追梦专项总结突破卷(三)全等三角形-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

追梦专项总结突破卷(三) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂全等三角形 题型一　 全等三角形的常考类型 类型一　 对称型 1. 如图,∠C = ∠D = 90°,AD 交 BC 于点 E,且 AD = BC. 求证:EA =EB. 2. 如图,AB = BC,∠BAD = ∠BCD = 90°,AE⊥EF 于点 E,CF⊥EF 于点 F,AE=CF. 求证:点 D 是 EF 的中点. 类型二　 平移型 3. 如图,C 是 AE 的中点,BC∥DE,BC =DE,连结 AB,CD. 求证:AB =CD. 类型三　 旋转型 4. 如图,已知 AB = CD,AD⊥BC,垂足 O 是 BC 的中点. 求证:AO =OD. 5. 已知△ABC 为等边三角形,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与 点 B,点 C 重合) . 以 AD 为边作等边三角形 ADE,连结 CE. (1)如图 1,当点 D 在边 BC 上时. ①求证:△ABD≌△ACE; ②直接判断结论 BC=DC+CE 是否成立(不需证明); (2)如图 2,当点 D 在边 BC 的延长线上时,其他条件不变,请写 出 BC,DC,CE 之间存在的数量关系,并写出证明过程. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 图 2 类型四　 一线三等角型 6. 小明用大小相同高度为 2 cm 的 10 块小长方体垒了两堵与地面 垂直的木墙 AD,BE,当他将一个等腰直角三角板 ABC 如图垂直 放入时,直角顶点 C 正好在水平线 DE 上,锐角顶点 A 和 B 分别 与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离. 7. “一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有 3 个角相等 的情况,经常会伴随着出现全等三角形. 根据对材料的理解解决以下问题: 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 　 　 　 图 3 (1)如图 1,∠ADC= ∠CEB= ∠ACB= 90°,AC=BC. 猜想 DE,AD, BE 之间的关系　 　 　 　 　 　 ; (2)如图 2,将(1)中条件改为∠ADC = ∠CEB = ∠ACB =α(90°< α<180°),AC = BC,请问(1)中的结论是否成立? 若成立,请给 出证明;若不成立,请说明理由; (3)如图 3,在△ABC 中,点 D 为 AB 上一点,DE = DF, ∠A = ∠EDF= ∠B,AE= 3,BF= 5,请直接写出 AB 的长. ·52· 题型二　 角平分线与线段的垂直平分线的综合 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,∠ABC = 2∠C,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,AD⊥BE 于点 D,下列结论不正确的是(　 　 ) A. AC-BE=AE B. BE=CE C. ∠DAB= ∠C D. BC= 4AD 9. 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的角平分线,FE 垂直平分 AD, 垂足为 E,EF 交 BC 的延长线于点 F,若∠CAF = 50°,求∠B 的 度数. 10. 如图,在△ABC 中,AC⊥BC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E. 求证:直线 AD 是 CE 的垂直平分线. 11. 如图,△ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于 点 P,PD⊥AB 于点 D,PE⊥AC 于点 E. 求证:BD=CE. 题型三　 等腰三角形的分类讨论 12. 等腰三角形的周长为 20 cm,一边为 8 cm,则腰长为(　 　 ) A. 4 cm　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 8 cm C. 4 cm 或 8 cm D. 6 cm 或 8 cm 13. 已知等腰△ABC 中,∠A= 50°,则∠B 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 65° C. 50°或 65° D. 50°或 80°或 65° 14. 等腰三角形的一个角的外角为 110°,则这个等腰三角形的顶 角度数为(　 　 ) A. 110° B. 110°或 70° C. 70°或 40° D. 40° 15. 若等腰三角形两边长分别是 2 和 6,则它的周长是(　 　 ) A. 10　 　 　 　 B. 14　 　 　 　 C. 10 或 14　 　 　 　 D. 8 16. 已知等腰三角形的三边长分别为 m-2,2m+1,8,求等腰三角形 的周长. 17. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°,求这 个等腰三角形顶角的度数. 题型四　 构造等腰三角形 18. 如图,△ABC 中,AB = AC,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 的延长线 上,BD=CE,试说明 DF=EF 的理由. 19. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 120°,AD⊥BC 于点 D,且 AB+BD = DC. 求∠C 的度数. 20. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A= 90°,BE 是角平分线,CD⊥BE 交 BE 的延长线于点 D,求证:BE= 2CD. ·62· 的算术平方根是 2,故选 B. 5. 14　 【解析】由题可得 n-12 = 0,m-1 = 0,则 n= 12,m= 1, ∴ 2m+n= 2×1+12 = 14. 6. C　 【解析】∵ 1<x<2,∴ 1< x < 2,1<x2 <4. ∵ x>1. 5, x < 1. 414,∴ x <x<x2,故选 C. 7. C　 【解析】∵ 3< 13 <4,∴ 8<5+ 13 <9. ∵ 4< 19 <5, ∴ 6<2+ 19 <7,5<1+ 23 <6,A 错误;9<4+ 26 <10,B 错误;7<4+ 15 <8,C 正确;5<4+ 3 <6,D 错误. 故选 C. 8. 解:(1)<　 < (2) 17 - 16 　 n- n-1 (3)原式 = 2 - 1+ 3 - 2 + 4 - 3 +……+ n+1 - n = n+1 -1. 9. 解:(1)原式= 2-4-1 = -3; (2)原式= 2- 3 -(3-4-2)-9 = 2- 3 +3-9 = - 3 -4. 10. 解:(1)∵ 一个数的平方根是 3a+1 和 a+11,∴ 3a+1+a+ 11 = 0,解得 a = - 3,则 3a+ 1 = - 8,故这个数为( - 8) 2 = 64,则这个数的立方根为 4; (2)由 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3,得 x- 2 = 4,2x+y+7 = 27,解得 x= 6,y= 8. ∴ x2 +y2 = 100,∴ x2 + y2 的算术平方根是 10. 11. - 2028 22 027 12. 解:(1) 13 +23 +33 +43 +53 +63 = 212 = 21; ( 2 ) 13 +23 +33 +43 +53 +63 +73 +83 +93 +103 = 552 = 55; ( 3 ) 13 +23 +33 +43 +53 +63 +…+n3 = [ n(n+1) 2 ] 2 =n(n+1) 2 . 13. 解:(1)-1　 7 　 (2)3 (3)设第 x 秒时,BA=BC,根据题意得 x+1 = 7-x,解得 x = 3,∴ 第 3 秒时,恰好有 BA=BC. 追梦专项总结突破卷(二) 1. B 2. B　 【解析】9a-b =(32) a-b =(3a-b) 2 =(3a÷3b) 2 =(5÷10) 2 = 1 4 . 故选 B. 3. 16　 【解析】am+n·am-n =a2m = 16. 4. 解:(1)当 am = 3,an = 5 时,a2m+n =a2m·an = (am) 2an = 32 × 5 = 45; (2)当 am = 3,an = 5 时,am-3n = am ÷a3n = am ÷(an) 3 = 3÷ 53 = 3 125 . 5. 3a-1 6. 9　 【解析】原式 = 6ax3 +(18-2a) x2 +(a-6) x+3,由题意 可知 18-2a= 0,解得 a= 9. 7. 解:(1)由题意可知:(3x-a) (2x+b) = 6x2 - 13x+ 6,(3x+ a)(x+b)= 3x2 -7x-6,∴ 6x2 +(3b-2a)x-ab = 6x2 -13x+6, 3x2 + ( 3b + a) x + ab = 3x2 - 7x - 6, ∴ 3b-2a= -133b+a= -7{ , 解 得 a= 2 b= -3{ . (2)(3x+2)(2x-3)= 6x2 -9x+4x-6 = 6x2 -5x-6. 8. D　 9. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查利用平方差公式因式分解,a2 - b2 =(a+b)(a-b)再根据题目中已知信息,即可求出 a+b 的值. 10. ±12　 11. 1 12. x+2　 【解析】[(2x+3) 2 -(x+3) 2]÷3x= x+2. 13. 解:(1)∵ a+b= 5,ab= 4,∴ a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab = 52 -2× 4 = 17; (2)∵ (a-b) 2 =a2 +b2 -2ab= 17-8 = 9,∴ a-b = ±3,又∵ a >b,∴ a-b= 3; (3)由(2)得 a-b= 3,解方程组 a+b= 5a-b= 3{ ,解得 a= 4 b= 1{ . 14. D 15. A　 【解析】a2 +bc= b2 +ac 整理,得(a+b)(a-b)-c(a-b) = 0,即(a-b)(a+b-c)= 0,∵ a+b-c≠0,∴ a-b = 0,即 a = b,则△ABC 为等腰三角形. 故选 A. 16. 解:(1)原式= [(5a+ 3b) +(3a+ 5b)] [(5a+ 3b) -(3a+ 5b)] = (5a+3b+3a+5b)(5a+3b-3a-5b)= (8a+8b) (2a -2b)= 16(a+b)(a-b); (2)原式= (x2 -4y2 )-(2x+4y) = (x+2y) (x-2y) -2(x+ 2y)= (x+2y)(x-2y-2) . 追梦专项总结突破卷(三) 1. 证明:∵ ∠C= ∠D = 90°,∴ △ABC 与△ABD 为直角三角 形,在 Rt△BAD 和Rt△ABC 中, BA=ABAD=BC{ ,∴ Rt△BAD≌ Rt△ABC(H. L. ),∴ ∠BAD= ∠ABC,∴ EA=EB. 2. 证明:∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°,在 Rt△ABD 和 Rt△CBD 中, BD=BDAB=CB{ , ∴ Rt △ABD≌ Rt △CBD( H. L. ), ∴ AD = CD,∵ AE⊥EF 于点 E,CF⊥EF 于点 F,∴ ∠E = ∠F = 90°,在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中, AD=CDAE=CF{ ,∴ Rt△ADE ≌Rt△CDF(H. L. ),∴ DE=DF,即点 D 是 EF 的中点. 3. 证明:∵ 点 C 是 AE 的中点,∴ AC = CE,∵ BC∥DE,∴ ∠ACB = ∠E,在 △ACB 和 △CED 中, AC=CE ∠ACB= ∠E CB=ED { , ∴ △ACB≌△CED(S. A. S. ),∴ AB=CD. 4. 证明: ∵ O 是 BC 的中点, ∴ OB = OC, ∵ AD⊥BC, ∴ ∠AOB = ∠COD = 90°, 在 Rt △AOB 和 Rt △DOC 中, AB=DC OB=OC{ ,∴ Rt△AOB≌Rt△DOC(H. L. ),∴ AO=OD. 5. (1)①证明:∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形,∴ ∠BAC = ∠DAE = 60°, AB = AC, AD = AE. ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,∴ ∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △ABD≌△ACE(S. A. S. ); ②结论 BC=DC+CE 成立; (2)BC+CD = CE. 证明:∵ △ABC 和△ADE 是等边三角 形,∴ ∠BAC= ∠DAE = 60°,AB = AC,AD = AE. ∴ ∠BAC+ ∠DAC= ∠DAE+∠DAC,∴ ∠BAD = ∠EAC. 在△ABD 和 △ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △ABD≌△ACE(S. A. S. ) . ∴ BD=CE. ∵ BD=BC+CD,∴ CE=BC+CD. 6. 解:由题意,得 AC = BC,∠ACB = 90°. ∵ AD⊥DE,BE⊥ DE,∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°, ∠ACD + ∠DAC = 90°, ∴ ∠ECB = ∠DAC, 在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC= ∠CEB ∠DAC= ∠ECB AC=CB { , ∴ △ADC≌ △CEB ( A. A. S. ),∴ AD=EC = 6cm,DC = BE = 14cm,∴ DE = DC+CE = 20cm,故两堵木墙之间的距离为 20 cm. 7. 解:(1)DE=AD+BE 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 12 页 (2) 成立. 证明: ∵ ∠ADC = ∠CEB = ∠ACB, ∠BCE + ∠ACD= 180°-∠ACB,∠ACD+∠CAD = 180°-∠ADC,∴ ∠CAD = ∠BCE. 在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC= ∠CEB ∠CAD= ∠BCE AC=CB { ,∴ △ADC≌△CEB( A. A. S. ),∴ AD = CE,DC=BE. ∴ DE=AD+BE; (3)AB= 8 8. C　 【解析】C. ∵ ∠BAC = 90°,∠ABC = 2∠C,∴ ∠ABC+ ∠C= 90°,∴ 2∠C+∠C = 90°,∴ ∠C = 30°,∠ABC = 60°, ∵ BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E, ∴ ∠EBC = ∠EBA = 1 2 ∠ABC= 30°,∵ AD⊥BE 于点 D,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠DAB= 90°-∠EBA= 90°-30° = 60°,∴ ∠DAB≠∠C. 故 选 C. 9. 解:∵ EF 垂直平分 AD,∴ AF =DF,∴ ∠ADF = ∠DAF,∵ ∠ADF= ∠B+∠BAD,∠DAF= ∠CAF+∠CAD,又∵ AD 平 分∠BAC,∴ ∠BAD= ∠CAD,∴ ∠B= ∠CAF= 50°. 10. 证明:∵ DE⊥AB,AC⊥BC,∴ ∠AED = ∠ACB = 90°. 又 ∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠DAE = ∠DAC. 在 △AED 和 △ACD 中, ∠AED= ∠ACD ∠DAE= ∠DAC AD=AD { ,∴ △AED≌ △ACD( A. A. S. ),∴ AE=AC. ∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,AC⊥BC,∴ DE=DC,∴ AD 平分线段 EC,即直线 AD 是线段 CE 的 垂直平分线. 11. 证明:连结 BP、CP,∵ 点 P 在 BC 的垂直平分线上,∴ BP=CP,∵ AP 是∠DAC 的平分线,PD⊥AB,PE⊥AC, ∴ DP = EP. 在 Rt△BDP 和 Rt△CEP 中, BP=CPDP=EP{ ,∴ Rt△BDP≌Rt△CEP(H. L. ),∴ BD=CE. 12. D　 13. D 14. C　 【解析】当这个外角为顶角的外角时,则顶角为 180° -110° = 70°;当这个外角为底角的外角时,顶角为 180° -110° = 70°,180°-70°-70° = 40°. 故选 C. 15. B　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查等腰三角形的知识,关键是注意分 类讨论哪个边为腰,不要漏解,然后判断是否满足构成三 角形的条件,最后得出周长. 16. 解:分三种情况:当 m-2 = 2m+1 时,解得 m= -3,∴ m-2 = -5(舍去);当 m-2 = 8 时,解得 m = 10,∴ 2m+1 = 21, ∴ 三边长分别为:8,21,8,∵ 8+ 8 = 16< 21,∴ 不能组成 三角形;当 2m+1 = 8 时,解得 m = 3. 5,∴ m-2 = 1. 5,∴ 三边长分别为:1. 5,8,8,∴ 等腰三角形的周长 = 1. 5+8 ×2 = 17. 5. 综上所述,等腰三角形的周长为 17. 5. 17. 解:如图 1,当等腰三角形为锐角三角形,∵ BD⊥AC, ∠ABD= 40°,∴ ∠A= 50°,即顶角的度数为 50°. 如图 2, 当等腰三角形为钝角三角形,∵ BD⊥AC,∠DBA = 40°, ∴ ∠BAD= 50°,∴ ∠BAC= 130°. 综上,这个等腰三角形 顶角的度数为 50°或 130°. 图 1 　 　 图 2 18. 解:过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G,∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠ACB,∵ DG∥AC,∴ ∠DGB = ∠ACB,∠GDF = ∠E,∴ ∠B= ∠DGB, ∴ BD = DG. ∵ BD = CE, ∴ DG = CE. 在 △DGF 和 △ECF 中, ∠GFD= ∠CFE ∠GDF= ∠E GD=CE { , ∴ △DGF ≌ △ECF(A. A. S. ),∴ DF=EF. 19. 解:在 DC 上截取 DH,使得 DH = DB,连结 AH. ∵ BD = DH,AD⊥BH,∴ AB = AH,∵ AB+BD = DC,DC = DH+HC, ∴ AB=CH = AH,∴ ∠B = ∠AHD,∠C = ∠HAC. 设∠C = x,∠AHB= ∠B = 2x,∵ ∠B+∠C+∠BAC = 180°,∴ 3x+ 120° = 180°,∴ x= 20°,∴ ∠C= 20° . 20. 证明:延长 BA 和 CD 交于点 Q, ∵ ∠CAQ = ∠BAE = ∠BDC= 90°,∴ ∠ACQ+∠Q= 90°,∠ABE+∠Q = 90°,∴ ∠ACQ = ∠ABE, 在 △ABE 和 △ACQ 中, ∠ABE= ∠ACQ AB=AC ∠BAE= ∠CAQ { ,∴ △ABE≌△ACQ( A. S. A. ),∴ BE = CQ,∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠QBD = ∠CBD,∵ ∠BDC = 90°,∴ ∠BDC = ∠BDQ = 90°,在△QDB 和△CDB 中, ∠QBD= ∠CBD BD=BD ∠BDQ= ∠BDC { ,∴ △QDB≌△CDB( A. S. A. ),∴ CD =DQ,∴ BE=CQ= 2CD. 追梦专项总结突破卷(四) 1. C 2. B　 【解析】∵ 将△ABM 沿 AM 折叠,∴ AB = AB′,又∵ A (-3,0),B(0,4),∴ AB = 5 = AB′,∴ 点 B′的坐标为(2, 0),设 M 点坐标为(0,b),则 B′M = BM = 4-b. ∵ B′M2 = B′O2 +OM2,∴ (4-b) 2 = 22 +b2,∴ b = 3 2 ,∴ M(0, 3 2 ) . 故 选 B. 3. 1 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为长方形,AB = 8,∴ ∠B = ∠C= ∠D= 90°,AD = BC,CD = AB = 8. ∵ DE = 5,∴ CE = CD-DE= 3. 由折叠,得∠AFE = ∠D = 90°,AF = AD,EF = DE = 5,在 Rt△CEF 中,CF= 52 -32 = 4,设 BF= x,则 AF = x+ 4,在 Rt△ABF 中,AB2 +BF2 = AF2,即 82 + x2 = ( x+ 4) 2,解得 x= 6,∴ AD=AF= x+4 = 10. 故选 B. 5. 65 2 　 【解析】连结 BM. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,AB = 4,∴ ∠A= ∠D= 90°,AD=CD=AB= 4. ∵ 点 E 是 CD 边的 中点,∴ DE= 2,在 Rt△ABM 和 Rt△DEM 中,由勾股定理 可得:BM2 =AB2 +AM2,ME2 =DE2 +DM2,设 AM = x,则 DM = 4-x,∴ BM2 = 42 +x2,ME2 = 22 +(4-x) 2,由折叠性质可 得 ME=BM,∴ 42 +x2 = 22 +(4-x) 2,解得 x = 1 2 ,∴ DM = AD-AM= 7 2 ,∴ ME= DM2 +DE2 = 65 2 . 6. 25　 【解析】过点 G 作 GM⊥AD 于点 M,即∠EMG = 90°, GM=AB = 8,∴ AM = BG = 10. 由折叠可知 BF = EF,BG = EG,∴ AF=AB-BF = AB-EF = 8-EF. 在 Rt△EMG 中,EM = EG2 -GM2 = BG2 -AB2 = 6. ∴ AE = AM-EM = 4. ∵ ∠A= 90°,∴ AF2 +AE2 =EF2,∴ (8-EF) 2 + 42 = EF2,解得 EF= 5. ∵ ∠FEG= ∠B= 90°,∴ S△EFG = 1 2 EF·EG = 1 2 ×5 ×10 = 25. 7. 解:作 B 点关于 CD 的对称点 B′,连结 AB′,交 CD 于 P, 过点 B′作 B′E⊥AC,交 AC 延长线于 E,连结 BP,由对称 可知:PB=PB′,DB′ = BD = CE = 200 米,∴ PA+PB = AB′. 在 Rt △AEB′ 中, AB′ = AE2 +B′E2 = (200+400) 2 +4502 = 750 ( 米 ), 即 将 军 至 少 要 走 750 米. 8. B　 【解析】如图所示:由于圆柱体的底面周长为 10 cm, 则 AD= 10× 1 2 = 5(cm) . 又因为 CD=AB= 12 cm,所以 AC 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 13 页