追梦专项总结突破卷(二)平面直角坐标系-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

追梦专项总结突破卷(二) 平面直角坐标系 题型一　 平面直角坐标系中图形面积的计算 1. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的面积是(　 　 ) A. 2　 　 　 　 　 B. 4　 　 　 　 　 C. 6　 　 　 　 　 D. 8 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 已知 A,B 两点的坐标分别为(3,4),(2,0),点 P 是 x 轴上的一 点,且△ABP 的面积为 6. 则点 P 的坐标为 　 . 3. 如图,在平面直角坐标系中,点 A( -1,0),B(2,0),C(0,2),点 D 在坐标轴上. 若△BCD 的面积与△ABC 的面积相等且点 D 不 与点 A 重合,则点 D 的坐标为 　 . 4. 某兴趣小组遇到这样一个问题:在△ABC 中,AB = 13 ,BC = 5, AC= 26 ,求△ABC 的面积. 为了解决问题,他们在网格纸上建 立了平面直角坐标系,并根据边长作出了△ABC,进而得到 △ABC 的三个顶点的坐标为 A(0,5),B( -3,3),C(1,0) . 这样 就可以轻松地求出△ABC 的面积. (1)请写出△ABC 的面积为　 　 　 　 ; (2)画出△ABC 关于 y 轴对称的△AB′C′,并写出点 B′,C′的 坐标; (3)连接 B′C,△AB′C 的形状是　 　 　 　 . 5. 如图,在平面直角坐标系中,已知 A(3,0),B(4,3),将线段 OA 平移至 CB,连接 OC,AB. (1)求出点 C 的坐标; (2)点 D 在 x 轴上从点 O 沿正方向运动,点 D 在运动过程中是 否存在△ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍? 如果存在, 请求出点 D 的坐标;如果不存在,请说明理由. 　 　 备用图 题型二　 平面直角坐标系中点的变化规律 6. 学科素养·推理能力 如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中 箭头所示方向运动,第 1 次从原点运动到点( -1,1),第 2 次接 着运动到点( -2,0),第 3 次接着运动到点( -3,2),…,按这样 的运动规律,经过第 2 024 次运动后,动点 P 的坐标是(　 　 ) A. (2 024,0) B. ( -2 024,0) C. ( -2 024,2) D. (2 024,2) 7. 学科素养·推理能力 如图,一只跳蚤在第一象限及 x 轴、y 轴上 跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭 头所示方向跳动[即(0,0) →(0,1) →(1,1) →(1,0) →…],且 每秒跳动一个单位长度,那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标 是(　 　 ) A. (4,0) B. (5,0) C. (0,5) D. (5,5) 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 学科素养·推理能力 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 1),B( -1,1),C( - 1,-2),D(1,- 2),一智能机器人从点 A 出 发,以每秒 1 个单位长度的速度,沿 AB→BC→CD→DA 方向匀 速循环前行. 当机器人前行了 2 024 秒时,其所在位置的点的坐 标为(　 　 ) A. (1,1) B. ( -1,-1) C. ( -1,0) D. (1,-1) 与一次函数相关的问题 题型一　 与一次函数相关的问题 1. 一次函数 y= kx+5 的图象如图所示,则使式子(k-1) 0 有意义的 k 的值可能为(　 　 ) A. -3 B. 1 C. -2 D. 2 2. 将直线 y = 4 3 x- 4 向上平移 5 个单位长度,所得直线的表达式 为(　 　 ) A. y= 4 3 x-1 B. y= 4 3 x+1 C. y= - 4 3 x+1 D. y= - 4 3 x-1 3. 如果函数 y= (2-k)x+5 是关于 x 的一次函数,且 y 随 x 的值增 大而减小,那么 k 的值不可能为(　 　 ) A. 1 B. 2. 5 C. 3 D. 4 4. 已知 A( -1,a),B(2,b)两点都在关于 x 的一次函数 y= -x+m 的 图象上,则 a,b 的大小关系为(　 　 ) A. a≥b B. a>b C. a<b D. 无法确定 5. 一次函数 y= -mx+1-m 的图象经过第一、二、四象限,则 m 的值 可以是(　 　 ) A. 1 B. 1 2 C. - 1 2 D. -1 6. 两条直线 y1 =ax+b 与 y2 = bx+a(a≠0,b≠0)在同一平面直角坐 标系中的图象可能是(　 　 ) A. B. C. D. 7. 已知一次函数 y= kx+4(k≠0)的图象经过点 A,且 y 随 x 的增大 而增大,则点 A 的坐标可以是(　 　 ) A. (1,2) B. (2,4) C. (3,5) D. (4,0) ·72· 8. 问题:探究函数 y= - | x | +4 的图象与性质. 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验,对函数 y = - | x | +4 的 图象与性质进行了探究: (1)在函数 y = - | x | +4 中,自变量 x 可以是任意实数,如表是 y 与 x 的几组对应值. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中 a 的值为　 　 　 　 ; ②若(b,-8)为该函数图象上的点,则 b= 　 　 　 　 . (2) 在平面直角坐标系中,描出表中的各点,画出该函数的 图象. (3)结合图象回答下列问题: ①函数的最大值为　 　 　 　 ; ②写出该函数的一条性质. 题型二　 与几何图形有关的问题 9. 如图,在直角坐标系中,点 A(2,2),B(4,4)是第 一象限角平分线上的两点,在 x 轴上取一点 C, 连接 AB,BC,AC 使得△ABC 的周长最小,则此 时点 C 的坐标为　 　 　 　 . 10. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y= -x+6 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点,与正比例函数 y = 1 2 x 的图象交于 点 A. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求△OAC 的面积; (3)若动点 M 在射线 AC 上运动,当△OMC 的面积是△OAC 的 面积的 1 2 时,求出此时点 M 的坐标. 题型三　 与实际应用有关的问题 11. 生活情境·批发粽子 某超市基于对市场行情的调查,了解到端 午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好. 买 40 箱甲品牌粽子和 15 箱乙品牌粽子花去 2 000 元,买 20 箱甲品牌粽子和 30 箱乙 品牌粽子花去 1 900 元. (1)请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元? (2)该超市在端午节前夕共购进了这两种品牌粽子 200 箱,甲 品牌粽子每箱以 40 元价格出售,乙品牌粽子每箱以 50 元 的价格出售,获得的利润为 w 元. 设购进的甲品牌粽子箱 数为 a 箱,求 w 关于 a 的函数关系式. 12. 生活情境·运送鱼苗 某市政府现决定运送 152 箱鱼苗到 A、B 两村养殖,若用大小货车共 15 辆,则恰好能一次性运完这批鱼 苗. 已知大小货车的载货能力分别为 12 箱 /辆和 8 箱 /辆,其运 往 A、B 两村的费用如下表: 　 　 　 目的地 车型　 　 　 A 村(元 / 辆) B 村(元 / 辆) 大货车 800 900 小货车 400 600 (1)求这 15 辆车中大小货车各多少辆? (2)现安排其中 10 辆货车前往 A 村,其余货车前往 B 村. 设前 往 A 村的大货车为 x 辆,前往 A、B 两村总费用为 y 元,试 求出 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值 范围; (3)在(2)的条件下,请你写出使总费用最少的货车调配方案, 并求出最少费用. ·82· (2)能. 理由:∵ EF⊥CF,BD⊥CF,∴ BD∥EF,∴ 能说明 桌面是水平的. (9 分) 20. 解: 连接 AF 并延长至点 M. 根据题意, 得 ∠BAC = ∠BAM+∠CAM. ∵ ∠BFM = ∠B+∠BAM,∠CFM = ∠C +∠CAM, ∴ ∠BFC = ∠BFM + ∠CFM = ∠B + ∠BAC + ∠C. (4 分) ∵ ∠D+ ∠E+ ∠EFD = 180°, ∠EFD = ∠BFC, ∴ ∠D + ∠E+∠BFC= 180°. (8 分) ∴ ∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°. (10 分) 21. 解:(1)EF∥AC,证明:∵ ∠1 = ∠EAB,∴ AE∥DC,∴ ∠2 = ∠EAC. ∵ ∠E+∠2 = 180°,∴ ∠E+∠EAC = 180°,∴ EF∥AC; (4 分) (2)由(1)得 EF∥AC,∵ BF⊥EF,∴ BC⊥AC,∴ ∠ACB = 90°. (6 分) ∵ AC 平分∠EAB,∠EAB= 60°,∴ ∠EAC= 30°. ∵ 由(1) 可知 AE∥DC,∴ ∠2 = ∠EAC = 30°,∴ ∠BCD = ∠ACB- ∠2 = 90°-30° = 60°. (10 分) 22. 解:(1)①两直线平行,同位角相等　 等量代换 (4 分) ②同位角相等,两直线平行 (6 分) (2)84°　 90°　 (10 分) 【解析】如图,∵ ∠1 = 42°,∴ ∠4 = ∠1 = 42°,∴ ∠6 = 180°-42°-42° = 96°,∵ m∥n,∴ ∠2+∠6 = 180°,∴ ∠2 = 84°,∴ ∠5 = ∠7 = 180° -∠2 2 = 48°,∴ ∠3 = 180°-48°- 42° = 90°. 23. (1)证明:方法①延长 BC 到 D,过点 C 作射线 CE∥BA, ∴ ∠A= ∠ACE,∠B = ∠ECD,∵ ∠ACB+∠ACE+∠ECD = 180°,∴ ∠A+∠B+∠ACB= 180°;(答案不唯一) (3 分) (2)证明:由(1)知,∠BAC+∠B+∠ACB = 180°,∠CAD+ ∠D+∠ACD= 180°,∴ ∠BAC+∠B+∠ACB+∠CAD+∠D +∠ACD = 360°, ∴ ( ∠BAC + ∠CAD) + ∠B + ( ∠ACB + ∠ACD) + ∠D = 360°,即∠BAD + ∠B + ∠BCD + ∠D = 360°; (8 分) (3)720° (11 分) 追梦专项总结突破卷(一) 勾股定理 1. C　 2. 17 13 13 　 3. 解: ( 1 ) ∵ ∠BDC = 90°, BD = 4, CD = 2, ∴ BC = BD2 +CD2 = 2 5 ; (2)∵ AB= 6,AC = 4,BC = 2 5 ,∴ AC2 +BC2 = 42 +(2 5 ) 2 = 36 =AB2 ,∴ △ACB 是直角三角形,∠ACB = 90°,∴ S阴影 =S△ACB-S△BDC = 1 2 ×4×2 5 - 1 2 ×4×2 = 4 5 -4. 4. 解:(1)连接 AC. 在 Rt△ABC 中,AB2 +BC2 = AC2 . 即 202 + 152 =AC2 ,所以 AC= 25 米. ∴ 这个四边形对角线 AC 的长 度为 25 米. (2)在△ADC 中,AD2 +CD2 = 242 +72 = 252 = AC2 ,∴ △ADC 为直角三角形,∠ADC = 90°,∴ S四边形ABCD = S△ABC +S△ADC = 1 2 ×15×20+ 1 2 ×7×24 = 234(平方米),即这块空地的面积 为 234 平方米. 5. D　 6. C　 7. 26　 【解析】将图展开,图形长度增加 2MN = 4m,则 AB = 20+4 = 24(m),连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ ∠B= 90°. 由勾股定理,得 AB2 +BC2 = AC2,即 242 + 102 = AC2,所以 AC= 26m. ∴ 蚂蚁从 A 点爬到 C 点,它至少要 走 26m 的路程. 8. 17　 9. C 10. A　 【解析】设 BN = x,由折叠的性质可得 DN = AN = 9- x. ∵ D 是 BC 的中点,∴ BD= 3. 在 Rt△NBD 中,x2 +32 = (9-x) 2,解得 x= 4. 即 BN= 4. 故选 A. 11. B　 【解析】∵ 将△ABM 沿 AM 折叠,∴ AB = AB′. 又∵ A (-3,0),B(0,4),∴ AB= 5 = AB′,∴ 点 B′的坐标为:(2, 0),设 M 点坐标为(0,b),则 B′M =BM = 4-b. ∵ B′M2 = B′O2 +OM2,∴ (4-b) 2 = 22 +b2,解得 b= 3 2 ,∴ M(0, 3 2 ) . 故选 B. 12. 1 13. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为长方形,AB = 8,∴ ∠B = ∠C= ∠D= 90°,AD =BC,CD = AB = 8. ∵ DE = 5,∴ CE = CD-DE= 3. 由折叠得∠AFE = ∠D = 90°,AF = AD,EF = DE= 5. 在 Rt△CEF 中,CF2 +CE2 =EF2,即 CF2 +32 = 52, ∴ CF= 4. 设 BF = x,则 AF = x+ 4. 在 Rt△ABF 中,AB2 + BF2 =AF2,即 82 +x2 = (x+ 4) 2,解得 x = 6,∴ AF = x+ 4 = 10. 故选 B. 14. C　 15. 12 5 实数 1. A　 2. B　 3. D　 4. D　 5. C　 6. A　 7. <　 8. C 9. 解:(1)原式= 6 -3-2+ 6 +2 3 -(3-4 3 +4) = 2 6 -5+2 3 -3+4 3 -4 = 2 6 +6 3 -12; (2)原式= 9+(-3)+ 2 3 = 20 3 ; (3)原式= [(2 6 -5)(2 6 +5)] 20 ·(5+2 6 ) = (24-25) 20 ·(5+2 6 ) = 5+2 6 . 10. 原式= x2 -3-x2 +6x+9 = 6x+6,当 x = 2 -1 时,原式 = 6× ( 2 -1)+6 = 6 2 . 11. 解:(1)由题意得 3a+1+a+11 = 0,解得 a= -3,则 3a+1 = -8,故这个数为( - 8) 2 = 64, 3 64 = 4,则这个数的立方 根为 4; (2)由题意得 x-2 = 4,2x+y+7 = 27,解得 x= 6,y= 8. ∴ x2 +y2 = 100, 100 = 10,∴ x2 +y2 的算术平方根是 10. 追梦专项总结突破卷(二) 平面直角坐标系 1. B 2. (-1,0)或(5,0)　 【解析】设 P 点坐标为(x,0),根据题 意得 1 2 ·4· | 2-x | = 6,解得 x = - 1 或 5,∴ P 点坐标为 (-1,0)或(5,0) . 3. (5,0)或(0,-1)或(0,5) 　 【解析】∵ 点 A(-1,0),B(2, 0),C(0,2),∴ AB= 3,OC=OB= 2,∴ S△ABC = 1 2 ×3×2 = 3. 当点 D 在 x 轴上时,S△BCD = 1 2 BD·OC = 1 2 BD×2 = 3,∴ BD= 3,∵ 点 D 不与点 A 重合,∴ 点 D 的坐标为(5,0); 当点 D 在 y 轴上时,S△BCD = 1 2 CD·OB = 1 2 CD×2 = 3,∴ CD= 3,∴ 点 D 的坐标为(0,- 1)或(0,5) . 综上所述,点 D 的坐标为(5,0)或(0,-1)或(0,5) . 4. 解:(1)8. 5 (2)如图,△AB′C′即为所求. B′(3,3),C′(-1,0); (3)等腰直角三角形 　 【解析】∵ AB′2 = B′C2 = 22 + 32 = 13,AC2 = 26,∴ AC2 = AB′2 +B′C2,AB′ = B′C. ∴ ∠AB′C = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 12 页 90°,∴ △AB′C 是等腰直角三角形. 5. 解:(1)∵ A(3,0),B(4,3),将线段 OA 平移至 CB, ∴ OA= 3,BC∥OA,BC=OA,∴ 点 C(1,3); (2)存在,当点 D 在线段 OA 上时,则 AD= 3-OD, ∵ △ODC 的面积是△ABD 的面积的 3 倍, ∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (3-OD)×3, ∴ OD= 9 4 ,∴ 点 D( 9 4 ,0); 当点 D 在线段 OA 的延长线上时,AD=OD-3, ∴ 1 2 ×OD×3 = 3× 1 2 (OD-3)×3, ∴ OD= 9 2 ,∴ 点 D( 9 2 ,0) . 综上所述:点 D 坐标为( 9 4 ,0)或( 9 2 ,0) . 6. B　 【解析】由题意可知,动点 P 第 1 次、第 2 次、第 3 次、 第 4 次、第 5 次、第 6 次…运动到的坐标依次为(-1,1), (-2,0),(- 3,2),(- 4,0),(- 5,1),(- 6,0),…,第 4n 次接着运动到点( - 4n,0),第 4n+ 1 次接着运动到点 (-4n-1,1),第 4n+2 次接着运动到点(-4n-2,0),第 4n +3 次接着运动到点(-4n-3,2),∵ 2 024÷ 4 = 506,∴ 第 2 024 次接着运动到点(-2 024,0) . 故选 B. 7. B　 【解析】跳蚤运动的速度是每秒跳动一个单位长度, (0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是 1 秒,2 秒,3 秒,到(2,0)用 4 秒,到(2,2)用 6 秒,到(0,2)用 8 秒,到(0,3)用 9 秒,到(3,3)用 12 秒,到(3,0)用 15 秒, 依此类推,到(5,0)用 35 秒. 故第 35 秒时跳蚤所在位置 的坐标是(5,0) . 故选 B. 8. B　 【解析】由点 A(1,1),B(- 1,1),C(- 1,- 2),D(1, -2),可知 ABCD 是长方形,AB=CD= 2,CB =AD = 3,∴ 机 器人从点 A 出发沿着 A-B-C-D 回到点 A 所走路程是:2 +2+3+3 = 10,∵ 2 024÷10 = 202……4,∴ 第 2 024 秒时机 器人所在点的坐标为(-1,-1) . 故选 B. 与一次函数相关的问题 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. B　 6. A　 7. C　 8. 解:(1)①0　 ②-12 或 12 (2)描点,画出函数的图象如图: (3)①4　 ②函数 y= - | x | + 4 的图象关于 y 轴对称. (答 案不唯一) 9. ( 8 3 ,0)　 【解析】作 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 AB′交 x 轴于点 C,则此时△ABC 的周长最小. 设直线 AB′的表 达式为 y= kx+b. 将 B′(4,-4),A(2,2)代入得 k = -3,b = 8. ∴ y= -3x+8. 令 y= 0,得 x= 8 3 . 故 C( 8 3 ,0) . 10. 解:(1)在 y= -x+6 中,令 x= 0 得 y= 6,令 y = 0 得 x = 6, ∴ B(6,0),C(0,6) . 由 y= -x+6 y= 1 2 x{ 得 x= 4y= 2{ ,∴ A(4,2); (2)∵ C(0,6),∴ OC= 6,∴ S△ OAC = 1 2 OC·xA = 1 2 ×6×4 = 12; (3)由题意,得 1 2 OC· | xM | = 1 2 S△ OAC = 6,即 1 2 ×6· | xM | = 6,∴ | xM | = 2. ∴ xM = 2 或 xM = -2. 当 xM = 2 时,在 y= -x +6 中令 x= 2,得 y= 4,∴ M(2,4),当 xM = -2 时,在 y= -x +6 中令 x= -2,得 y= 8,∴ M′(-2,8) . 综上所述,点 M 的 坐标为:(2,4)或(-2,8) . 11. 解:(1)设甲品牌粽子每箱 x 元,乙品牌粽子每箱 y 元, 由题意得 40x+15y= 2 000 20x+30y= 1 900{ ,解得 x= 35 y= 40{ ,故购进甲品牌 粽子每箱 35 元,购进乙品牌粽子每箱 40 元; (2)w= (40-35)a+(50-40)(200-a)= 2 000-5a. (1≤a <200,且 a 为整数) 12. 解:(1)设大货车有 x 辆,小货车有 y 辆,根据题意得: x+y= 15 12x+8y= 152{ ,解得 x= 8 y= 7{ . ∴ 大货车有 8 辆,小货车有 7 辆. (2)y= 800x+900(8-x)+400(10-x)+600[7-(10-x)] = 100x+9 400(3≤x≤8,且 x 为整数) . (3)∵ y = 100x+ 9 400,k = 100> 0,∴ y 随 x 的增大而增 大,∴ 当 x = 3 时,y 最小,最小值为 y = 100× 3+ 9 400 = 9 700(元) . 故使总运费最少的调配方案是:3 辆大货 车、7 辆小货车前往 A 村;5 辆大货车前往 B 村. 最少运 费为 9 700 元. 追梦专项总结突破卷(三) 二元一次方程组 1. 解:(1) y= 2x-3①x+y= 6②{ ,把①代入②得 x+2x-3 = 6,解得 x = 3. 把 x = 3 代入①得 y = 2 × 3 - 3 = 3,故原方程组的解 是 x= 3y= 3{ ; (2) 2x+y= 3①x-y= 6②{ ,①+②得 3x= 9,解得 x = 3,把 x = 3 代入 ②得 3-y= 6,解得 y= -3,故原方程组的解是 x= 3y= -3{ . (3) x+y= 35x-3(x-y)= 1{ ,整理得 x+y= 3① 2x+3y= 1②{ ,①×2-②得-y = 5,解得 y= -5,把 y= -5 代入①得 x-5 = 3,解得 x= 8,∴ 方程组的解为 x= 8y= -5{ ; (4)方程组整理得 3x-y= 7①3x+y= 6②{ ,①+②得 6x = 13,解得 x = 13 6 ,把 x= 13 6 代入①得 3× 13 6 -y = 7,解得 y = - 1 2 ,∴ 方程 组的解为 x= 13 6 y= - 1 2 ì î í ï ï ïï . 2. 解:令 m= x +y 3 ,n = x -y 5 ,原方程组可化为 m+n= 2m-n= -1{ ,解得 m= 1 2 n= 3 2 ì î í ï ï ïï , 所 以 x+y 3 = 1 2 x-y 5 = 3 2 ì î í ï ï ïï , 整 理 为 2x+2y= 32x-2y= 15{ , 解 得 x= 9 2 y= -3 { . 所以,原方程组的解为 x= 9 2 y= -3 { . 3. 解: x-y= 4a-3①x+2y= -5a②{ ,②-①,得 3y = -9a+ 3,即 y = - 3a+ 1. 把 y= -3a+1 代入①,得 x=a-2. 由题意得 x+y = 0,即 a- 2+(-3a+1)= 0,解得 a= -0. 5. 4. 解:(1)选择小王的思路, 5a+4b= 16①4a+5b= 5k+1②{ ,①+②,得 9a +9b= 5k+17,∵ a+b = 3,∴ 9(a+b)= 27,∴ 5k+17 = 27,解 得 k= 2; (2) x-y= 2m-3①x+2y= 3-m②{ ,①+②×2,得 3x+3y = 3,∴ x+y = 1,∴ 不论 m 取何值,x+y 的值始终不变. 5. 解:联立 x+y= 52x-y= 1{ ,解得 x= 2 y= 3{ . 把 x,y 的值代入其余的两 个方程得 8a+15b= -222a-3b= 8{ ,解得 a= 1 b= -2{ ,则(a+b) 2 025 = (1- 2) 2 025 = -1. 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 13 页