追梦专项总结突破卷(一)数的开方&(二)整式的乘除-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

追梦专项总结突破卷(一) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂数的开方 题型一　 实数的相关概念 1. 在 3. 141 592 65,0. 6, π 3 , 7 , - 8, 36 ,22 7 中,无理数的个数 有(　 　 ) A. 2 个　 　 　 　 B. 3 个　 　 　 　 C. 4 个　 　 　 　 D. 5 个 2. 有如下命题:①-3 是( -3) 2 的算术平方根;②2 是 4 的一个平方 根;③一个实数的立方根不是正数就是负数;④如果一个数的立 方根是这个数本身,那么这个数是 1 或 0. 其中错误的是(　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 题型二　 非负性的应用 3. 如果(x+y-4) 2 + 3x-y = 0,那么 2x-y 的值为(　 　 ) A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 4. 若 a= 3b-1 - 1-3b +6,则 ab 的算术平方根是(　 　 ) A. 2 B. 2 C. ± 2 D. 4 5. 已知实数 m、n 满足 | n-12 | + m-1 = 0,则 2m+n= 　 　 　 　 . 题型三　 实数的大小比较 6. 数学思想·数形结合 实数 x 在数轴上的位置如图所示,则 x, x , x2 的大小关系是(　 　 ) A. x <x2 <x B. x< x <x2 C. x <x<x2 D. x<x2 < x 7. 已知甲、乙、丙三个数,甲= 5+ 13 ,乙= 2+ 19 ,且甲>丙>乙,则 下列符合条件的丙是(　 　 ) A. 1+ 23 B. 4+ 26 C. 4+ 15 D. 4+ 3 题型四　 实数的运算 8. (1)用“ >”“ <”或“ = ”填空: 3 　 　 　 4 , 5 　 　 　 6 ; (2)由以上可知:① | 16 - 17 | = 　 　 　 　 ,② | n-1 - n | = 　 　 　 　 ; (3)计算: | 1- 2 | + | 2 - 3 | + | 3 - 4 | +……+ | n - n+1 | . (结果保留根号) 9. 计算: (1) | -2 | -( -2) 2 -( ( -2 016) 2 -2 015); (2) ( 3 -2) 2 -( | -3 | - 16 - 1 2 × 3 64 ) -( -3) 2 . 10. (1) 已知一个数的平方根是 3a+ 1 和 a+ 11,求这个数的立 方根; (2)已知 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3,求 x2 +y2 的算术平方根. 题型五　 规律探究题 11. 有一列数按如下规律排列:- 2 2 , 3 4 ,- 1 4 , 5 16 ,- 6 32 , 7 64 ,…,则第 2 027 个数是　 　 　 　 . 12. 先阅读材料,再回答问题: 13 = 12 = 1, 13 +23 = 32 = 3, 13 +23 +33 = 62 = 6, 13 +23 +33 +43 = 102 = 10, …… (1)请根据以上规律写出第六个等式; (2)若一个等式的结果是 55,请写出这个等式; (3)根据以上规律,写出第 n 个等式. (用含 n 的式子表示,n 为 整数,且 n >1) 题型六　 数形结合思想及动点问题 13. 在数轴上的点 A 表示的数为 a,点 B 为原点,点 C 表示的数为 c,且已知 a,c 满足 | a+1 | + c-7 = 0. (1)a= 　 　 　 　 ;c= 　 　 　 　 ; (2)若 AC 的中点为 M,则点 M 表示的数为　 　 　 　 ; (3)若 A,C 两点同时以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向左 运动,求第几秒时,恰好有 BA=BC? ·32· 追梦专项总结突破卷(二) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂整式的乘除 题型一　 幂的运算 1. 下列运算正确的是(　 　 ) A. (a2b) 3 =a6b B. a2·a=a3 C. (a2) 3 =a5 D. a6 ÷a2 =a3 2. 如果 3a = 5,3b = 10,那么 9a-b 的值为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 不确定 3. 若 am+n = 8,am-n = 2,则 a2m = 　 　 　 　 . 4. “已知 am = 4,am+n = 20,求 an 的值. ”这个问题,我们可以这样思 考:逆向运用同底数幂的乘法公式,可得 am+n = aman,因为 am = 4,am+n = 20,所以 20 = 4an,所以 an = 5. 请利用这样的思考方法解决下列问题: 已知 am = 3,an = 5,求下列代数式的值:(1)a2m+n;(2)am-3n . 题型二　 整式的乘法 5. 生活情境·篱笆围花圃 用篱笆围一个面积为 6ab- 2b 的长方形 花圃,其中一条边长为 2b,则与这条边相邻的边长为 　 　 　 　 . 6. 若 ( ax + 3 ) ( 6x2 - 2x + 1 ) 中不含 x 的二次项, 则 a 的值 为　 　 　 　 . 7. 学习情境·错解问题 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题:(3x+ a)(2x+b) . 甲由于把第一个多项式中的“ +a”看成了“ -a”,得到 的结果为 6x2 -13x+6;乙由于漏抄了第二个多项式中 x 的系数, 得到的结果为 3x2 -7x-6. (1)求正确的 a、b 的值. (2)计算这道乘法题的正确结果. 题型三　 乘法公式 8. 下列计算结果正确的是(　 　 ) A. (2x-3) 2 = 4x2 +12x-9 B. ( - 1 2 x-1) 2 = 1-x+ 1 4 x2 C. (a-b)( -a+b)= b2 -a2 D. (2m-3)( -2m-3)= 9-4m2 9. 已知 a2 -b2 = 32,a-b= 4,则 a+b 的值是(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 已知 4x2 +mx+9 是完全平方式,则 m 的值为　 　 　 　 . 11. 计算:2 0252 -2 024×2 026 = 　 　 　 　 . 12. 如图,在边长为 2x+3 的正方形纸片中剪下一个边长为 x+3 的 正方形,剩余部分(即阴影部分)可剪拼成一个长方形,若拼成 的长方形一边长为 3x,则另一边长为　 　 　 　 . 13. 已知:a+b= 5,ab= 4. (1)求 a2 +b2 的值; (2)若 a>b,求 a-b 的值; (3)若 a>b,分别求出 a 和 b 的值. 题型四　 因式分解 14. 下列分解因式正确的是(　 　 ) A. a2 -ab+a=a(a-b) B. a2 -4b2 = (a+4b)(a-4b) C. a2 +2ab+b2 = (a-b) 2 D. a(a-b) -b(b-a)= (a-b)(a+b) 15. 已知 a、b、c 是△ABC 的三条边,且满足 a2 +bc= b2 +ac,则△ABC 一定是(　 　 ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 16. 学习情境·阅读理解 先阅读下列两段材料,再解答下列问题: (一)例题:分解因式:(a+b) 2 -2(a+b) +1. 解:将“a+b”看成整体,设 M = a+b,则原式 = M2 -2M+1 = (M- 1) 2,再将“M” 还原,得原式 = (a+b- 1) 2 . 上述解题用到的是 “整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法; (二)常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法,但有 的多项式只用上述一种方法无法分解,例如 x2 -4y2 -2x+4y,我 们细心观察就会发现,前两项可以分解,后两项也可以分解,分 别分解后会产生公因式,就可以完整的分解了. 过程为: x2 -4y2 -2x+4y= (x2 -4y2 ) -2(x-2y) = (x-2y) ( x+2y) -2( x- 2y)= (x-2y)(x+2y-2) . 这种方法叫分组分解法,对于超过三项的多项式往往考虑这种 方法. 利用上述数学思想方法解决下列问题: (1)分解因式:(5a+3b) 2 -(3a+5b) 2; (2)分解因式:x2 -2x-4y-4y2 . ·42· 6. B　 【解析】由题意可得该月手机总费用为 18÷4% = 450 (元),∴ 基本话费为 450 × ( 1 - 4% - 45% - 31%) = 90 (元),故选 B. 7. B　 8. D　 9. D 10. C　 【解析】小学高年级抽检人数:1 000×(1-30%-35% -15%) = 200(人),达标总人数:1 000 × 52. 5% = 525 (人),小学抽检人数:1 000 × ( 1 - 30% - 35%) = 350 (人),小学达标率:(24+113)÷350×100%≈39%,初中 抽检人数:1000×35% = 350(人),初中达标率:(525-24 -113-188)÷350× 100% ≈57%,高中抽检人数:1 000× 30% = 300(人),高中达标率:188÷300×100%≈63%,小 学生 800 米跑达标率高于 33%;高中生 800 米跑达标率 低于 70%,③④说法错误,正确的有 2 个. 故选 C. 11. 0. 4　 【解析】由题意可知,跳绳次数在 90 ~ 110 这一组 的频数为 4,则频率为 4÷10 = 0. 4. 12. 50 13. 30　 【解析】由统计图可得,比赛场数为 10÷ 20% = 50 (场),胜的场数为 50×(1- 20% - 20%)= 50× 60% = 30 (场) . 14. 16　 【解析】由题意得调查总人数为 8÷(40% -30%)= 80(人),则选篮球的学生人数为 80×20% = 16(人) . 15. 15　 【解析】调查的学生人数是 15÷25% = 60(人),则调 查的教师人数为 30 人,教师乘私家车出行的人数为 30 -(3+9+3)= 15(人) . 16. 解:(1) 1 2 5 7 3 4 3 2 5 4 (6 分) (2)“3”出现的频率是 7÷36 = 7 36 , (7 分) “6”出现的频率是 3÷36 = 1 12 , (8 分) “9”出现的频率是 4÷36 = 1 9 . (9 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　【归纳总结】频数是表示一组数据中符合条件的对象出 现的次数,频率=频数÷总数. 17. 解:(1)10÷20% = 50(名),即本次抽取了 50 名学生; (4 分) (2)50-10-20- 12 = 8(名),即喜欢二龙山风景区的学 生有 8 名. 补全条形统计图如图所示: (9 分) 18. 解:(1)本次调查的人数为 46÷ 23% = 200(人). A 等级 的人数为 200-(46+70+64)= 20(人). (2 分) 补全条形统计图如图所示: (6 分) (2)由题意得:a% = 20÷ 200× 100% = 10%,即 a = 10,D 等级所占的圆心角的度数为 64÷200×360° = 115. 2°. (9 分) 19. 解:(1)72　 82　 50 (3 分) (2)360° ×(1- 41% - 29. 5% - 3% - 1. 5%) = 90°,∴ “x> 80”对应的扇形圆心角的度数为 90°; (6 分) (3)摸底测试的优秀率为 17 200 ×100% = 8. 5%; (7 分) 终结测试的优秀率为 50 200 × 100% = 25%,25% - 8. 5% = 16. 5%,∴ 经过一个学期的训练,该校七年级学生“30 秒跳绳”的优秀率提高了 16. 5%. (9 分) 20. 解:(1)30% (2 分) (2) (6 分) (3)B 品牌电视机的销量逐月增加,故该商店应经销 B 品牌的电视机. (9 分) 21. 解:(1)150 (3 分) (2)48° (6 分) (3) (10 分) 22. 解:(1)八年级三班共有同学 11÷22% = 50(名);(3 分) (2)n= 50×14% = 7,m= 50-4-18-11-7 = 10; (6 分) (3)植树 2 棵的人数所对应的扇形圆心角的度数为 360°×10 50 = 72°. (10 分) 23. 解:(1)0. 06　 0. 08　 160　 300　 400　 0. 40 (3 分) (2) (7 分) (3)估计全市幸福指数能达到 5★级的中学生有 300÷ 0. 3÷5%×0. 4 = 8 000(名). (10 分) 追梦专项总结突破卷(一) 1. A　 【解析】无理数为无限不循环小数, π 3 , 7 为无理数, 共 2 个,故选 A. 2. C　 【解析】①(-3) 2 的算术平方根是 3,故错误;②4 的 平方根为±2,故正确;③一个实数的立方根是正数,0,负 数,故错误;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么 这个数是±1 或 0,故错误,故选 C. 3. C　 【解析】根据题意得 x+y-4 = 03x-y= 0{ ,解得 x= 1 y= 3{ ,所以 2x-y = 2×1-3 = -1,故选 C. 4. B　 【解析】由题可得 b= 1 3 ,则 a= 6,ab = 6× 1 3 = 2,则 ab 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 11 页 的算术平方根是 2,故选 B. 5. 14　 【解析】由题可得 n-12 = 0,m-1 = 0,则 n= 12,m= 1, ∴ 2m+n= 2×1+12 = 14. 6. C　 【解析】∵ 1<x<2,∴ 1< x < 2,1<x2 <4. ∵ x>1. 5, x < 1. 414,∴ x <x<x2,故选 C. 7. C　 【解析】∵ 3< 13 <4,∴ 8<5+ 13 <9. ∵ 4< 19 <5, ∴ 6<2+ 19 <7,5<1+ 23 <6,A 错误;9<4+ 26 <10,B 错误;7<4+ 15 <8,C 正确;5<4+ 3 <6,D 错误. 故选 C. 8. 解:(1)<　 < (2) 17 - 16 　 n- n-1 (3)原式 = 2 - 1+ 3 - 2 + 4 - 3 +……+ n+1 - n = n+1 -1. 9. 解:(1)原式= 2-4-1 = -3; (2)原式= 2- 3 -(3-4-2)-9 = 2- 3 +3-9 = - 3 -4. 10. 解:(1)∵ 一个数的平方根是 3a+1 和 a+11,∴ 3a+1+a+ 11 = 0,解得 a = - 3,则 3a+ 1 = - 8,故这个数为( - 8) 2 = 64,则这个数的立方根为 4; (2)由 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3,得 x- 2 = 4,2x+y+7 = 27,解得 x= 6,y= 8. ∴ x2 +y2 = 100,∴ x2 + y2 的算术平方根是 10. 11. - 2028 22 027 12. 解:(1) 13 +23 +33 +43 +53 +63 = 212 = 21; ( 2 ) 13 +23 +33 +43 +53 +63 +73 +83 +93 +103 = 552 = 55; ( 3 ) 13 +23 +33 +43 +53 +63 +…+n3 = [ n(n+1) 2 ] 2 =n(n+1) 2 . 13. 解:(1)-1　 7 　 (2)3 (3)设第 x 秒时,BA=BC,根据题意得 x+1 = 7-x,解得 x = 3,∴ 第 3 秒时,恰好有 BA=BC. 追梦专项总结突破卷(二) 1. B 2. B　 【解析】9a-b =(32) a-b =(3a-b) 2 =(3a÷3b) 2 =(5÷10) 2 = 1 4 . 故选 B. 3. 16　 【解析】am+n·am-n =a2m = 16. 4. 解:(1)当 am = 3,an = 5 时,a2m+n =a2m·an = (am) 2an = 32 × 5 = 45; (2)当 am = 3,an = 5 时,am-3n = am ÷a3n = am ÷(an) 3 = 3÷ 53 = 3 125 . 5. 3a-1 6. 9　 【解析】原式 = 6ax3 +(18-2a) x2 +(a-6) x+3,由题意 可知 18-2a= 0,解得 a= 9. 7. 解:(1)由题意可知:(3x-a) (2x+b) = 6x2 - 13x+ 6,(3x+ a)(x+b)= 3x2 -7x-6,∴ 6x2 +(3b-2a)x-ab = 6x2 -13x+6, 3x2 + ( 3b + a) x + ab = 3x2 - 7x - 6, ∴ 3b-2a= -133b+a= -7{ , 解 得 a= 2 b= -3{ . (2)(3x+2)(2x-3)= 6x2 -9x+4x-6 = 6x2 -5x-6. 8. D　 9. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查利用平方差公式因式分解,a2 - b2 =(a+b)(a-b)再根据题目中已知信息,即可求出 a+b 的值. 10. ±12　 11. 1 12. x+2　 【解析】[(2x+3) 2 -(x+3) 2]÷3x= x+2. 13. 解:(1)∵ a+b= 5,ab= 4,∴ a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab = 52 -2× 4 = 17; (2)∵ (a-b) 2 =a2 +b2 -2ab= 17-8 = 9,∴ a-b = ±3,又∵ a >b,∴ a-b= 3; (3)由(2)得 a-b= 3,解方程组 a+b= 5a-b= 3{ ,解得 a= 4 b= 1{ . 14. D 15. A　 【解析】a2 +bc= b2 +ac 整理,得(a+b)(a-b)-c(a-b) = 0,即(a-b)(a+b-c)= 0,∵ a+b-c≠0,∴ a-b = 0,即 a = b,则△ABC 为等腰三角形. 故选 A. 16. 解:(1)原式= [(5a+ 3b) +(3a+ 5b)] [(5a+ 3b) -(3a+ 5b)] = (5a+3b+3a+5b)(5a+3b-3a-5b)= (8a+8b) (2a -2b)= 16(a+b)(a-b); (2)原式= (x2 -4y2 )-(2x+4y) = (x+2y) (x-2y) -2(x+ 2y)= (x+2y)(x-2y-2) . 追梦专项总结突破卷(三) 1. 证明:∵ ∠C= ∠D = 90°,∴ △ABC 与△ABD 为直角三角 形,在 Rt△BAD 和Rt△ABC 中, BA=ABAD=BC{ ,∴ Rt△BAD≌ Rt△ABC(H. L. ),∴ ∠BAD= ∠ABC,∴ EA=EB. 2. 证明:∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°,在 Rt△ABD 和 Rt△CBD 中, BD=BDAB=CB{ , ∴ Rt △ABD≌ Rt △CBD( H. L. ), ∴ AD = CD,∵ AE⊥EF 于点 E,CF⊥EF 于点 F,∴ ∠E = ∠F = 90°,在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中, AD=CDAE=CF{ ,∴ Rt△ADE ≌Rt△CDF(H. L. ),∴ DE=DF,即点 D 是 EF 的中点. 3. 证明:∵ 点 C 是 AE 的中点,∴ AC = CE,∵ BC∥DE,∴ ∠ACB = ∠E,在 △ACB 和 △CED 中, AC=CE ∠ACB= ∠E CB=ED { , ∴ △ACB≌△CED(S. A. S. ),∴ AB=CD. 4. 证明: ∵ O 是 BC 的中点, ∴ OB = OC, ∵ AD⊥BC, ∴ ∠AOB = ∠COD = 90°, 在 Rt △AOB 和 Rt △DOC 中, AB=DC OB=OC{ ,∴ Rt△AOB≌Rt△DOC(H. L. ),∴ AO=OD. 5. (1)①证明:∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形,∴ ∠BAC = ∠DAE = 60°, AB = AC, AD = AE. ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,∴ ∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △ABD≌△ACE(S. A. S. ); ②结论 BC=DC+CE 成立; (2)BC+CD = CE. 证明:∵ △ABC 和△ADE 是等边三角 形,∴ ∠BAC= ∠DAE = 60°,AB = AC,AD = AE. ∴ ∠BAC+ ∠DAC= ∠DAE+∠DAC,∴ ∠BAD = ∠EAC. 在△ABD 和 △ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △ABD≌△ACE(S. A. S. ) . ∴ BD=CE. ∵ BD=BC+CD,∴ CE=BC+CD. 6. 解:由题意,得 AC = BC,∠ACB = 90°. ∵ AD⊥DE,BE⊥ DE,∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠BCE = 90°, ∠ACD + ∠DAC = 90°, ∴ ∠ECB = ∠DAC, 在 △ADC 和 △CEB 中, ∠ADC= ∠CEB ∠DAC= ∠ECB AC=CB { , ∴ △ADC≌ △CEB ( A. A. S. ),∴ AD=EC = 6cm,DC = BE = 14cm,∴ DE = DC+CE = 20cm,故两堵木墙之间的距离为 20 cm. 7. 解:(1)DE=AD+BE 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 12 页