追梦专项总结突破卷(一)勾股定理-【追梦之旅·初中铺路卷】 2024-2025学年八年级上册数学（北师大版）

追梦专项总结突破卷(一) 勾股定理 题型一　 勾股定理与面积问题 1. 文化情境·数学文化 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关 系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲. 该图由四个全等的 直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形,设直角三角形 较长直角边长为 a,较短直角边长为 b. 若 ab= 10,大正方形面积 为 25,则小正方形边长为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 B. 2 C. 5 D. 3 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,则在网格上的 △ABC 中,BC 边上的高是　 　 　 　 . 3. 如图,点 D 在△ABC 中,∠BDC= 90°,AB= 6,AC=BD= 4,CD= 2. (1)求 BC 的长; (2)求图中阴影部分的面积. 4. 生活情境·铺设草坪 某景观区内有一块四边形空地,如图所示, 景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪,需要测量其面积, 经技术人员测量得∠ABC = 90°,AB = 20 米,BC = 15 米,CD = 7 米,AD= 24 米. (1)请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线 AC 的长度; (2)请用你学过的知识帮助管理人员计算出这块空地的面积. 题型二　 最短路径问题 解题思路 所谓最短距离,是指两点间的距离是最短的. 圆柱 沿外表面的最短路径 　 从外壁到内壁的最短路径 直棱柱 甲 　 乙 　 丙 台阶问题 5. 生活情境·蚂蚁爬行 如图,若圆柱的底面周长是 50 cm,高是 120 cm,从底部 A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B 处,则这条丝 线最短为(　 　 ) A. 170 cm B. 70 cm C. 145 cm D. 130 cm 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm,高为 5 cm. 若一 只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点,则蚂蚁爬 行的最短路径长为(　 　 ) A. 61 cm B. 11 cm C. 13 cm D. 17 cm 7. 如图所示,ABCD 是长方形地面,长 AB = 20 m,宽 AD = 10 m. 中 间竖有一堵砖墙高MN= 2 m. 一只蚂蚱从 A 点爬到 C 点,它必须 翻过中间那堵墙,则它至少要走　 　 　 　 m 的路程. 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,三级台阶,每一级的长、宽、高分别为 8 dm、3 dm、2 dm. A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点,点 A 处有一只蚂蚁,想到 点 B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短 路程为　 　 　 　 dm. 题型三　 利用勾股定理解决折叠问题 类型 1　 三角形中的折叠问题 9. 下图是一张直角三角形纸片,两直角边 AC= 6 cm,BC = 8 cm. 现 将△ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 DE 的长 为(　 　 ) A. 4 cm B. 5 cm C. 15 4 cm D. 25 4 cm 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 ·52· 10. 如图,Rt△ABC 中,AB = 9,BC = 6,∠B = 90°,将△ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 5 3 D. 5 2 11. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是( -3,0),点 B 的坐 标是(0,4),点 M 是 OB 上一点. 将△ABM 沿 AM 折叠,点 B 恰 好落在 x 轴上的点 B′处,则点 M 的坐标为(　 　 ) A. ( 3 2 ,0) B. (0, 3 2 ) C. ( 5 2 ,0) D. (0, 5 2 ) 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 2 2 ,AC = 6,点 E 在线 段 AC 上,D 是线段 BC 上的一点,连接 DE. 将四边形 ABDE 沿 直线 DE 翻折,得到四边形 FGDE,当点 G 恰好落在线段 AC 上 时,CG= 2,则 AE= 　 　 　 　 . 类型 2　 长方形中的折叠问题 13. 如图,在长方形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将长方形 ABCD 沿 AE 所在直线折叠,点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处. 若 AB= 8, DE= 5,则 AD 的长为(　 　 ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图,在长方形 ABCD 中,AB = 3 cm,AD = 9 cm. 将此长方形折 叠,使点 D 与点 B 重合,折痕为 EF,则△ABE 的面积为(　 　 ) A. 12 cm2 B. 10 cm2 C. 6 cm2 D. 15 cm2 15. 如图,长方形纸片 ABCD,AB = 4,BC = 3,点 P 在 BC 边上. 将 △CDP 沿 DP 折叠,点 C 落在点 E 处,PE、DE 分别交 AB 于点 O、F,若 OP=OF,则 BF 的长为　 　 　 　 . 实数 题型一　 实数的相关概念 1. 在 3. 141 592 65,0. 6, π 3 , 7 , - 8, 36 ,22 7 中,无理数的个数 有(　 　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 下列各式中,一定是二次根式的是(　 　 ) A. -5 B. x2 +0. 1 C. 3 1-a D. x+1 3. 下列二次根式是最简二次根式的是(　 　 ) A. 1 5 B. 12 5 C. 12 D. 5 4. 如图所示,面积为 5 的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上,且点 A 表示的数为 1. 若点 E 在数轴上(点 E 在点 A 左侧),且 AD=AE, 则点 E 所表示的数为(　 　 ) A. 5 B. - 5 C. - 5 -1 D. - 5 +1 5. 有如下命题:①-3 是( -3) 2 的算术平方根;②2 是 4 的一个平方 根;③一个实数的立方根不是正数就是负数;④如果一个数的立 方根是这个数本身,那么这个数是 1 或 0. 其中错误的是(　 　 ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 题型二　 实数的大小比较 6. 若 a= 3 20 ,b= 10 ,c= 3,则 a、b、c 的大小关系为(　 　 ) A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a 7. 比较大小: 5 -1 6 　 　 　 　 　 1 3 . 题型三　 实数的运算 8. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 2 2 - 2 = 1 B. 3 2 +2 3 = 5 5 C. 27 ÷ 3 = 3 D. 5 3 ×2 3 = 10 3 9. 计算: (1)( 3 - 2 )( 2 - 3 ) +6 1 3 -( 3 -2) 2; (2) 81 + 3 -27 + ( - 2 3 ) 2 ; (3)(2 6 -5) 20 ×(5+2 6 ) 21 . 10. 先化简,再求值:(x+ 3 )(x- 3 ) -x(x-6) +9,其中 x= 2 -1. 11. (1)已知一个正数的平方根分别是 3a+1 和 a+11,求这个数的 立方根; (2)已知 x-2 的平方根是±2,2x+y+7 的立方根是 3,求 x2 +y2 的算术平方根. ·62· (2)能. 理由:∵ EF⊥CF,BD⊥CF,∴ BD∥EF,∴ 能说明 桌面是水平的. (9 分) 20. 解: 连接 AF 并延长至点 M. 根据题意, 得 ∠BAC = ∠BAM+∠CAM. ∵ ∠BFM = ∠B+∠BAM,∠CFM = ∠C +∠CAM, ∴ ∠BFC = ∠BFM + ∠CFM = ∠B + ∠BAC + ∠C. (4 分) ∵ ∠D+ ∠E+ ∠EFD = 180°, ∠EFD = ∠BFC, ∴ ∠D + ∠E+∠BFC= 180°. (8 分) ∴ ∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°. (10 分) 21. 解:(1)EF∥AC,证明:∵ ∠1 = ∠EAB,∴ AE∥DC,∴ ∠2 = ∠EAC. ∵ ∠E+∠2 = 180°,∴ ∠E+∠EAC = 180°,∴ EF∥AC; (4 分) (2)由(1)得 EF∥AC,∵ BF⊥EF,∴ BC⊥AC,∴ ∠ACB = 90°. (6 分) ∵ AC 平分∠EAB,∠EAB= 60°,∴ ∠EAC= 30°. ∵ 由(1) 可知 AE∥DC,∴ ∠2 = ∠EAC = 30°,∴ ∠BCD = ∠ACB- ∠2 = 90°-30° = 60°. (10 分) 22. 解:(1)①两直线平行,同位角相等　 等量代换 (4 分) ②同位角相等,两直线平行 (6 分) (2)84°　 90°　 (10 分) 【解析】如图,∵ ∠1 = 42°,∴ ∠4 = ∠1 = 42°,∴ ∠6 = 180°-42°-42° = 96°,∵ m∥n,∴ ∠2+∠6 = 180°,∴ ∠2 = 84°,∴ ∠5 = ∠7 = 180° -∠2 2 = 48°,∴ ∠3 = 180°-48°- 42° = 90°. 23. (1)证明:方法①延长 BC 到 D,过点 C 作射线 CE∥BA, ∴ ∠A= ∠ACE,∠B = ∠ECD,∵ ∠ACB+∠ACE+∠ECD = 180°,∴ ∠A+∠B+∠ACB= 180°;(答案不唯一) (3 分) (2)证明:由(1)知,∠BAC+∠B+∠ACB = 180°,∠CAD+ ∠D+∠ACD= 180°,∴ ∠BAC+∠B+∠ACB+∠CAD+∠D +∠ACD = 360°, ∴ ( ∠BAC + ∠CAD) + ∠B + ( ∠ACB + ∠ACD) + ∠D = 360°,即∠BAD + ∠B + ∠BCD + ∠D = 360°; (8 分) (3)720° (11 分) 追梦专项总结突破卷(一) 勾股定理 1. C　 2. 17 13 13 　 3. 解: ( 1 ) ∵ ∠BDC = 90°, BD = 4, CD = 2, ∴ BC = BD2 +CD2 = 2 5 ; (2)∵ AB= 6,AC = 4,BC = 2 5 ,∴ AC2 +BC2 = 42 +(2 5 ) 2 = 36 =AB2 ,∴ △ACB 是直角三角形,∠ACB = 90°,∴ S阴影 =S△ACB-S△BDC = 1 2 ×4×2 5 - 1 2 ×4×2 = 4 5 -4. 4. 解:(1)连接 AC. 在 Rt△ABC 中,AB2 +BC2 = AC2 . 即 202 + 152 =AC2 ,所以 AC= 25 米. ∴ 这个四边形对角线 AC 的长 度为 25 米. (2)在△ADC 中,AD2 +CD2 = 242 +72 = 252 = AC2 ,∴ △ADC 为直角三角形,∠ADC = 90°,∴ S四边形ABCD = S△ABC +S△ADC = 1 2 ×15×20+ 1 2 ×7×24 = 234(平方米),即这块空地的面积 为 234 平方米. 5. D　 6. C　 7. 26　 【解析】将图展开,图形长度增加 2MN = 4m,则 AB = 20+4 = 24(m),连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ ∠B= 90°. 由勾股定理,得 AB2 +BC2 = AC2,即 242 + 102 = AC2,所以 AC= 26m. ∴ 蚂蚁从 A 点爬到 C 点,它至少要 走 26m 的路程. 8. 17　 9. C 10. A　 【解析】设 BN = x,由折叠的性质可得 DN = AN = 9- x. ∵ D 是 BC 的中点,∴ BD= 3. 在 Rt△NBD 中,x2 +32 = (9-x) 2,解得 x= 4. 即 BN= 4. 故选 A. 11. B　 【解析】∵ 将△ABM 沿 AM 折叠,∴ AB = AB′. 又∵ A (-3,0),B(0,4),∴ AB= 5 = AB′,∴ 点 B′的坐标为:(2, 0),设 M 点坐标为(0,b),则 B′M =BM = 4-b. ∵ B′M2 = B′O2 +OM2,∴ (4-b) 2 = 22 +b2,解得 b= 3 2 ,∴ M(0, 3 2 ) . 故选 B. 12. 1 13. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为长方形,AB = 8,∴ ∠B = ∠C= ∠D= 90°,AD =BC,CD = AB = 8. ∵ DE = 5,∴ CE = CD-DE= 3. 由折叠得∠AFE = ∠D = 90°,AF = AD,EF = DE= 5. 在 Rt△CEF 中,CF2 +CE2 =EF2,即 CF2 +32 = 52, ∴ CF= 4. 设 BF = x,则 AF = x+ 4. 在 Rt△ABF 中,AB2 + BF2 =AF2,即 82 +x2 = (x+ 4) 2,解得 x = 6,∴ AF = x+ 4 = 10. 故选 B. 14. C　 15. 12 5 实数 1. A　 2. B　 3. D　 4. D　 5. C　 6. A　 7. <　 8. C 9. 解:(1)原式= 6 -3-2+ 6 +2 3 -(3-4 3 +4) = 2 6 -5+2 3 -3+4 3 -4 = 2 6 +6 3 -12; (2)原式= 9+(-3)+ 2 3 = 20 3 ; (3)原式= [(2 6 -5)(2 6 +5)] 20 ·(5+2 6 ) = (24-25) 20 ·(5+2 6 ) = 5+2 6 . 10. 原式= x2 -3-x2 +6x+9 = 6x+6,当 x = 2 -1 时,原式 = 6× ( 2 -1)+6 = 6 2 . 11. 解:(1)由题意得 3a+1+a+11 = 0,解得 a= -3,则 3a+1 = -8,故这个数为( - 8) 2 = 64, 3 64 = 4,则这个数的立方 根为 4; (2)由题意得 x-2 = 4,2x+y+7 = 27,解得 x= 6,y= 8. ∴ x2 +y2 = 100, 100 = 10,∴ x2 +y2 的算术平方根是 10. 追梦专项总结突破卷(二) 平面直角坐标系 1. B 2. (-1,0)或(5,0)　 【解析】设 P 点坐标为(x,0),根据题 意得 1 2 ·4· | 2-x | = 6,解得 x = - 1 或 5,∴ P 点坐标为 (-1,0)或(5,0) . 3. (5,0)或(0,-1)或(0,5) 　 【解析】∵ 点 A(-1,0),B(2, 0),C(0,2),∴ AB= 3,OC=OB= 2,∴ S△ABC = 1 2 ×3×2 = 3. 当点 D 在 x 轴上时,S△BCD = 1 2 BD·OC = 1 2 BD×2 = 3,∴ BD= 3,∵ 点 D 不与点 A 重合,∴ 点 D 的坐标为(5,0); 当点 D 在 y 轴上时,S△BCD = 1 2 CD·OB = 1 2 CD×2 = 3,∴ CD= 3,∴ 点 D 的坐标为(0,- 1)或(0,5) . 综上所述,点 D 的坐标为(5,0)或(0,-1)或(0,5) . 4. 解:(1)8. 5 (2)如图,△AB′C′即为所求. B′(3,3),C′(-1,0); (3)等腰直角三角形 　 【解析】∵ AB′2 = B′C2 = 22 + 32 = 13,AC2 = 26,∴ AC2 = AB′2 +B′C2,AB′ = B′C. ∴ ∠AB′C = 追梦之旅铺路卷·八年级上·ZBB·数学　 第 12 页