第12章 整式的乘除 追梦基础训练卷(一)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（华东师大版）

第 12 章追梦基础训练卷(一) 幂的运算、整式的乘法、乘法公式 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 下列计算正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x3·x5 = x15 B. (x2) 3·x4 = x10 C. (xy3) 2 = xy6 D. a8·a2 =a16 2. 计算( -6ab) 2·3a2b 的结果是(　 　 ) A. 18a4b3 B. -36a4b3 C. -108a4b3 D. 108a4b3 3. 下列算式的计算结果等于 x2 -5x-6 的是(　 　 ) A. (x-6)(x+1) B. (x+6)(x-1) C. (x-2)(x+3) D. (x+2)(x-3) 4. 学习情境·墨迹覆盖 今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放 学回到家,小梦拿出课堂笔记复习,发现一道题:-3y(4y-x-3)= -12y2+ 3xy + □,□的地方被钢笔水弄污了,你认为□内应填 写(　 　 ) A. 9xy B. 9y C. -9y D. -9xy 5. 下列各式中,不能用平方差公式计算的是(　 　 ) A. (2x-y)(2x+y) B. (x-y)(x+y) C. (b-a)( -b-a) D. (a+1)( -a-1) 6. 若(x+2)(x+1)= x2 +mx+n,则 m+n= (　 　 ) A. 1 B. -2 C. -1 D. 5 7. 若 a 为整数,且 xa = 5,则(x3a) 2 ÷x4a 的值为(　 　 ) A. 5 B. 5 2 C. 25 D. 10 8. 数学思想·整体思想 若 2x+5y-3 = 0,则 4x·32y 的值为(　 　 ) A. 8 B. -8 C. 1 8 D. - 1 8 9. 已知 a+b= 3,a2 +b2 = 7,则 ab 等于(　 　 ) A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 10. 中考新趋势·新定义 定义三角 表示 3abc,方框 表示 xz+wy,则 × 的结果为(　 　 ) A. 72m2n-45mn2 B. 72m2n+45mn2 C. 24m2n-15mn2 D. 24m2n+15mn2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:(3×103) ×( -4×105)= 　 　 　 　 . 12. 若 a+b= 2,a-b= -3,则 a2 -b2 = 　 　 　 　 . 13. 已知 2m-3n= -4,则代数式 m(n-4)-n(m-6)的值为　 　 　 　 . 14. 跨学科试题·信息技术 信息技术的存储设备常用 B,K,M,G 等 作为存储量的单位. 例如,我们常说某计算机硬盘容量是 320 G,某移动硬盘的容量是 80 G,某个文件的大小是 88 K 等,其 中 1 G = 210 M,1 M = 210K,1K = 210 B,对于一个存储量为 16 G 的闪存盘,其容量有　 　 　 　 B(结果写成乘方的形式) . 15. 文化情境·杨辉三角 如图所示为杨辉三角系数表的一部分,它 的作用是指导读者按规律写出形如(a+b) n(n 为正整数)展开 式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b) 4 展开式中 所缺的系数. (a+b) 1 =a+b; (a+b) 2 =a2 +2ab+b2; (a+b) 3 =a3 +3a2b+3ab2 +b3; (a+b) 4 =a4 +　 　 　 　 a3b+　 　 　 　 a2b2 +　 　 　 　 ab3 +b4 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)am(an) 3 ÷(am-1·an-1); (2)(x+1) 2 +x(x-2) -(x-1)(x+1) . 17. (8 分)先化简,再求值. (1)3a(2a2 -4a+3) -2a2(3a+4),其中 a= -2; (2)实数 x 满足 x2 - 2x- 1 = 0,求代数式( 2x- 1) 2 -x( x+ 4) + (x-2)(x+2)的值. 18. (9 分) (1) 已知 n 为正整数,且 x2n = 7,求 xn-3 ·x3(n+1) 的值; (2)若 ab2 = -1,求-ab(a2b5 -ab3 -2b)的值. 19. (9 分)(1)试说明代数式( s-2t)( s+2t+1) +4t( t+ 1 2 )的值与 s、t 的取值有无关系; (2)已知多项式 ax-b 与 2x2 -x+2 的乘积展开式中不含 x 的一 次项,且常数项为-4,试求 ab 的值. ·3· 20. 数学思想·数形结合 (10 分)对于一个图形,通过两种不同的 方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如图 1 可以得 到(a+b) 2 =a2 +2ab+b2,请解答下列问题: 图 1 　 　 　 图 2 (1)写出图 2 中所表示的数学等式　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式; (3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若 a+b+c = 18, a2 +b2 +c2 = 116,则 ab+ac+bc= 　 　 　 　 . 21. (10 分)探究应用: (1)计算:(x+1)(x2 -x+1)= 　 　 　 　 ; (2x+y)(4x2 -2xy+y2)= 　 　 　 　 . (2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)? (用含 a、b 的字母表示) (3)下列各式能用第(2)问的公式计算的是(　 　 ) A. (m+2)(m2 +2m+4) B. (m+2n)(m2 -2mn+2n2) C. (3+n)(9-3n+n2) D. (m+n)(m2 -2mn+n2) 22. 社会发展情境·建设体育强国 (10 分) 为贯彻落实 《“ 健康中 国”2030 规划纲要》,河南省制定了《河南省“十四五”体育发 展规划》,《规划》中提到为使全民健身公共服务体系更加健 全,到 2025 年,人均体育场地面积要达到 2. 6 平方米,竞技体 育综合实力要有明显提高. 如图,有一块长为(3a+b)米,宽为 (2a+b)米的长方形土地,规划部门计划在阴影部分铺设塑胶 跑道,中间修建一个边长为(a+b)米的正方形足球场地,则塑 胶跑道的面积是多少平方米? 23. 数学思想·数形结合 (11 分)代数式求值题“代数式 ax-y+6+ 3x-5y-1 的值与 x 的取值无关,求 a 的值. ”通常的解题方法是 把 x 看作未知数,a,y 看作已知数合并同类项,因为代数式的 值与 x 的取值无关,所以含 x 项的系数为 0,即原式= (a+3)x- 6y+5,所以 a= -3. 【理解应用】 (1)如图 1,长为 a,宽为 b(a>b)的小长方形纸片,按图 2 方式 不重叠地放在长方形 ABCD 内,未被覆盖的部分(两个长方形) 用阴影表示,设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 S, 如果当 BC 的长度变化时,S 始终保持不变,则 a,b 应满足的关 系是什么? 图 1　 　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 　 【能力提升】 (2)在(1)的条件下,用 6 张长为 a,宽为 b 的长方形纸片,再加 上 x 张边长为 a 的正方形纸片,y 张边长为 b 的正方形纸片(x, y 都是正整数),拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙, 无重叠拼接),则当 x+y 的值最小时,拼成的大正方形的边长为 多少(用含 b 的代数式表示)? 并求出此时的 x,y 的值. ·4· 　 　 答案详解详析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 第 11 章追梦综合演练卷 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D D A D C A A 1. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【易错提醒】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号 的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数. 如 π, 6 ,0. 8080080008…(每两个 8 之间依次多 1 个 0)等形式. 2. D　 【解析】实数与数轴上的点一一对应,所以①正确;开 方开不尽的数的方根是无理数,但无理数不仅仅是开方 开不尽的数的方根,如 π,所以②不正确;负数的立方根 仍是负数,所以③不正确; 4 表示 4 的算术平方根,所以 ④不正确. 错误的有 3 个. 故选 D. 3. C 4. D　 【解析】A. (-1) 2 = 1;B. - 3 - 8 125 = 2 5 ;C. 9 = 3; D. 3 3 3 8 = 3 27 8 = 3 2 = 1 1 2 . 故选 D. 5. D 6. A　 【解析】由题意得,水晶砖的棱长为 3 100 cm. 因为 3 64 < 3 100 < 3 125,即 4< 3 100 <5,所以该水晶砖的棱 长大约在 4cm~ 5cm 之间,故选 A. 7. D　 【解析】因为一个自然数的算术平方根是 x,所以这 个自然数为 x2,则它后面的一个数为 x2 +1,它的算术平 方根为 x2 +1,故选 D. 8. C　 【解析】因为 2< 7 <3,所以-1< 7 -3<0,在数轴上对 应的点可能为点 C,故选 C. 9. A　 【解析】因为 a2 = 4,b2 = 9,所以 a= ±2,b = ±3. 因为 ab >0,所以 a= 2,b= 3 或 a = -2,b = -3,即 a+b 的值为 5 或 -5,故选 A. 10. A　 【解析】∵ 圆锥形土方的底面直径为 100 米,高度为 50 米,∴ 圆锥的体积为 1 3 Sh = 1 3 π × ( 100 2 ) 2 × 50 ≈ 125 000( 立 方 米 ) . ∴ 垃 圾 池 的 底 面 边 长 大 约 为 3 125 000 = 50(m) . 故选 A. 11. < 12. 7　 【解析】∵ 1< 3 <2,∴ 3< 3 +2<4,∴ x = 3,y = 4,x+y = 7. 13. 5 3 　 【解析】 根据题意得: 3x + 4 = 0, y - 3 = 0,解得 x= - 4 3 ,y= 3,则 x+y= - 4 3 +3 = 5 3 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】算术平方根 a具有双重非负性:①被开方数 a 是一个非负数,即 a≥0;②算术平方根 a本身就是非 负数,即 a≥0. 14. -3　 15. 2 　 3 10 16. 解:(1)原式= 5 2 ×(-4)+ 9 ×3÷(- 1 2 )= -10-18 = -28; (4 分) (2)原式= ( 9 4 + 3 -27 64 + 9 4 ) × 1 16 ×64 = ( 3 2 - 3 4 + 3 2 )×4 = 9 4 ×4 = 9. (8 分) 17. 解:根据题意得 m-n= 2m-2n+3 = 3{ ,解得 m= 4 n= 2{ , (3 分) ∴ A= 9 = 3,B= 3 8 = 2,∴ B-A= 2-3 = -1, (6 分) ∴ B-A 的立方根为-1. (8 分) 18. 解:∵ 1-2x≥0,2x-1≥0,且 1-2x = -(2x-1),∴ 1-2x = 2x-1 = 0, (5 分) ∴ x= 1 2 ,y= 2,∴ xy= 1. (9 分) 19. 解:(1)4 (3 分) (2)∵ 1< 3 <2,2< 5 <3,∴ 3的小数部分为 a = 3 -1, 5的小数部分为 b= 5 -2, (6 分) ∴ a-b-1 = 3 -1-( 5 -2)-1 = 3 - 5 . (9 分) 20. 解:(1)5　 (2 分) (2)n (4 分) (3)原式= 4×(1+3+5+7+…+51) = 4×[1+3+5+7+…+(2×26-1)] = 4×262 = 52. (10 分) 21. 解:(1) 7 9 (2 分) 【解析】设 0. 7 · = x,即 x = 0. 777…,将方程两边都乘以 10,得 10x= 7. 777…,即 10x= 7+0. 777…,所以 10x = 7+ x,所以 9x= 7,即 x= 7 9 ,所以 0. 7 · = 7 9 . (2) 23 99 (4 分) 【解析】设 0. 23 ·· = x,100x= 23. 23 ·· ,100x = 23+x,x = 23 99 ,所 以 0. 23 ·· = 23 99 . (3)3. 326 ·· = 1 10 ×(33+0. 26 ·· )= 33 10 + 1 10 ×26 99 = 3 293 990 . (10 分) 22. 解:(1)设长方形硬纸片的宽为 xcm,则长为 2xcm,根据 题意得(2x) 2 = 900,解得 x= ±15. (4 分) ∵ x>0,∴ x= 15,∴ 长方形硬纸片的宽为 15cm. (5 分) (2)够用. 由题意,得正方体无盖笔筒的棱长为 3 512 = 8(cm),∴ 无盖笔筒的表面积为 5×82 = 320(cm2 ) ∵ 900 >320,∴ 硬纸片够用, (8 分) ∴ 剩余硬纸片的面积为 900-5×82 = 580(cm2 ) . (10 分) 23. 解:(1) 3 8 = 2,∴ 这个魔方的棱长为 2. (3 分) (2)∵ 魔方的棱长为 2,∴ 小立方体的棱长为 1,∴ 阴影 部分的面积为 1 2 ×1×1×4 = 2, (7 分) ∴ 其边长为 2 . (9 分) (3)-1- 2 (11 分) 第 12 章追梦基础训练卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A B D D C A B B 1. B　 【解析】A. x3·x5 = x8;B. (x2) 3·x4 = x6 ·x4 = x10;C. (xy3) 2 = x2y6;D. a8·a2 =a10,故选 B. 2. D　 【解析】 (-6ab) 2 ·3a2b = 36a2b2 ·3a2b = 108a4b3 . 故 选 D. 3. A　 【解析】A. (x-6)(x+1)= x2 -5x-6;B. (x+6)(x-1) = x2 +5x-6;C. (x-2)(x+3)= x2 +x-6;D. (x+2)(x-3)= 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 1 页 x2 -x-6,故选 A. 4. B　 【解析】-3y(4y-x-3)= -12y2 +3xy+9y,所以□ = 9y. 故选 B. 5. D 6. D　 【解析】∵ (x+2)(x+1)= x2 +3x+2 = x2 +mx+n,∴ m = 3,n= 2. ∴ m+n= 5,故选 D. 7. C　 【解析】原式= x6a÷x4a = x2a =(xa) 2 = 52 = 25,故选 C. 8. A　 【解析】∵ 2x+5y-3= 0,∴ 2x+5y= 3. ∴ 4x·32y = 22x·25y =22x+5y =23 =8.故选 A. 9. B　 【解析】∵ (a+b) 2 = a2 +2ab+b2 = 9,∴ 2ab = (a+b) 2 - (a2 +b2)= 9-7 = 2,∴ ab= 1. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【拓展】完全平方公式的几种常见变形:①a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab;②(a+b) 2 = (a-b) 2 + 4ab,(a-b) 2 = (a+ b) 2 - 4ab;③( a+ b) 2 + ( a- b) 2 = 2( a2 + b2 );④ab = 1 4 [(a+b) 2 -(a-b) 2] =(a +b 2 ) 2 -( a -b 2 ) 2;⑤(a+b+c) 2 = a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc. 10. B　 【解析】根据题意得,原式 = 9mn(8m+5n)= 72m2n+ 45mn2 . 故选 B. 11. -1. 2×109 　 【解析】原式 = 3×(-4)×103 ×105 = -12×108 = -1. 2×109 . 12. -6　 【解析】a2 -b2 =(a+b)(a-b)= 2×(-3)= -6. 13. 8 　 【解析】 原 式 = mn - 4m - mn + 6n = - 4m + 6n = -2(2m-3n),因为 2m- 3n = - 4,所以原式 = - 2×(-4) = 8. 14. 234 　 15. 4　 6　 4 16. 解:(1)原式=am+3n÷am+n-2 =am+3n-(m+n-2) = a2n+2 ; (4 分) (2)原式=x2 +2x+1+x2 -2x-(x2 -1)= x2 +2. (8 分) 17. 解:(1)原式= 6a3 -12a2 +9a-6a3 -8a2 = -20a2 +9a, (3 分) 当 a= -2 时,原式= -20×(-2) 2 +9×(-2)= -98; (4 分) (2)原式= 4x2 -4x+1-x2 -4x+x2 -4 = 4x2 -8x-3 = 4(x2 - 2x)-3. (7 分) ∵ x2 -2x-1 = 0,∴ x2 -2x= 1,∴ 原式= 4×1-3 = 1. (8 分) 18. 解:(1)因为 x2n = 7,所以 xn-3 ·x3(n+1) = xn-3 ·x3n+3 = x4n = (x2n) 2 = 72 = 49; (4 分) (2)原式= -a3b6 +a2b4 +2ab2 = -(ab2 ) 3 +(ab2 ) 2 +2ab2 . (8 分) ∵ ab2 = -1,∴ 原式= -(-1) 3 +(-1) 2 +2×(-1)= 0. (9 分) 19. 解:(1)( s-2t)( s+2t+1)+4t( t+ 1 2 )= s2 +2st+s-2st-4t2 - 2t+4t2 +2t= s2 +s. 故代数式的值与 s 的取值有关,与 t 的 取值无关; (4 分) (2)(ax-b) (2x2 -x+2) = 2ax3 +( -2b-a) x2 +(2a+b) x- 2b. (6 分) ∵ 展开式中不含 x 的一次项,且常数项为-4,∴ 2a+b = 0,-2b= -4,解得 a= -1,b= 2,∴ ab = (-1) 2 = 1. (9 分) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】单(多)项式乘多项式的乘积展开式中不含 未知数的某一次项,则表示这一项的系数为 0. 可先根据 单(多)项式乘多项式的乘法法则将乘积展开,合并同类 项,令该项的系数为 0 求解即可. 20. 解:(1)(a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc; (2 分) (2)(a+b+c) 2 = [(a+b)+c] 2 = (a+b) 2 +2(a+b) c+c2 = a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc,∴ (a+b+c) 2 = a2 +b2 +c2 +2ab+2ac +2bc; (7 分) (3)104 (10 分) 【解析】由(1)中得到的结论(a+b+c) 2 = a2 +b2 +c2 +2ab+ 2ac+2bc,可得 2ab+2ac+2bc = (a+b+c) 2 -(a2 +b2 +c2)= 182 -116 = 208,∴ ab+bc+ac= 104. 21. 解:(1)x3 +1　 8x3 +y3 (4 分) (2)(a+b)(a2 -ab+b2 )= a3 +b3 . (8 分) (3)C (10 分) 22. 解:设塑胶跑道的面积为 S,S= (3a+b)(2a+b) -(a+b) 2 = 6a2 +5ab+b2 -(a2 +2ab+b2 ) = 6a2 +5ab+b2 -a2 -2ab-b2 = (5a2 +3ab)平方米. (10 分) 23. 解:(1)设 BC=n,令左上角长方形面积为 S1 ,右下角长 方形面积为 S2 ,S1 =a(n-4b),S2 = 2b(n-a),S = S1 -S2 = a(n-4b)-2b(n-a)= (a-2b)n-2ab. (3 分) ∵ 当 BC 的长度变化时,S 的值不变,∴ S 的取值与 n 无 关,∴ a-2b= 0,即 a= 2b; (5 分) (2)由题意得:拼成一个大的正方形的面积 = 6ab+a2x+ b2y,由( 1) 知 a = 2b, ∴ 6ab + a2x + b2y = 6 · 2b · b + (2b) 2x+b2y= b2(4x+y+12) . (7 分) 因为大正方形的边长一定是 b 的整数倍,∴ 4x+y+12 是 平方数. ∵ x,y 都是正整数,∴ 4x+y+12 最小是 25,即 4x +y= 13,∴ x = 1,y = 9 或 x = 2,y = 5 或 x = 3,y = 1,此时 6ab+a2x+b2y= b2(4x+y+12) = 25b2 . 则当 x+y 的值最小 时,拼成的大正方形的边长为 5b,此时 x= 3,y= 1. (11 分) 第 12 章追梦基础训练卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A D B C A C B B B 1. D 2. A　 【解析】mx2 -m=m(x-1)(x+1),x2 -2x+1 = (x-1) 2, ∴ 多项式 mx2 -m 与多项式 x2 -2x+1 的公因式是 x-1,故 选 A. 3. D　 【解析】原式= y(x2 -4)= y(x+2)(x-2),故选 D. 4. B　 【解析】由题意得-6a3b2 ÷2a2b= -3ab,故选 B. 5. C 6. A　 【解析】原式=(a-b)[(a+b)(a-b)+1] =(a-b)(a2 - b2 +1),故选 A. 7. C　 8. B 9. B　 【解析】∵ a2 +2b2 +c2 = 2ab+2bc,∴ a2 -2ab+b2 +b2 -2bc +c2 = 0,即:(a-b) 2 +(b-c) 2 = 0,∴ a-b= 0,且 b-c= 0,即 a = b,b= c,∴ a= b= c,∴ △ABC 是等边三角形. 故选 B. 10. B　 【解析】x3 -xy2 = x(x2 -y2)= x(x+y)(x-y),当 x = 30, y= 20 时,x+y= 50,x-y= 10,组成密码的数字应包括 30, 50,10,所以组成的密码不可能是 103020. 故选 B. 11. (1)a(ab-1)　 (2)2a(a-b) 2 12. 20　 【解析】原式= 2xy(x-2y),因为 x-2y = -5,xy = -2, 所以原式= 2×(-2)×(-5)= 20. 13. 4x + xy - 3 　 【解析】 这个多项式是 ( 28x4y2 + 7x4y3 - 21x3y2)÷7x3y2 = 4x+xy-3. 14. 4x2 +1　 【解析】(2x⊕y)÷y = [(2x) 2·y+y]÷y = (4x2y+ y)÷y= 4x2 +1. 15. ±6 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【解题技巧】根据完全平方公式,括号内第一个数为 x,第 二个数为 3,展开后中间应加上或减去这两个数积的两 倍. 16. 解:(1)原式= x2y÷ 1 2 xy- 1 2 xy2 ÷ 1 2 xy-2xy÷ 1 2 xy = 2x-y -4; (4 分) (2)原式= (9m2 -6mn+n2 + 9m2 -n2 + 6mn) ÷ 2m = 18m2 ÷ 2m= 9m. (8 分) 17. 解:(1)(a+b)(a-b)= a2 -b2(答案不唯一) (2 分) (2)一 (3 分) (3)原式= [4x2 -y2 -(4x2 - 12xy+ 9y2 )] ÷( - 2y) = (4x2 - y2 -4x2 +12xy-9y2 )÷(-2y)= (12xy-10y2 )÷(-2y)= -6x +5y, (6 分) 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBH·数学　 第 2 页