴ △AEF ≌ △AGF ( S. S. S. ), ∴ ∠FAE = ∠FAG. ∵ ∠FAE + ∠FAG + ∠GAE = 360°, ∴ 2 ∠FAE + (∠GAB+∠BAE)= 360°,∴ 2∠FAE+(∠GAB+∠DAG) = 360°,即 2 ∠FAE + ∠DAB = 360°, ∴ ∠EAF = 180° - 1 2 ∠DAB. 4. 解:(1)C (2) 证明:延长 AE 到 F,使 EF = AE,连结 DF,∵ AE 是 △ABD 的 中 线 ∴ BE = ED. 在 △ABE 与 △FDE 中, BE=DE ∠AEB= ∠FED AE=FE { ,∴ △ABE≌ △FDE( S. A. S. ),∴ AB = DF, ∠BAE = ∠EFD. ∵ ∠ADB 是 △ADC 的 外 角, ∴ ∠DAC+ ∠ACD = ∠ADB = ∠BAD, ∵ ∠BAE + ∠EAD = ∠BAD, ∠BAE = ∠EFD, ∴ ∠EFD + ∠EAD = ∠DAC + ∠ACD,∴ ∠ADF = ∠ADC. ∵ AB = DC, ∴ DF = DC. 在 △ADF 与△ADC 中, AD=AD ∠ADF= ∠ADC FD=CD { ,∴ △ADF≌△ADC (S. A. S. ),∴ ∠C= ∠AFD= ∠BAE. 第 14 章　 勾股定理 勾股定理 1. A 2. C　 【解析】a2 -4a+4+ b-3 =(a-2) 2 + b-3 = 0,∴ a-2 = 0, b - 3 = 0,∴ a = 2, b = 3,∴ 当 c 为直角边时, c = b2 -a2 = 5;当 c 为斜边时,c = b2 +a2 = 13,综上所 述,c 的长度为 5或 13 . 故选 C. 3. D 4. A　 【解析】∵ A(6,0),B(-4,0),∴ AO = 6,BO = 4,∴ AB = 10. ∵ 以点 A 为圆心,以 AB 长为半径画弧,∴ AB=AC= 10,由勾股定理得:OC= AC2 -OA2 = 8. ∵ 交 y 轴正半轴 于点 C,∴ 点 C 的坐标为(0,8) . 故选 A. 5. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】由图可得,4 个直角三角形的面积= 1 2 ab×4 = 17-5 = 12,即可得到 ab= 6. 6. C　 【解析】在 Rt△ACB 中,由勾股定理得 BC = 52 -32 = 4. 连结 AE,从作法可知,DE 是 AB 的垂直平分线,根据 垂直平分线的性质得出 AE = BE,DE⊥AB. 在 Rt△ACE 中,由勾股定理得 AC2 +CE2 =AE2,即 32 +(4-AE) 2 = AE2, 解得 AE= 25 8 . 在 Rt△ADE 中,AD = 1 2 AB = 5 2 ,由勾股定 理得 DE2 +( 5 2 ) 2 =( 25 8 ) 2,解得 DE= 15 8 . 故选 C. 7. ∠A≥90° 8. 12 　 【解析】 过点 D 作 DO⊥ AB 于点 O,∵ AD 平分 ∠CAB,∠C= 90°,∴ CD = DO = 6. 在 Rt△DOB 中,OB = BD2 -DO2 = 8. 在 Rt△ADC 和 Rt△ADO 中,DC = DO, AD=AD,∴ Rt△ADC≌Rt△ADO,∴ AO =AC. 设 AC =AO = x,在 Rt△ABC 中,AC2 +BC2 =AB2,即 x2 +162 =(x+8) 2,解 得 x= 12,即 AC= 12. 9. 13　 10. (11,60,61) 11. 解:( 1) ∵ ∠ABC = 90°,BC = 6cm,AC = 10cm, ∴ AB = AC2 -BC2 = 100-36 = 8(cm); (5 分) (2)当 P 向左移动时,PB= 2t,若 AP=AC = 10cm,则:BP = AP2 -AB2 = 6(cm),2t= 6,t= 3; (6 分) 若 PC=AC= 10cm,则 BP= 4cm,2t= 4,解得:t= 2; (7 分) 若 AP=PC,则 PC = 6 + 2t,AP = 6 + 2t,( 2t) 2 + 82 = ( 6 + 2t) 2 ,解得:t= 7 6 ; (8 分) 当 P 向右移动时,BP= 2t,则 CP = 2t-6,当 AC =CP 时, 2t-6 = 10,解得:t= 8. (9 分) 答:当 t 为 3,2,8 或 7 6 时,△ACP 为等腰三角形. (10 分) 12. 解:(1)S△ABC = ab 2 ;S△AD′C′ = ab 2 ;S△ACC′ = c2 2 ; (3 分) (2)S梯形BCC′D′ = (a+b)·(a+b) 2 = a 2 2 + b 2 2 +ab; (6 分) (3)由图可知,S梯形BCC′D′ = S△ABC + S△AC′D′ + S△ACC′,由( 1) (2)可知:a 2 2 + b 2 2 +ab = ab 2 + ab 2 + c 2 2 ,a2 +b2 +2ab = 2ab+c2 , ∴ a2 +b2 = c2 . (10 分) 勾股定理的应用 1. B　 【解析】由勾股定理,得捷径 AC = 82 +62 = 10(m), 多走了 8+6-10 = 4(m) . 故选 B. 2. D 3. A　 【解析】过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,根据题意得:AB = AC= 5,CF=DE = 3,由勾股定理可得 AF2 +CF2 = AC2,∴ AF= AC2 -CF2 = 52 -32 = 4(米),∴ BF=AB-AF = 5-4 = 1(米),∴ 此时木马上升的高度为 1 米. 故选 A. 4. A　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠CAB = 90°,BC = 17m,AC = 8m,∴ AB= 172 -82 = 15(m),∵ 此人以 1m / s 的速度收 绳,7s 后船移动到点 D 的位置,∴ CD= 17-1×7 = 10(m), 在 Rt △ACD 中, 由 勾 股 定 理 得: AD = CD2 -AC2 = 102 -82 = 6(m) . ∴ BD= 15-6 = 9(m),即船向岸边移动 了 9m,故选 A. 5. A　 【解析】依题意,AC= 24,BC= 7cm,在 Rt△ABC 中,AB = AC2 +BC2 = 25cm,∵ AB=AD= 25,D = 20,在 Rt△ADE 中,AE= AD2 -DE2 = 252 -202 = 15cm,故选 A. 6. 7. 5 7. 2. 2 　 【解析】在 Rt△ACB 中,∵ ∠ACB = 90°,BC = 0. 7 米,AC= 2. 4 米,∴ AB2 = 0. 72 + 2. 42 = 6. 25. 在 Rt△A′BD 中,∵ ∠A′DB= 90°,A′D = 2 米,∴ BD2 + 22 = AB2 = 6. 25, ∴ BD2 = 2. 25. ∵ BD>0,∴ BD = 1. 5 米,∴ CD =BC+BD = 0. 7+1. 5 = 2. 2(米) . 8. 10 9. (18 3 -18)　 【解析】在题图 1 中,过点 O 作 OC⊥AB 于 点 C. ∵ OA = OB = 18cm,OC = 9cm. ∴ AC = OA2 -OC2 = 9 3cm. ∴ AB = 2AC = 18 3 cm. 在题图 2 中,∵ OA = OB, ∠AOB= 60°,∴ △AOB 是等边三角形,∴ AB = OA = OB = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 21 页 18cm. 故扩大了(18 3 -18)cm. 10. 解:(1)AC 的长是攀梯 A 到泳道 l 的最近距离, (2 分) 在△ABC 中,∵ BC2 +AC2 = 92 +122 = 225 = AB2 ,∴ ∠BCA = 90°,即 AC⊥l. ∴ AC 的长为攀梯 A 到泳道 l 的最近距 离; (5 分) (2) ∵ AC ⊥ l, ∴ ∠ACD = 90°, ∴ DA = AC2 +CD2 = 122 +22 = 148 (米) . 答:DA 的长度为 148米. (9 分) 11. 解:(1)根据勾股定理得 CD= BC2 -BD2 = 18 米, (3 分) ∴ CE=CD+AB= 18+1. 68 = 19. 68(米); (5 分) (2)连结 BM,∵ MD= 18-8 = 10(米),∴ BM= BD2+DM2 =26 米,30-26=4(米),∴ 他往回收线 4 米. (9 分) 第 15 章　 数据的收集与表示 数据的收集与表示 1. A 2. B　 【解析】∵ 1-20% = 80%,∴ (6+10)÷80% = 20,∴ 20× 20% = 4,即 a= 4,故选 B. 3. C　 4. A　 5. B　 6. ③④②① 7. 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】根据题目已知信息可得,第五组频数为 40× 0. 2 = 8,所以第六组频数为 40-6-9-5-10-8 = 2. 8. 460　 【解析】8% +38% = 46%,1000× 46% = 460(棵),∴ 该基地高度低于 250cm 的“无絮杨”品种苗约有 460 棵. 9. 解:(1)100 (2 分) (2) (5 分) (3) 甲班所对应的扇形圆心角的度数是 30% × 360° = 108°. (8 分) 10. 解:(1)(15+14+ 16+ 15) ÷ 200× 100% = 30%. 所以环境 保护所占的百分比为 30%; (2 分) (2)27%×200-12-15- 13 = 14(人),所以(4)班选择交 通监督志愿者队伍的学生人数为 14 人. (4 分) 补全折线统计图如图所示: (6 分) (3)2 000×(1-30%-5%-27%)= 760(人),所以估计该 校学生选择文明宣传志愿者队伍人数为 760 人. (8 分) 期末测试前题组训练 选填题 1. B 2. C　 【解析】由题意得,“强”字出现的频率= 3 14 . 故选 C. 3. D　 【解析】A. m2 +m2 = 2m2;B. m2 ·m3 = m5;C. m4 ÷m4 = 1. 故选 D. 4. C　 【解析】A. (-3) 2 的平方根是±3;B. 16 = 4;D. 9 的 立方根是 3 9 . 故选 C. 5. B　 【解析】2. 3×106 ×(2. 5×103)= 5. 75× 109(千克) . 故 选 B. 6. C　 【解析】由折线统计图可知,1 ~ 7 月份销售额的增长 率始终是正数,即 1-7 月份销售额在增加,故选项 A、B、 D 不合题意. 故选 C. 7. B　 【解析】作点 A 关于 BC 的对称点 A′,作点 A′E⊥AB, 交 BC 于点 D. 则 AD=A′D,∴ AD+DE=A′D+DE≥A′E. 即 AD+DE 的最小值为 A′E. ∵ ∠ACB = 90°,AC = 6,BC = 8, ∴ AB= 10,AA′= 12. ∵ S△AA′B = 1 2 AA′·BC = 1 2 AB·A′E, ∴ A′E= 9. 6,即 AD+DE 的最小值为 9. 6. 故选 B. 8. B　 【解析】当 AC=AB= 4 时,过 A 作 AE⊥BC,交 BC 于点 E. ∵ BC = 6, ∴ BE = CE = 3,由勾股 定 理 可 得, AE = AC2 -CE2 = 7,S△ ABC = 1 2 ×AE×BC = 3 7;当 CA =CB = 6 时,∵ AC 不满足小于 AD+CD,∴ 此种情况不存在,故 选 B. 9. B　 【解析】由作图知 AD=AC= 5,直线 MN 垂直平分 BD, ∴ BE=DE. ∵ △ADE 的周长为 13,∴ AD+DE+AE = AE+ BE+AD=AB+AD= 13,∴ AB= 13-5 = 8,故选 B. 10. C　 【解析】圆柱体的展开图如图所示,用一 彩带从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 的运动 最短路线是:AC→CD→DB,长方形的宽即是 圆柱体的底面周长 = 1. 5m,又∵ 圆柱高为 6m,∴ 小长方形的一条边长是 2m,根据勾股 定理求得 AC=CD=DB= 2. 5m,∴ AC+CD+DB = 15 2 m,故 选 C. 11. D 12. 4(答案不唯一) 13. -1　 【解析】由于 x2 +ax-6 =(x+2)(x-b),所以 a= 2-b, -2b= -6,解得 b= 3,a= -1. 14. N 15. ∠ACB= ∠F(答案不唯一) 16. 1 17. 45　 【解析】找到 C 点关于 OB 的对应点 D,连结 OD, AD,则 ∠DOB = ∠COB, 则 ∠AOB - ∠BOC = ∠AOB - ∠BOD = ∠AOD. ∵ AO = AD = 22 +12 = 5, OD = 32 +12 = 10,( 5 ) 2 +( 5 ) 2 = ( 10 ) 2,∴ △DAO 是 等腰直角三角形, ∴ ∠AOD = 45°,即 ∠AOB - ∠BOC = 45°. 18. 3 或 27　 【解析】如图 1,由折叠的性质,得△AD′E≌ △ADE,∴ ∠AD′E= ∠D= 90°. ∵ ∠AD′B = 90°,∴ B、D′、 E 三点共线,又∵ 在长方形 ABCD 中,AB∥CD,∴ ∠BEC = ∠ABD′,∵ ∠AD′B = ∠C = 90°,AD′ = BC,∴ ABD′≌ △BEC,∴ BE= AB = 15. ∵ BD′ = 152 -92 = 12,∴ DE = D′E= 15- 12 = 3;如图 2,∵ ∠ABD″+∠CBE = ∠ABD″+ ∠BAD″= 90°,∴ ∠CBE = ∠BAD″,在 △ABD″和 △BEC 中, ∠D″= ∠BCE AD″=BC ∠BAD″= ∠EBC { ,∴ △ABD″≌△BEC,∴ BE = AB = 15,∵ ∠BCE = 90°,BC = 9,∴ 在 Rt△BCE 中,CE = 12, ∴ DE=DC+CE= 15+12 = 27. 综上所知,DE 为 3 或 27. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 22 页 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【方法点拨】本题考查全等三角形的性质,解答本题的关 键是明确题意,利用分类讨论和数形结合的思想解答. 期末测试前题组训练 简单解答题 1. 解:(1)原式= -2+3+3- 5 = 4- 5 ; (4 分) (2)原式= 4y2 -4xy+x2 -(x2 -4y2 ) (6 分) = 4y2 -4xy+x2 -x2 +4y2 = 8y2 -4xy. (8 分) 2. 解:原式= -b2 +2ab-2(a2 -b2 ) +3a2 = -b2 +2ab-2a2 +2b2 + 3a2 = b2 +2ab+a2 = (a+b) 2 , (4 分) ∵ 由题意,得 a-2 = 0,b+3 = 0,∴ a= 2,b= -3, (6 分) ∴ 原式= (2-3) 2 = 1. (8 分) 3. ( 1) 证明:在 △ACE 和 △BDF 中, ∠A= ∠B ∠ACE= ∠BDF AE=BF { , ∴ △ACE≌△BDF(A. A. S. ); (4 分) (2)解:由(1)知△ACE≌△BDF,∴ BD=AC= 2, (6 分) ∵ AB= 8,∴ CD=AB-AC-BD= 4,故 CD 的长为 4. (9 分) 4. 解:(1)由题意得,原式= (-x) 3 -(1-x) 2 +( -x) (1-x) +1 = -x3 -1+2x-x2 -x+x2 +1 = -x3 +x; (3 分) (2)-x3 +x= -x(x2 -1)= -x(x+1)(x-1); (6 分) (3)∵ x3 -x-2 = 0,∴ x3 -x= 2, (8 分) ∴ 原式= -(x3 -x)= -2. (10 分) 5. 解:(1)如图所示. (4 分) (2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 　 角平分线上的点到角的两边距离相等 (6 分) 补全证明如下:∵ △PCM 和△PDN 为直角三角形,∴ Rt△PCM≌Rt△PDN(H. L. ),∴ MC=ND. (10 分) 6. 解:(1)120　 50% (2 分) (2)补全统计图如图所示. (5 分) (3)不可行. (6 分) 理由:由统计表可知,70%+ 30%+ 50%+ 20%> 1,即有意 向参与比赛的人数占调查人数的百分比之和大于 1. (10 分) 7. 解:( 1) 连结 AC. ∵ AB = BC = AD = 80m,∠ABC = 90°∴ △ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ AC = AB2 +BC2 = 802 +802 = 12800 (m),∠CAB= 45°. (2 分) ∵ CD= 80 3 m,在△ACD 中,AD2 +AC2 = 802 +( 12800 ) 2 = (80 3 ) 2 = CD2 ,∴ △ACD 是直角三角形,∴ ∠CAD = 90°,∴ ∠DAB= 90°+45° = 135°; (5 分) (2)过点 D 作 DE⊥AB 于 E,作点 A 关于 DE 的对称点 F,连结 DF,由轴对称的性质,得 DF=DA= 80m,AE =EF, 由(1)知,∠BAD= 135°,∴ ∠DAE= 45°,∴ △ADE 是等腰 直角三角形, (8 分) ∴ AE= DE = 3200 ( m), ∴ AF = 2AE = 2 3200 ( m), ∴ 被监控到的道路长度为 2 3200 m. (10 分) 期末测试前题组训练 中档解答题 1. 解:(1)4 (3 分) (2)∵ x2 -6x+11 = x2 -6x+9-9+11 = (x-3) 2 +2≥2,(7 分) ∴ 当 x= 3 时,x2 -6x+11 的值最小,最小值是 2. (10 分) 2. 解:(1)BD=CE (2 分) (2)BD=CE; (4 分) 理由:∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,AB = AC,∴ ∠BAC-∠DAC = ∠DAE-∠DAC,即∠BAD= ∠CAE, (6 分) 在 △ABD 与 △ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD ≌ △ACE(S. A. S. ),∴ BD=CE. (8 分) (3)BC=DC+CE 或 CE=BC+DC. (10 分) 　 【解析】 ① 当 D 在 BC 之间时,如图 1. ∵ ∠DAE = ∠BAC=α,∴ ∠DAE-∠DAC= ∠BAC-∠DAC,∴ ∠BAD= ∠CAE, 在 △ABD 与 △ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD≌ △ACE ( S. A. S. ),BD = CE,故 BC = DC + CE; ②当 D 在 C 点右边时,如图 2. ∵ ∠DAE = ∠BAC = α,∴ ∠BAC+ ∠DAC = ∠DAE + ∠DAC,∴ ∠BAD = ∠CAE,在 △ABD 与△ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △ABD≌ △ACE (S. A. S. ),∴ BD=CE,∴ CE=BC+DC. 图 1 　 　 图 2 3. (1)证明:∵ △ACD 和△BCE 是等边三角形,AC =DC,CE = CB, ∠ACD = ∠BCE = 60°, ∴ 180° - ∠ACD = 180° - ∠BCE,∴ ∠BCD= ∠ECA,∴ △ACE≌△DCB(S. A. S. ), ∴ AE=DB; (5 分) (2)解:作 CF⊥BE 于 F,作 BG⊥AC,交 AC 的延长线于 G,∴ ∠CFB = ∠G = 90°. ∵ ∠BEC = ∠ACD = 60°,∴ BE∥ AC,∴ ∠FCG= 180°-∠CFB= 90°, (7 分) ∴ CG=BF = 1 2 BE = 1cm,BG = CF = BC2 -BF2 = 3 cm, ∴ S△ ABC = 1 2 AC·BG= 1 2 ×5· 3 = 5 3 2 cm2 . (10 分) 4. 解:(1)⑤ (2 分) (2)射线 OP 是∠AOB 的平分线, (3 分) 理由如下:∵ OC =OD,∠DOE = ∠COF,OE = OF,∴ CE = DF,△DOE≌△COF(S. A. S. ),∴ ∠PEC= ∠PFD. (5 分) ∵ ∠CPE = ∠DPF, CE = DF, ∴ △CPE ≌ △DPF (A. A. S. ),∴ PE=PF. (6 分) ∵ OE = OF, PE = PF, OP = OP, ∴ △OPE ≌ △OPF (S. S. S. ),∴ ∠POE= ∠POF,即∠POA = ∠POB,∴ 射线 OP 是∠AOB 的平分线; (8 分) (3)∠PCO 的度数为 75°. (10 分) 【解析】连结 OP,由(2)可知,OP 平分∠AOB,∠PEC = ∠PFD,∴ ∠PEC+ 30° = ∠PFD+ 30°. ∵ ∠AOB = 60°,∴ ∠POE = ∠POF = 1 2 ∠AOB = 30°. ∵ ∠CPE = 30°, ∴ ∠OCP= ∠PEC+∠CPE = ∠PEC+ 30°,∠OPC = ∠PFD+ ∠POF = ∠PFD + 30°,∴ ∠OCP = ∠OPC = 1 2 × ( 180° - 30°)= 75°. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 23 页