追梦专项总结突破卷(三)二元一次方程组-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

追梦专项总结突破卷(三) 二元一次方程组 题型一　 解一元一次方程组 类型 1　 选择适当的方法解方程组 1. 解下列方程组. (1) y= 2x-3 x+y= 6{ ;　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2) 2x+y= 3 x-y= 6{ . (3) x+y= 3 5x-3(x-y)= 1{ ; (4) 3(x-1)= y+4 x+y 3 +x-y 6 = 1 ì î í ï ï ïï . 类型 2　 换元法解方程组 2. 数学思想·整体思想 【阅读材料】小明同学遇到下列问题:解方 程组 2x+3y 4 +2x-3y 3 = 7 2x+3y 3 +2x-3y 2 = 8 ì î í ï ïï ï ïï ,他发现如果直接用代入消元法或加减 消元法求解,计算量比较大,也容易出错. 如果把方程组中的 (2x+3y)看作一个数,把(2x-3y)看作一个数,通过换元,可以比 较容易地解决问题. 以下是他的解题过程: 令 m = 2x+ 3y,n = 2x- 3y,这时原方程组化为 m 4 + n 3 = 7 m 3 + n 2 = 8 ì î í ï ïï ï ïï ,解得 m= 60 n= -24{ ,即 2x+3y= 60 2x-3y= -24{ , 解得 x= 9 y= 14{ . 所以, 原方程组的解 为 x= 9 y= 14{ . 【解决问题】请你参考小明同学的做法,解决下面的问题: 解方程组 x+y 3 +x-y 5 = 2 x+y 3 -x-y 5 = -1 ì î í ï ïï ï ïï . 题型二　 解含参的二元一次方程组 类型 1　 由方程组解的关系求参数值 解题技巧:由方程组的解的特点可得到第 3 个方程,解此类题通常有如 下 3 种方法:①将方程组中的参数看成已知数并求解,再将求得的解代 入第 3 个方程即可求得参数的值;②将其中两个不含参数的方程重新 组成一个新方程组后解之,再将求得的解代入第 3 个含参数的方程即 可求得参数的值;③观察方程组中的两个方程与第 3 个方程的关系,对 方程组中的参数做整体化处理, 3. 已知关于 x,y 的二元一次方程组 x-y= 4a-3 x+2y= -5a{ 的解 x,y 互为相反 数,求 a 的值. 4. 阅读以下内容:已知数 a,b 满足 a+b = 3,且 5a+4b= 16 4a+5b= 5k+1{ ,求 k 的值. 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路: 小明:先解关于 a,b 的方程组,再把解代入 a+b = 3,从而求 k 的值; 小王:可先将原方程组中的两个方程直接相加,再求 k 的值; 小丽:先解方程组 a+b= 3 5a+4b= 16{ ,再把所得解代入 4a+5b = 5k+1, 即求 k 的值. (1)试选择其中一名同学的思路,完整地解答此题; (2)试说明关于 x,y 的方程组 x-y= 2m-3 x+2y= 3-m{ ,不论 m 取何值,x+y 的值始终不变. 类型 2　 同解问题 解题技巧:两个方程组同解,其实就是这两个方程组中的四个方程 有公共解,解此类题时通常可先将其中两个不含参数的方程重新组 成一个方程组后解之,再将求得的解代入由另外两个含参数的方程 组成的方程组中,解之即可求得参数的值. 5. 已知关于 x,y 的方程组 x+y= 5 4ax+5by= -22{ 与 2x-y= 1 ax-by-8 = 0{ 有相同的 解,求(a+b) 2 025 的值. 类型 3　 由方程组的错解求参数值 解题技巧:把求得的错解(分别)代入没有看错的方程中,构建出关 于参数的方程(组),解之即可求得参数的值. 6. 学习情境·错解问题 解方程组 ax+by= 6① cx-4y= -2②{ 时,小强正确解得 x= 2 y= 1{ ,而小刚看错了 c,解得 x= 1 y= 2{ ,求出 a、b、c 的值. 7. 甲、乙两人共同解方程组 ax+5y= 15① 4x-by= -2②{ ,由于甲看错了方程①中 的 a,得到方程组的解为 x= -3 y= -1{ ,乙看错了方程②中的 b,得到方 程组的解为 x= 5 y= 4{ ,试计算 a 2 025 +( - b 10 ) 2 024 的值. ·92· 题型三　 二元一次方程组的应用 类型 1　 配套问题 8. 生产劳动情境·制作铁皮盒子 用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制 盒身 16 个,或制盒底 48 个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头 盒. 现有 15 张白铁皮,用来制盒身和盒底,可以刚好配(　 　 ) A. 144 套　 　 　 B. 9 套　 　 　 　 C. 6 套　 　 　 　 D. 15 套 9. 易错题 以图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,可做 成图②中的竖式和横式的两种无盖纸盒. 现有 m 张正方形纸板 和 n 张长方形纸板,如果做两种纸盒若干个,恰好将纸板用完, 则 m+n 的值可能是(　 　 ) A. 2 022　 　 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 类型 2　 数字问题 10. 跨学科试题·语文 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算 题,这些题目叙述生动、活泼,它们大都是关于方程或方程组的 应用题. 由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏,因而一扫纯数学 的枯燥无味之感,令人耳目一新、回味无穷. 请根据下列诗意列 方程组解应用题. 周瑜寿属:而立之年督东吴,早逝英年两位 数;十比个位正小三,个位六倍与寿符. 哪位同学算得快,多少 年寿属周瑜? 诗的意思是:周瑜病逝时的年龄是一个大于 30 的两位数,其十位数上的数字比个位上的数字小 3,个位上的 数字的 6 倍正好等于这个两位数,求这个两位数. 类型 3　 行程问题 11. 某人骑自行车从 A 地出发去 B 地,先以每小时 12 km 的速度下坡; 再以每小时 9 km 的速度在平路上行驶至 B 地,共用 55 min;回来 时他以每小时 8 km 的速度通过平路后,再以每小时 4 km 的速 度上坡至 A 地,共用 1. 5 h,则 A,B 两地相距　 　 　 　 km. 12. 生活情境·车辆行驶 甲、乙两地相距 160 km,一辆汽车和一辆 拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行, 4 3 小时后相 遇. 相遇后,拖拉机以其原速继续前进,汽车在相遇处停留 1 小 时后掉转头以其原速返回,汽车再次出发半小时追上拖拉机, 这时,汽车、拖拉机各自走了多少路程? 类型 4　 营销问题 13. 生产劳动情境·药材加工 某公司以每吨 600 元的价格收购了 100 吨某种药材,若直接在市场上销售,每吨的售价是 1 000 元. 该公司决定加工后再出售,相关信息如下表所示: 工艺 每天可加工药材的吨数 成品率 成品售价 粗加工 14 80% 6 000 / 吨 精加工 6 60% 11 000 / 吨 (注:①成品率 80%指加工 100 吨原料能得到 80 吨可销售药 材,②加工后的废品不产生效益) 受市场影响,该公司必须在 10 天内将这批药材加工完毕. (1)若全部粗加工,可获利　 　 　 　 　 元; (2)若尽可能多的精加工,剩余的直接在市场上销售,可获利 　 　 　 　 元; (3)若部分粗加工,部分精加工,恰好 10 天完成,求可获利多 少元? 题型四　 用二元一次方程组和一次函数的图象解决实际问题 14. 生活情境·苹果销售 某人购进一批苹果 到农贸市场零售,已知卖出的苹果数量 与售价之间的关系如图所示, 成本 5 元 / 千克,现以 8 元 / 千克卖出,挣得　 　 　 　 元. 15. 甲、乙两地相距 40 km,一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发 沿同一直道匀速前往乙地. 慢车先出发,行驶一段时间后停车 休息,待快车追上后立即以原速度匀速行驶,直至到达乙地. 快 车比慢车晚 20 min 出发,始终保持匀速行驶,且比慢车提前到 达乙地. 两车之间的距离 y(单位:km)与慢车的行驶时间 x(单 位:min)之间的部分函数图象如图所示. 请结合图象解决下面 问题: (1)慢车的速度为　 　 　 　 km / min; (2)求线段 AB 表示的 y 与 x 之间的函数表达式; (3)快车的速度为 　 　 　 　 km / min,快车和慢车在行驶过程 中,最远相距　 　 　 　 千米. 请根据题意补全图象. ·03· 90°,∴ △AB′C 是等腰直角三角形. 5. 解:(1)∵ A(3,0),B(4,3),将线段 OA 平移至 CB, ∴ OA= 3,BC∥OA,BC=OA,∴ 点 C(1,3); (2)存在,当点 D 在线段 OA 上时,则 AD= 3-OD, ∵ △ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍, ∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (3-OD)×3, ∴ OD= 9 4 ,∴ 点 D( 9 4 ,0); 当点 D 在线段 OA 的延长线上时,AD=OD-3, ∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (OD-3)×3, ∴ OD= 9 2 ,∴ 点 D( 9 2 ,0) . 综上所述:点 D 坐标为( 9 4 ,0)或( 9 2 ,0) . 6. B　 【解析】由题意可知,动点 P 第 1 次、第 2 次、第 3 次、 第 4 次、第 5 次、第 6 次…运动到的坐标依次为(-1,1), (-2,0),(- 3,2),(- 4,0),(- 5,1),(- 6,0),…,第 4n 次接着运动到点( - 4n,0),第 4n+ 1 次接着运动到点 (-4n-1,1),第 4n+2 次接着运动到点(-4n-2,0),第 4n +3 次接着运动到点(-4n-3,2),∵ 2 024÷ 4 = 506,∴ 第 2 024 次接着运动到点(-2 024,0) . 故选 B. 7. B　 【解析】跳蚤运动的速度是每秒跳动一个单位长度, (0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是 1 秒,2 秒,3 秒,到(2,0)用 4 秒,到(2,2)用 6 秒,到(0,2)用 8 秒,到(0,3)用 9 秒,到(3,3)用 12 秒,到(3,0)用 15 秒, 依此类推,到(5,0)用 35 秒. 故第 35 秒时跳蚤所在位置 的坐标是(5,0) . 故选 B. 8. B　 【解析】由点 A(1,1),B(- 1,1),C(- 1,- 2),D(1, -2),可知 ABCD 是长方形,AB=CD= 2,CB =AD = 3,∴ 机 器人从点 A 出发沿着 A-B-C-D 回到点 A 所走路程是:2 +2+3+3 = 10,∵ 2 024÷10 = 202……4,∴ 第 2 024 秒时机 器人所在点的坐标为(-1,-1) . 故选 B. 与一次函数相关的问题 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. B　 6. A　 7. C　 8. 解:(1)①0　 ②-12 或 12 (2)描点,画出函数的图象如图: (3)①4　 ②函数 y= - | x | + 4 的图象关于 y 轴对称. (答 案不唯一) 9. ( 8 3 ,0)　 【解析】作 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 AB′交 x 轴于点 C,则此时△ABC 的周长最小. 设直线 AB′的表 达式为 y= kx+b. 将 B′(4,-4),A(2,2)代入得 k = -3,b = 8. ∴ y= -3x+8. 令 y= 0,得 x= 8 3 . 故 C( 8 3 ,0) . 10. 解:(1)在 y= -x+6 中,令 x= 0 得 y= 6,令 y = 0 得 x = 6, ∴ B(6,0),C(0,6) . 由 y= -x+6 y= 1 2 x{ 得 x= 4y= 2{ ,∴ A(4,2); (2)∵ C(0,6),∴ OC= 6,∴ S△ OAC = 1 2 OC·xA = 1 2 ×6×4 = 12; (3)由题意,得 1 2 OC· | xM | = 1 2 S△ OAC = 6,即 1 2 ×6· | xM | = 6,∴ | xM | = 2. ∴ xM = 2 或 xM = -2. 当 xM = 2 时,在 y= -x +6 中令 x= 2,得 y= 4,∴ M(2,4),当 xM = -2 时,在 y= -x +6 中令 x= -2,得 y= 8,∴ M′(-2,8) . 综上所述,点 M 的 坐标为:(2,4)或(-2,8) . 11. 解:(1)设甲品牌粽子每箱 x 元,乙品牌粽子每箱 y 元, 由题意得 40x+15y= 2 000 20x+30y= 1 900{ ,解得 x= 35 y= 40{ ,故购进甲品牌 粽子每箱 35 元,购进乙品牌粽子每箱 40 元; (2)w= (40-35)a+(50-40)(200-a)= 2 000-5a. (1≤a <200,且 a 为整数) 12. 解:(1)设大货车有 x 辆,小货车有 y 辆,根据题意得: x+y= 15 12x+8y= 152{ ,解得 x= 8 y= 7{ . ∴ 大货车有 8 辆,小货车有 7 辆. (2)y= 800x+900(8-x)+400(10-x)+600[7-(10-x)] = 100x+9 400(3≤x≤8,且 x 为整数) . (3)∵ y = 100x+ 9 400,k = 100> 0,∴ y 随 x 的增大而增 大,∴ 当 x = 3 时,y 最小,最小值为 y = 100× 3+ 9 400 = 9 700(元) . 故使总运费最少的调配方案是:3 辆大货 车、7 辆小货车前往 A 村;5 辆大货车前往 B 村. 最少运 费为 9 700 元. 追梦专项总结突破卷(三) 二元一次方程组 1. 解:(1) y= 2x-3①x+y= 6②{ ,把①代入②得 x+2x-3 = 6,解得 x = 3. 把 x = 3 代入①得 y = 2 × 3 - 3 = 3,故原方程组的解 是 x= 3y= 3{ ; (2) 2x+y= 3①x-y= 6②{ ,①+②得 3x= 9,解得 x = 3,把 x = 3 代入 ②得 3-y= 6,解得 y= -3,故原方程组的解是 x= 3y= -3{ . (3) x+y= 35x-3(x-y)= 1{ ,整理得 x+y= 3① 2x+3y= 1②{ ,①×2-②得-y = 5,解得 y= -5,把 y= -5 代入①得 x-5 = 3,解得 x= 8,∴ 方程组的解为 x= 8y= -5{ ; (4)方程组整理得 3x-y= 7①3x+y= 6②{ ,①+②得 6x = 13,解得 x = 13 6 ,把 x= 13 6 代入①得 3× 13 6 -y = 7,解得 y = - 1 2 ,∴ 方程 组的解为 x= 13 6 y= - 1 2 ì î í ï ï ïï . 2. 解:令 m= x +y 3 ,n = x -y 5 ,原方程组可化为 m+n= 2m-n= -1{ ,解得 m= 1 2 n= 3 2 ì î í ï ï ïï , 所 以 x+y 3 = 1 2 x-y 5 = 3 2 ì î í ï ï ïï , 整 理 为 2x+2y= 32x-2y= 15{ , 解 得 x= 9 2 y= -3 { . 所以,原方程组的解为 x= 9 2 y= -3 { . 3. 解: x-y= 4a-3①x+2y= -5a②{ ,②-①,得 3y = -9a+ 3,即 y = - 3a+ 1. 把 y= -3a+1 代入①,得 x=a-2. 由题意得 x+y = 0,即 a- 2+(-3a+1)= 0,解得 a= -0. 5. 4. 解:(1)选择小王的思路, 5a+4b= 16①4a+5b= 5k+1②{ ,①+②,得 9a +9b= 5k+17,∵ a+b = 3,∴ 9(a+b)= 27,∴ 5k+17 = 27,解 得 k= 2; (2) x-y= 2m-3①x+2y= 3-m②{ ,①+②×2,得 3x+3y = 3,∴ x+y = 1,∴ 不论 m 取何值,x+y 的值始终不变. 5. 解:联立 x+y= 52x-y= 1{ ,解得 x= 2 y= 3{ . 把 x,y 的值代入其余的两 个方程得 8a+15b= -222a-3b= 8{ ,解得 a= 1 b= -2{ ,则(a+b) 2 025 = (1- 2) 2 025 = -1. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 13 页 6. 解:把 x= 1y= 2{ 代入①得 a+2b= 6,即 a= 6-2b③. 把 x= 2 y= 1{ 代 入 ax+by= 6,得 2a+b= 6. 把③代入 2a+b= 6,得 2(6-2b) +b= 6,解得 b= 2,把 b= 2 代入③得 a= 2. 把 x= 2y= 1{ 代入方 程 cx-4y = - 2 得 2c- 4 = -2,解得 c = 1. 故 a = 2,b = 2,c = 1. 7. 解:将 x= -3y= -1{ 代入方程组中的 4x-by= -2,得-12+b = -2, 解得 b= 10. 将 x= 5y= 4{ 代入方程组中的 ax+5y = 15,得 5a+ 20 = 15,解得 a= -1. ∴ 原式= (-1) 2 025 +(-10 10 ) 2 024 = 0. 8. A 9. D　 【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为 x 个、y 个. 由题意得: 4x+3y=nx+2y=m{ ,两式相加得 m+n = 5( x+ y),∵ x、y 都是正整数,∴ m+n 是 5 的倍数. ∴ m+n 的值 可能是 2 025. 故选 D. 10. 解:设这个两位数十位上的数字是 x,个位上的数字为 y,根据题意,得 x+3 = y6y= 10x+y{ ,解得 x= 3 y= 6{ . 答:这个两位数 是 36. 11. 9　 【解析】设从 A 地到 B 地的下坡路程为 xkm,平路路 程为 ykm,由题意,得 x 12 + y 9 = 55 60 x 4 + y 8 = 1. 5 ì î í ï ï ïï ,解得 x= 3y= 6{ . ∴ x+y = 9,∴ A,B 两地相距 9km. 12. 解:设汽车的速度是 x 千米 /时,拖拉机的速度是 y 千 米 /时,根据题意得: 4 3 (x+y)= 160 1 2 x= (1+ 1 2 )y ì î í ï ï ïï ,解得 x= 90y= 30{ ,则( 4 3 + 1 2 ) ×90 = 165(千 米),( 4 3 +1+ 1 2 ) ×30 = 85(千米) . 答:汽车行驶 165 千 米,拖拉机行驶 85 千米. 13. 解:(1)420 000 (2)376 000 (3) 设 精 加 工 x 天, 粗 加 工 y 天. 根 据 题 意, 得 6x+14y= 100 x+y= 10{ ,解得 x= 5 y= 5{ . 则销售可得 6 × 5 × 60% × 11 000+ 14 × 5 × 80% × 6 000 = 534 000 ( 元), 利润为 534 000 - 600 × 100 = 474 000 ( 元 ) . 答: 可 获 利 474 000 元. 14. 33 5 k　 【解析】设 y 与 x 的函数表达式为 y =mx+n. ∵ 函 数图 象 过 点 ( 5, 4k ), ( 10, k ), ∴ 5m+n= 4k,10m+n= k.{ 解 得 m= - 3 5 k n= 7k { ,∴ y= - 35 kx+7k. 当 x = 8 时,y = 115 k. ∴ 挣得 (8-5)×11 5 k= 33 5 k(元) . 15. 解:(1) 1 2 (2)设线段 AB 表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y= kx +b,将(20,10)(30,5)代入 y = kx+b 得: 20k+b= 1030k+b= 5{ ,解 得 k= - 1 2 b= 20 { ,∴ 线段 AB 表示的 y 与 x 之间的函数表达式 为 y= - 1 2 x+20(20≤x≤30); (3)1　 12. 5. 补全图象如图: 【解析】快车的速度为: 30× 1 2 -5 30-20 = 1(km / min),快车追 上慢车时 x= 30+5÷1 = 35(min),快车到达乙地用时 40 ÷1 = 40(min),此时,x = 40+ 20 = 60(min),慢车到达乙 地用时 40÷ 1 2 +5 = 85(min) . 追梦专项总结突破卷(四) 数据的分析 1. C　 2. C　 3. C　 4. B 5. B　 【解析】∵ 2,5,1,x,3 的平均数是 3,∴ 1 5 ×(2+5+1+x +3)= 3,解得 x= 4,∴ 这组数据的方差是 1 5 ×[(2-3) 2 + (5-3) 2 +(1-3) 2 +(4- 3) 2 +(3- 3) 2] = 2,则这组数据的 标准差是 2 . 故选 B. 6. B　 7. B 8. 解:(1)20　 13　 78. 5 (2)九年级的男生“开合跳”成绩更优异,理由如下:∵ 男 生和女生“开合跳”成绩的平均数相同,但男生的众数和 A 等级所占百分比都比女生的高(答案不唯一); (3)1 600×40% +30% 2 = 560(人). 故九年级“开合跳”个 数达到 A 等级的人数为 560 人. 平行线的证明 1. C 2. 解:(1)过点 P 作 PE∥AB,点 E 在点 P 左侧. ∵ AB∥CD, ∴ AB∥PE∥CD. ∴ ∠APE = ∠A = 40°, ∠DPE + ∠D = 180°. ∵ ∠D = 150°, ∴ ∠DPE = 180° - 150° = 30°. ∴ ∠APD= ∠APE+∠DPE= 40°+30° = 70°; (2)∠α+∠β-∠P= 180°. 证明:延长 BA 到点 H, 交 PD 于点 G, ∵ AB∥CD, ∴ ∠DGH = 180° - ∠β. ∵ ∠DGH = ∠PGB, ∠α = ∠P + ∠PGB,∴ ∠α= ∠P+180°-∠β,即∠α+∠β-∠P= 180°. (3)45°　 【解析】设 AN、PD 交点为 O. ∵ AP⊥PD,∴ ∠P = 90°. ∴ ∠PAN+ 1 2 ∠PAB=∠P= 90°. ∵ ∠PAN+∠POA= 90°,∴ ∠POA = 1 2 ∠PAB. ∵ ∠DON = ∠POA,∴ ∠DON = 1 2 ∠PAB. ∵ DN 平分∠PDC,∴ ∠ODN= 1 2 ∠PDC. ∴ ∠N = 180°-∠ODN-∠DON = 180° - 1 2 (∠PAB+∠PDC) . 与 (2)同理可得∠PDC+∠PAB = 180°+∠P. ∴ ∠N = 180°- 1 2 (180°+∠P) . ∵ ∠P= 90°,∴ ∠N= 45°. 3. C 4. 解:连接 BC,∵ AB∥CD,∴ ∠ABC = ∠DCB. ∵ ∠ABE = ∠DCF,∴ ∠ABC- ∠ABE = ∠DCB- ∠DCF. 即∠EBC = ∠FCB. ∴ BE∥FC. ∴ ∠BEF= ∠EFC. 5. C　 【解析】∵ ∠B= 40°,∠C= 60°,∴ ∠BAC = 180°-40°- 60° = 80°. ∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠DAC = 1 2 ∠BAC= 40°. ∵ DE⊥AC,∴ ∠AED = 90°. ∴ ∠ADE = 90°-∠DAE= 50°. 故选 C. 6. 80° 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 14 页